Перейдем к вопросу о сглаживании временных рядов экономических показателей. Очень часто уровни рядов динамики колеблются, при этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов. Таким образом, сглаживание можно рассматривать как устранение случайной составляющей  t из модели временного ряда.

Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней. Сначала для временного ряда y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n определяется интервал сглаживания т (т < п). Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным. Для первых т уровней временного ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т.д.

Для вычисления сглаженных уровней ряда применяется формула

при нечетном m ;

для четных т формула усложняется.

В результате такой процедуры получаются п - т + 1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые р и последние р уровней ряда теряются (не сглаживаются).

Особенность метода экспоненциального сглаживания заключается в том, что в процедуре нахождения сглаживания i -го уровня используются значения только предшествующих уровней ряда (i -1, i -2,…), взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда.

Если для исходного временного ряда y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через S t , t = 1,2, …, п, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле

здесь S 0 – величина, характеризующая начальные условия.

В практических задачах обработки экономических временных рядов рекомендуется выбирать величину параметра сглаживания в интервале от 0,1 до 0,3.

Пример 4.4. Вернемся к примеру 1, в котором рассматриваются квартальные объемы продаж компании «Lewplan». Мы уже выяснили, что этим данным отвечает аддитивная модель, т.е. фактически объемы продаж можно выразить следующим образом:

Y = U + V + E.

Для того чтобы элиминировать влияние сезонной компоненты, воспользуемся методом скользящей средней. Просуммировав первые четыре значения, получим общий объем продаж в 1998 г. Если поделить эту сумму на четыре, можно найти средний балл продаж в каждом квартале 1998 г., т.е.

(239 + 201 +182 + 297)/4 = 229,75;
(201+182+297+324)/4 и т. д.

Полученное значение уже не содержит сезонной компоненты, поскольку представляет собой среднюю величину за год. У нас появилась оценка значения тренда для середины года, т.е. для точки, лежащей в середине между кварталами II и III. Если последовательно передвигаться вперед с интервалом в три месяца, можно рассчитать средние квартальные значения на промежутке апрель – март 1998 (251), июль – июнь 1998 (270,25) и т.д. Данная процедура позволяет генерировать скользящие средние по четырем точкам для исходного множества данных. Получаемое таким образом множество скользящих средних представляет наилучшую оценку искомого тренда.

Теперь полученные значения тренда можно использовать для нахождения оценок сезонной компоненты. Мы рассчитываем:

Y – U = V + E .

К сожалению, оценки значений тренда, полученные в результате расчета средних по четырем точкам, относятся к нескольким иным моментам времени, чем фактические данные. Первая оценка, равная 229,75, представляет собой точку, совпадающую с серединой 1998 г., т.е. лежит в центре промежутка фактических значений объемов продаж во II и III кварталах. Вторая оценка, равная 251, лежит между фактическими значениями в III и IV кварталах. Нам же требуются десезонализированные средние значения, соответствующие тем же интервалам времени, что и фактические значения за квартал. Положение десезонализированных средних во времени сдвигается путем дальнейшего расчета средних для каждой пары значений. Найдем среднюю из первой оценок, центрируя их на июль – сентябрь 1998 г., т.е.

(229,75 + 251)/2 = 240,4.

Это и есть десезонализированная средняя за июль – сентябрь 1999 г. Эту десезонализированную величину, которая называется центрированной скользящей средней , можно непосредственно сравнивать с фактическим значением за июль – сентябрь 1998 г., равным 182. Отметим, что это означает отсутствие оценок тренда за первые два или последние два квартала временного ряда. Результаты этих расчетов приведены в табл.4.5.

Для каждого квартала мы имеем оценки сезонной компоненты, которые включают в себя ошибку или остаток. Прежде чем мы сможем использовать сезонную компоненту, нужно пройти два следующих этапа. Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года. Эта процедура позволит уменьшить некоторые значения ошибок. Наконец, скорректируем средние значения, увеличивая или уменьшая их на одно и тоже число таким образом, чтобы общая их сумма была равна нулю. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты в целом за год.

Таблица 4.5. Оценка сезонной компоненты

Таблица 4.6. Расчет средних значений сезонной компоненты

Корректирующий фактор рассчитывается следующим образом: сумма оценок сезонных компонент делится на 4. В последнем столбце табл. 4.5 эти оценки записаны под соответствующими квартальными значениями. Сама процедура приведена в табл. 4.6.

