«Война 1812 года в баснях И.А. Крылова»

Введение

Событиям 1812 года принадлежит особое место в нашей истории. Не раз поднимался русский народ на защиту своей земли от захватчиков, приходивших и с запада, и с востока. Но никогда прежде угроза порабощения не порождала такого сплочения сил, такого духовного пробуждения нации, как это произошло в дни нашествия Наполеона.

Отечественная война 1812 года – одна из самых героических страниц истории нашей Родины. Победа русского народа над завоевателем, который считался величайшим военным гением мира и к моменту нападения на Россию был увечен ореолом всемогущества и непобедимости, поразила воображение современников и по ныне волнует потомков, служит для одних предметом гордости, для других – неразгаданной загадкой, для третьих грозным предостережением – «не ходи на Москву!». Поэтому гроза 1812 года вновь и вновь привлекает к себе внимание исследователей оставаясь в числе вечных тем исторической науки. «Русской Илиадой» назвали ее современники. Ей посвящено наибольшее число исследований по сравнению с любым другим событием 1000-летней истории дореволюционной России.

Когда в 1812 году началась война, то весь народ встал на защиту Родины и поэты не могли не откликнуться на это событие.. Вспомним стихи Дениса Давыдова, знаменитого участника этой войны, вспомним гениальное “Бородино” Лермонтова. До сих пор творцы обращаются к теме войны 1812 года, когда хотят напомнить нам о мужестве и подвиге защитников Отечества. Война 1812 года на протяжении всего девятнадцатого века вдохновляла поэтов на прославление героизма защитников России:

Бородино! Бородино!

На битве исполинов новой

Ты славою озарено,

Как древле поле Куликово. (С. Е. Раич)

Поэтическая летопись войны 1812 года доносит до нас ту удивительную атмосферу патриотического подъёма, охватившего Россию, ту звенящую напряжённость чувств, поднявшую русских людей из разных местностей и сословий на подвиг, который потряс современников и вызвал законную гордость потомков. Поэтические шедевры, описывающие грозные события тех лет сильны своей документальной достоверностью.

Цель данной работы - рассмотреть основные исторические вехи войны 1812 года в литературном отражении И.А. Крылова.

2. И.А. Крылов и его исторические басни.

2.1. Деятельность Крылова в период начала военных действий.

Ранним утром 12 июня 1812 года главные силы «великой армии» Наполеона численностью более 500 тысяч человек начали вторжение через Неман недалеко от города Ковно. Полумиллионная армия, возглавляемая крупным полководцем, обрушилась всей своей мощью на русскую землю, надеясь в короткий срок покорить сию страну. Рисунок французского офицера-очевидца запечатлел это грозное зрелище. Тремя длинными извилистыми колоннами войска завоевателей спускались с высокого левого берега реки и по наплавным мостам переправлялись на другую сторону. Наполеон, стоя на самом краю обрыва, неотрывно глядел на проходящие войска. Казалось, что нет силы, которая сможет противостоять той мощи, которую император французов собрал со всей Европы… Однако мощь французской армии была разбита о героизм русского народа, проявленный в борьбе за родину. Русский народ грудью встал на защиту родной земли. Чувство патриотизма охватило армию, народ и лучшую часть дворянства.

1812 год Иван Андреевич Крылов встретил уже известным баснописцем. Позади было детство в Оренбурге, запомнившееся пожарами и тревожным набатом пугачёвской осады.

К сожалению, нерадостным оказался и тверской период (1774-1782): учёба с детьми богатого помещика Львова, запомнившаяся обидами и унижениями, смерть отца и служба подканцеляристом.

После наполненной беспокойными событиями молодости жизнь Крылова с возвращением в Петербург входит в однообразное и мирное русло. Всю свою энергию Крылов отдает писанию басен и службе в Публичной Библиотеке, куда он поступил с самого ее основания.

Крылов принимал активное участие в литературной жизни тех лет. Он являлся членом литературных и научных обществ, был близко знаком с виднейшими писателями того времени. Особо следует отметить близость Крылова с переводчиком «Илиады» Н. И. Гнедичем, который в молодые годы примыкал к прогрессивным кругам дворянской интеллигенции, сочувственно относившейся к идеям декабристов. Крылов жил по соседству с Гнедичем в здании Публичной библиотеки, где они оба служили.

