Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Данные понятия были впервые предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие с момента зарождения теории нечетких множеств. И на этом пути развития нечетких систем принято выделять три периода.

Первый период (конец 60-х–начало 70 гг.) характеризуется развитием теоретического аппарата нечетких множеств (Л. Заде, Э. Мамдани, Беллман). Во втором периоде (70–80-е годы) появляются первые практические результаты в области нечеткого управления сложными техническими системами (парогенератор с нечетким управлением). Одновременно стало уделяться внимание вопросам построения экспертных систем, построенных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Нечеткие экспертные системы для поддержки принятия решений находят широкое применение в медицине и экономике. Наконец, в третьем периоде, который длится с конца 80-х годов и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а области применения нечеткой логики заметно расширяются. Она применяется в автомобильной, аэрокосмической и транспортной промышленности, в области изделий бытовой техники, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других.

Триумфальное шествие нечеткой логики по миру началось после доказательства в конце 80-х Бартоломеем Коско знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem). В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того как в 1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах. И количество успешных фаззи-применений в настоящее время исчисляется тысячами.

Математический аппарат

Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (Membership Function). Обозначим через MF c (x) – степень принадлежности к нечеткому множеству C, представляющей собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества. Тогда нечетким множеством С называется множество упорядоченных пар вида C={MF c (x)/x}, MF c (x) . Значение MF c (x)=0 означает отсутствие принадлежности к множеству, 1 – полную принадлежность.

Проиллюстрируем это на простом примере. Формализуем неточное определение "горячий чай". В качестве x (область рассуждений) будет выступать шкала температуры в градусах Цельсия. Очевидно, что она будет изменяется от 0 до 100 градусов. Нечеткое множество для понятия "горячий чай" может выглядеть следующим образом:

C={0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0,90/70; 1/80; 1/90; 1/100}.

Так, чай с температурой 60 С принадлежит к множеству "Горячий" со степенью принадлежности 0,80. Для одного человека чай при температуре 60 С может оказаться горячим, для другого – не слишком горячим. Именно в этом и проявляется нечеткость задания соответствующего множества.

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции. Самыми основными, необходимыми для расчетов, являются пересечение и объединение.

Пересечение двух нечетких множеств (нечеткое "И"): A B: MF AB (x)=min(MF A (x), MF B (x)).
Объединение двух нечетких множеств (нечеткое "ИЛИ"): A B: MF AB (x)=max(MF A (x), MF B (x)).

В теории нечетких множеств разработан общий подход к выполнению операторов пересечения, объединения и дополнения, реализованный в так называемых треугольных нормах и конормах. Приведенные выше реализации операций пересечения и объединения – наиболее распространенные случаи t-нормы и t-конормы.

Для описания нечетких множеств вводятся понятия нечеткой и лингвистической переменных.

Нечеткая переменная описывается набором (N,X,A), где N – это название переменной, X – универсальное множество (область рассуждений), A – нечеткое множество на X.
Значениями лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, т.е. лингвистическая переменная находится на более высоком уровне, чем нечеткая переменная. Каждая лингвистическая переменная состоит из:

• названия;
• множества своих значений, которое также называется базовым терм-множеством T. Элементы базового терм-множества представляют собой названия нечетких переменных;
• универсального множества X;
• синтаксического правила G, по которому генерируются новые термы с применением слов естественного или формального языка;
• семантического правила P, которое каждому значению лингвистической переменной ставит в соответствие нечеткое подмножество множества X.

Рассмотрим такое нечеткое понятие как "Цена акции". Это и есть название лингвистической переменной. Сформируем для нее базовое терм-множество, которое будет состоять из трех нечетких переменных: "Низкая", "Умеренная", "Высокая" и зададим область рассуждений в виде X= (единиц). Последнее, что осталось сделать – построить функции принадлежности для каждого лингвистического терма из базового терм-множества T.

Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

$$MF\,(x) = \,\begin{cases} \;1\,-\,\frac{b\,-\,x}{b\,-\,a},\,a\leq \,x\leq \,b &\ \\ 1\,-\,\frac{x\,-\,b}{c\,-\,b},\,b\leq \,x\leq \,c &\ \\ 0, \;x\,\not \in\,(a;\,c)\ \end{cases}$$

При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):

$$MF\,(x)\,=\, \begin{cases} \;1\,-\,\frac{b\,-\,x}{b\,-\,a},\,a\leq \,x\leq \,b & \\ 1,\,b\leq \,x\leq \,c & \\ 1\,-\,\frac{x\,-\,c}{d\,-\,c},\,c\leq \,x\leq \,d &\\ 0, x\,\not \in\,(a;\,d) \ \end{cases}$$

При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой

$$MF\,(x) = \exp\biggl[ -\,{\Bigl(\frac{x\,-\,c}{\sigma}\Bigr)}^2\biggr]$$

и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр отвечает за крутизну функции.

Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно изображаются вместе на одном графике. На рисунке 3 приведен пример описанной выше лингвистической переменной "Цена акции", на рисунке 4 – формализация неточного понятия "Возраст человека". Так, для человека 48 лет степень принадлежности к множеству "Молодой" равна 0, "Средний" – 0,47, "Выше среднего" – 0,20.

Количество термов в лингвистической переменной редко превышает 7.

Нечеткий логический вывод

Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме "Если-то" и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия:

1. Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.
2. Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида:
R 1: ЕСЛИ x 1 это A 11 … И … x n это A 1n , ТО y это B 1
…
R i: ЕСЛИ x 1 это A i1 … И … x n это A in , ТО y это B i
…
R m: ЕСЛИ x 1 это A i1 … И … x n это A mn , ТО y это B m ,
где x k , k=1..n – входные переменные; y – выходная переменная; A ik – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.

Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y * на основе заданных четких значений x k , k=1..n.

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (см. рисунок 5).

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического вывода в нечетких системах. В нем используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий.

1. Процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок). Для базы правил с m правилами обозначим степени истинности как A ik (x k), i=1..m, k=1..n.

Нечеткий вывод. Сначала определяются уровни "отсечения" для левой части каждого из правил:

$$alfa_i\,=\,\min_i \,(A_{ik}\,(x_k))$$

$$B_i^*(y)= \min_i \,(alfa_i,\,B_i\,(y))$$

Композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств:

$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества.

Дефазификация, или приведение к четкости. Существует несколько методов дефазификации. Например, метод среднего центра, или центроидный метод:
$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

Геометрический смысл такого значения – центр тяжести для кривой MF(y). Рисунок 6 графически показывает процесс нечеткого вывода по Мамдани для двух входных переменных и двух нечетких правил R1 и R2.

Интеграция с интеллектуальными парадигмами

Гибридизация методов интеллектуальной обработки информации – девиз, под которым прошли 90-е годы у западных и американских исследователей. В результате объединения нескольких технологий искусственного интеллекта появился специальный термин – "мягкие вычисления" (soft computing), который ввел Л. Заде в 1994 году. В настоящее время мягкие вычисления объединяют такие области как: нечеткая логика, искусственные нейронные сети, вероятностные рассуждения и эволюционные алгоритмы. Они дополняют друг друга и используются в различных комбинациях для создания гибридных интеллектуальных систем.

Влияние нечеткой логики оказалось, пожалуй, самым обширным. Подобно тому, как нечеткие множества расширили рамки классической математическую теорию множеств, нечеткая логика "вторглась" практически в большинство методов Data Mining, наделив их новой функциональностью. Ниже приводятся наиболее интересные примеры таких объединений.

Нечеткие нейронные сети

Нечеткие нейронные сети (fuzzy-neural networks) осуществляют выводы на основе аппарата нечеткой логики, однако параметры функций принадлежности настраиваются с использованием алгоритмов обучения НС. Поэтому для подбора параметров таких сетей применим метод обратного распространения ошибки, изначально предложенный для обучения многослойного персептрона. Для этого модуль нечеткого управления представляется в форме многослойной сети. Нечеткая нейронная сеть как правило состоит из четырех слоев: слоя фазификации входных переменных, слоя агрегирования значений активации условия, слоя агрегирования нечетких правил и выходного слоя.

Наибольшее распространение в настоящее время получили архитектуры нечеткой НС вида ANFIS и TSK. Доказано, что такие сети являются универсальными аппроксиматорами.

Быстрые алгоритмы обучения и интерпретируемость накопленных знаний – эти факторы сделали сегодня нечеткие нейронные сети одним из самых перспективных и эффективных инструментов мягких вычислений.

Адаптивные нечеткие системы

Классические нечеткие системы обладают тем недостатком, что для формулирования правил и функций принадлежности необходимо привлекать экспертов той или иной предметной области, что не всегда удается обеспечить. Адаптивные нечеткие системы (adaptive fuzzy systems) решают эту проблему. В таких системах подбор параметров нечеткой системы производится в процессе обучения на экспериментальных данных. Алгоритмы обучения адаптивных нечетких систем относительно трудоемки и сложны по сравнению с алгоритмами обучения нейронных сетей, и, как правило, состоят из двух стадий: 1. Генерация лингвистических правил; 2. Корректировка функций принадлежности. Первая задача относится к задаче переборного типа, вторая – к оптимизации в непрерывных пространствах. При этом возникает определенное противоречие: для генерации нечетких правил необходимы функции принадлежности, а для проведения нечеткого вывода – правила. Кроме того, при автоматической генерации нечетких правил необходимо обеспечить их полноту и непротиворечивость.

Значительная часть методов обучения нечетких систем использует генетические алгоритмы. В англоязычной литературе этому соответствует специальный термин – Genetic Fuzzy Systems.

Значительный вклад в развитие теории и практики нечетких систем с эволюционной адаптацией внесла группа испанских исследователей во главе с Ф. Херрера (F. Herrera).

