Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Сходность; одинаковость, либо соразмерное подобие расположенья частей целого, двух половин; сообразие, сообразность; противоравенство, противоподобие. Симметрическое расположенье дома, фасада, равнообразное на обе половины. Полная симметрия докучает, а изящное разнообразие красит и тешит вкус.

Определение слова «Симметрия» по БСЭ:
Симметрия - Симметрия (от греч. symmetria - соразмерность)
в математике,
1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости α в пространстве (относительно прямой а на плоскости), - преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М переходит в точку M такую, что отрезок MM перпендикулярен плоскости α (прямой а) и делится ею пополам.
Плоскость α (прямая а) называется плоскостью (осью) С.
Отражение - пример ортогонального преобразования, изменяющего ориентацию (в отличие от собственного движения). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений - этот факт играет существенную роль в исследовании С. геометрических фигур.
2) Симметрия (в широком смысле) - свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность формы Ф, неизменность её при действии движений и отражений. Точнее, фигура Ф обладает С. (симметрична), если существует нетождественное ортогональное преобразование, переводящее эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой, называемой группой симметрии этой фигуры (иногда сами эти преобразования называются симметриями).
Так, плоская фигура, преобразующаяся в себя при отражении, симметрична относительно прямой - оси С. (рис. 1); группа симметрии состоит из двух элементов. Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/n, n - целое число ≥ 2, переводят её в себя, то Ф обладает С. n-го порядка относительно точки O - центра С.
Примером таких фигур являются правильные многоугольники (рис. 2); группа С. здесь - т. н. циклическая группа n-го порядка. Окружность обладает С. бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).
Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются центральная С., осевая С. и С. переноса.
а) В случае центральной симметрии (инверсии) относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, другими словами, точка О - середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф (рис. 3). б) В случае осевой симметрии, или С. относительно прямой n-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси С.) на угол 360°/n. Например, куб имеет прямую AB осью С. третьего порядка, а прямую CD - осью С. четвёртого порядка (рис. 3); вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых.
Расположение, количество и порядок осей С. играют важную роль в кристаллографии (см. Симметрия кристаллов), в) Фигура, накладывающаяся на себя последовательным вращением на угол 360°/2k вокруг прямой AB и отражением в плоскости, перпендикулярной к ней, имеет зеркально-осевую С. Прямая AB, называется зеркально-поворотной осью С. порядка 2k, является осью С. порядка k (рис. 4). Зеркально-осевая С. порядка 2 равносильна центральной С. г) В случае симметрии переноса фигура накладывается на себя переносом вдоль некоторой прямой (оси переноса) на какой-либо отрезок. Например, фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями от плоскостей, перпендикулярных оси переноса) (рис. 5). Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кристаллических решёток.
В искусстве С. получила распространение как один из видов гармоничной композиции. Она свойственна произведениям архитектуры (являясь непременным качеством если не всего сооружения в целом, то его частей и деталей - плана, фасада, колонн, капителей и т. д.) и декоративно-прикладного искусства. С. используется в качестве основного приёма построения бордюров и Орнаментов (плоских фигур, обладающих соответственно одной или несколькими С. переноса в сочетании с отражениями) (рис. 6, 7).
Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С. геометрических фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая С., осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 8) (подробнее см. в ст. Симметрия в биологии). С. конфигурации молекул, сказывающаяся на их физических и химических характеристиках, имеет значение при теоретическом анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях (см. Симметрия в химии). Наконец, в физических науках вообще, помимо уже указанной геометрической С. кристаллов и решёток, приобретают важное значение представления о С. в общем смысле (см. ниже). Так, симметричность физического пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности (см. Относительности теория), позволяет установить т. н. Сохранения законы; обобщённая С. играет существенную роль в образовании атомных спектров и в классификации элементарных частиц (см. Симметрия в физике).
3) Симметрия (в общем смысле) означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Например, С. законов теории относительности определяется инвариантностью их относительно Лоренца преобразований. Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т. е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики, позволяющим глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта в целом и его частей.
Поскольку такой объект можно представить элементами некоторого пространства P, наделённого соответствующей характерной для него структурой, постольку преобразования объекта являются преобразованиями P. Т. о. получается представление группы G в группе преобразований P (или просто в P), а исследование С. объекта сводится к исследованию действия G на P и отысканию инвариантов этого действия. Точно так же С. физических законов, управляющих исследуемым объектом и обычно описывающихся уравнениями, которым удовлетворяют элементы пространства P, определяется действием G на такие уравнения.
Так, например, если некоторое уравнение линейно на линейном же пространстве P и остаётся инвариантным при преобразованиях некоторой группы G, то каждому элементу g из G соответствует линейное преобразование T g в линейном пространстве R решений этого уравнения. Соответствие g
→ T g является линейным представлением G и знание всех таких её представлений позволяет устанавливать различные свойства решений, а также помогает находить во многих случаях (из «соображений симметрии») и сами решения. Этим, в частности, объясняется необходимость для математики и физики развитой теории линейных представлений групп. Конкретные примеры см. в ст. Симметрия в физике.
Лит.: Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. - Л., 1940; Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.
М. И. Войцеховский.
Рис. 1. Плоская фигура, симметричная относительно прямой АВ; точка М преобразуется в М’ при отражении (зеркальном) относительно АВ.

