Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

«Точка симметрии» - Симметрия в архитектуре. Примеры симметрии плоских фигур. Две точки А и А1 называются симметричными относительно О, если О середина отрезка АА1. Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Точка C называется центром симметрии. Симметрия в науке и технике.

«Построение геометрических фигур» - Воспитательный аспект. Контроль и коррекция усвоения. Изучение теории, на которой основан метод. В стереометрии – не строгие построения. Стереометрические построения. Алгебраический метод. Метод преобразований (подобия, симметрии, параллельного переноса и т.п.). Например: прямая; биссектриса угла; серединный перпендикуляр.

«Фигура человека» - Форму и движения тела человека во многом определяет скелет. Ярмарка с театральным представлением. Как вы думаете, найдется ли работа для художника в цирке? Скелет играет роль каркаса в строении фигуры. Главное Тело(живот, грудь) Не обращали внимания Голова, лицо, руки. А. Матис. Пропорции. Древняя Греция.

«Симметрия относительно прямой» - Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией. Прямая а – ось симметрии. Симметрия относительно прямой. Булавин Павел, 9В класс. Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Центральная симметрия. Равнобедренная трапеция. Прямоугольник.

«Площади фигур геометрия» - Теорема Пифагора. Площади различных фигур. Решите ребус. Фигуры имеющие равные площади называются равновеликими. Единицы измерения площадей. Площадь треугольника. Прямоугольник, треугольник, параллелограмм. Квадратный сантиметр. Фигуры равной площади. Равные фигуры б). Квадратный миллиметр. в). чему будет равна площадь фигуры составленной из фигур А и Г.

«Предел функции в точке» - , То в таком случае. При стремлении. Предел функции в точке. Непрерывна в точке. Равен значению функции в. Но при вычислении предела функции при. Равен значению. Выражение. Стремлении. Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности точки. Составлено из. Решение. Непрерывна на промежутках. На промежутке.

СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

По словам известного немецкого математика Г. Вейля (1885-1955), "симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство".
Прекрасные образы симметрии демонстрируют произведения искусства: архитектуры, живописи, скульптуры и т. д.
Понятие симметрии фигур на плоскости рассматривалось в курсе планиметрии. В частности, определялись понятия центральной и осевой симметрии. Для пространственных фигур понятие симметрии определяется аналогичным образом.
Рассмотрим сначала центральную симметрию.
симметричными относительно точки O, называемой центром симметрии , если O является серединой отрезка AA". Точка O считается симметричной сама себе.
Преобразование пространства, при котором каждой точке A сопоставляется симметричная ей (относительно данной точки O) точка A" называется центральной симметрией . Точка O при этом называется центром симметрии .
Две фигуры Ф и Ф" называются центрально симметричными , если существует преобразование симметрии, переводящее одну из них в другую.
Фигура Ф называется центрально симметричной , если она центрально симметрична сама себе.
Например, параллелепипед центрально симметричен относительно точки пересечения его диагоналей. Шар и сфера центрально симметричны относительно своих центров.
Из правильных многогранников центрально симметричными являются куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр не является центрально симметричной фигурой.
Рассмотрим некоторые свойства центральной симметрии.
Свойство 1. Если O 1 , O 2 – центры симметрии фигуры Ф, то точка O 3 , симметричная O 1 относительно O 2 также является центром симметрии этой фигуры.
Доказательство. Пусть A – точка пространства, A 2 – точка, симметричная ей, относительно O 2 , A 1 – точка, симметричная A 2 относительно O 1 и A 3 – точка симметричная A 1 относительно O 2 (рис. 1).

Тогда треугольники O 2 O 1 A 1 и O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 и O 2 O 3 A равны. Следовательно, A и A 3 симметричны относительно O 3 . Таким образом, симметрия относительно O 3 является композицией симметрий относительно O 2 , O 1 и O 2 . Следовательно, при этой симметрии фигура Ф переходит сама в себя, т.е. O 3 является центром симметрии фигуры Ф.