Нечеткие запросы

Нечеткие запросы к базам данных (fuzzy queries) – перспективное направление в современных системах обработки информации. Данный инструмент дает возможность формулировать запросы на естественном языке, например: "Вывести список недорогих предложений о съеме жилья близко к центру города", что невозможно при использовании стандартного механизма запросов. Для этой цели разработана нечеткая реляционная алгебра и специальные расширения языков SQL для нечетких запросов. Большая часть исследований в этой области принадлежит западноевропейским ученым Д. Дюбуа и Г. Праде.

Нечеткие ассоциативные правила

Нечеткие ассоциативные правила (fuzzy associative rules) – инструмент для извлечения из баз данных закономерностей, которые формулируются в виде лингвистических высказываний. Здесь введены специальные понятия нечеткой транзакции, поддержки и достоверности нечеткого ассоциативного правила.

Нечеткие когнитивные карты

Нечеткие когнитивные карты (fuzzy cognitive maps) были предложены Б. Коско в 1986 г. и используются для моделирования причинных взаимосвязей, выявленных между концептами некоторой области. В отличие от простых когнитивных карт, нечеткие когнитивные карты представляют собой нечеткий ориентированный граф, узлы которого являются нечеткими множествами. Направленные ребра графа не только отражают причинно-следственные связи между концептами, но и определяют степень влияния (вес) связываемых концептов. Активное использование нечетких когнитивных карт в качестве средства моделирования систем обусловлено возможностью наглядного представления анализируемой системы и легкостью интерпретации причинно-следственных связей между концептами. Основные проблемы связаны с процессом построения когнитивной карты, который не поддается формализации. Кроме того, необходимо доказать, что построенная когнитивная карта адекватна реальной моделируемой системе. Для решения данных проблем разработаны алгоритмы автоматического построения когнитивных карт на основе выборки данных.

Нечеткая кластеризация

Нечеткие методы кластеризации, в отличие от четких методов (например, нейронные сети Кохонена), позволяют одному и тому же объекту принадлежать одновременно нескольким кластерам, но с различной степенью. Нечеткая кластеризация во многих ситуациях более "естественна", чем четкая, например, для объектов, расположенных на границе кластеров. Наиболее распространены: алгоритм нечеткой самоорганизации c-means и его обобщение в виде алгоритма Густафсона-Кесселя.

Литература

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. – М.: Мир, 1976.
• Круглов В.В., Дли М.И. Интеллектуальные информационные системы: компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. – М.: Физматлит, 2002.
• Леоленков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. – СПб., 2003.
• Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. – М., 2004.
• Масалович А. Нечеткая логика в бизнесе и финансах. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
• Kosko B. Fuzzy systems as universal approximators // IEEE Transactions on Computers, vol. 43, No. 11, November 1994. – P. 1329-1333.
• Cordon O., Herrera F., A General study on genetic fuzzy systems // Genetic Algorithms in engineering and computer science, 1995. – P. 33-57.

К. Хирота (Институт государства и права)

Прошло более четверти века с тех пор, как Л. А. Заде из Калифорнийского университета предложил теорию нечетких множеств. Эта теория развивалась во многих направлениях, поэтому для восприятия всех ее идей потребуется довольно много времени. Однако чтобы применить ее в конкретной области, достаточно небольшого числа понятий. Ниже рассмотрены основные положения теории нечетких множеств с тем, чтобы ее быстро освоить в прикладной области. Прежде всего изучим теорию четких множеств и двузначную булеву логику. Затем на их основе перейдем к понятиям теории нечетких множеств и нечеткой логики. Кроме того, обратим внимание на нечеткие выводы, особенно важные с точки зрения применения этой теории, а также на нечеткие продукционные правила и нечеткие отношения.

2.1. ЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Английское слово fuzz, от которого образовано прилагательное fuzzy (нечеткий), означает «ворс» - специальный термин, определяющий свойство тканей. Когда мы смотрим на рисунок на ворсистой ткани, он кажется нам размытым, поэтому говоря «нечеткий», мы будем иметь в виду «неясный», «размытый». Нечетким множеством, например, мы назовем всех японских красавиц. Смысл этого определения нам понятен, но сказать, принадлежит ли этому множеству та или иная девушка однозначно, только с помощью слов «да» или «нет», нам трудно; таким образом, мы имеем дело с неопределенными, нестрогими свойствами объектов изучения.

В отличие от этого мир, свойства которого можно строго определить двумя словами, например «мужчина или женщина?», назовем четким миром. Следовательно, логику компьютеров, которые имеют дело с 0 и 1, будем называть

четкой логикой, а обычные множества - четкими множествами. Как расширение этих понятий можно рассматривать нечеткую логику и нечеткие множества. Для того чтобы подготовиться к пониманию этих понятий, прежде всего изучим теорию четких множеств.

К теории четких множеств в общем случае относятся аксиоматическая теория множеств и элементарная теория множеств. Первая - одна из фундаментальных теорий математики, она требует достаточно высокого уровня философского мышления. Однако здесь нам достаточно всего лишь расширить понятие множества, изучаемого еще в школе, до понятий элементарной теории множеств. Кроме того, для понимания теории нечетких множеств нам необходимо понятие характеристической функции.