Крылов сближается с кружком знатока и любителя искусств, впоследствии президента Академии художеств А. Н. Оленина. В доме Олениных собирались известные писатели, художники, ученые. Здесь, помимо Крылова, бывали Шаховской, Озеров, Батюшков, Гнедич, позже - Пушкин и многие другие литераторы того времени. «Сюда обыкновенно привозились все литературные новости: вновь появившиеся стихотворения, известия о театрах, о книгах, о картинах, - словом, все, что могло питать любопытство людей... движимых любовью к просвещению» 1,- рассказывает об оленинском кружке один из современников. А. Н. Оленин и собиравшиеся у него посетители горячо интересовались античностью и придавали большое значение возрождению

русского национального искусства, обращению к русской истории и созданию национальных произведений на основе классических античных форм и образцов.

В 1808 году Крылов принимает деятельное участие в театральном журнале «Драматический вестник», издававшемся А. Шаховским.

Либеральные веяния начала царствования Александра I при всей их кратковременности и демагогическом характере дали возможность Крылову вновь вернуться к литературной деятельности. Наряду с баснями он в 1806-1807 годах пишет две комедии - «Модная лавка» и «Урок дочкам» - и комическую оперу «Илья-Богатырь». Эти драматические произведения, имевшие громкий успех у тогдашних зрителей, проникнуты были горячим патриотическим чувством, стремились возбудить в русском обществе любовь и уважение к своей национальной культуре.

В начале 1809 года вышла первая книга басен Крылова. С тех пор Крылов в течение четверти века продолжал свою деятельность баснописца.

В 1811 году Крылов избирается членом «Беседы любителей русского слова», объединявшей писателей старшего поколения. Это не помешало ему иронически относиться к высокопоставленным участникам «Беседы», в большинстве своем бездарным поэтам, сторонникам отживших литературных традиций, которых он высмеял в басне «Демьянова уха». Крылов никогда не замыкался в каком-либо одном, узко-литературном кружке.

В 1812 году Крылов поступил на службу в только что основанную Публичную библиотеку, директором которой был назначен А. Н. Оленин. Там Крылов прослужил около 30 лет, до самой отставки в 1841 году. За время своей длительной службы в Публичной библиотеке Крылов проявил себя как деятельный организатор русского отдела библиотеки.

Отечественная война 1812 года, героический подвиг русского народа, разбившего иноземных захватчиков, вызвали широкий общественный подъем. В обстановке этого подъема складывалось и басенное творчество великого

русского баснописца, являвшегося выразителем народных чаяний. События войны 1812 года вдохновили баснописца на создание таких басен, как «Волк на псарне», «Ворона и Курица», «Щука и Кот».

2.2. Исторические реалии в баснях И.А. Крылова

На фоне высокоторжественной патетической лирики двенадцатого года весьма резко выделяются басни И.А. Крылова.

В год Отечественной войны 1812 года Крылов становится политическим писателем, именно того направления, которого держалось большинство русского общества. Также ясно политическая идея видна и в баснях двух последующих годов, напр. «Щука и Кот» (1813) и «Лебедь, Щука и Рак» (1814; она имеет в виду не Венский конгресс, за полгода до открытия которого она написана, а выражает недовольство русского общества действиями союзников Александра I).

Басня, как известно, не принадлежит к жанрам, в которых решаются большие исторические проблемы. Басни Крылова - удивительное исключение. Ибо не будет преувеличением сказать, что, пожалуй, никто из русских писателей того времени не подошел к пониманию подлинно народного характера Отечественной войны так близко, никто не выразил именно народного взгляда на нее с такою отчетливостью, с какою это сделал великий русский баснописец.