Следствие. Любая фигура или не имеет центра симметрии, или имеет один центр симметрии, или имеет бесконечно много центров симметрии

Действительно, если O 1 , O 2 – центры симметрии фигуры Ф, то точка O 3 , симметричная O 1 относительно O 2 также является центром симметрии этой фигуры. Аналогично, точка O 4 симметричная O 2 относительно O 3 также является центром симметрии фигуры Ф и т. д. Таким образом, в этом случае фигура Ф имеет бесконечно много центров симметрии.

Рассмотрим теперь понятие осевой симметрии .
Точки A и A" пространства называются симметричными относительно прямой a , называемой осью симметрии , если прямая a проходит через середину отрезка AA" и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой a считается симметричной сама себе.
Преобразование пространства, при котором каждой точке A сопоставляется симметричная ей точка A" (относительно данной прямой a ), называется осевой симметрией . Прямая a при этом называется осью симметрии .
Две фигуры называются симметричными относительно прямой a , если преобразование симметрии относительно этой прямой переводит одну из них в другую.
Фигура Ф в пространстве называется симметричной относительно прямой a , если она симметрична сама себе.
Например, прямоугольный параллелепипед симметричен относительно прямой, проходящей через центры противоположных граней. Прямой круговой цилиндр симметричен относительно своей оси, шар и сфера симметричны относительно любых прямых, проходящих через их центры и т. д.
Куб имеет три оси симметрии, проходящих через центры противоположных граней и шесть осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Тетраэдр имеет три оси симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Октаэдр имеет три оси симметрии, проходящих через противоположные вершины и шесть осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Икосаэдр и додекаэдр имеют по пятнадцать осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Свойство 3. Если a 1 , a 2 – оси симметрии фигуры Ф, то прямая a 3 , симметричная a 1 относительно a 2 также является осью симметрии этой фигуры.

Доказательство аналогично доказательству Свойства 1.

Свойство 4. Если две пересекающиеся перпендикулярные прямые в пространстве являются осями симметрии данной фигуры Ф, то и прямая, проходящая через точку пересечения и перпендикулярная плоскости этих прямых также будет осью симметрии фигуры Ф.
Доказательство. Рассмотрим оси координат Ox , Oy , Oz . Симметрия относительно оси Ox x , y , z ) в точку фигуры Ф с координатами (x, –y, –z ). Аналогично, симметрия относительно оси Oy переводит точку фигуры Ф с координатами (x , –y , –z ) в точку фигуры Ф с координатами (–x, –y, z ) . Таким образом, композиция этих симметрий переводит точку фигуры Ф с координатами (x, y, z ) в точку фигуры Ф с координатами (–x, –y, z ). Следовательно, ось Oz является осью симметрии фигуры Ф.

Следствие. Любая фигура в пространстве не может иметь четное (ненулевое) число осей симметрии.
Действительно, зафиксируем какую-нибудь ось симметрии a . Если b – ось симметрии, не пересекает a или пересекает ее не под прямым углом, то для нее найдется еще одна ось симметрии b’ , симметричная относительно a . Если же ось симметрии b пересекает a под прямым углом, то для нее найдется еще одна ось симметрии b’ , проходящая через точку пересечения и перпендикулярная плоскости прямых a и b . Следовательно, кроме оси симметрии a возможно или четное или бесконечное число осей симметрии. Таким образом, общее четное (ненулевое) число осей симметрии невозможно.
Помимо осей симметрии, определенных выше, рассматриваются также оси симметрии n -го порядка , n 2 .
Прямая a называется осью симметрии n -го порядка фигуры Ф, если при повороте фигуры Ф вокруг прямой a на угол фигура Ф совмещается сама с собой.

