КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Планирование и прогнозирование

в условиях рынка»

на тему: Доверительные интервалы прогноза

Оценка адекватности и точности моделей

Глава 1. Теоретическаячасть

Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

1.1 Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2. погрешностью оценивания параметров кривых;

3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

где n- длина временного ряда;

L -период упреждения;

y n + L -точечный прогноз на момент n+L;

t a - значение t-статистики Стьюдента;

S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a 1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:

(1.2.),

где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t 1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;

t 1 = n + L ;

t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;

Порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда,

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

(1.3.),

Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

(1.4.),

Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:

(1.5.),

(1.6.),

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

(1.7.),

где y t - фактические значения уровней ряда,

Расчетные значения уровней ряда,

n - длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения

Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n ) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .

Таблица 1.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

Линейный тренд	Параболический тренд
Длина ряда (п)	Период упреждения (L)	длина ряда (п)	период упреждения (L)
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

Глава 2. Практическая часть

Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.

Таблица 1.2.

Курс акций фирмы IBM

t	y t	t	y t	t	y t
1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а =0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.

3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка

,

где - период упреждения.

На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:

На 1 день вперед (=1);

На 2 дня вперед (=2).

Решение задания 1.5

1. Определим

Найдем значения экспоненциальной средней при а =0,1.

. а =0,1 – по условию;

; S 1 = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;

; S 2 = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;

; S 3 = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 и т.д.

а =0,5 – по условию.

; S 1 = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;

; S 2 = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3.

Экспоненциальные средние

t	Экспоненциальная средняя		t	Экспоненциальная средняя
	а =0,1	а =0,5		а =0,1	а =0,5
1	506,4	508	16	505,7	513,3
2	505,5	502,5	17	506,1	511,7
3	505,3	503,2	18	506,1	508,8
4	505,8	506,6	19	507,0	511,9
5	506,1	507,8	20	508,5	517
6	505,8	505,4	21	509,9	520
7	505,2	502,7	22	511,6	523,5
8	504,7	501,4	23	512,8	523,2
9	504,2	500,7	24	514,3	525,6
10	503,4	497,8	25	515,8	527,3
11	502,4	495,9	26	518,0	532,7
12	502,0	497,5	27	520,1	525,8
13	502,0	499,7	28	522,2	538,4
14	502,7	504,4	29	524,3	540,7
15	505,0	514,7	30	525,9	540,9

Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А – фактические данные; В – экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С – экспоненциальная средняя при альфа = 0,5

При а =0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов и значения - времени упреждения.

Прогноз на 1 день вперед (= 1):

Прогноз на 2 дня вперед (= 2):

Список используемой литературы

1. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М.: МЭСИ, 2003. – 52с.

2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Лукашин Ю.П. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. – М.: МЭСИ, 1997.

Идея экономического прогнозирования базируется на предположении, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится ив прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое - ретроспективной.

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:

• а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;
• б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;
• в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы.

Точечный прогноз для временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t= п + 1, п + 2,..., п + к, где к - период упреждения.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции, имеет малую вероятность. Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами:

• 1) выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты;
• 2) прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой; поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту;
• 3) тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели (т.е. степени ее близости к фактическим данным), числа наблюдений, горизонта прогнозирования, выбранного пользователем уровня вероятности и других факторов.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет вид

где о е - стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от линии тренда); п-р - число степеней свободы (для линейной модели у = a Q + a { t количество параметров р = 2).

Коэффициент / является табличным значением ^-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений. (Примечание. Табличное значение t можно получить с помощью функции Excel стьюдраспобр.)

Для других моделей величина Щк) рассчитывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид. Как видно из формулы (3.5.21), величина U(k) зависит прямо пропорционально от точности модели коэффициента доверительной вероятности / , степени углубления в будущее на к шагов вперед, т.е. на момент t=п + к, и обратно пропорциональна объему наблюдений.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границами.

После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.