Рис. 3. Куб, имеющий прямую AB осью симметрии третьего порядка, прямую CD - осью симметрии четвёртого порядка, точку О - центром симметрии. Точки М и M куба симметричны как относительно осей AB и CD, так и относительно центра О.

Рис. 4. Многогранник, обладающий зеркально-осевой симметрией; прямая AB - зеркально-поворотная ось четвёртого порядка.

Рис. 5. Фигуры, обладающие симметрией переноса: верхняя фигура имеет также бесконечное множество вертикальных осей симметрии (второго порядка), т. е. плоскостей отражения

Рис. 6. Бордюр, накладывающийся на себя или переносом на некоторый отрезок вдоль горизонтальной оси, или отражением (зеркальным) относительно той же оси и переносом вдоль неё на отрезок, вдвое меньший.

Рис. 7. Орнамент; осью переноса является любая прямая, соединяющая центры двух каких-либо завитков.

Рис. 8. Фигура, обладающая винтовой симметрией, которая осуществляется переносом вдоль вертикальной оси, дополненным вращением вокруг неё на 90°. Симметрия - в физике. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают С. (или инвариантны) относительно данных преобразований. В математическом отношении преобразования С. составляют группу.
Опыт показывает, что физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований.
Непрерывные преобразования
1) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это и последующие пространственно-временные преобразования можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование - реальный перенос физической системы относительно выбранной системы отсчёта или как пассивное преобразование - параллельный перенос системы отсчёта. С. физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, т. е. отсутствие в пространстве каких-либо выделенных точек (однородность пространства).
2) Поворот системы как целого в пространстве. С. физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).
3) Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). С. относительно этого преобразования означает, что физические законы не меняются со временем.
4) Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. С. относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта (см. Относительности теория).
5) Калибровочные преобразования. Законы, описывающие взаимодействия частиц, обладающих каким-либо зарядом (электрическим зарядом, барионным зарядом, лептонным зарядом, гиперзарядом), симметричны относительно калибровочных преобразований 1-го рода. Эти преобразования заключаются в том, что волновые функции всех частиц могут быть одновременно умножены на произвольный фазовый множитель:

ψ j → e iz j β ψ j , ψ * j → e −iz j β ψ * j ,

(1)