Сначала объясним несколько основных терминов и обозначений. Прописными буквами (например, X) будем обозначать совокупность объектов, с которыми мы будем иметь дело, а строчными буквами (например, х) - отдельные структурные элементы. При этом введем обозначение

Фигурные скобки означают совокупность объектов. Саму совокупность (здесь X) назовем предметной областью, полным пространством или вспомогательным множеством. Последнее название особенно часто используется в области нечеткого управления. (Слово «вспомогательный» в математическом анализе и ряде других областей имеет несколько иной оттенок, поэтому обращаем на это внимание.) Отдельные структурные элементы назовем просто элементами или объектами. Тот факт, что х является элементом X, обозначим следующим образом:

В полном пространстве X определим множество (четкое множество). В качестве названий (меток) множеств будем использовать прописные буквы А, В, С. Например, пусть полное множество состоит из десяти цифр

тогда множество четных цифр A - это множество

При этом число структурных элементов назовем мощностью множества или кардинальным числом; введем для него обозначение . В указанных выше примерах

В случае назовем синглетоном. Множество с конечным назовем конечным множеством, все элементы в таком множестве можно записать так, как в формулах (2.3) и (2.4), но, например в случае натуральных или вещественных чисел, т. е. бесконечных множеств, этого сделать нельзя. При этом часто используют способ записи, при котором справа от вертикальной черты записывают все свойства множества. Например формулу (2.4) можно записать в виде

Кроме того, для об означения понятия в виде рисунка часто используют диаграммы Венна (рис. 2.1).

Помимо указанных способов для определения понятий четкого множества существует способ определения с помощью характеристической функции. Характеристическая функция определяющая множество А в полном пространстве X, представляет собой отображение, для которого X есть область определения, а (двузначное множество из 0 и 1) есть область значений:

При этом если элемент удовлетворяет свойствам А, и 0, если не удовлетворяет. Следовательно, если отложить X на горизонтальной, а на вертикальной оси, то получим графической представление, показанное на рис. 2.2.

В полном пространстве X можно рассматривать различные множества, например А с некоторыми свойствами и В с другими свойствами. Объединение всех Таких множеств называется степенным множеством и обозначается Например, пусть

тогда степенное множество есть

Рис. 2.1. Представление множества с помощью диаграммы Вейна.

Рис. 2.2. Определение множества с помощью характеристической функции.

Здесь 0 - специальное множество, в котором нет элементов, оно называется пустым множеством. Его характеристическая функция

Здесь V называется квантором всеобщности, его можно читать словом «всех». (Кроме него есть квантор существования 3 в смысле «существует...».) Эти кванторы часто используются в логике и искусственном интеллекте. В отличие от пустого множества характеристическая функция полного множества X имеет вид

Кроме того, для мощности множества в общем случае справедливо утверждение

Это можно легко вывести из формул (2.8) и (2.9).

Теперь изучим некоторые операции над множествами (рис. 2.3). Прежде всего, отношение вложения множеств: если элементы А обязательно являются элементами В, то А называется подмножеством В (или В - надмножеством А), что обозначается как ( справедливо также при , если , но , то А называется собственным подмножеством В). Если определить А с: В через характеристическую функцию, то получим следующее неравенство:

Для отношения вложения множеств можно доказать

Рис. 2.3. Вложение (а), дополнение (б), произведение (в) и сумма множеств

справедливость трех свойств:

1) рефлексивность

2) антисимметричность

3) транзитивность

Можно сказать, что образует частично упорядоченное множество, или (Для отношения вложени» множеств обычно для произвольных А, В не всегда справед ливо А с В или В а А, поэтому наше множество не является линейно упорядоченным или полностью упорядоченным множеством.)

Пояснение причин и обсуждение - на странице Википедия:К объединению/15 августа 2012 .
Обсуждение длится одну неделю (или дольше, если оно идёт медленно).
Дата начала обсуждения - 2012-08-15.
Если обсуждение не требуется (очевидный случай), используйте другие шаблоны.
Не удаляйте шаблон до подведения итога обсуждения.

Переход от принадлежности элементов заданному множеству - к непринадлежности их этому множеству происходит или может происходить постепенно, не резко.

Математический аппарат

Нечёткое множество характеризуется функцией принадлежности, отображающей некоторое множество (носитель нечёткого множества) в отрезок . Значение функции принадлежности показывает степень принадлежности соответствующего элемента носителя рассматриваемому нечёткому множеству. Это значение меняется от 0 (полная непринадлежность) до 1 (полная принадлежность).

История

Понятие «нечёткое множество» введено Л. А. Заде в 1965 г. . Исходный термин - fuzzy set. Другие варианты перевода на русский язык - расплывчатое, размытое, туманное, пушистое множество.

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей .

Применение

Теория нечётких множеств применяется в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределённости ключевых показателей. Ряд стиральных машин и фотоаппаратов сегодня оборудованы нечёткими контроллерами.