Пример 3.5.4. Финансовый директор АО «Веста» рассматривает целесообразность ежемесячного финансирования инвестиционного проекта со следующими объемами нетто-платежей, тыс. руб.:

• 1. Определить линейную модель зависимости объемов платежей от сроков (времени).
• 2. Оценить качество (т.е. адекватность и точность) построенной модели на основе исследования:
  • а) случайности остаточной компоненты по критерию «пиков»;
  • б) независимости уровней ряда остатков по ^w-критерию (в качестве критических значений использовать уровни d x = 1,08 и d 2 = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции, критический уровень которого г(1) = 0,36;
  • в) нормальности распределения остаточной компоненты по /^-критерию с критическими уровнями 2,7-3,7;
  • г) средней по модулю относительной ошибки.
• 3. Определить размеры платежей на три последующих месяца (построить точечный и интервальный прогнозы на три шага вперед (при уровне значимости 0,1), отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования).

Оценить целесообразность финансирования этого проекта, если в следующем квартале на эти цели фирма может выделить только 120 тыс. руб.

• 1. Построение модели
• 1) Оценка параметров модели с помощью надстройки Excel Анализ данных. Построим линейную модель регрессии Y от /. Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:
  • ? Выберите команду Сервис => Анализ данных.
  • ? В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем нажмите кнопку ок.
  • ? В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал У введите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал X введите адрес диапазона, который содержит значения независимой переменной t. Если выделены и заголовки столбцов, установите флажок Метки в первой строке.
  • ? Выберите параметры вывода (в данном примере - Новая рабочая книга).
  • ? В поле График подбора поставьте флажок.
  • ? В поле Остатки поставьте необходимые флажки и нажмите кнопку ОК.

Результат регрессионного анализа будет получен в виде, приведенном на рис. 3.5.11 и 3.5.12.

Рис. 3.5.11.

Второй столбец на рис. 3.5.11 содержит коэффициенты уравнения регрессии а 0 , a v

Кривая роста зависимости объемов платежей от сроков (времени) имеет вид

2) Оценка параметров модели «вручную». В табл. 3.5.8 приведены промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (3.5.16). В результате расчетов получаем те же значения:

Рис. 3.5.12.

Таблица 3.5.8

	y t				(t-T)(y,-y)	у, =a 0 + a x t

Иногда для проверки расчетов полезно проверить введенные формулы. Для этого следует выбрать команду Сервис => Параметры и поставить флажок в окне формулы (рис. 3.5.13).

Рис. 3.5.13.

После этого на листе Excel расчетные значения будут заменены соответствующими формулами и функциями (табл. 3.5.9).

• 2. Оценка качества модели
• 1) Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений (табл. 3.5.10).

При проверке независимости (отсутствияавтокорреляции) определяется отсутствие в ряде остатков систематической составляющей, например, с помощью ^w-критерия Дарбина - Уотсона по формуле (3.4.8):

						0t-T)(y t -y )	9t= а о + a x t
							=$С$18 + $С$16*А2
			=(АЗ - $А$14)		=(ВЗ - $В$14)		=$С$18 + $С$16*АЗ
							=$С$18 + $С$16*А4
							=$С$18 + $С$16*А5
							=$С$18 + $С$16*А6
							=$С$18 + $С$16*А7
							=$С$18 + $С$16*А8
							=$С$18 + $С$16*А9
			=(А10 - $А$14)		=(В10 - $В$14)		=$С$18 + $С$16*А10
							=$С$18 + $С$16*А11
			=(А12 - $А$14)		=(В12 - $В$14)		=$С$18 + $С$16*А12
							=$С$18 + $С$16*А13
					СРЗНАЧ(Е2:Е13)

Номер наблюдения		Точки поворота	е]	( е Г е,-) 2

Так как dw" = 1,88 попало в интервал от d 2 до 2, то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости (см. табл. 3.4.1). Это означает, что в ряде динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек [см. формулу (3.5.18)]. Количество поворотных точекр при п = 12 равно 5 (рис. 3.5.14):

Неравенство выполняется (5 > 4). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью критерия:

где максимальный уровень ряда остатков е тах = 4,962, минимальный уровень ряда остатков e min = -5,283 (см. табл. 3.5.10), а среднеквадратическое отклонение

Рис. 3.5.14.