Басня «Раздел». В ночь на 24 июня 1812 года Наполеон отдал приказ начать переправу через Неман. Войну Россия встретила неподготовленной. Не было стратегического плана ведения войны. Армия Наполеона быстро продвигалась, захватывая один за другим города, сёла, деревни. Над страной нависла смертельная опасность. В этой ситуации Крылов пишет басню «Раздел», в которой говорится торгашах, которые, «имея общий дом и общую контору», так увлеклись дележом денег, что не заметили пожара.вспыхнувшего в доме. В басне звучало обращение к россиянам, которые ещё не осознали, не прониклись

мыслью о необходимости ставить общее дело – дело спасения Отечества – выше личных интересов, личных выгод.

В начале войны, до назначения главнокомандующим М.И. Кутузова, среди военного командования бытовали разногласия и недоразумения. Басня «Раздел» была острой реакцией на эту трагическую для России ситуацию:

В делах, которые гораздо поважней,

Нередко от того погибель всем бывает,

Что чем бы общую беду встречать дружней,

Всяк споры затевает

О выгоде своей.

Один из красноречивейших примеров в этом отношении - знаменитая басня «Ворона и Курица» .

Уже в экспозиции басни Крылов проводит мысль, отчетливо противостоящую точке зрения правительственных кругов,- мысль об исторической правоте М. И. Кутузова, который, «противу дерзости искусством воружась, вандалам новым сеть поставил и на погибель им Москву оставил». Народ верит Кутузову, понимает его в этом нелегком, но единственно верном решении - оставить древнюю русскую столицу:

Тогда все жители, и малый, и большой,

Часа не тратя, собралися

И вон из стен московских поднялися,

Как из улья пчелиный рой.

И вот какой знаменательный разговор происходит между двумя обитательницами московских подворий - Вороной и Курицей:

Ворона с кровли тут на всю эту тревогу

Спокойно, чистя нос, глядит.

«А ты что ж, кумушка, в дорогу? -

Ей с возу Курица кричит.-

Ведь говорят, что у порогу

Наш супостат».- «Мне что до этого за дело? -

Вещунья ей в ответ. - Я здесь останусь смело.

Вот ваши сестры - как хотят;

А ведь ворон ни жарят, ни варят:

Так мне с гостьми не мудрено ужиться,

А может быть, еще удастся поживиться

Сырком, иль косточкой...»

Разговор и в самом деле знаменательный. Ибо в этом простодушном диалоге двух «простодушных птиц» с предельной, поистине притчевой ясностью обнажается суть одной из сложных и весьма болезненных нравственно-социальных ситуаций того времени, ситуации, в которой проявляется поразительное несовпадение интересов различных слоев русского общества в их отношении к великому общенациональному делу - защите Отечества. В беззаботных речах Вороны - не просто беспечность существа, привыкшего жить «как бог на душу положит». Смысл их гораздо глубже, определеннее, коварнее. За их внешним легкомыслием - лукавый умысел, тайная надежда на дружбу с врагом, с которым ей нечего делить, - словом, все то, что достаточно определенно проявилось в социальной психологии известной части высшего общества того времени.

Тонкая и острая эпиграмма скрыта в басне «Щука и Кот» , эпиграмма на адмирала Чичагова, неумелые действия которого позволили Наполеону выскользнуть из окружения на Березине.

Басню же «Волк на псарне» хочется назвать эпической - настолько отчетливо и полно выразил в ней Крылов самый «сюжет» народной войны. Не случайно, как свидетельствует один из современников, она так нравилась самому Кутузову. «И. А. Крылов, собственною рукою переписав басню «Волк на

псарне», отдал ее княгине Катерине Ильиничне, а она при письме своем отправила ее к светлейшему своему супругу. Однажды, после сражений под Красным, объехав с трофеями всю армию, полководец наш сел на открытом воздухе, посреди приближенных к нему генералов и многих офицеров, вынул из кармана рукописную басню И. А. Крылова и прочел ее вслух.. При словах: «Ты сер, а я, приятель, сед», произнесенных им с особою выразительностью, он снял фуражку и указал на свои седины. Все присутствующие восхищены были этим зрелищем, и радостные восклицания раздавались повсюду».

«Обоз»

Впервые напечатана в «Сыне отечества», в ноябре 1812 г.