Ясно, что ось симметрии 2-го порядка является просто осью симметрии.
Например, в правильной n -угольной пирамиде прямая, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии n -го порядка.
Выясним, какие оси симметрии имеют правильные многогранники.
Куб имеет три оси симметрии 4-го порядка, проходящих через центры противоположных граней, четыре оси симметрии 3-го порядка, проходящих через противоположные вершины и шесть осей симметрии 2-го порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Тетраэдр имеет три оси симметрии второго порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Икосаэдр имеет шесть осей симметрии 5-го порядка, проходящих через противоположные вершины; десять осей симметрии 3-го порядка, проходящих через центры противоположных граней и пятнадцать осей симметрии 2-го порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Додекаэдр имеет шесть осей симметрии 5-го порядка, проходящих через центры противоположных граней; десять осей симметрии 3-го порядка, проходящих через противоположные вершины и пятнадцать осей симметрии 2-го порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Рассмотрим понятие зеркальной симметрии .
Точки A и A" в пространстве называются симметричными относительно плоскости , или, по-другому, зеркально симметричными , если эта плоскость проходит через середину отрезка AA" и перпендикулярна к нему. Каждая точка плоскости считается симметричной сама себе.
Преобразование пространства, при котором каждой точке A сопоставляется симметричная ей точка A" (относительно данной плоскости ), называется зеркальной симметрией . Плоскость при этом называется плоскостью симметрии .
Две фигуры называются зеркально симметричными относительно плоскости , если преобразование симметрии относительно этой плоскости переводит одну из них в другую.
Фигура Ф в пространстве называется зеркально симметричной , если она зеркально симметрична сама себе.
Например, прямоугольный параллелепипед зеркально симметричен относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и параллельной одной из пар противоположных граней. Цилиндр зеркально-симметричен относительно любой плоскости, проходящей через его ось и т. д.
Среди правильных многогранников куб и октаэдр имеют по девять плоскостей симметрии. Тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии. Икосаэдр и додекаэдр имеют по пятнадцать плоскостей симметрии, проходящих через пары противоположных ребер.
Свойство 5. Композиция двух зеркальных симметрий относительно параллельных плоскостей является параллельным переносом на вектор, перпендикулярный этим плоскостям и равный по величине удвоенному расстоянию между этими плоскостями.
Следствие. Параллельный перенос можно представить как композицию двух зеркальных симметрий.
Свойство 6. Композиция двух зеркальных симметрий относительно плоскостей, пересекающихся по прямой является поворотом вокруг этой прямой на угол равный удвоенному двугранному углу между этими плоскостями. В частности, осевая симметрия является композицией двух зеркальных симметрий относительно перпендикулярных плоскостей.
Следствие. Поворот можно представить как композицию двух зеркальных симметрий.
Свойство 7. Центральная симметрия может быть представлена в виде композиции трех зеркальных симметрий.
Докажем это свойство с помощью координатного метода. Пусть точка A в пространстве имеет координаты (x, y, z ). Зеркальная симметрия относительно координатной плоскости меняет знак соответствующей координаты. Например, зеркальная симметрия относительно плоскости Oxy переводит точку с координатами (x, y, z ) в точку с координатами (x, y, –z ). Композиция трех зеркальных симметрий относительно координатных плоскостей переводит точку с координатами (x, y, z ) в точку с координатами (–x, –y, –z ), которая является центрально симметричной исходной точке A.
Движения, переводящие фигуру Ф саму в себя, образуют группу относительно композиции. Она называется группой симметрий фигуры Ф.