В социологии

В социологии классификация и типология может проводиться по выбранным критериям, или по эмпирически обнаруженным основаниям. Это позволяет выделить теоретические и эмпирические типологии.

В психологии

Литература

• Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control, 1965, vol.8, N 3, pp. 338-353.

• Батыршин И. З., Недосекин А. А., Стецко А. А., Тарасов В. Б., Язенин А. В., Ярушкина Н. Г. Теория и практика нечётких гибридных систем. Под ред. Н. Г. Ярушкиной. М.: Физматлит, 2007. ISBN 978-5-9221-0786-0

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. - 166c.

• Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. Учеб. пособие. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. - 224 c. ISBN 5-94052-027-8

• Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

• Нечёткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р. Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986.

• Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечёткие переменные . М.: Знание, 1980. - 64 с.

См. также

• Типологизация
• Нечёткие множества в финансовом менеджменте

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теория нечётких множеств" в других словарях:

- (англ. fuzzy logic) и теория нечётких множеств раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечёткой логики было впервые введено профессором Лютфи Заде в 1965 году. В его статье понятие множества… … Википедия

Эту страницу предлагается объединить с Теория нечётких множеств … Википедия

В ходе управления финансами очень часто возникает задача борьбы с неопределенностью, сопровождающей финансовые решения. Неопределенность эта двоякая: а) текущее состояние финансовой системы не может быть распознано с необходимой точностью; б)… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткая логика и теория нечётких множеств раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечеткой логики было впервые введено профессором Лотфи Заде в 1965 г. Содержание 1 Направления исследований… … Википедия

Математическая теория нечетких множеств, созданная в 60-е гг. для решения узкой утилитарной задачи распознавания образов, в настоящее время имеет приложения в самых различных областях научной и хозяйственной деятельности - от работ по созданию искусственного интеллекта в ЭВМ пятого поколения до управления сложными технологическими процессами.
В основе данной теории лежат понятия нечеткого множества и функции принадлежности, определение которых приводятся ниже.

Пусть Е - множество, счетное или нет, их: - элемент Е. Тогда нечеткое подмножество А множества Е определяется как множество упорядоченных пар {(х, ц~А(х))}, Ух є Е, где ц-А(х) - характеристическая функция принадлежности, принимающая свои значения во вполне упорядоченном множестве М, указывающая степень принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называется множеством принадлежностей.
Применение теории нечетких множеств в экономике проиллюстрируем на примере вычисления перспективного ассортимента оптового предприятия в одном товарном профиле при фиксированной торговой зоне. Под перспективным ассортиментом в данном случае понимается набор товаров, которые заведомо будут иметь спрос среди потребителей - в данном случае розничных торговых предприятий, входящих в район эффективной коммерческой деятельности оптовой организации. Нахождение перспективного ассортимента гарантирует оптовой организации формирование ассортиментного ядра, которое будет реализовано на рынке с минимальным риском, а также помогает отразить общие тенденции того потребительского рынка, на котором организация оптовой торговли осуществляет свою коммерческую деятельность.
Успешное решение задачи нахождения перспективного ассортимента позволяет принять решение о заключении сделки при анализе поступающего коммерческого предложения.
Дано:
X = \хг х2,..., хп} - множество товаров, имеющихся на складе оптового торгового предприятия или выдвигаемых в качестве коммерческих предложений.
У = {уг у2,..., ур} - множество признаков товаров.
Z = {zr z2,., zm} - множество рассматриваемых розничных торговых предприятий - потребителей оптовой организации.
Требуется определить перспективный ассортимент организации оптовой торговли, т.е. набор х; для удовлетворения предполагаемых запросов из Z.
Модель строится при следующих допущениях:

1. на рынке действуют поставщик и потребители - соответственно оптовая и розничные торговые организации;
2. коммерческие запросы от розничных торговых организаций zt, z2,..., zm рассматриваются и по возможности удовлетворяются независимо от времени их поступления.
3. сделки между оптовой и розничными торговыми организациями имеют различный порядок, который определяется весовой функцией розничных организаций с помощью экс
   пертной оценки по итогам предыдущей коммерческой деятельности;
4. товары хр х2,...,хп характеризуютсяр признаками;
5. степени принадлежности признаков уг у2,...,ур товарам варьируются между отдельными товарами хр х2,..., хп;
6. один товар предпочитается другому всякий раз, когда его признаки v. по степени важности более близки к оценке потребителя z. (розничного предприятия).