Значение сезонной компоненты еще раз подтверждает наши выводы, сделанные в примере 4.1 на основе анализа диаграммы. Объемы продаж за два зимних квартала превышают среднее трендовое значение приблизительно на 40 тыс. шт., а объемы продаж за два летних периода ниже средних на 21 и 62 тыс.шт. соответственно.

Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариации за любой промежуток времени. Если, например, в качестве сезона выступают дни недели, для элиминирования влияния ежедневной сезонной компоненты также рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта скользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели, т.е. в четверг; таким образом, необходимость в процедуре центрирования отпадает.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряде, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, сглаживания временных рядов.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса: аналитический и алгоритмический.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую. Например, на основе визуального и содержательного экономического анализа динамики временного ряда предполагается, что трендовая составляющая может быть описана с помощью показательной функции .

Тогда на следующем этапе будет проведена статистическая оценка неизвестных коэффициентов модели, а затем определены сглаженные значения уровней временного рада путем подстановки соответствующего значения временного параметра «t» в полученное уравнение.

В алгоритмическом подходе отказываются от ограничительного допущения, свойственного аналитическому. Процедура этого класса не предполагает описания динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой заданный момент времени «t» . Методы сглаживания временных радов с помощью скользящих средних относится к такому подходу. Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, рад ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Суть различных приемов сглаживания временных рядов сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Выявление основной тенденции путем сглаживания временного ряда может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов.

1. Определяют длину интервала сглаживания S, включающего в себя 1 последовательных уровней ряда (1 > n). При этом надо иметьв виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

2. Разбивают весь период наблюдения на участки, при этом интервал сглаживания «скользит» по ряду с шагом, равным I.

3. Рассчитывают средние арифметические из уровней рада, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания 1 в виде нечетного числа I = 2р + 1, так как в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала. Параметр р =(m-1)/2 ; где m – продолжительность периода сглаживания (5,7,9, 11,13).

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении 1 =2р + 1 скользящая средняя может быть определена по формуле:

где - значение скользящей средней в момент t;

Фактическое значение i-ro уровня; 2р+1 - длина интервала сглаживания.

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной:

где - весовые коэффициенты.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами () , а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке проводится по прямой (полиному первого порядка), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используют полиномы более высоких порядков. Поэтому метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней. Весовые коэффициенты определяются с помощью метода наименьших квадратов, причем нет необходимости каждый раз вычислять их заново при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, так как они будут одинаковыми для каждого активного участка. В ниже приведенной таблице представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания.

Таблица 1.8.2.Весовыекоэффициенты для взвешенной скользящей средней

Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, так как они могут быть симметрично отражены.

Отметим важные свойства коэффициентов:

1. они симметричны относительно центрального уровня;

2. сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за
скобки, равна единице;

3. наличие как положительных, так и отрицательных весов
позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы
кривого тренда.

Названные приемы сглаживания динамических радов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряди во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Восстановление краевых значений

При использовании скользящей средней с длиной активного участка

1=2р+1 первые и последние «р» уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек - существенный недостаток, так как для исследователя «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью.

Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда при использовании простой скользящей средней. Для этого необходимо:

Вычислить средний абсолютный прирост на последнем
активном участке;

Получить «р» сглаженных значений в конце временного ряда
путем последовательного прибавления среднего абсолютного
прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Рассмотрим еще один из возможных способов восстановления краевых значений. Для определения «р» первых и «р» последних потерянных уровней анализируемого временного ряда можно использовать расчетные значения, полученные с помощью аппроксимирующих полиномов той же степени, что и для остальных членов ряда. Причем неизвестные коэффициенты полиномов определяются соответственно по 1=2р+1 первым и последним уровням временного ряда.

Углубленный анализ временных рядов требует использования более сложных методик математической статистики. При наличии в динамических рядах значительной случайной ошибки (шума) применяют один из двух простых приемов - сглаживание или выравнивание путем укрупнения интервалови вычисления групповых средних. Этот метод позволяет повысить наглядность ряда, если большинство «шумовых» составляющих находятся внутри интервалов. Однако, если «шум» не согласуется с периодичностью, распределение уровней показателей становится грубым, что ограничивает возможности детального анализа изменения явления во времени.

Более точные характеристики получаются, если используют скользящие средние - широко применяемый способ для сглаживания показателей среднего ряда. Он основан на переходе от начальных значений ряда к средним в определенном интервале времени. В этом случае интервал времени при вычислении каждого последующего показателя как бы скользит по временному ряду.

