• Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
• Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
• Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
• Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители . Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Примеры. Разложить составное число столбиком на простые множители:

1) 48; 2) 75; 3) 80; 4) 120.
Запишем число 48, справа от него проведем вертикальную линию. Начинаем перебирать простые делители числа 48, начиная с самого меньшего — числа 2 . Записываем 2 справа от линии. Под числом 48 запишем частное от деления числа 48 на 2. Это число 24, которое тоже делится на 2 . Справа от числа 24 записываем 2, а под числом 24 — результат деления 24 на 2. Это число 12, которое опять делим на 2 . Число 2 пишем справа, а под числом 12 ставим 6. Число 6 опять делим на 2 , получаем число 3, которое пишем под числом 6. Число 3 делим на 3 и, наконец, под числом 3 пишем 1. Таким образом, получаем разложение числа 48 на простые множители: 48=2·2·2·2·3 или 48=2 4 ∙3.

Наименьший простой делитель числа 75 — это число 3 , его ставим справа от вертикальной линии. В результате деления числа 75 на 3 получаем 25. Число 25 запишем под числом 75. Число 25 делится на 5 , поэтому, число 5 пишем справа от числа 25, а под числом 25 запишем число 5 — результат от деления 25 на 5. Число 5 делится на 5 , под ним ставим число 1. Результат: 75=3·5·5 или 75=3∙5 2 .

Число 80 оканчивается нулем, значит, делится на 10. Число 10 — составное, он равно произведению простых чисел 2 и 5 , поэтому, удобно записать справа от вертикальной черты произведение 2·5 . тогда под числом 80 запишем число 8. Число 8 делим на 2 (пишем справа 2), под числом 8 записываем число 4. Снова делим на 2 , получаем 2, делим на 2 , остается 1. Результат: 80=2 4 ∙5.

Число 120 разделим сразу на 10. Так как 10=2·5, то справа от вертикальной черты запишем 2·5 . Под числом 120 записываем 12. Число 12 делим на 2 , записываем под числом 12 число 6, которое делим на 2 , а затем полученное число 3 делим на 3 , получив в результате число 1. Результат: 120=2 3 ∙3∙5.

Страница 1 из 1 1

Делимость чисел. Простые и составные числа.

Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся.

Тема «Делимость чисел. Простые и составные числа» – одна из таких тем, которые, начиная с 5 класса, позволяют в большей степени развивать математические способности детей. Работая в школе с углубленным изучением математики, физики и информатики, где обучение ведется с 7 класса, кафедра математики нашей школы заинтересована в том, чтобы ученики уже в 5-7 классах более подробно знакомились с данной темой. Мы стараемся это реализовать на занятиях в школе юных математиков (ШЮМ), а также в региональном летнем математическом лагере, где вместе с учителями нашей школы преподаю и я. Я постаралась подобрать такие задачи, которые интересны учащимся с 5 по 11 класс. Ведь ученики нашей школы изучают данную тему по программе. А выпускники школы последние 2 года встречаются с задачами по этой теме на ЕГЭ (в задачах типа С6). Теоретический материал в различных случаях рассматриваю в разном объеме.

Делимость натуральных чисел.

Некоторые определения:

Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число c, что a=bc. При этом пишут: a b . В этом

случае b называют делителем числа a, а a- кратным числа b. Натуральное число называется простым , если у него нет делителей,

отличных от него самого и от единицы (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Число называетсясоставным , если оно не является простым. Единица не является ни простым, ни составным.

Число n делится на простое число p в том и только в том случае, если p встречается среди простых множителей, на которые разлагается n.

Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, одновременно являющееся делителем a и делителем b, обозначается НОД (a;b) или D (a;b).

Наименьшим общим кратным называют наименьшее число, делящееся и на a, и на b, обозначается НОК (a;b) или K (a;b).

Числа a и b называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен единице.

Основная теорема арифметики

Всякое натуральное число n единственным образом (с точностью до порядка множителей) раскладывается в произведение степеней простых сомножителей:

n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m

здесь p1, p2 ,…pm - различные простыеделители числа n, а k1 , k2 , …km - степени вхождения (степени кратности) этих делителей.

Признаки делимости

∙ Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2 (то есть четная).

∙ Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

∙ Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, составленное из двух последних цифр, делится на 4.