Басня касается стратегии и тактики Кутузова в Отечественной войне 1812 г. Полководец подвергался постоянным нападкам со стороны Александра I и военной молодежи из-за уклонений от решительных сражений под стенами Москвы и после сдачи ее Наполеону, Крылов оправдывал неспешные, но продуманные действия Кутузова, должные, как понимал баснописец, привести к полному краху Наполеона, и порицал повеления Александра I, торопившего Кутузова и толкавшего его к промахам и ошибкам. Не менее досадны были для Кутузова ропот и горькие нарекания его молодых сподвижников. Вероятно, Крылов не знал о словах, сказанных старым фельдмаршалом принцу Вюртембергскому: "Наши молодые горячие головы негодуют на старика, что я удерживаю их порывы. Они не обращают внимания на обстоятельства, которые делают гораздо более, нежели сколько могло бы сделать наше оружие". Тем значительнее историческое, политическое и военное чутье Крылова, чья басня защищала Кутузова и его план от наскоков неопытных молодых людей. Их патриотические чувства были объяснимы, но не становились от этого более истинными.

Тем самым под образом "коня доброго" Крылов имел в виду Кутузова с его осторожностью и выдержкой при отражении наполеоновского нашествия.

А примешься за дело сам,

Так напроказишь вдвое хуже. - Прозрачный намек на Александра I, по вине которого было проиграно Аустерлицкое сражение.

Крылов оправдывает здесь осторожную тактику Кутузова и кажущуюся медленность его действий, вызывавших неудовольствие со стороны Александра I, требовавшего более решительных мероприятий. В рескрипте на имя главнокомандующего, полученном Кутузовым за несколько дней до Тарутинского сражения, Александр I указывал, что Кутузов мог бы «с выгодою атаковать неприятеля... и истребить оного», при этом подчеркивалось, что Кутузов должен показать «решительность и деятельность». Однако мудрая и осмотрительная тактика Кутузова вскоре оправдала себя.

Самая популярная басня И.А. Крылова, связанная с событиями Отечественной войны – «Волк на псарне». Впервые напечатана в «Сыне отечества», в октябре 1812 г. Написана в связи с получением в Петербурге известий о попытке Наполеона вступить в мирные переговоры через Лористона, имевшего 23 сентября 1812 г. свидание с Кутузовым. Лористон передал Кутузову мирные предложения Наполеона, приведенные в донесении Кутузова Александру I. В них указывалось, что Наполеон «желает положить предел несогласиям между двумя великими народами и положить его навсегда». Кутузов решительно отклонил предложения Наполеона и 6 октября нанес поражение французским войскам при Тарутине..

По свидетельству современника, «Крылов собственною рукою переписав басню, отдал жене Кутузова, которая отправила её в своём письме. Кутузов прочитал басню после сражения собравшимся вокруг него офицерам и при словах: « а я, приятель, сед», снял свою фуражку и потряс наклонённою головою».

В басне автор отчетливо и полно выразил самый « сюжет» народной войны. Аллегория произведения понятна. Это не волк ошибся и залез не туда, а Наполеон просчитался, думая, что для него Москва будет лёгкой добычей, а

попал в безвыходное положение:

Но, видя то, что тут не перед стадом

И что приходит наконец

Ему расчесться за овец,

Пустился мой хитрец

В переговоры.

Русский полководец ответил послу Наполеона Лористону: « Я буду проклят потомством, если меня сочтут зачинщиком какого-либо соглашения, потому что таково теперешнее настроение моего народа».

Так же ответил и ловчий в басне:

А потому обычай мой:

С волками иначе не делать мировой,

Как снявши шкуру с них долой.

Заключение

И.А. Крылов вместе со своим народом переживал тревогу за судьбу своего Отечества, вместе с ним радовался победе.

После войны 1812 года баснописец прожил 30 лет, написал около 150 басен, но те несколько превратились в живую историю войны.

Различные «реалии» эпохи прочитываются в подтексте и многих других басен великого русского баснописца, и проницательные современники всегда умели их прочитать.

