Расчет длины дуги по хорде и высоте. Даны центральный угол φ и высота сегмента H. Касательная к окружности
Углом называется геометрическая фигура, которая образована двумя лучами – сторонами угла, исходящими из одной точки – вершины угла. Обычно для построения плоского угла в планиметрии используется транспортир, с помощью которого можно легко отложить угол с заданной градусной мерой, но как быть, если под рукой этого инструмента нет?Для построения угла можно воспользоваться тригонометрическими функциями и построением прямоугол ьного треугол ьника.
Вам понадобится
- Полная таблица тангенсов, линейка
Инструкция
Пусть стоит задача построить угол
некоторой размерности?.
Построим отрезок AB произвольной . Использую соотношение катетов в угол
ьном треугол
ьнике можно BC этого треугол
ьника BC = AB tg?, тангенса угла? можно узнать по .
Далее от точки A необходимо отложить отрезок длины BC перпендикулярно отрезку AB.
Видео по теме
Обратите внимание
Для построения углов ∠α ≥ 90º, необходимо построить угол ∠β
Все чаще в повседневной практике приходится решать задачи, которые когда-то как семечки щелкали на уроках математики, но по прошествии лет, что-то подзабылось. Нахождение длины дуги окружности - одна из задач, с которой человек может столкнуться в жизни.
Вам понадобится
- калькулятор, значение числа π = 3,14 , значение радиуса r и центрального угла α, взятых из условия задачи.
Инструкция
Для начала нужно определиться с понятиями. Окружность - это множество всех точек плоскости, находящихся на данном положительном расстоянии от некоторой данной точки плоскости, называемой центром (точка О). Дуга - часть окружности , расположенная между А и В этой окружности , где ОА и ОВ радиусы этой окружности . Чтобы различать эти дуги , на каждой из них отмечают промежуточную L и М. Таким образом, получаем две дуги ALB и AMB.
Итак, дуга окружности
определяется радиусом окружности
r и центральным углом?. Зная эти два , несложно длину
дуги
L по формуле:
L = ?r?/180
где? - числовая константа равная 3,14.
Подставив в формулу значения?, r, ? и вооружившись калькулятором, вы легко вычислите длину
дуги
L.
Длиной принято обозначать расстояние между двумя точками какого-либо отрезка. Это может быть прямая, ломаная или замкнутая линия. Вычислить длину можно довольно простым путем, если знать некоторые другие показатели отрезка.
Инструкция
Если вам нужно найти длину стороны квадрата, то это не составит , если вам известна его площадь S. В связи с тем, что все стороны квадрата имеют , вычислить величину одной из них можно по формуле: a = √S.
Проектировщикам приходится рассчитывать длину дуги, знач только предположительную высоту моста или перекрытия и длину пролета. В этом случае сделайте чертеж. Пролет будет являться хордой, а высота - частью радиуса. Проведите ее из самой верхней точки будущей арки перпендикулярно к и продолжите дальше, до предполагаемого центра окружности. Высота делит пополам. Центр соедините с концами , получив таким образом еще 2 радиуса. Вычислите радиус по теореме Пифагора, то есть R=√a2+(R-h)2.
Обратите внимание
Две точки делят окружность на две дуги. В задании может быть указано, длину какой из них нужно найти. В этом случае необходимо вычислить больший угол, отняв от полного угла заданный острый.
При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой , то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.
Инструкция
Первый случай (). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.
Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).
Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).
Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный первого рода (по длине дуги). Криволинейные вычисляют их определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что появится слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).
Источники:
- Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для ВТУЗов. Т.1.-М.: Наука, 1972.-576 с.
- вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла
Дугой называется часть окружности. Окружность - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой центром. В бытовых ситуациях, когда погрешность не важна и измерения затруднены, длину дуги иногда измеряют с помощью мягкого материала, например нити, который повторяет форму дуги , а затем выпрямляется и измеряется. Для серьёзных измерений такой метод неприемлем.
Окружностью называют замкнутую, плоскую кривую, все точки которой, лежащие в одной плоскости, удалены на одинаковом расстоянии от центра.
Точка О является центром окружности, R является радиусом окружности — расстоянием от какой-нибудь точки окружности до центра. По определению все радиусы замкнутой
рис. 1
кривой имеют одинаковую длину.
Расстояние между двумя точками окружности называется хордой. Отрезок окружности, проходящий через ее центр и соединяющий две ее точки, называется диаметром. Середина диаметра является центром окружности. Точки окружности делят замкнутую кривую на две части, каждая часть носит название дуги окружности. Если концы дуги принадлежат диаметру, то такая окружность называется полуокружностью, длину которой принято обозначать π . Градусная мера двух окружностей, имеющих общие концы, составляет 360 градусов.
Концентрические окружности - это окружности, имеющие общий центр. Ортогональные окружности — это окружности, которые пересекаются под углом равным 90 градусов.
Плоскость, которую ограничивает окружность, называется кругом. Одна часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой — это круговой сектор. Дуга сектора - это дуга, ограничивающая сектор.
Рис. 2
Взаимное расположение окружности и прямой (рис.2).