Пусть л х Y -gt; - функция принадлежности нечеткого бинарного отношения R, определяемая с помощью эксперта.
Отношение R представляется в матричной форме следующим образом:
.У, У2 " * * Ур ¦

1. %r(xi’ У і)^r(xpУ2) ^r(xi" Ур)

Х2 ?r(X2gt; У/) ?r(X2’ У2) " ‘ ^r(X2’ Ур)
*„1,іж(\’Уі) у2-gt; fAV .
В этой матрице элементы каждой строки выражают относительные степени принадлежности признаков определенным товарам. Чем выше значения, тем более важен признак.
Пусть fs:7xZ-gt; - функция принадлежности нечеткого бинарного отношения S. Для всех у є Y и всех zeZ ф5(у, z) равна степени совместимости розничного торгового предприятия z с признаком у. Чем выше значения функции, тем более данный признак совместим с конкретным предприятием розничной торговли.
В матричной форме это отношение имеет вид:
Значение матрицы S отражают относительные степени важности признаков Yt при принятии предприятием решения
о закупке партии какого-либо товара у рассматриваемого нами оптовика.

Z, ... Z
2 п
Из матриц R и S получаем матрицу Т:
элементы которой определяются функцией принадлежности
? ІR(X, У) -ф(У,Z,)
Рл/Хgt; zi) =¦
, для всех хе X, ye Y, zi Z.
Сумма 2, фв(х, у) равна степени нечеткого подмножества,
У
указывающей число важнейших признаков у, которое присуще товару д: с точки зрения предприятия розничной торговли. Далее строится матрица:
^A,(xl’zl) Л 1*А7(Х1- z2gt; - Iі Л /*/¦ zm-l) Л Мл (xl’zm)\
‘ * m-і т
I
\!lAt(xn‘Zl)^ltA7(xn-z2) - ,(xn-zm-l) Л ЦА (хп- zm)\
" 1 * т-1 т "
где конъюнкция Л означает операцию попарного минимума. Порог разделения / ассортимента ограничивается условием /lt;шіп шах шіп (и.(х, г.), и,(х, z.J).
i.j X ЯІ ‘ Aj 3
После того как порог I выбран, можно для любого z определить уровневое множество:
М\ = {х\ц,(х)gt; тіптахтіп(ц (х, г),ц (х, z))},
I 1 Л,j х I 1 Л] J
YxeMr
Пусть oj(z) - весовая функция, задающая для каждого розничного торгового предприятия его вес по итогам предыдущей коммерческой деятельности.

Ассортимент предприятия оптовой торговли описывается объединением уровневых множеств:
м = U 0)(z)Mr
І
Вычисление перспективного ассортимента помогает оптовому торговому предприятию определить:
как оптимизировать товарный ассортимент (какие товары обязательно следует иметь на складе при сохранении сложившейся структуры потребителей);
как изменить ассортиментную концепцию при заданном изменении зоны обслуживания, т.е. какие стратегические действия предпринять в случае выхода из числа обслуживаемых потребителей отдельных розничных организаций;
как оптимизировать зону обслуживания (в нашем случае это район эффективной коммерческой деятельности) при исключении из ассортимента тех товаров, признаки которых не удовлетворяют оптовую организацию, или включении тех товаров, признаки которых устраивают ее).
В качестве иллюстрации к данной задаче рассмотрим упрощенный числовой пример.
Пусть оптовая организация имеет на складе 6 потребительских товаров {х„ х2,..., х6} и осуществляет поставки трем потребителям - Zj (крупный универмаг), z2 (небольшой магазин) и z3 (палатка).
В качестве рассматриваемых признаков товаров возьмем следующие:
yt - «цена», у3-«внешний вид»
у2-«качество», у4-«сезонность»,
у5-«ступень жизненного цикла товара».
Пусть: X х Y -gt; и ф5: Y х Z -gt; [О, 1] задаются следующими матрицами:

1	0,8	0,5	1	0,2		1	0,5	о
0,8	0,7	1	0,1	0,7		1	0,5	0
0,5	0,5 0,3		1	0,7	gt;	1	0,3	1
0,5	0,3	0,9	0,1	0,2	5 =	0	1	0.5
0,3	0,4 0,1		0	0		1	0	0,5
0,5 0,5		1	1	0,5/		,		і

а значения весовой функции равны:
co(Zj) = 30, ш(^) = 20, co(z,) = 15.

Характеристики товаров, стоящие в матрице R, указывают, например, что товар х, - дорогой, высококачественный, внешне неброский, соответствует сезону, но несколько устарел технически (или, наоборот, только поступает на рынок и еще неизвестен покупателям).
Характеристики магазинов, стоящие в матрице 5, указывают, например, что второй потребитель - магазин z2 - стеснен в складских помещениях и поэтому предпочитает торговать товарами, соответствующими данному сезону, что следует из значения функции ф$(у4, zJ.
Вычисляем матрицу Т:

/0,714	0,586	0,314
0,97	0,348	0,41
0,667	0,53	0,234
0,95	0,34	0,525
1	0,475	0,125
\ 0,714	0,514	0,5

Заранее отметим для внимательного читателя, что уже на этом этапе можно предположить, что товар х6, как следует из последней строки матрицы Т, по всей видимости, будет закуплен всеми тремя потребителями.
Попарными сведениями получаем матрицу W:

(0,586	0,314	0,314
0,348	0,41	0,348
0,53	0,234	0,234
0,34	0,525	0,34
0,475	0,125	0,125
№,514	0,5	0,5

На этом этапе вычислений учитывается конкуренция между потребителями-магазинами zr z2 и z}.
Далее находятся максимальные элементы в каждом из столбцов матрицы W:
maxmin(nAi(x, zl)tjiAJx, z2))= 0,586; maxmm(nA](x, zl),nAJx, z3)) =0,525; maxminfnAJx, г2),цА](х, z})) =0,5.