∙ Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

∙ Чтобы узнать, делится ли число на 7 (на 13), надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по 3 цифры в каждой (самая левая группа может содержать 1 или 2 цифры), после чего взять группы с нечетными номерами со знаком «минус», а с четными номерами - со знаком «плюс». Если полученное выражение делится на 7 (на 13), то и заданное число делится на 7 (на 13).

∙ Число делится на 8 тогда и только тогда, когда трехзначное число, составленное из трех последних цифр, делится на 8.

∙ Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.

∙ Число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра - ноль.

∙ Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на четных местах в десятичной записи, и сумма его цифр, стоящих на нечетных местах в десятичной записи, дают одинаковые остатки при делении на 11.

Утверждения, связанные с делимостью чисел.

∙ Еслиa b иb c , тоa c .

∙ Если a m , то и ab m.

∙ Если a m и b m, то a+b m

∙ Если a+.b m и a m, то и b m

∙ Если a m и a k, причем m и kвзаимно просты, то a mk

∙ Если ab m и a взаимно просто с m, то b m

∙ На занятиях по данной теме в зависимости от возраста учеников, места и времени проведения занятий, я рассматриваю различные задачи. Подбираю эти задачи, в основном, из источников, которые указаны в конце работы, в том числе и из материалов Пермского регионального турнира юных математиков прошлых лет и материалов II и III этапов Российской олимпиады школьников по математике прошлых лет.

Следующие задачи использую для проведения занятий в 5, 6, 7 классах в ШЮМ1 е при прохождении темы «Делимость чисел. Простые и составные числа. Признаки делимости».

Устные задачи.

1. К числу 15 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 15.

Ответ: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.

2. К числу 10 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 72.

Ответ: 4104.

3. Некоторое число делится на 6 и на 4. Обязательно ли оно делится на 24?

Ответ: нет, например, 12.

4. Найдите наибольшее натуральное число, кратное 36, в записи которого участвуют все цифры по 1 разу.

Ответ: 9876543120.

5. Дано число 645*7235. Замените * цифрой так, чтобы полученное число стало кратно 3. Ответ: 1, 4, 7.

6. Дано число 72*3*. Замените * цифрами так, чтобы полученное число стало кратно 45. Ответ: 72630, 72135.

«Полуустные» задачи.

1. Сколько воскресений может быть в году?

2. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 7 числа этого месяца?

3. Начнем считать пальцы рук следующим образом: первым пусть будет большой палец, вторым – указательный, третьим – средний, четвертым – безымянный, пятым – мизинец, шестым – снова безымянный, седьмым – средний, восьмым – указательный, девятым – большой, десятым – указательный палец и т.д. Какой палец будет 2000-м?

1 ШЮМ – Школа Юных Математиков – субботняя школа при ФМШ №146

При каких n число1111...111 делится на 7?

При каких n число1111...111 делится на 999 999 999?

6. Дробь b a – сократима. Будет ли сократима дробьa a + − b b ?

7. В стране Анчурии в обращении имеются купюры достоинством 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать 1 000 000 анчуров с помощью 500 000 купюр?

8. Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.

1. В году может быть 365 или 366 дней, каждый седьмой день – воскресенье, значит, 365=52× 7+1 или 366=52× 7+2, их может быть 52, или 53, если воскресенье пришлось на 1 число.

2. Эти 3 воскресенья пришлись на 2, 16 и 30 числа. Значит, 7 число этого месяца будет пятницей.

3. Количество пальцев при счете будут повторяться с периодом 8, значит, достаточно посчитать остаток от деления 2000 на 8. Он равен 0. Т.к. восьмым идет указательный палец, то и 2000-ым будет указательный палец.

нацело на 7, а 111111=7× 15873. Отсюда следует, что если в записи данного числа больше 6 единиц, то после каждой 6 единицы очередной остаток равен 0. Т.о.,

число вида 1111...111 делится на 7 тогда и только тогда, когда количество его

цифр делится на 6 , т.е. n=7× t, где tÎ Z.

одновременно. В данном числе количество единиц кратно 9. Однако первое и второе такие числа 111 111 111 и 111 111 111 111 111 111 не делятся на 999 999 999. А число, в котором 18 единиц, делится на 999 999 999. При этом, начиная с 18-го, каждое 18-ое число делится на 999 999 999, т.е. n=18× t, где tÎ N.