Применение скользящего среднего полезно при неопределенных тенденциях динамического ряда или при сильном воздействии на показатели циклически повторяющихся выбросов (резко выделяющиеся варианты или интервенция).

Чем больше интервал сглаживания, тем более плавный вид имеет диаграмма скользящих средних. При выборе величины интервала сглаживания необходимо исходить из величины динамического ряда и содержательного смысла отражаемой динамики. Большая величина динамического ряда с большим числом исходных точек позволяет использовать более крупные временные интервалы сглаживания (5, 7, 10 и т.д.). Если процедура скользящего среднего используется для сглаживания не сезонного ряда, то чаще всего величину интервала сглаживания принимают равной 3 или 5. https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - отличная возможность выбрать авиакомпанию на перелет из Москвы в Нью-Йорк

Приведем пример вычисления скользящего среднего числа хозяйств с высокой урожайностью (более 30 ц/га) (табл. 10.3).

Таблица 10.3 Сглаживание динамического ряда укрупнением интервалов искользящим средним

Примеры вычисления скользящего среднего:

1982 г.(84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;

1983 г. (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;

1984 г.(92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;

1985 г.(83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.

Составляется график. На оси абсцисс указываются годы, на оси ординат - число хозяйств с высокой урожайностью. Указываются координаты числа хозяйств на графике и соединяют полученные точки ломаной линией. Затем указываются координаты скользящей средней по годам на графике и соединяются точки плавной полужирной линией.

Более сложным и результативным методом является сглаживание (выравнивание) рядов динамики с помощью различных функций аппроксимации. Они позволяют формировать плавный уровень общей тенденции и основную ось динамики.

Наиболее эффективным методом сглаживания с помощью математических функций является простое экспоненциальное сглаживание. Этим методом учитываются все предшествующие наблюдения ряда по формуле:

S t = α∙X t + (1 - α ) ∙S t - 1 ,

где S t - каждое новое сглаживание в момент времени t ; S t - 1 - сглаженное значение в предыдущий момент времени t -1; X t - фактическое значение ряда в момент времени t ; α - параметр сглаживания.

Если α = 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются; при величине α = 0 игнорируются текущие наблюдения; значения α между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Изменяя значения этого параметраможно подобрать наиболее приемлемый вариант выравнивания. Выбор оптимального значения α осуществляется путем анализа полученных графических изображений исходной и выравненной кривых, либо на основе учета суммы квадратов ошибок (погрешностей) вычисленных точек. Практическое использование этого метода следует проводить с использованием ЭВМ в программе MS Excel . Математическое выражение закономерности динамики данных можно получить с помощью функции экспоненциального сглаживания.

Механическое сглаживание по скользящим средним

Методы сглаживания временных рядов

Очень часто уровни экономических рядов динамики колеблются. При этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями значений ряда в ту или иную сторону. С целью более чёткого выявления тенденции развития исследуемого процесса производят сглаживание (выравнивание) временных рядов экономических показателей. Суть различных методов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчётными значениями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует чёткому проявлению тенденции.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы :

1) аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведённой между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний;

2) механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

Суть методов аналитического сглаживания основана на том математическом правиле, что через любые n точек, лежащих на плоскости, можно провести полином минимум (n – 1) степени так, что он будет проходить через все обозначенные точки.

Суть методов механического сглаживания заключается в том, что берётся несколько уровней ряда динамики, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания. С помощью полинома определяются сглаженные значения уровней ряда в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на одно наблюдение вперёд, вычисляется следующее сглаженное значение и т.д.

Механическое сглаживание по скользящим средним

Самым простым методом механического сглаживания является сглаживание по простой скользящей средней . Метод называется так потому, что в его основе лежит вычисление простого среднего значения нескольких уровней ряда. Простое среднее скользит вдоль ряда динамики с шагом равным периоду наблюдений.

Сначала для временного ряда y t определяется интервал сглаживания m , причём m < n . Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. Чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени взаимопогашаются колебания, и тенденция развития носит более плавный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания. При одинаковых условиях рекомендуется использовать интервал сглаживания нечётной длины. Для первых m уровней временного ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания.

Для вычисления сглаженных значений используется формула:

где m = 2·p + 1 – интервал сглаживания временного ряда нечётной длины. В результате такой процедуры получаются (n – m + 1)

Процедуру сглаживания можно применять и для интервала сглаживания чётной длины. Особенно это актуально для анализа и прогнозирования явлений, имеющих сезонные колебания. При сглаживании сезонных процессов интервал сглаживания обязательно должен быть равен длине сезонной волны. В противном случае произойдёт искажение компонент временного ряда, в особенности, компоненты v t . В случае, когда используется интервал сглаживания чётной длины, т.е. m = 2·p , применяется формула:

(4.2).