где ψ j - волновая функция частицы j, ψ * j - комплексно сопряжённая ей функция, z j - соответствующий частице заряд, выраженный в единицах элементарного заряда (например, элементарного электрического заряда e), β - произвольный числовой множитель.
Наряду с этим Электромагнитные взаимодействия симметричны относительно калибровочных (градиентных) преобразований 2-го рода для потенциалов электромагнитного поля (A, φ):
A → А + grad f, 23/2302744.tif, (2)
где ƒ(x, y, z, t) - произвольная функция координат (x, y, z) и времени (t), c - скорость света. Чтобы преобразования (1) и (2) в случае электромагнитных полей выполнялись одновременно, следует обобщить калибровочные преобразования 1-го рода: необходимо потребовать, чтобы законы взаимодействия были симметричны относительно преобразований (1) с величиной β, являющейся произвольной функцией координат и времени: 23/2302745.tif, где η - Планка постоянная.
Связь калибровочных преобразований 1-го и 2-го рода для электромагнитных взаимодействий обусловлена двоякой ролью электрического заряда: с одной стороны, электрический заряд является сохраняющейся величиной, а с другой - он выступает как константа взаимодействия, характеризующая связь электромагнитного поля с заряженными частицами.
Преобразования (1) отвечают законам сохранения различных зарядов (см. ниже), а также некоторым внутренним С. взаимодействия. Если заряды являются не только сохраняющимися величинами, но и источниками полей (как электрический заряд), то соответствующие им поля должны быть также калибровочными полями (аналогично электромагнитным полям), а преобразования (1) обобщаются на случай, когда величины β являются произвольными функциями координат и времени (и даже операторами, преобразующими состояния внутренней С.).
Такой подход в теории взаимодействующих полей приводит к различным калибровочным теориям сильных и слабых взаимодействий (т. н. Янга - Милса теория).
6) Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий. Сильные взаимодействия симметричны относительно поворотов в особом «изотоническом пространстве». Одним из проявлений этой С. является зарядовая независимость ядерных сил, заключающаяся в равенстве сильных взаимодействий нейтронов с нейтронами, протонов с протонами и нейтронов с протонами (если они находятся соответственно в одинаковых состояниях). Изотопическая инвариантность является приближённой С., нарушаемой электромагнитными взаимодействиями. Она представляет собой часть более широкой приближённой С. сильных взаимодействий - SU (3)-C. (см. Сильные взаимодействия).
Дискретные преобразования
Перечисленные выше типы С. характеризуются параметрами, которые могут непрерывно изменяться в некоторой области значений (например, сдвиг в пространстве характеризуется тремя параметрами смещения вдоль каждой из координатных осей, поворот - тремя углами вращения вокруг этих осей и т. д.). Наряду с непрерывными С. большое значение в физике имеют дискретные С. Основные из них следующие.
1) Пространственная инверсия (P). Относительно этого преобразования симметричны процессы, вызванные сильным и электромагнитным взаимодействиями. Указанные процессы одинаково описываются в двух различных декартовых системах координат, получаемых одна из другой изменением направлений осей координат на противоположные (т. н. от «правой» к «левой» системе координат).
Это преобразование может быть получено также зеркальным отражением относительно трёх взаимно перпендикулярных плоскостей; поэтому С. по отношению к пространственной инверсии называемой обычно зеркальной С. Наличие зеркальной С. означает, что если в природе осуществляется какой-либо процесс, обусловленный сильным или электромагнитным взаимодействием, то может осуществиться и другой процесс, протекающий с той же вероятностью и являющийся как бы
«зеркальным изображением» первого. При этом физические величины, характеризующие оба процесса, будут связаны определённым образом. Например, скорости частиц и напряжённости электрического поля изменят направления на противоположные, а направления напряжённости магнитного поля и момента количества движения не изменятся.
Нарушением такой С. представляются явления (например, правое или левое вращение плоскости поляризации света), происходящие в веществах-изомерах (оптическая Изомерия). В действительности, однако, зеркальная С. в таких явлениях не нарушена: она проявляется в том, что для любого, например левовращающего, вещества существует аналогичное по химическому составу вещество, которого являются
«зеркальным изображением» молекул первого и которое будет правовращающим.
Нарушение зеркальной С. наблюдается в процессах, вызванных слабым взаимодействием.
2) Преобразование замены всех частиц на античастицы (Зарядовое сопряжение, С). С. относительно этого преобразования также имеет место для процессов, происходящих в результате сильного и электромагнитного взаимодействий, и нарушается в процессах слабого взаимодействия. При преобразовании зарядового сопряжения меняются на противоположные значения заряды частиц, напряжённости электрического и магнитного полей.
3) Последовательное проведение (произведение) преобразований инверсии и зарядового сопряжения (Комбинированная инверсия, СР). Поскольку сильные и электромагнитные взаимодействия симметричны относительно каждого из этих преобразований, они симметричны и относительно комбинированной инверсии. Однако относительно этого преобразования оказываются симметричными и слабые взаимодействия, которые не обладают С. по отношению к преобразованию инверсии и зарядовому сопряжению в отдельности. С. процессов слабого взаимодействия относительно комбинированной инверсии может быть указанием на то, что отсутствие зеркальной С. в них связано со структурой элементарных частиц и что античастицы по своей структуре являются как бы
«зеркальным изображением» соответствующих частиц. В этом смысле процессы слабого взаимодействия, происходящие с какими-либо частицами, и соответствующие процессы с их античастицами связаны между собой так же, как явления в оптических изомерах.
Открытие распадов долгоживущих K 0 L -мезонов на 2 π-мезона и наличие зарядовой асимметрии в распадах K 0 L → π + + e − + ν e (π + + μ − + ν μ) и K 0 L → π − + е + + ν е (π − + μ + + ν μ) (см. К-мезоны) указывают на существование сил, несимметричных относительно комбинированной инверсии.
Пока не установлено, являются ли эти силы малыми добавками к известным фундаментальным взаимодействиям (сильному, электромагнитному, слабому) или же имеют особую природу. Нельзя также исключить возможность того, что нарушение СР-С. связано с особыми геометрическими свойствами пространства-времени на