Найдем порядок группы симметрий куба.
Ясно, что любое движение, переводящее куб в себя, оставляет центр куба на месте, переводит центры граней в центры граней, середины ребер в середины ребер и вершины в вершины.
Таким образом, для задания движения куба достаточно определить, куда переходит центр грани, середина ребра этой грани и вершина ребра.
Рассмотрим разбиение куба на тетраэдры, вершинами каждого из которых являются центр куба, центр грани, середина ребра этой грани и вершина ребра. Таких тетраэдров 48. Поскольку движение полностью определяется тем, в какой из тетраэдров переводится данный тетраэдр, то порядок группы симметрий куба будет равен 48.
Аналогичным образом находятся порядки групп симметрий тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра.
Найдем группу симметрий единичной окружности S 1 . Эта группа обозначается O(2). Она является бесконечной топологической группой. Представим единичную окружность как группу комплексных чисел по модулю равных единице. Имеет место естественный эпиморфизм p:O(2) --> S 1 , сопоставляющий элементу u группы O(2) элемент u(1) в S 1 . Ядром этого отображения является группа Z 2 , порожденная симметрией единичной окружности относительно оси Ox. Следовательно, O(2)/Z 2S 1 . Более того, если не учитывать групповую структуру, то имеет место гомеоморфизм O(2) и прямого произведения S 1 и Z 2 .
Аналогично, группа симметрий двумерной сферы S 2 обозначается O(3), и для нее имеет место изоморфизм O(3)/O(2) S 2 .
Группы симметрий n-мерных сфер играют важную роль в современных разделах топологии: теории многообразий, теории расслоенных пространств и др.
Одним из самых ярких проявлений симметрии в природе являются кристаллы. Свойства кристаллов определяются особенностями их геометрического строения, в частности, симметричным расположением атомов в кристаллической решетке. Внешние формы кристаллов являются следствием их внутренней симметрии.
Первые, еще смутные предположения о том, что атомы в кристаллах расположены правильным, закономерным, симметричным строем, высказывались в трудах различных естествоиспытателей уже в те времена, когда само понятие атома было неясным и не было никаких экспериментальных доказательств атомного строения вещества. Симметричная внешняя форма кристаллов невольно наводила на мысль о том, что внутреннее строение кристаллов должно быть симметричным и закономерным. Законы симметрии внешней формы кристаллов были полностью установлены в середине XIX века, а к концу этого века были четко и точно выведены законы симметрии, которым подчинены атомные постройки в кристаллах.
Основоположником математической теории строения кристаллов является выдающийся российский математик и кристаллограф - Евграф Степанович Федоров (1853-1919). Математика, химия, геология, минералогия, петрография, горное дело - в каждую из этих областей внес Е.С.Федоров немалый вклад. В 1890 году он строго математически вывел все возможные геометрические законы сочетания элементов симметрии в кристаллических структурах, иначе говоря, симметрии расположения частиц внутри кристаллов. Оказалось, что число таких законов ограничено. Федоров показал, что имеется 230 пространственных групп симметрии, которые впоследствии, в честь ученого, были названы федоровскими. Это был исполинский труд, предпринятый за 10 лет до открытия рентгеновских лучей, за 27 лет до того, как с их помощью доказали существование самой кристаллической решетки. Существование 230 федоровских групп является одним из важнейших геометрических законов современной структурной кристаллографии. "Гигантский научный подвиг Е.С. Федорова, сумевшего подвести под единую геометрическую схему весь природный "хаос" бесчисленных кристаллообразований, и сейчас вызывает восхищение. Это открытие сродни открытию периодической таблицы Д.И. Менделеева."Царство кристаллов" является незыблемым памятником и конечной вершиной классической федоровской кристаллографии", - сказал академик А.В. Шубников.