Окружность и прямая имеют две общие точки, если расстояние от прямой до центра окружности менее радиуса окружности. В таком случае прямая по отношению к окружности называется секущей.
Окружность и прямая имеют одну общую точку, если расстояние от прямой до центра окружности равно радиусу окружности. В таком случае прямая по отношению к окружности называется касательной к окружности. Их общая точка носит название точки касания окружности и прямой.
Основные формулы окружности:
- C = 2πR , где C — длина окружности
- R = С/(2π) = D/2 , где С/(2π) — длина дуги окружности
- D = C/π = 2R , где D — диаметр
- S = πR2 , где S — площадь круга
- S = ((πR2)/360)α , где S — площадь кругового сектора
Окружность и круг получили свое название в Древней Греции. Уже в древности человека интересовали круглые тела, поэтому окружность становилась венцом совершенства. То, что круглое тело могло двигаться само по себе, стало толчком к изобретению колеса. Казалось бы, что особенного в этом изобретении? Но представьте, если в одно мгновение колеса исчезнут из нашей жизни. В дальнейшем это изобретение и породило математическое понятие окружности.
Формула для нахождения длины дуги окружности довольно проста, и очень часто на важных экзаменах типа ЕГЭ встречаются такие задачи, которые невозможно решить без ее применения. Также необходимо ее знать для сдачи международных стандартизированных тестов, например SAT и других.
Чему равна длина дуги окружности?
Формула выглядит следующим образом:
l = πrα / 180°
Что собой представляет каждый из элементов формулы:
- π - число Пи (постоянная величина, равная ≈ 3,14);
- r - радиус данной окружности;
- α - величина угла, на который опирается дуга (центральный, а не вписанный).
Как видно, чтобы решить задачу, в условии должны присутствовать r и α. Без этих двух величин длину дуги найти невозможно.
Каким образом выводится эта формула и почему она так выглядит?
Все предельно легко. Станет намного понятнее, если в знаменателе поставить 360°, а в числителе спереди добавить двойку. Также можно α не оставить в дроби, вывести ее и написать со знаком умножения. Это вполне можно себе позволить, так как данный элемент стоит в числителе. Тогда общий вид станет таким:
l = (2πr / 360°) × α
Просто для удобства сократили 2 и 360°. А теперь, если приглядеться, то можно заметить очень знакомую формулу длины всей окружности, а именно - 2πr. Весь круг состоит из 360°, потому мы делим полученную меру на 360 частей. Затем мы умножаем на число α, то есть на то количество "кусков пирога", которое нам требуется. Но всем доподлинно известно, что число (то есть длина всей окружности) не может делиться на градус. Что же делать в таком случае? Обычно, как правило, градус сокращается с градусом центрального угла, то есть с α. После же остаются только числа, а в итоге получается конечный ответ.
Этим можно объяснить то, почему длина дуги окружности находится таким образом и имеет такой вид.
Пример задачи средней сложности с применением данной формулы
Условие: Имеется окружность с радиусом 10 сантиметров. Градусная мера центрального угла составляет 90°. Найти длину дуги окружности, образованную этим углом.
Решение: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π
Ответ: l = 5π
Также возможно, чтоб вместо градусной меры давалась бы радианная мера угла. Ни в коем случае не стоит пугаться, ведь на сей раз задача стала намного легче. Чтобы перевести радианную меру в градусную, нужно данное число умножить на 180° / π. Значит, теперь можно подставить вместо α следующую комбинацию: m × 180° / π. Где m - это радианное значение. А дальше 180 и число π сокращаются и получается совершенно упрощенная формула, которая выглядит следующим образом:
- m - радианная мера угла;
- r - радиус данной окружности.
- 16.11.2014
На рисунке показана схема простого усилителя мощности класса А на транзисторах. Усилитель имеет выходную мощность порядка 20Вт на 8 Ом нагрузке. Напряжение питания может быть в пределах от 22В до 28В (4А). Источник — http://www.eleccircuit.com/class-a-amplifier-by-transistor/
- 29.09.2014
Данный усилитель предназначен для усиления мощности передатчика карманной радиостанции в диапазоне 144 МГц. При подачи на его вход сигнала мощностью 0,05Вт и питании 24В усилитель выдает мощность 5-6Вт, а при питании его напряжением 12В он выдает 3-4Вт. Входное и выходное сопротивления равны 50 Ом. Описание: первый каскад работает в классе …
- 04.10.2014
В промышленных аппаратах используют разные способы регулировки тока: шунтирование с помощью дросселей всевозможных типов, изменение магнитного потока за счет подвижности обмоток или магнитного шунтирования, применение магазинов активных балластных сопротивлений и реостатов. К недостаткам такой регулировки надо отнести сложность конструкции, громоздкость сопротивлений, их сильный нагрев при работе, неудобство при переключении. Наиболее …
- 03.10.2014
На рисунке показана схема простого преобразователя напряжения на TL496. Преобразователь преобразует постоянное напряжение 3В в постоянное напряжение 9В. Преобразователь напряжения весьма прост, он состоит из микросхемы TL496 и конденсатора и дросселя на 50мкГн. Выходной ток преобразователя может достигать 400мА (не гарантировано выходное напряжение 9В). Ток потребления преобразователя без нагрузки 125мкА.