{ X, х2, х3, х4, х}, х6,} ,
{Хг х3, ху х6),
{х4,х6,},
Таким образом, широкие возможности крупного универмага zt позволяют ему торговать всем спектром продукции, предлагаемой оптом, магазин z2 в силу недостатка складских помещений, избегает приобретать товары, реализация которых потребует длительного срока, а палатка z3 берет только броские и относительно недорогие товары. Большой спрос на товар х6 не случаен, это действительно товар с блестящими характеристиками: он имеет невысокую цену при среднем качестве, великолепно выглядит, соответствует сезону и достаточно известен розничному покупателю.
Воспользовавшись значениями весовой функции, получаем значения ассортимента:
М = {50хр 30х2, 50х3, 45х4, 50х}, 105х6}
Результатами этой задачи легко воспользоваться при принятии решения о заключении сделки (при анализе поступающего коммерческого предложения).
Для этого следует, определив функцию принадлежности цредлагаемого товара хп +, провести счет согласно приведенному алгоритму, и определить, в какой степени этот товар принадлежит множеству товаров перспективного ассортимента, а если принадлежит, то не вытеснит ли он каких-либо товаров из набора хг,..., хп, уже находящихся на складе предприятия оптовой торговли.
На основании этой оценки лицо, ответственное за заключение сделки, может принять положительное, выжидательное или отрицательное решение.

Здравствуйте, граждане и гражданочки. По велению левой пятки решил начать цикл научно-популярных статей, где буду объяснять азы искусственного интеллекта. Поэтому в дальнейшем буду примерять на себя роль приезжего лектора, рассказывающего о том, как космические корабли бороздят просторы Большого театра.

Выдавать на гора одну статью в день не смогу, поэтому не буду ничего обещать, дабы не стеснять себя данными обязательствами. Единственное: не стану мучить окружающих обилием математики, постараюсь изложить все как можно более доступно, но без профанации. Начну же цикл с аппарата нечеткой логики, где объясню, в чем же интеллектуальность оного.

Для начала краткий экскурс в теорию множеств. Множество – это совокупность нескольких объектов, обладающих определенным свойством. Например, множество всех людей, находящихся на нашей планете. Множество автомобилей марки «Ауди» с цветовыми координатами RGB (255, 165, 0). Множество всех самцов какаду, сидящих на ветке на одной лапе ровно в 15 часов 39 минут по Гринвичу. Суть четких множеств заключается в абсолютной их категоричности. То есть, для того, чтобы определить, принадлежит ли объект какому-то множеству, нужно ответить на вопрос, обладает ли он свойством, определяющим это множество. Да/Нет. Ни больше, ни меньше. Единица больше нуля? Да. Значит, она принадлежит к множеству положительных чисел.

Перейдем ближе к телу, к теории нечетких множеств. Создана она была американским ученым азербайджанского происхождения Лотфи Заде, для того, чтобы адаптировать теорию множеств к способу человеческого мышления. Ведь как человечишко мыслит? Если, будучи на пляже, спросить купающегося: «Скажи, мил человек, какую температуру имеет вода по шкале Фаренгейта, с точностью до десятых долей градуса?», - он посмотрит на вас, как на душевно больного. А если задать вопрос: «Как водичка сегодня?», он сообщит: «Холодная/горячая/теплая», или буркнет «мокрая», если сегодня не в духе. Весь цимес в том, что «холодная вода» - это достаточно размытая формулировка. Один будет в блаженстве нежиться там, откуда второй сбежит на берег греться через две минуты. Так уж устроен человек, субъективизм и отсутствие четких границ – это про нас.

Некоторые уже смогли сообразить, почему именно нечеткие множества. Крайне трудно определить, сколько людей обладает свойством «высокий». Для меня, двухметрового красавца, косой сажени в плечах, высокий – это как минимум не ниже уровня моего уха. А коротышка полутора метров будет смотреть на человека ростом 170 см задрав голову – для него высокий рост начинается гораздо раньше. Это что касается субъективизма.

Вторая сложность заключается в размытости границ. Возможно ли точно задать то количество сантиметров, которое отделит человека среднего роста от низкого? 170 с половиной? 172 и три четверти? Разделение очень и очень условно. Итак, мы вплотную подошли к отличию нечетких множеств от четких.

Барабанная дробь, мхатовская пауза… Итак, нечеткие множества отличаются от четких тем, что объекты, принадлежащие нечетким множествам, могут обладать определяющим их свойством в разной степени. Условились считать эту степень принадлежности лежащей в интервале от нуля до единицы, но если кому-то удобнее, то он может умножить на 100, и будут вам проценты.