Литература
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть II. Стереометрия. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958.
2. Вейль Г. Симметрия. – М.: Наука, 1968.
3. Вигнер Е. Этюды о симметрии. – М.: Мир, 1971.
4. Гарднер М. Этот правый, левый мир. – М.: Мир, 1967.
5. Гильде В. Зеркальный мир. – М.: Мир, 1982.
6. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. – М.: Наука, 1978.
7. Парамонова И.М. Симметрия в математике. – М.: МЦНМО, 2000.
8. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. – М.-Л.: Гос изд. технико-теоретич. литературы, 1949.
9. Сонин А.С. Постижение совершенства (симметрия, асимметрия, диссимметрия, антисимметрия). – М.: Знание, 1987.
10. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.
11. Узоры симметрии. – М.: Мир, 1980.
12. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. – 2-е изд. – Л.; 1985.
13. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. – М.: Наука, 1972.

Симметрия ассоциируется с гармонией и порядком. И не зря. Потому что на вопрос, что такое симметрия, есть ответ в виде дословного перевода с древнегреческого. И получается, что она означает соразмерность и неизменность. А что может быть упорядоченней, чем строгое определение местоположения? И что можно назвать более гармоничным, чем то, что строго соответствует размерам?

Что означает симметрия в разных науках?

Биология. В ней важной составляющей симметрии является то, что животные и растения имеют закономерно расположенные части. Причем в этой науке не существует строгой симметрии. Всегда наблюдается некоторая асимметрия. Она допускает то, что части целого не совпадают с абсолютной точностью.

Химия. Молекулы вещества имеют определенную закономерность в расположении. Именно их симметрией объясняются многие свойства материалов в кристаллографии и других разделах химии.

Физика. Система тел и изменения в ней описываются с помощью уравнений. В них оказываются симметричные составляющие, что позволяет упростить все решение. Это выполняется благодаря поиску сохраняющихся величин.

Математика. Именно в ней в основном и дается разъяснение, что такое симметрия. Причем большее значение ей уделяется в геометрии. Здесь симметрия — это способность к отображению у фигур и тел. В узком смысле она сводится просто к зеркальному отображению.

Как определяют симметрию разные словари?

В какой бы из них мы ни заглянули, везде встретится слово «соразмерность». У Даля можно увидеть еще и такое толкование, как равномерие и равнообразие. Другими словами, симметричное - значит одинаковое. Здесь же говорится о том, что она скучна, интереснее смотрится то, в чем ее нет.

На вопрос, что такое симметрия, словарь Ожегова уже говорит об одинаковости в положении частей относительно точки, прямой или плоскости.

В словаре Ушакова упоминается еще и пропорциональность, а также полное соответствие двух частей целого друг другу.

Когда говорят об асимметрии?

Приставка «а» отрицает смысл основного существительного. Поэтому асимметрия означает то, что расположение элементов не поддается определенной закономерности. В ней отсутствует всякая неизменность.

Этот термин используется в ситуациях, когда две половины предмета не являются полностью совпадающими. Чаще всего они совсем не похожи.

В живой природе асимметрия играет важную роль. Причем она может быть как полезной, так и вредной. К примеру, сердце помещается в левую половину груди. За счет этого левое легкое существенно меньшего размера. Но это необходимо.

О центральной и осевой симметрии

В математике выделяют такие ее виды:

• центральная, то есть выполненная относительно одной точки;
• осевая, которая наблюдается около прямой;
• зеркальная, она основывается на отражениях;
• симметрия переноса.

Что такое ось и центр симметрии? Это точка или прямая, относительно которой любой точке тела найдется другая. Причем такая, чтобы расстояние от исходной до получившейся делилось пополам осью или центром симметрии. Во время движения этих точек они описывают одинаковые траектории.

Понять, что такое симметрия относительно оси, проще всего на примере. Тетрадный лист нужно сложить пополам. Линия сгиба и будет осью симметрии. Если провести к ней перпендикулярную прямую, то все точки на ней будут иметь лежащие на таком же расстоянии по другую сторону оси точки.

В ситуациях, когда необходимо найти центр симметрии, нужно поступать следующим образом. Если фигур две, то найти у них одинаковые точки и соединить их отрезком. Потом разделить пополам. Когда фигура одна, то помочь может знание ее свойств. Часто этот центр совпадает с точкой пересечения диагоналей или высот.

Какие фигуры являются симметричными?

Геометрические фигуры могут обладать осевой или центральной симметрией. Но это не обязательное условие, существует множество объектов, которые не обладают ею вовсе. К примеру, параллелограмм обладает центральной, но у него нет осевой. А неравнобедренные трапеции и треугольники не имеют симметрии совсем.

Если рассматривается центральная симметрия, фигур, обладающих ею, оказывается довольно много. Это отрезок и круг, параллелограмм и все правильные многоугольники с числом сторон, которое делится на два.

Центром симметрии отрезка (также круга) является его центр, а у параллелограмма он совпадает с пересечением диагоналей. В то время как у правильных многоугольников эта точка тоже совпадает с центром фигуры.