7. Пусть было a купюр достоинством в 1 анчур, b – достоинством в 10 анчуров, c достоинством в 100 анчуров и d достоинством в 1000 анчуров. Получим

Районная научно-исследовательская конференция школьников Лахденпохского муниципального района

«Шаг в будущее»

Проект по математике на тему:

Выполнила: Галкина Наталья

ученица 7 класса

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Руководитель: Васильева

Лариса Владимировна

учитель математики

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Введение 3 стр.

Из истории математики 4 стр.

Основные понятия 4 стр.

Классификация признаков делимости: 5 стр.

1. Делимость чисел определяется по последней(им) цифре(ам) 5 – 6 стр.

   Делимость чисел определяется по сумме цифр числа: 6 стр.

   Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа 6 - 9 стр.

   Для определения делимости числа используются другие признаки 9 – 10 стр.

Применение признаков делимости на практике 10 – 11 стр.

Заключение 11 стр.

Библиографический список 12 стр.

Введение

Актуальность исследования : Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа. В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число a на натуральное число b без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости.

Гипотеза – если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел.

Цель исследования – дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе и систематизировать эти признаки делимости.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

Самостоятельно исследовать делимость чисел.

Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

Объединить и обобщить признаки из разных источников.

Сделать вывод.

Объект исследования – изучение всевозможных признаков делимости.

Предмет исследования – признаки делимости.

Методы исследования – сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение.

Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Из истории математики

Блез Паскаль (родился в 1623 году) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскальумер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Блез Паскаль нашёл общий

Признак Паскаля - метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.

Например : число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Основные понятия

Вспомним некоторые математические понятия, которые нам будут необходимы при изучении данной темы.

Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Составными называются числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя.

Признаки делимости

Все рассмотренные мною в данной работе признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

Рассмотрим более подробно каждую из этих групп.

Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

К первой группе рассмотренных мною признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 и разрядные единицы 10, 100 и т.д.

Признак делимости на 2 : число делится на 2 тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2 (т.е. последняя цифра является чётным числом).

Например : 32217864 : 2

Признак делимости на 4 : число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Например , 35324 : 4; 6600 : 4

Признак делимости на 5 : число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра - 5 или 0.

Например : 36780 : 5 или 123265 : 5

Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр этого числа.

Например : 432240 : 8

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. (Другая формулировка: число делится на 20 тогда, когда последняя цифра числа - 0, а предпоследняя - чётная).

Например : 59640 : 20

Признак делимости на 25: на 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, которое делится на 25.

Например : 667975 : 25 или 7768900 : 25

Признак делимости на 50: число делится на 50 тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Например : 564350 :50 или 554300 :50

Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Например : 32157000 :125 или 3216250 :125

на разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Например , 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся рассмотренные мною признаки делимости на 3, 9, 11.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Например : 5421: 3 т.к. 5+4+2+1=12, (12:3)

Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Например : 653022: 9 т.к. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Признак делимости на 11: на 11 делятся те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Например : 865948732:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами этого числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Признак делимости на 6:

Признак 1 : число делится на 6 тогда, когда результат вычитания удвоенного числа сотен из числа, стоящего после сотен делится на 6.

Например, 138: 6 т.к. 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 т.к. 44 – 7·2=30, (30:6)

Признак 2 : число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Например, 768:6 т.к. 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Признаки делимости на 7:

Признак 1 : число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например, число 154:7, т.к. на 7 делятся 15·3 + 4 = 49 (49:7)

Признак 2 : число делится на 7 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Например , 138689257:7, т.к. ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Признаки делимости на 11:

Признак 1 : число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например , 9163627:11, т.к. ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Признак 2 : число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например , 103785:11, т.к. 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Признаки делимости на 13:

Признак 1 : число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Например , 845:13, т.к. 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Признак 2 : число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например , 845:13, т.к. 84-5·9=39 (39:13)

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Например , 221:17, т.к. ǀ22-5·1ǀ=17

Признаки делимости на 19: число делится на 19 тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например , 646:19, т.к. 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Признаки делимости на 23:

Признак 1 : число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например , 28842:23, т.к. 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Признак 2 : число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Например , 391:23, т.к. 3 9+7·1=46 (46:23)

Признак 3 : число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например , 391:23, т.к. 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Признак делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Например , 2705427:27 т.к. 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Признак делимости на 29: число делится на 29 тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Например , 261:29, т.к. 26+3·1=29 (29:29)