Получаем

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков. В нашем случае ё = 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Данные анализа ряда остатков приведены в табл. 3.5.11.

2) Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е оти (табл. 3.5.12).

Получаем

Вывод: - хороший уровень точности модели.

Проверяемое свойство	Используемая статистика		Граница		Вывод
	Наименова	Значение		верх
Независимость	^-критерий Дарбина - Уотсона	dw = 2,12 dw" = 4-2,12 = = 1,88			Адекватна
Случайность	Критерий (поворотных				Адекватна
Нормальность	/^-критерий				Адекватна
Среднее е,= 0	/-статистика Стьюдента				Адекватна
Вывод: модель статистически адекватна

Таблица 3.5.12

Номер наблю дения				Номер наблю дения

3. Построение точечного и интервального прогнозов на три шага вперед

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n + к:

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уровне значимости а = 0,1 доверительная вероятность равна 90%, а критерий Стьюдента при v = п - 2 = 10 равен 1,812. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле (3.5.21):

где (можно взять из протокола регрессионного анализа), / = 1,812 (табличное значение можно получить в Excel с помощью функции стьюдраспобр), Т = 6,5,

(находим из табл. 3.5.8);

Таблица 3.5.13

		Прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
	U( 1) = 6,80
	Щ2) = 7,04

Ответ. Модель имеет вид Y(t) = 38,23 + 1,81/. Размеры платежей составят 61,77; 63,58; 65,40 тыс. руб. Следовательно, денежных средств в объеме 120 тыс. руб. на финансирование этого инвеста-

Рис. 3.5.15.

ционного проекта на три последующих месяца будет недостаточно, поэтому нужно либо изыскать дополнительные средства, либо отказаться от этого проекта.

Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. в предсказании будущего на основе данных прошлого.

Экстраполяция базируется на следующих допущениях:

§ развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано плавной траекторией - трендом;

§ общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.

Таким образом, экстраполяция дает описание некоторого общего будущего развития объекта прогнозирования. Причем если развитие в прошлом носило перманентно скачкообразный характер, то при достаточно продолжительном периоде наблюдений скачки оказываются «зафиксированными» в самом тренде, и последний опять-таки можно применить в прогнозировании.

Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (линейной) для экспорта за период 2001-2007 гг:

Напомним, что у текущей переменной 7 уровней ряда, обозначенных натуральными числами. Соответственно прогноз динамики экспорта в 2008 (t=8) составит:

(млрд. долл)

Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (линейной) для импорта за период 2001-2007 гг:

Напомним, что у текущей переменной 7 уровней ряда, обозначенных натуральными числами. Соответственно прогноз динамики импорта в 2008 (t=8) составит:

(млрд. долл)

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза, что может быть признано удовлетворительным только при наличии функциональной зависимости. Однако для экономических явлений характерна корреляционная зависимость и переменные, как правило, являются непрерывными. Следовательно, указание точечных значений прогноза, строго говоря, лишено содержания. Отсюда следует, что прогноз должен быть дан в виде интервала значений, т.е. необходимо определение доверительного интервала прогноза.

Доверительные интервалы прогноза

При составлении прогноза погрешность имеет следующие источники:

§ выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной, а тем более лучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;

§ оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;

§ тренд характеризует средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом.

Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.

Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно измениться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источниками, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный прогноз преобразуется в интервальный.

Во всяком случае, смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:

где - средняя квадратическая ошибка тренда;

Расчетное значение y t ;

Значение t-статистики Стьюдента.

В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения S y можно определить, воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа. Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares значение соответствует подкоренному выражению в формуле для S y , то есть остаточной дисперсии. Остается только извлечь из него квадратный корень.

Для экспорта (см. таблицу 77), для импорта (см. таблицу 80).

Значит, для экспорта S y = 18,11,для импорта S y = 25,45.