Если в фигуре можно провести прямую, вдоль которой ее можно сложить, и две половинки совпадут, то она (прямая) будет являться осью симметрии. Интересно то, сколько осей симметрии имеют разные фигуры.

К примеру, острый или тупой угол имеет только одну ось, которой является его биссектриса.

Если нужно найти ось в равнобедренном треугольнике, то нужно провести высоту к его основанию. Линия и будет осью симметрии. И всего одной. А в равностороннем их будет сразу три. К тому же, треугольник обладает еще и центральной симметрией относительно точки пересечения высот.

У круга может быть бесконечное число осей симметрии. Любая прямая, которая проходит через его центр, может исполнить эту роль.

Прямоугольник и ромб обладают двумя осями симметрии. У первого они проходят через середины сторон, а у второго совпадают с диагоналями.

Квадрат же объединяет предыдущие две фигуры и имеет сразу 4 оси симметрии. Они у него такие же, как у ромба и прямоугольника.

Учитель математики Кочкина Л.К.

Тема ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИИ

Цель задачи урока :

Научить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией и центральной симметрией,формирование пространственных представлений учащихся. Развитие умения наблюдать и рассуждать; развитие интереса к предмету через использование информационных технологий. Развитие математической компетентности учащихся. Воспитание человека, умеющего ценить прекрасное.

Ожидаемый результат Ученики смогут строить симметричные фигуры относительно центра и прямой

Оборудование урока :

Использование информационных технологий (презентация).

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Показ презентации: «Симметричный мир» (д/з учащихся)

III. работа по теме урока (работа в группах)

Ученики самостоятельно выполняют задания. По завершению, обмениваются информацией.

1 вариант

п.47

осевая симметрия

2 вариант

п.47

центральная симметрия

Да Нет

Да Нет

Рассмотрим правила построения симметричных фигур .

1 .Центральная симметрия – это симметрия относительно точки.

Точки А и В симметричны относительно некоторой точки О, если точка О является серединой отрезка АВ.

Алгоритм построения центрально-симметричной фигуры

Построим треугольник А 1 В 1 С 1 , симметричный треугольнику АВС, относительно центра (точки) О.

Для этого:

Соединим точки А,В,С с центром О и продолжим эти отрезки;

2. Измерим отрезки АО, ВО, СО и отложим с другой стороны от точки О, равные им отрезки (АО=А 1 О 1 , ВО=В 1 О 1 , СО=С 1 О 1);

3.Соединим получившиеся точки отрезками А 1 В 1 , А 1 С 1 , В 1 С 1 .

4. Получили ∆А 1 В 1 С 1 симметричный ∆АВС.

Точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура называется центрально-симметричной.

Задание №1 На рисунке изображена часть фигуры, центром симметрии которой является точка М. Объясните ее построение

Задание № 2 Проверьте правильность построения фигуры из №1 у соседа по парте. Постройте в его тетради четырехугольник и отметьте точку О, не принадлежащую этому четырехугольнику. Возьмите свою тетрадь обратно и постройте четырехугольник, симметричный данному относительно точки О.

Проверьте правильность выполненного задания.

2. Осевая симметрия – это симметрия относительно проведенной оси (прямой).

Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой а, если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии.

Осью симметрии называется прямая при перегибании по которой «половинки» совпадут, а фигуру называют симметричной относительно некоторой оси.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой

Построим треугольник А 1 В 1 С 1 , симметричный треугольнику АВС относительно прямой а.

Для этого:

1. Проведем из вершин треугольника АВС прямые, перпендикулярные прямой а и продолжим их дальше.

2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.

3. Соединим получившиеся точки отрезками А 1 В 1 , В 1 С 1 , В 1 С 1 .

4. Получили ∆ А 1 В 1 С 1 симметричный ∆АВС.

Задания по учебнику № 248-252,№261

выполнить построение фигуры, симметричной относительно прямой а (на доске и в тетрадях).