Признак делимости на 31: число делится на 31 тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Например , 217:31, т.к. ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Признаки делимости на 33: если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Например , 396:33, т.к. 96+3=99 (99:33)

Признаки делимости на 37:

Признак 1 : число делится на 37 тогда, когда при разбиении числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Например , число 100048:37, т.к. 100+048=148, (148:37)

Признак 2 : число делится на 37 тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Например , число 481:37, так как на 37 делится ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Признаки делимости на 41:

Признак 1 : число делится на 41 тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369:41, т.к. ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Признак 2 : чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на группы по 5 цифр в каждой. Затем в каждой группе первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью - на 18, четвёртую - на 16, пятую - на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 59: число делится на 59 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Например , 767:59, т.к. 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Признак делимости на 79: число делится на 79 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Например , 711:79, т.к. 71+8·1=79, (79:79)

Признак делимости на 99: число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например , 12573:99, т.к. 1+25+73=99, (99:99)

Признак делимости на 101: число делится на 101 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «–» делится на 101.

Например

Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 и т.д. Эти все числа - составные. Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Признак делимости на 6:

Признак 1 : число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например , 768:6, т.к. 7+6+8=21 (21:3) и последняя цифра в числе 768 – четная.

Признак делимости на 12 : число делится на 12, тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Например, 408:12, т.к. 4+0+8=12 (12:3) и две последние цифры делятся на 4 (08:4)

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например, число 45612:14 т. к. оно делится и на 2 и на 7 , значит, оно делится и на 14.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например, 1146795:15 т.к. это число делится и на 3 и на 5.

Признаки делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда оно делится на 3 и на 9.

Например , 511704:27 т.к. 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаки делимости на 30: число делится на 30 тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например , 510:30 т.к. 5+1+0=6 (6:3) и в числе 510 (последняя цифра 0)

Признаки делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Например , 1620:60 т.к. 1+6+2+0=9 (9:3), число 1620 заканчивается 0, т.е. делится на 5 и 1620: 4 т.к. две последние цифры 20:4

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Задача № 1 . Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

число, которое делиться на 10;

четное число;

число, кратное 5;

нечетное число

Задача № 2

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 1.

Напишите наибольшее из таких чисел.

Напишите наименьшее из таких чисел.

Ответ: 987652413; 102347586

Задача № 3

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910

Задача № 4

Оля задумала простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527

Задача № 5

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Задача № 6

В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких рабо

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Заключение :

В результате выполнения данной работы я узнала, что кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще и другие признаки делимости натуральных чисел. Полученные знания значительно ускоряет решение многих задач. И я смогу использовать эти знания в своей учебной деятельности, как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях. Следует так же отметить, что формулировки некоторых признаков делимости сложные. Может быть, поэтому они не изучаются в школе. Предполагаю и в дальнейшем продолжить работу по изучению признаков делимости натуральных чисел.

Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.

Математика. Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Москва «Дрофа» 2002.

За страницами учебника математики. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Просвещение, 1989.

Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.

«1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва. «Мир книги» 2004.

Факультативный курс по математике. Никольская И.Л. – Москва. Просвещение 1991.

Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. Фарков А. В. - Москва. 2003г.

Интернет ресурсы.

Просмотр содержимого презентации
«Признаки делимости натуральных чисел»

Районная научно-исследовательская конференция школьников

Лахденпохского муниципального района «Шаг в будущее»

«Признаки делимости натуральных чисел»

Выполнила: Галкина Наталья

ученица 7 класса

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Руководитель: Васильева Лариса Владимировна

учитель математики МКОУ «Элисенваарской СОШ»

2014 г.

Актуальность исследования : Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа. В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число a на натуральное число b без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости. Гипотеза – если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел. Цель исследования – дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе и систематизировать эти признаки делимости. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

• Самостоятельно исследовать делимость чисел.
• Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.
• Объединить и обобщить признаки из разных источников.
• Сделать вывод. Объект исследования – делимость натуральных чисел. Предмет исследования – признаки делимости. Методы исследования – сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение. Новизна : в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Из истории математики

Блез Паскаль (родился в 1623 году) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Блез Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число.

Признак Паскаля - метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например : число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Основные понятия

Вспомним некоторые математические понятия, которые нам будут необходимы при изучении данной темы:

• Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.

• Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.

• Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

• Составными называются числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя.