Значение коэффициента доверия t находим по таблице Стьюдента с учетом доверительной вероятности 95%. При использовании линейной и степенной функций число степеней свободы равно 4, соответственно значение критерия равно 2,776.

Таким образом, доверительный интервал прогноза для экспорта на 2008 год определяется как:

Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: количество экспорта Японии в 2008 году с вероятностью 95% будет составлять от 704,542 млрд. долл. до 805,089 млрд. долл.

Доверительный интервал прогноза для импорта на 2008 год определяется как:

Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: количество импорта Японии в 2008 году с вероятностью 95% будет составлять от 596,072 млрд. долл. до 737,371 млрд. долл.

Графическое представление результатов прогнозирования

Завершающим этапом прогнозирования является построение графических изображений, дающих представление о точности прогноза и наглядно демонстрирующих размах доверительных интервалов.

Таблица 89. Данные прогнозирования для экспорта

Рис. 63.

Таблица 90. Данные прогнозирования для экспорта

Рис. 64.

К сожалению, в нашем случае реальные значения вышли за пределы доверительного интервала прогноза, что лишний раз подчёркивает трудности выбора модели тренда.

Экстраполяция на основе среднего темпа роста и среднего абсолютного прироста

В данном пункте рассмотрим прогнозирование на основе среднего темпа роста. Значения будущих периодов получают, руководствуясь формулой:

где - средний темп роста; - уровень, принятый за базу для экстраполяции.

Средний темп роста определяется как:

где y n - данные за последний год периода, а y 1 - данные по первому году в рассматриваемом периоде.

Рассчитаем для экспорта:

Доверительный интервал:

Таблица 91. Расчеты по формуле, средний темп роста для экспорта Японии

Расчеты и проверка достоверности полученных оценок коэффициентов регрессии не являются самоцелью, это лишь необходимый промежуточный этап. Основное – это использование модели для анализа и прогноза поведения изучаемого экономического явления. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии.

Используем полученное в примере 2.1 уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Пусть намечается открытие магазина с численностью работников х =140 чел., тогда достаточно обоснованный объем товарооборота следует установить по уравнению ŷ (х )= –0,974 + 0,01924×140=1,72 млрд. руб.

Доверительный интервал для прогностического значения у (х )= a 0 +a 1 х определяется по формуле

где t p – критическая граница распределения Стьюдента с n – 2 степенями свободы, соответствующая уровню значимости р . Для получения доверительного интервала воспользуемся выражением (5.2).

Выберем уровень значимости 5%. Число степеней свободы у нас 8 – 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (приложение 1) находим

t 0.05 (6)=2,447.s=Ö 0,008=0,089,

следовательно, с вероятностью 95% истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах

1,72 – 2,447×0,048<y (x )<1,72+2,447×0,048, или 1,60<y (x )<1,84.

5.8. Практический блок

Пример. Построить модель связи между указанными факторами, проверить её адекватность, осуществить точечный и интервальный прогноз методом экстраполяции.

1 . Построить диаграмму рассеяния в EXCELи сделать предварительное заключение о наличии связи.

Таблица 5.6Диаграмма 5.1

x	Y
2,1	29,5
2,9	34,2
3,3	30,6
3,8	35,2
4,2	40,7
3,9	44,5
5,0	47,2
4,9	55,2
6,3	51,8
5,8	56,7

Вывод: Из диаграммы 5.1 видно, что связь между факторами x и y

прямая сильная линейная связь .

2. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами х и у .