VI. Подведение итогов урока .

Рефлексия С какими видами симметрии вы познакомились на уроке?

Домашнее задание:

Определения повторить. Творческая работа: Исследовав русский алфавит (для 1 варианта) и латинский алфавит (для 2 варианта), выбрать те буквы, которые обладают симметрией. Оформить результаты исследований в формате А4. Те, кого заинтересовала данная тема, могут принять участие в творческом проекте «Симметрия в моей любимой школе»

Задание №4 Заполните таблицу:

Отрезок

Прямая

Луч

Квадрат

Один центр симметрии

Бесконечно много центров симметрии

Одна ось симметрии

Две оси симметрии

Четыре оси симметрии

Бесконечно много осей симметрии

1 вариант

п.47

осевая симметрия

2 вариант

п.47

центральная симметрия

Осевая симметрия – это симметрия относительно____________

Центральная симметрия – это симметрия относительно________________

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если ____________

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если_____________

Прямая а называется_______________

Точка О называется_________________

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры, симметричная ей точка принадлежит_________

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры, симметричная ей точка принадлежит________

Равны ли симметричные относительно прямой фигуры?

Да Нет

Равны ли симметричные относительно точки фигуры?

Жизнь людей наполнена симметрией. Это удобно, красиво, не нужно выдумывать новых стандартов. Но что она есть на самом деле и так ли красива в природе, как принято считать?

Симметрия

С древних времен люди стремятся упорядочить мир вокруг себя. Поэтому что-то считается красивым, а что-то не очень. С эстетической точки зрения как привлекательные рассматриваются золотое и серебряное сечения, а также, разумеется, симметрия. Этот термин имеет греческое происхождение и дословно означает "соразмерность". Разумеется, речь идет не только о совпадении по этому признаку, но также и по некоторым другим. В общем смысле симметрия - это такое свойство объекта, когда в результате тех или иных образований результат равен исходным данным. Это встречается как в живой, так и в неживой природе, а также в предметах, сделанных человеком.

Прежде всего термин "симметрия" употребляется в геометрии, но находит применение во многих научных областях, причем его значение остается в общем и целом неизменным. Это явление достаточно часто встречается и считается интересным, поскольку различается несколько его видов, а также элементов. Использование симметрии также интересно, ведь она встречается не только в природе, но и в орнаментах на ткани, бордюрах зданий и многих других рукотворных предметах. Стоит рассмотреть это явление поподробнее, поскольку это крайне увлекательно.

Употребление термина в других научных областях

В дальнейшем симметрия будет рассматриваться с точки зрения геометрии, однако стоит упомянуть, что данное слово используется не только здесь. Биология, вирусология, химия, физика, кристаллография - все это неполный список областей, в которых данное явление изучается с различных сторон и в разных условиях. От того, к какой науке относится этот термин, зависит, например, классификация. Так, разделение на типы серьезно варьируется, хотя некоторые основные, пожалуй, остаются неизменными везде.

Классификация

Различают несколько основных типов симметрии, из которых наиболее часто встречаются три:

Кроме того, в геометрии различают также следующие типы, они встречаются значительно реже, но не менее любопытны:

• скользящая;
• вращательная;
• точечная;
• поступательная;
• винтовая;
• фрактальная;
• и т. д.

В биологии все виды называются несколько иначе, хотя по сути могут быть такими же. Подразделение на те или иные группы происходит на основании наличия или отсутствия, а также количества некоторых элементов, таких как центры, плоскости и оси симметрии. Их следует рассмотреть отдельно и более подробно.

Базовые элементы

В явлении выделяют некоторые черты, одна из которых обязательно присутствует. Так называемые базовые элементы включают в себя плоскости, центры и оси симметрии. Именно в соответствии с их наличием, отсутствием и количеством определяется тип.