Признаки делимости

Все рассмотренные мною в данной работе признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

I

• I . Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

К первой группе рассмотренных мною признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 и разрядные единицы 10, 100 и т.д.

• Признак делимости на 2 : число делится на 2 тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2 (т.е. последняя цифра является чётным числом).

Например : 3221786 4 : 2

• Признак делимости на 4 : число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Например: 353 24 : 4; 66 00 : 4

• Признак делимости на 5 : число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра - 5 или 0.

Например: 3678 0 : 5 или 12326 5 : 5

• Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр этого числа.

Например: 432 240 : 8

• Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. (Другая формулировка: число делится на 20 тогда, когда последняя цифра числа - 0, а предпоследняя - чётная).

Например: 596 40 : 20

• Признак делимости на 25: на 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, которое делится на 25.

Например: 6679 75 : 25 или 77689 00 : 25

• Признак делимости на 50: число делится на 50 тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Например : 5643 50 : 50 или 5543 00 : 50

• Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Например: 32157 000 : 125 или 3216 250 : 125

• Признаки делимости на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т.д.: на разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Например, 12 000 делится на 10, 100 и 1000

II

• II . Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся рассмотренные мною признаки делимости на 3, 9, 11

• Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Например: 5421: 3 т.к. 5+4+2+1=12, (12:3)

• Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Например: 653022: 9 т.к. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• Признак делимости на 11: на 11 делятся те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Например: 865948732:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий

над цифрами этого числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Признак делимости на 6:

• Признак 1: число делится на 6 тогда, когда результат вычитания удвоенного числа сотен из числа, стоящего после сотен делится на 6.

Например: 138: 6 т.к. 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 т.к. 44 – 7·2=30, (30:6)

• Признак 2: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Например: 768:6 т.к. 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Признаки делимости на 7:

• Признак 1: число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например: число 154:7, т.к. на 7 делятся 15·3 + 4 = 49 (49:7)

• Признак 2: число делится на 7 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Например, 138689257:7, т.к. ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Признаки делимости на 11:

• Признак 1: число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например, 9163627:11, т.к. ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• Признак 2: число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785:11, т.к. 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Признаки делимости на 13:

• Признак 1: число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13

Например, 845:13, т.к. 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• Признак 2: число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например, 845:13, т.к. 84-5·9=39 (39:13)

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Например, 221:17, т.к. ǀ22-5·1ǀ=17

Признаки делимости на 19: число делится на 19 тогда, когда число десятков, с ложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например, 646:19, т.к. 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Признаки делимости на 23:

• Признак 1: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например, 28842:23, т.к. 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• Признак 2: число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 39+7·1=46 (46:23)

• Признак 3: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Признак делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Например, 2705427:27 т.к. 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Признак делимости на 29: число делится на 29 тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29

Например, 261:29, т.к. 26+3·1=29 (29:29)

Признак делимости на 31: число делится на 31 тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Например, 217:31, т.к. ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Признаки делимости на 33: если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Например, 396:33, т.к. 96+3=99 (99:33)

Признаки делимости на 37:

• Признак 1 : число делится на 37 тогда, когда при разбиении числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Например , число 100048:37, т.к. 100+048=148, (148:37)

• Признак 2: число делится на 37 тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Например, число 481:37, так как на 37 делится ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Признаки делимости на 41:

• Признак 1: число делится на 41 тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369:41, т.к. ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на группы по 5 цифр в каждой. Затем в каждой группе первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью - на 18, четвёртую - на 16, пятую - на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 59: число делится на 59 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Например, 767:59, т.к. 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Признак делимости на 79: число делится на 79 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Например, 711:79, т.к. 71+8·1=79, (79:79)

Признак делимости на 99: число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 12573:99, т.к. 1+25+73=99, (99:99)

Признак делимости на 101: число делится на 101 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «–» делится на 101.

Например , 590547:101, т.к. ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 и т.д. Эти все числа - составные. Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например, 768:6, т.к. 7+6+8=21 (21:3) и последняя цифра в числе 768 – четная.