Таблица 5.7

№					xy
	2,1	29,5	4,41	870,25	61,95	27,91	1,59	0,054
	2,9	34,2	8,41	1169,64	99,18	33,46	0,74	0,022
	3,3	30,6	10,89	936,36	100,98	36,23	-5,63	0,184
	3,8	35,2	14,44	1239,04	133,76	39,69	-4,49	0,128
	4,2	40,7	17,64	1656,49	170,94	42,47	-1,77	0,043
	3,9	44,5	15,21	1980,25	173,55	40,39	4,11	0,092
	5,0	47,2		2227,84		48,01	-0,81	0,017
	4,9	55,2	24,01	3047,04	270,48	47,32	7,88	0,143
	6,3	51,8	39,69	2683,24	326,34	57,02	-5,22	0,101
	5,8	56,7	33,64	3214,89	328,86	53,55	3,15	0,056
ИТОГО:	42,2		193,34	19025,04	1902,04			0,840
Среднее зн.	4,22	42,56	19,334	1902,504	190,204

2.1.Проверим тесноту связи между факторами:

;

Вывод: связь сильная.

2.2.Проверим статистическую значимость по критерию Стьюдента:

1)Критерий Стьюдента: tвыб<=tкр

2)Н о: r=0 tкр=2,31

tвыб=rвыб*

Вывод: таким образом поскольку tвыб=5,84

90% нулевая гипотеза отвергается, это указывает на наличие сильной линейной связи.

3. Полагая, что связь между факторами х и у может быть описана линейной функцией, используя процедуру метода наименьших квадратов, запишите систему нормальных уравнений относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии. Любым способом рассчитайте эти коэффициенты.

Последовательно подставляя в уравнение регрессии из графы (2) табл.5.7, рассчитаем значения и заполним графу (7) табл.5.7.

4. Для полученной модели связи между факторами Х и У рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте предварительное заключение приемлемости полученной модели.

Для расчета заполним 8-ую и 9-ую графу табл.5.7.

<Екр=12%

Вывод: модель следует признать удовлетворительной.

5 . Проверьте значимость коэффициента уравнения регрессии a 1 на основе t-критерия Стьюдента.

Решение: Таблица 5.8

№
	2,1	29,5	27,91	2,5281	214,623	170,5636
	2,9	34,2	33,46	0,5476	82,81	69,8896
	3,3	30,6	36,23	31,6969	40,069	143,0416
	3,8	35,2	39,69	20,1601	8,237	54,1696
	4,2	40,7	42,47	3,1329	0,008	3,4596
	3,9	44,5	40,39	16,8921	4,709	3,7636
		47,2	48,01	0,6561	29,703	21,5296
	4,9	55,2	47,32	62,0944	22,658	159,7696
	6,3	51,8	57,02	27,2484	209,092	85,3776
	5,8	56,7	53,55	9,9225	120,78	199,9396
ИТОГО:	42,2	425,6	426,1	174,8791	732,687	911,504
Среднее	4,22	42,56

Статистическая проверка:

Вывод: С доверительной вероятностью 90% коэффициент a 1 - статистически значим, т.е. нулевая гипотеза отвергается.

6. Проверьте адекватность модели (уравнения регрессии) в целом на основе F-критерия Фишера-Снедекора.

Процедура статистической проверки:

:модель не адекватна

Вывод: т.к. Fвыб.>Fкр., то с доверительной вероятностью 95% нулевая гипотеза отвергается (т.е. принимается альтернативная). Изучаемая модель адекватна и может быть использована для прогнозирования и принятия управленческих решений.

7. Рассчитайте эмпирический коэффициент детерминации.

(таб. 3)

Показывает долю вариации.

Вывод: т.е. 80% вариации объясняется фактором, включенным в модель, а 20% не включенными в модель факторами.

8. Рассчитайте корреляционное отношение. Сравните полученное значение с величиной линейного коэффициента корреляции.

Эмпирическое корреляционное отношение указывает на тесноту связи между двумя факторами для любой связи, если связь линейная, то , т.е. коэффициент корреляции совпадает с коэффициентом детерминации.

9 . Выполните точечный прогноз для .

10-12 . Рассчитайте доверительные интервалы для уравнения регрессии и для результирующего признака при доверительной вероятности =90%. Изобразите в одной системе координат:

а) исходные данные,

б) линию регрессии,

в) точечный прогноз,

г) 90% доверительные интервалы.

Сформулируйте общий вывод относительно полученной модели.

-математическое ожидание среднего.

Для выполнения интервального прогноза рассматриваем две области.