Допустим, пьете вы обжигающий кофе, чашка дымится. С уверенностью 0,99 (99 процентов – первый и последний раз делаю работу за вас) можно утверждать, что кофе обладает свойством «горячий». Если же он (кофе, в смысле) имеет температуру 50 градусов по Цельсию, то степень обладания свойством «горячий» будет гораздо ниже, скажем, 0,76 (теперь считайте сами). В то же время, есть объекты, которые принадлежат множеству «горячий» с нулевой или единичной степенью. Например, полузамерзший кофе сможет назвать горячим лишь помешанный, либо не знающий русского языка, а кипящий – это горячий сто пудов. Примеров можно привести нескончаемое количество, благо, что практически любая человеческая категория, которая используется в повседневной жизни, является нечеткой. Полагаясь на ваше богатое воображение, оставляю задачу нахождения других примеров для самостоятельного решения.

Почему же создание подобной теории было так важно, почему на нее обратили столь пристальное внимание? Ответ прост: тут скрыто золотое дно. Колоссальная широта применения. Допустим, вы инженер, и перед вами стоит задача спроектировать микроволновку. До какой температуры человек будет разогревать еду? До 40,2°С? Хрен там. До горячей, что есть нечеткое множество. А задача микроволновки – придать хавчику такую температуру, которая с единичной степенью достоверности принадлежала бы к множеству «горячо».

Дальше начинается самое веселое, прогульщики уроков математики могут с воем разбегаться в стороны. А? Что? Я обещал обойтись без этого? Как говорил старина Арни в известном фильме – «Я солгал». Степень принадлежности как правило обозначается греческой буквой «мю» - μ. Чтобы не скучать, введем понятие лингвистической переменной – это такая переменная, которая может принимать значение в виде слов человеческого языка. То есть, лингвистическая переменная «рост» может принимать значения: «высокий», «средний», «низкий». Значения лингвистической переменной будем называть терм-множествами, обращаю внимание – они являются нечеткими. И, наконец, существует понятие универсального множества – обычное, четкое множество, содержащее все значения, которые может принимать обычная переменная. Обычная переменная «рост человека» может принимать значения от нуля до «сколько там рекорд Гиннеса, я не помню».

Задача функции принадлежности (ФП) – определить, с какой степенью обычная переменная принадлежит значению лингвистической переменной. Раз уж я начал педалировать тему роста, разовью: ФП определяет, с какой степенью человек ростом 184 см принадлежит терм-множеству «средний». Итак, подобьем бабки. У нас имеется лингвистическая переменная. У нас есть несколько ее значений, каждое из которых является нечетким множеством. Наконец, у нас есть универсальное множество – множество числовых значений обычной переменной. Перед нами стоит следующая цель: определить для каждого из нечетких множеств свою функцию принадлежности, т.е. для каждого из элементов универсального множества задать степень принадлежности соответствующему нечеткому множеству. Тогда мы сможем ткнуть на конкретное значение переменной и посмотреть, с какой степень оно принадлежит к какому-либо нечеткому множеству. Все, гроза прошла, можно утереть пот и ненадолго расслабиться. Дальше пойдут веселые картинки, после чего ненадолго продолжим развлекаться. На картинках я проиллюстрирую смысл функции принадлежности, покажу, каких видов бывают эти звери, с чем их едят, и объясню, как этих зверей строить. Вернемся к полюбившейся вам теме роста человека. Возьмем для примера множество «средний» ипостроим график функции принадлежности.

Теперь можно, вооружившись остро заточенным карандашом, выбрать любое значение «икс» и посмотреть, с какой степенью этот икс удовлетворяет условию среднего роста. То, что метр восемьдесят – это железно. Метр семьдесят два – со степенью 0,5. Рост метр пятьдесят средним ну никак не является, поэтому степень принадлежности равна нулю. И так далее. Отметим, что приведенная функция называется треугольной. В это поверить трудно, и тем не менее.

Но мы взяли готовую функцию, которую нам кто-то (кто-то!) любезно предоставил. Как же самим построить аналогичную функцию? Есть два способа: простой и с заморочками. По понятным причинам опишу лишь простой. Для начала, нужно собрать группу экспертов. Ну, то есть, тех бездельников, которые считают, что во всем разбираются и знают, как на самом деле устроен мир. Дать каждому эксперту по карандашу и блокноту. Потом перечислить значения переменной и попросить поставить «1» (палочку, крестик – опционально) напротив этого значения, если эксперт считает, что значение переменной принадлежит нечеткому множеству. Ноль – в противном случае. После чего для каждого значения переменной просуммировать нули и единицы и взять среднее - то бишь, разделить получившуюся сумму на количество бездельников. Получившееся значение будет лежать в интервале от нуля до единицы (оба значеия - включительно). Некоторые могли догадаться, что мы получили значение функции принадлежности для конкретного значения переменной. Получив величины ФП для всех значений переменной икс, можно строить график. Или не строить, если лень.