Центром симметрии называют точку внутри фигуры или кристалла, в которой сходятся линии, соединяющие попарно все параллельные друг другу стороны. Разумеется, он существует не всегда. Если есть стороны, к которым нет параллельной пары, то такую точку найти невозможно, поскольку ее нет. В соответствии с определением, очевидно, что центр симметрии - это то, через что фигура может быть отражена сама на себя. Примером может служить, например, окружность и точка в ее середине. Этот элемент обычно обозначается как C.

Плоскость симметрии, разумеется, воображаема, но именно она делит фигуру на две равные друг другу части. Она может проходить через одну или несколько сторон, быть параллельной ей, а может делить их. Для одной и той же фигуры может существовать сразу несколько плоскостей. Эти элементы обычно обозначаются как P.

Но, пожалуй, наиболее часто встречается то, что называют "оси симметрии". Это нередкое явление можно увидеть как в геометрии, так и в природе. И оно достойно отдельного рассмотрения.

Оси

Часто элементом, относительно которого фигуру можно назвать симметричной,

выступает прямая или отрезок. В любом случае речь идет не о точке и не о плоскости. Тогда рассматриваются фигур. Их может быть очень много, и расположены они могут быть как угодно: делить стороны или быть параллельными им, а также пересекать углы или не делать этого. Оси симметрии обычно обозначаются как L.

Примерами могут служить равнобедренные и В первом случае будет вертикальная ось симметрии, по обе стороны от которой равные грани, а во втором линии будут пересекать каждый угол и совпадать со всеми биссектрисами, медианами и высотами. Обычные же треугольники ею не обладают.

Кстати, совокупность всех вышеназванных элементов в кристаллографии и стереометрии называется степенью симметрии. Этот показатель зависит от количества осей, плоскостей и центров.

Примеры в геометрии

Условно можно разделить все множество объектов изучения математиков на фигуры, имеющие ось симметрии, и такие, у которых ее нет. В первую категорию автоматически попадают все окружности, овалы, а также некоторые частные случаи, остальные же попадают во вторую группу.

Как и в случае, когда говорилось про ось симметрии треугольника, данный элемент для четырехугольника существует не всегда. Для квадрата, прямоугольника, ромба или параллелограмма он есть, а для неправильной фигуры, соответственно, нет. Для окружности оси симметрии - это множество прямых, которые проходят через ее центр.

Кроме того, интересно рассмотреть и объемные фигуры с этой точки зрения. Хотя бы одной осью симметрии помимо всех правильных многоугольников и шара будут обладать некоторые конусы, а также пирамиды, параллелограммы и некоторые другие. Каждый случай необходимо рассматривать отдельно.

Примеры в природе

В жизни называется билатеральной, она встречается наиболее
часто. Любой человек и очень многие животные тому пример. Осевая же называется радиальной и встречается гораздо реже, как правило, в растительном мире. И все-таки они есть. Например, стоит подумать, сколько осей симметрии имеет звезда, и имеет ли она их вообще? Разумеется, речь идет о морских обитателях, а не о предмете изучения астрономов. И правильным ответом будет такой: это зависит от количества лучей звезды, например пять, если она пятиконечная.

Кроме того, радиальная симметрия наблюдается у многих цветков: ромашки, васильки, подсолнухи и т. д. Примеров огромное количество, они буквально везде вокруг.

Аритмия

Этот термин, прежде всего, напоминает большинству о медицине и кардиологии, однако он изначально имеет несколько другое значение. В данном случае синонимом будет "асимметрия", то есть отсутствие или нарушение регулярности в том или ином виде. Ее можно встретить как случайность, а иногда она может стать прекрасным приемом, например, в одежде или архитектуре. Ведь симметричных зданий очень много, но знаменитая чуть наклонена, и хоть она не одна такая, но это самый известный пример. Известно, что так получилось случайно, но в этом есть своя прелесть.

Кроме того, очевидно, что лица и тела людей и животных тоже не полностью симметричны. Проводились даже исследования, согласно результатам которых "правильные" лица расценивались как неживые или просто непривлекательные. Все-таки восприятие симметрии и это явление само по себе удивительны и пока не до конца изучены, а потому крайне интересны.