1) для y из области изменения фактора x доверительные границы для линейного уравнения регрессии рассчитывается по формуле:

2) для прогнозного значения доверительный интервал для рассчитывается по формуле:

Исходные данные:

2) t=2,31(таб.)

5) : 27,91 42,56 57,02 66,72

6) 19,334-4,22 2)=1,53.

Таблица 5.9

№
1	2,1	-2,12	4,49	3,03	1,74	2,31	4,68	18,81	27,91	9,10	46,72
	4,22	0,00	0,00	0,1	0,32	2,31	4,68	3,46	42,56	39,10	46,02
	6,3	2,08	4,33	2,93	1,71	2,31	4,68	18,49	57,02	38,53	75,51
	7,7	3,48	12,11	9,02		2,31	4,68	32,43	66,72	34,29	99,15

Вывод: поскольку 90% точек наблюдения попало в 90% доверительный интервал, данная модель и ее доверительные границы могут использоваться для прогнозирования с 90% доверительной вероятностью.

Контрольные вопросы

1. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

2. Виды автокорреляции и их краткая характеристика.

3. Автокорреляция в остатках и порядок её обнаружения.

4. Виды автокорреляции в остатках.

5. Порядок использования критерия Дарбина-Уотсона.

6. Автокорреляция в исходных данных и порядок определения её наличия.

7. Методы устранения влияния автокорреляции на результаты прогнозирования.

8. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

9. Что понимается под гомоскедастичностью?

10. Как проверяется гипотеза о гомоскедастичности ряда остатков?

11. Оценка качества регрессии. Проверка адекватности и достоверности модели.

12. Значимость коэффициентов регрессии (критерий Стъюдента).

13. Дисперсионный анализ. Проверка достоверности модели связи (по F-критерию Фишера).

14. Коэффициенты и индексы корреляции. Мультиколлениарность.

15. Оценка значимости корреляции. Детерминация.

16. Средняя ошибка аппроксимации.

17. Принятие решений на основе уравнений регрессии.

18. В каких задачах эконометрики используется распределение Фишера?

19. Таблицы каких распределений используются при оценке качества линейной регрессии?

20. Каковы особенности практического применения регрессионных моделей?

21. Как осуществляется прогнозирование экономических показателей с использованием моделей линейной регрессии?

22. Как можно оценить «естественный» уровень безработицы с использованием модели линейной регрессии?

23. В каких случаях необходимо уточнение линейной регрессионной модели и как оно осуществляется?

24. Когда необходимо выведение из рассмотрения незначимых объясняющих переменных и добавление новых переменных?

Задания и задачи

1 . Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 2006г.

№ п/п	Чистый доход, млрд долл.США, у	Оборот капитала, млрд долл. США, х 1	Использованный капитал, млрд долл. США, х 2	Числен­ность служа­щих, тыс.чел., х 3	Рыночная капитализация компании, млрд долл. США, х 4
	0,9	31,3	18,9	43,0	40,9
	1,7	13,4	13,7	64,7	40,5
	0,7	4,5	18,5	24,0	38,9
	1,7	10,0	4,8	50,2	38,5
	2,6	20,0	21,8	106,0	37,3
	1,3	15,0	5,8	96,6	26,5
	4,1	137,1	99,0	347,0	37,0
	1,6	17,9	20,1	85,6	36,8
	6,9	165,4	60,6	745,0	36,3
	0,4	2,0	1,4	4,1	35,3
	1,3	6,8	8,0	26,8	35,3
	1,9	27,1	18,9	42,7	35,0
	1,9	13,4	13,2	61,8	26,2
	1,4	9,8	12,6	212,0	33,1
	0,4	19,5	12,2	105,0	32,7
	0,8	6,8	3,2	33,5	32,1
	1,8	27,0	13,0	142,0	30,5
	0,9	12,4	6,9	96,0	29,8
	1,1	17,7	15,0	140,0	25,4
	1,9	12,7	11,9	59,3	29,3
	-0,9	21,4	1,6	131,0	29,2
	1,3	13,5	8,6	70,7	29,2
	2,0	13,4	11,5	65,4	29,1
	0,6	4,2	1,9	23,1	27,9
	0,7	15,5	5.8	80,8	27,2

Рассчитайте матрицы парных коэффициентов корреляции и на их основе отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для
уровня значимости 5 или 10% (γ = 0,05; γ = 0,10).

2. Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 2006г.

№ п/п	Чистый доход, млрддолл. у	Оборот капи­тала, млрддолл. США, х 1	Использованный капитал, млрддолл. х 2	Численность, тыс. чел., х 3
	6,6	6,9	83,6	222,0
	3,0	18.0	6,5	32,0
	6,5	107,9	50,4	82,0
	3,3	16,7	15,4	45,2
	0,1	79,6	29,6	299,3
	3,6	16,2	13,3	41,6
	1,5	5,9	5,9	17,8
	5,5	53,1	27,1	151,0
	2,4	18,8	11,2	82,3
	3,0	35,3	16,4	103,0
	4,2	71,9	32,5	225,4
	2,7	93,6	25,4	675,0
	1,6	10,0	6,4	43,8
	2,4	31,5	12,5	102,3
	3,3	36,7	14,3	105,0
	1,8	13,8	6,5	49,1
	2,4	64,8	22,7	50,4
	1,6	30,4	15,8	480,0
	1,4	12,1	9,3	71,0
	0,9	31,3	18,9	43,0

Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.

Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности.

Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и на их основе отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (α = 0,05; α = 0,10).

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16

При определении прогнозных значений того или иного явления с помощью экстраполяции наибольший интерес представляет, по-видимому, не сама экстраполяция – это более или менее механический прием, а определение доверительных интервалов прогноза.

Доверительные интервалы могут быть определены двояко: формально и неформально. Что касается последнего, то это дело экспертного суждения, которое выносится при качественном осмыслении результатов прогноза, сопоставлении их с другими имеющимися у эксперта данными. При этом, естественно, эксперт должен учитывать не только степень колеблемости фактических уровней вокруг тренда в прошлом, но и возможность деформации тренда в будущем (соответственно могут быть получены различные варианты прогноза).

Формальный доверительный интервал учитывает лишь ту неопределенность, которая связана с ограниченностью числа наблюдений и соответствующей неточностью найденных оценок параметров кривой. Основной вопрос, – в какой мере в будущем сохранится найденная тенденция, – естественно, не может быть решен с помощью таких доверительных интервалов. Это дело содержательного экономического анализа и экспертной оценки.

Основное внимание в данном учебном пособии уделим оценке формальных доверительных интервалов, базирующихся на статистическом анализе.

Соответствующая погрешность имеет следующие источники:

1) выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной, а тем более лучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;

2) оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;

3) тренд характеризует средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом. Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.

Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно измениться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источниками, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный прогноз преобразуется в интервальный.

Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве “уровень - время” и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Традиционно в качестве такого измерителя колеблемости используется среднее квадратическое (стандартное) отклонение (3.11).

Полученные в ходе статистического оценивания параметры не свободны от погрешности, связанной с тем, что объем информации, на основе которой производилось оценивание, ограничен, и в некотором смысле эту информацию можно рассматривать как выборку. Во всяком случае, смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:

, (4.1)

где – средняя квадратическая ошибка тренда; –расчетное значение уровня ряда; –значение t -статистики Стьюдента.

В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения S y можно определить, воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа (см. рис. 3.17). Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares значение соответствует подкоренному выражению в формуле (3.11) для S y , то есть остаточной дисперсии.Остается только извлечь из него квадратный корень ( тыс.чел.).

Значение коэффициента доверия t=2,306 нам известно при оценке статистической значимости параметров линейной модели тренда.

Таким образом, доверительный интервал прогноза на 2011 год определяется как:

На 2012 год:

Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: число выездов россиян за границу с целью туризма в 2011 году с вероятностью 95% будет составлять от 12137,31 тыс.чел. до 13289,88 тыс. чел.