В результате данной процедуры получаются (n – m) сглаженных значений уровней ряда.

В любом случае первые и последние p значений ряда не сглаживаются . Потерянные сглаженные значения уровней временного ряда находятся с помощью использования показателя среднего абсолютного прироста, найденного для первого и последнего интервалов сглаживания. Для восстановления потерянных наблюдений в начале временного ряда значение величины среднего абсолютного прироста, найденное для первого интервала сглаживания, вычитается из первого сглаженного значения. Получается сглаженное значение уровня ряда для y p y 1 . Для восстановления потерянных наблюдений в конце временного ряда значение величины среднего абсолютного прироста, найденное для последнего интервала сглаживания, прибавляется к последнему сглаженному значению. Получается сглаженное значение уровня ряда для y n – p + 1 . Далее алгоритм повторяется до получения сглаженного значения y n .

Ещё один недостаток метода простой скользящей средней заключается в том, что он может использоваться лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию. Если для процесса характерно нелинейное развитие и необходимо сохранить изгибы тенденции, то применение простой скользящей средней нецелесообразно, т.к. это может привести к существенным искажениям. В таких случаях используется метод взвешенной скользящей средней.

Метод взвешенной скользящей средней отличается от метода простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, что аппроксимация исходного ряда в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием полинома не первой степени, как в методе простой скользящей средней, а степени, начиная со второй. Используется формула средней арифметической взвешенной.

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Метод скользящих средних является одним из широко известных методов сглаживания временных рядов. Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов.

Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие замены первоначальных уровней временного ряда средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного интервала времени (периода).

Затем период сдвигается на одно наблюдение, и расчет средней повторяется. При этом периоды определения средней берутся все время одинаковыми. Таким образом, в каждом рассматриваемом случае средняя центрирована, т.е. отнесена к серединной точке интервала сглаживания и представляет собой уровень для этой точки.

При сглаживании временного ряда скользящими средними в расчетах участвуют все уровни ряда. Чем шире интервал сглаживания, тем более плавным получается тренд. Сглаженный ряд короче первоначального на (n–1) наблюдений, где n – величина интервала сглаживания.

При больших значениях n колеблемость сглаженного ряда значительно снижается. Одновременно заметно сокращается количество наблюдений, что создает трудности.

Выбор интервала сглаживания зависит от целей исследования. При этом следует руководствоваться тем, в какой период времени происходит действие, а следовательно, и устранение влияния случайных факторов.

Данный метод используется при краткосрочном прогнозировании. Его рабочая формула:

Пример применения метода скользящей средней для разработки прогноза

Задача . Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %

• Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
• Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
• Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение методом скользящей средней

Для расчета прогнозного значения методом скользящей средней необходимо:

1. Определить величину интервала сглаживания, например равную 3 (n = 3).

2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов
m фев = (Уянв + Уфев + У март)/ 3 = (2,99+2,66+2,63)/3 = 2,76
Полученное значение заносим в таблицу в средину взятого периода.
Далее рассчитываем m для следующих трех периодов февраль, март, апрель.
m март = (Уфев + Умарт + Уапр)/ 3 = (2,66+2,63+2,56)/3 = 2,62
Далее по аналогии рассчитываем m для каждых трех рядом стоящих периодов и результаты заносим в таблицу.

3. Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на ноябрь по формуле:

где t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); Уt+1 – прогнозируемый показатель; mt-1 – скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; Уt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; Уt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.

У ноябрь = 1,57 + 1/3 (1,42 – 1,56) = 1,57 – 0,05 = 1,52
Определяем скользящую среднюю m для октября.
m = (1,56+1,42+1,52) /3 = 1,5
Строим прогноз на декабрь.
У декабрь = 1,5 + 1/3 (1,52 – 1,42) = 1,53
Определяем скользящую среднюю m для ноября.
m = (1,42+1,52+1,53) /3 = 1,49
Строим прогноз на январь.
У январь = 1,49 + 1/3 (1,53 – 1,52) = 1,49
Заносим полученный результат в таблицу.

Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 9,01/8 = 1,13% точность прогноза высокая.

Далее решим данную задачу методами экспоненциального сглаживания и наименьших квадратов . Сделаем выводы.