Спустя 100 лет после смерти писателя, в годы другой, Великой Отечественной войны об И.А. Крылове замечательно сказал М.В. Исаковский:

Всё знал и видел ум певца пытливый,

Всего сильней желая одного,

Чтоб жили жизнью вольной и счастливой

Народ и родина его.

Приложение

Даты

История(события)

Историко-краеведческие материалы

Литература, живопись, скульптура

1802г.-Наполеон провозгласил себя пожизненным консулом.1804г.-провозгласил себя императором1807г.-Тильзитский мир

Внешняя политика накануне войны, взаимоотношения Александра 1 и Наполеона.

Начало войны. Планы и силы сторон.

В.В.Верещагин «Взят с оружием в руках!»

Басня И. А. Крылова «Кот и повар»

Начало августа 1812г.

Смоленское сражение

Басня И. А. Крылова «Обоз»

Август 1812г.

Назначение Кутузова главнокомандующим.

Бородинское сражение.

Совет в Филях.

Воспоминания участника сражения

Бородино.1812год.//Б.С. Абалихин, Л.П.Богданов, В.П.Бучнева.-М.:Мысль,1987.

стр.109

В.В.Верещагин «Конец Бородинского сражения»

2 сентября 1812г-Наполеон вступил в Москву. Ожидание Наполеоном переговоров о мире.

С первых дней война носила всенародный, отечественный характер.

Тарутинский манёвр.

Партизанское движение.

Из письма генерала Ф.Ф.Винценгероде Александру 1

Вологжане в Отечественной войне 1812 года. - Вологда,2003.

Государственный архив Вологодской области.

Формирование ополчения и сбор средств для нужд действующей армии.

Всего от верховажского общества в 1812г. Пожертвования 1325 рублей.(КАУВО «Государственный архив Вологодской области» ф.18,оп.1,д.286,л.64)

«Перед Москвой-ожидание депутации бояр», «Не замай!» В.В. Верещагин,

И.А. Крылов «Волк на псарне»

Конец декабря1812г

Изгнание Наполеона из России

Окончание войны

Манифест об окончании Отечественной войны

Император Александр 1 подписал особый манифест, в котором говорилось о том, чтобы «в первопрестольном граде нашем Москве создать церковь во имя Спасителя Христа».

Список литературы:

1.И. А. Крылов. Басни. Москва, 1965 г.

2. И.А. Крылов. Избранные сочинения. Москва, 1969 г.

3. Д. Благой. Статья. Иван Андреевич Крылов. Москва, 1969 г.

4. Н.С. Шер. Статья.. Иван Андреевич Крылов. Москва, 1965 г.

5. Н.М. Лебедев. Война 1812 года в произведениях писателей нашего края. Тверь, 2012 г.

На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод - метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.

Тема: Разложение многочленов на множители

Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:

Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:

Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.

Итак, вынесем общий множитель за скобки:

;

Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.

Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:

Сгруппируем первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:

Вынесем общие множители в группах:

У выражения появился общий множитель. Вынесем его:

Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:

;

Распишем выражение подробно:

Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:

Сегодня мы выучим еще один способ - метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:

Формула квадрата суммы(разности);

Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:

Распишем выражение:

Итак, первое выражение это , а второе .

Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:

Свернем полный квадрат суммы:

Преобразуем полученное выражение:

Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:

Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения a и b, которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере. После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.

Перейдем к решению примеров.

Пример 1 - разложить на множители:

Найдем выражения, которые стоят в квадрате:

Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:

Прибавим и отнимем удвоенное произведение:

Свернем полный квадрат суммы и приведем подобные::

Распишем по формуле разности квадратов:

Пример 2 - решить уравнение:

;

В левой части уравнения стоит трехчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности :

У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:

Свернем полный квадрат и приведем подобные члены:

Применим формулу разности квадратов:

Итак, имеем уравнение

Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения:

Решим первое уравнение:

Решим второе уравнение:

Ответ: или

;

Поступаем аналогично предыдущему примеру - выделяем квадрат разности.

Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.

Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена , т.е. делает преобразование вида:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) и раскладывает на множители квадратный трехчлен : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \(p, q \) и \(n, m \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} x + \frac{1}{7}x^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки . В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Пример подробного решения

Выделение квадрата двучлена. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} = $$ $$2\left(x^2 + 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x + \left(\frac{1}{2} \right)^2 \right)-\frac{9}{2} = $$ $$2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$ Разложение на множители. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Решить

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+p) 2 +q, где p и q - действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена .

Выделим из трехчлена 2x 2 +12x+14 квадрат двучлена.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 3 2 . Получим:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена , и показоли, что:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Разложение на множители квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m - действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена .

Покажем на примере как это преобразование делается.

Разложим квадратный трехчлен 2x 2 +4x-6 на множители.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен , и показоли, что:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому трехчлену имеет корни.
Т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x 2 +4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3, т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач

Как я уже отмечал, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования дроби . И поэтому наблюдается грустная тенденция: чем «навороченнее» дробь, тем труднее найти от нее интеграл. В этой связи приходится прибегать к различным хитростям, о которых я сейчас и расскажу. Подготовленные читатели могут сразу воспользоваться оглавлением :

• Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

Метод искусственного преобразования числителя

Пример 1

Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая , но запись решения получится значительно длиннее.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.

Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто . В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).

Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя, больше старшей степени знаменателя .

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Начинаем подбирать числитель.

Алгоритм подбора числителя примерно такой:

1) В числителе мне нужно организовать , но там . Что делать? Заключаю в скобки и умножаю на : .

2) Теперь пробую раскрыть эти скобки, что получится? . Хмм… уже лучше, но никакой двойки при изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на :

3) Снова раскрываю скобки: . А вот и первый успех! Нужный получился! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое . Что делать? Чтобы выражение не изменилось, я обязан прибавить к своей конструкции это же :
. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать ?

4) Можно. Пробуем: . Раскрываем скобки второго слагаемого:
. Простите, но у меня вообще-то было на предыдущем шаге , а не . Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на :

5) Снова для проверки раскрываю скобки во втором слагаемом:
. Вот теперь нормально: получено из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое , значит, я обязан прибавить к своему выражению :

Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:
Гуд.

Таким образом:

Готово. В последнем слагаемом я применил метод подведения функции под дифференциал.

Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция . Рассмотренный метод разложения в сумму – есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.

Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно. Припоминаю рекордный случай, когда я выполнял подбор для 11-й степени, и разложение числителя заняло почти две строчки Вёрда.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

Переходим к рассмотрению следующего типа дробей.
, , , (коэффициенты и не равны нулю).

На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле . Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:

Пример 5

Пример 6

Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в примере 6 сначала необходимо представить знаменатель в виде , потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой .

Да что смотреть, попробуйте самостоятельно решить примеры №№7,8, тем более, они достаточно короткие:

Пример 7

Пример 8

Найти неопределенный интеграл:

Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то большой респект – Ваши навыки дифференцирования на высоте.

Метод выделения полного квадрата

Интегралы вида , (коэффициенты и не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата , который уже фигурировал на уроке Геометрические преобразования графиков .

На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:

Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их соответственно в либо .

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

Это простейший пример, в котором при слагаемом – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).

Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:

Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:

Теперь можно применить формулу :

После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.

Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:

Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала: , в принципе, можно было пренебречь

Пример 10

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Пример 11

Найти неопределенный интеграл:

Что делать, когда перед находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!

Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить:

Тут получилась формула , применяем:

ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:
, что и требовалось проверить.

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Усложняем задачу

Пример 12

Найти неопределенный интеграл:

Здесь при слагаемом уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».

(1) Если при находится константа, то её сразу выносим за скобки.

(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

(3) Очевидно, что всё сведется к формуле . Надо разобраться в слагаемом , а именно, получить «двойку»

(4) Ага, . Значит, к выражению прибавляем , и эту же дробь вычитаем.

(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить , но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма , и действие выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.

(6) Собственно, можно применить формулу , только вместо «икс» у нас , что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию следовало подвести под знак дифференциала: , но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают.

(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:

Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы , но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.

Подведение числителя под знак дифференциала

Это заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? ;)

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты , и не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?