Признак делимости на 12 : число делится на 12, тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Например, 408:12, т.к. 4+0+8=12 (12:3) и две последние цифры делятся на 4 (08:4)

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например, число 45612:14 т. к. оно делится и на 2 и на 7 , значит, оно делится и на 14

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например, 1146795:15 т.к. это число делится и на 3 и на 5

Признаки делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда оно делится на 3 и на 9. Например, 511704:27 т.к. 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаки делимости на 30: число делится на 30 тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например, 510:30 т.к. 5+1+0=6 (6:3) и в числе 510 (последняя цифра 0)

Признаки делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Например, 1620:60 т.к. 1+6+2+0=9 (9:3), число 1620 заканчивается 0, т.е. делится на 5 и 1620: 4 т.к. две последние цифры 20:4

Применение признаков делимости на практике

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах .

Задача № 1 . Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

• число, которое делиться на 10;
• четное число;
• число, кратное 5;
• нечетное число

Задача № 3 : Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910

Задача № 4: Оля задумала простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527

Задача № 5 : В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Задача № 6 : В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Заключение:

В результате выполнения данной работы я узнала, что кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще и другие признаки делимости натуральных чисел. Полученные знания значительно ускоряют решение многих задач. И я смогу использовать эти знания в своей учебной деятельности, как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях. Следует так же отметить, что формулировки некоторых признаков делимости сложные. Может быть, поэтому они не изучаются в школе. Предполагаю и в дальнейшем продолжить работу по изучению признаков делимости натуральных чисел.

• Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.
• Математика. Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Москва «Дрофа» 2002.
• За страницами учебника математики. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Просвещение, 1989.
• Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.
• «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва. «Мир книги» 2004.
• Факультативный курс по математике. Никольская И.Л. – Москва. Просвещение 1991.
• Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. Фарков А. В. - Москва. 2003г.
• Интернет ресурсы.

Называют числа, используемые для счета. Каждому количеству предметов счета соответствует некоторое натуральное число. Если предметов для счета нет, то используется число 0, но при счете предметов мы никогда не начинают с 0, и соответственно число 0 нельзя отнести к натуральным. Понятно, что наименьшим натуральное число является единица. Наибольшего натурального числа не существует, потому что каким бы большим не было число, всегда можно прибавить к нему 1 и записать следующее натуральное число.

Разберем простейший пример деления: разделим число 30 на число 5 (остаток при делении числа 30 на число 5 равен 0), по- сколку 30 = 5 . 6. Значит число 30 делится нацело на число 5. Число 5 - делитель числа 30, а число 30 — кратно числу 5.

Натуральное число k n , если найдётся такое натуральное число m , для которого справедливо равенство k = n . m .

Или другими словами, чтобы разделить одно число на другое, надо найти такое трете число, которое при умножении на второе дает первое

Если натуральное число k делится нацело на натуральное число n , то число k называют кратным числа ,

число n — делителем числа k .

Числа 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 также являются делителями числа 30, а число 30 является кратным каждого из этих чисел. Заметим, что число 30 не делится нацело, например, на число 7. Поэтому число 7 не является делителем числа 30, а число 30 не кратно числу 7.

Выполнив действия по делению говорят: «Число k делится нацело на число n », «Число n является делителем числа k », «Число k кратно числу n », «Число k является кратным числа n ».

Легко записать все делители числа 6. Это числа 1, 2, 3 и 6. А можно ли перечислить все числа, кратные числу 6? Числа 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5 и т. д. кратны числу 6. Получаем, что чисел, кратных числу 6, — бесконечно много. Поэтому перечислить их все невозможно.

Вообще, для любого натурального числа k каждое из чисел

k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...

является кратным числа k .

Наименьшим делителем любого натурального чис-ла k является число 1, а наибольшим делителем — само число k .

Среди чисел, кратных числу k , наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число k .

Каждое из чисел 21 и 36 делится нацело на число 3, и их сумма, число 57, также делится нацело на число 3. Вообще, если каждое из чисел k и n делится нацело на число m , то и сумма k + n также делится нацело на число m .

Каждое из чисел 4 и 8 не делится нацело на число 3, а их сумма, число 12, делится нацело на число 3. Каждое из чисел 9 и 7 не делится нацело на число 5, и их сумма, число 16, не делится нацело на число 5. Вообще, если ни число k , ни число n не делятся нацело на число m , то сумма k + n может делиться, а может и не делиться нацело на число m.

Число 35 делится без остатка на число 7, а число 17 на число 7 нацело не делится. Сумма 35 + 17 нацело на число 7 также не делится. Вообще, если число k делится нацело на число m и число n не делится нацело на число m , то сумма k + n не делится нацело на число m.

- Одна из важнейших тем Алгебры. Изучается она, в основном, в 5-6 классах школы и в дальнейшем к ее изучению практически не возвращаются. В то же время на эту тему существует Значительное количество самых разнообразных задач, Которые часто встречаются на олимпиадах, при поступлении в физико-математические школы и институты. Школьники (и даже старших классов), как правило, большинство задач этой темы, к сожалению, решить не могут. Поэтому остановимся на этом разделе Достаточно подробно И рассмотрим те задачи, которые по силам учащимся 8-х классов.

Цели: Напомнить основные сведения о множестве натуральных чисел и рассмотреть типичные задачи по теме.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала (основные понятия)

Числа, которые используются Для счета предметов, Называются Натуральными: 1, 2, 3, 4, ... Множество натуральных чисел обозначают буквой N. Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак Е . Например, утверждение, что число 5 является натуральным (или что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел УУ), можно записать так: 5 е N. Число 2,3 не является натуральным. Это можно записать с помощью знака ё, т. е. 2,3 ? N.

Все натуральные числа (исключая число 1) разделяются на Простые Числа и Составные Числа.

Число называется Составным, Если оно имеет хотя бы один Делитель, Который Не равен самому числу или единице. Например, число 18 имеет такие делители: 2, 3, 6, 9. Поэтому число 18 является составным. (Разумеется, кроме перечисленных делителей у числа 18 есть еще два делителя: 1 и 18).

Число называется Простым, Если оно Не имеет других делителей кроме Самого себя и единицы (например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...).

Число 1 не является ни простым, ни составным.

Напомним Основные признаки делимости Натуральных чисел.

1. Число делится (без остатка или нацело) На число 2, Если Его последняя Цифра четная или 0. (Напомним, что число 0 не является ни четным, ни нечетным). Например, число 35 634 делится на 2, а число 35 635 - не делится.

2. Ч исл о делится На Число 3, если Сумма его цифр делится На 3. Например, число 33 606 делится на 3, т. к. сумма цифр этого числа 3 + 3 + 6 + 0 + 6= 18

Делится на 3. Число 32 606 имеет сумму цифр 3 + 2 + 6 + 0 + 6= 17, которая на 3 не делится. Поэтому число 32 606 также на 3 не делится.

3. Число делится На число 4, Если Две его последние цифры образуют число, Которое делится на 4, или являются нулями. Например, число 35 Щ делится

на 4, т. к. число, образованное двумя последними цифрами (число 12),

делится на 4.

Обратите внимание на этот признак делимости. Оченьчасто школьники ошибочно «сокращают» этот признак делимости до такого: число делится на число 4, если две его последние цифры делятся на 4. Разумеется, данный «признак делимости» является грубой ошибкой. В рассмотренном примере число 35112 делилось на 4, хотя ни одна из его двух последних цифр (1 и 2) на 4 не делится.

Число 35 Щ на число 4 не делится, т. к. число 18 (образованное двумя последними цифрами) на 4 не делится.

4. Число делится На число 5, если Его последняя цифра 0 или 5. Например, числа 35 110 и 35 115 делятся на 5, а число 37 513 на 5 не делится.

5. Число делится На число 8, Если Три его последние цифры образуют число, Которое делится на 8, или являются нулями. Например, число 37 408 делится на 8, т. к. число 408 делится на 8. Число 37 4J4 не делится на 8, т. к. число 414 не делится на 8.

6. Число делится На число 9, Если Сумма его цифр Делится На 9. Например, число 71 505 делится на 9, т. к. сумма цифр этого числа 7+ 1 +5 + 0 + 5= 18 делится на 9. Число 70 505 имеет сумму цифр 7 + 0 + 5 + 0 + 5= 17, которая на 9 не делится. Следовательно, и само число не делится на 9.

7. Число делится На число 10, Если его Последняя цифра нуль. Например, число 37 510 делится на 10, а число 37 515 не делится на 10.

Признаки делимости позволяют решать и более сложные задачи.

Пример 1

Определите: на какие из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 15, 18, 20 делится без остатка число 357 120.

А) Число делится на 2, т. к. его последняя цифра нуль.

Б) Число делится на 3, т. к. сумма цифр данного числа равна 3 + 5 + 7 +

1 +2 + 0- 18 и делится на 3.

В) Число делится на 4, т. к. две его последние цифры образуют число 20,

которое делится на 4.

Г) Число делится на 5, т. к. его последняя цифра нуль.

Д) Число делится на 6, т. к. 6 = 2 3 и из пунктов а, б следует, что число

делится на 2 и 3 одновременно.

Е) Число делится на 8, т. к. три его последние цифры образуют число

120, которое делится на 8.

Ж) Число делится на 9, т. к. сумма его цифр 18 (пункт б) делится на 9.

З) Число делится на 10, т. к. его последняя цифра нуль.

И) Число делится на 15, т. к. оно одновременно делится на 3 и 5 (пункты б, г).

К) Число делится на 18, т. к. из пунктов а, ж следует, что оно делится на 2 и 9.

Л) Число делится на 20, т. к. оно одновременно делится на 4 и 5 (пункты в, г).

Заметим, что при рассмотрении делимости числа 357 120 на 6, 15,18,20 мы каждое из этих чисел раскладывали на произведение взаимно простых чисел. Напомним, что Взаимно простыми Числами называются числа, которые Не имеют общих делителей. Причем числа могут и не являться простыми. Например, числа 8 и 15 взаимно простые, т. к. не имеют общих множителей. Однако каждое из этих чисел 8 и 15 - составное.

Например, в пункте к число 18 было представлено в виде произведения двух взаимно простых чисел 2 и 9. Затем использовались признаки делимости на эти числа. Если раскладывать число-делитель на произведение не взаимно простых чисел, то решение усложняется, и могут быть допущены Ошибки. Например, число 30 не делится на 20 без остатка. Но если представить число 20 в виде 2 10, то 30 делится и на 2 и на 10. Однако числа 2 и 10 - не взаимно простые.

Пример 2

Определите, является ли число 98 706 540 321 простым или составным?

Используя признаки делимости, сразу определяем, что данное число на 2,4, 5, 8, 10 не делится. Теперь разберемся, делится ли это число на 3 и на 9. Найдем сумму цифр этого числа: 9 + 8 + 7 + 0 + 6 + 5+4 + 0 + 3 + 2+1= 45. Так как число 45 делится на 3 и на 9, то данное число также делится на 3 и на 9. Так как данное число имеет делители (3 и 9), которые неравны ни единице, ни самому числу, то (по определению) оно является составным.

Нужно заметить, что далеко Не всегда Одно натуральное число Делится На другое Без остатка. Например, при делении числа 29 на 3 получаем в частном 9 и в остатке 2. Эту операцию можно записать в виде: 29 - 3-9 + 2 или Делимое (29) = Делитель (3) Частное (9) + Остаток (2). При Этом Остаток Должен быть Натуральным числом Или Нулем И Меньше, чем делитель.

Пример 3

А) Число 29 можно также записать и в виде: 29 = 3 - 8 + 5. Но в этом

частное 8 и остаток 5, т. к. остаток не может быть больше или равным

делителю.

Б) Число 29 можно записать и в другом виде: 29 = 3 10 + (-1). Но и

получается частное 10 и остаток (- 1), т. к. остаток должен быть натуральным

Таким образом, в общем случае деление с остатком записывается в виде: П = P" K + R. Здесь натуральное число П - Делимое, Натуральное число Р - Делитель, Натуральное число К - частное, Неотрицательное целое число Г - Остаток (0 < г < Р). Если Г = 0, то число П Нацело (без остатка) делится на число/? и л ~ р - к.

Такая форма записи деления числа с остатком позволяет решать различные задачи.

Пример 4

Число П Дает при делении на 13 остаток 5. Какой остаток при делении на 13 дает число вшестеро больше данного?

Если число П Дает при делении на 13 остаток 5, то его можно записать в виде: я = 13? + 5, где К - получающееся при этом частное. Тогда число вшестеро большее, т. е. 6л = 6-(13-&+5)=78-&+30. Выделим из числа 6/7 наибольшее натуральное число, которое без остатка делится на 13, т. е. представим число 6л в виде: 6я=(78А; + 26)+4=13-(6А: + 2)+4. Из этой записи видно, что число 6п При делении на 13 дает в частном число (вк + 2) и остаток 4.

Пример 5

Два числа при делении на 18 дают остаток 9. Доказать, что разность и сумма этих чисел без остатка делятся на 18.