Приведем текст, где имеется в виду составленность из единиц длины, но без всякого структурного взаимоотношения этих длин: «Будучи равным, оно будет тех же мер [т. е. «из того же количества единиц меры»], с тем, чем оно будет равно... Если же оно больше или меньше, по сравнению с тем, чему оно соразмерно (xymmetron), то в отношении к меньшему оно будет иметь больше мер [больше размером], а в отношении к большему оно будет иметь меньше мер [меньше размером]... С чем же оно несоизмеримо (me symmetron), в отношении к тому оно будет один раз иметь меньшие меры, другой раз большие» (Parm., 140 b). Под «симметрией», очевидно, здесь понимается просто математическая соизмеримость, т. е. возможность нахождения единой меры измерения.

в) Для характеристики термина «симметрия» имеет важное значение текст из диалога Платона «Теэтет» (147d-148 а). Текст этот представляет значительные трудности с чисто филологической стороны. Идея его сводится к тому, что Платон выдвигает на первый план при изучении симметрии прямоугольники, где стороны измеряются определенным рациональным числом, а диагонали иррациональным. Взаимоотношение стороны и диагонали каждого такого прямоугольника создает особого рода симметрию, на основе которой, как это исследовано современными теоретиками архитектуры, античные мастера возводили храмовые постройки периода классики.

Рассуждение о симметрии из «Теэтета» не осталось без отклика также и в современной искусствоведческой литературе. А именно, Д. Хэмбидж в своем учении о динамической симметрии в архитектуре3 ссылается как раз на это место платоновского «Теэтета», хотя и не подвергает его специальному анализу. Он обосновывается на большом искусствоведческом и естественнонаучном материале и, между прочим, на анализе всех основных архитектурных элементов Парфенона (а также и других греческих храмов)4. Если иметь в виду терминологию «Теэтета», то наименование рассматриваемой у этого автора симметрии как «динамической» нужно считать весьма удачным.

Рассуждение о симметрии в «Теэтете» в своем существе не выходит за пределы «Филеба», но только конкретизирует его. Объединение «предела» и «беспредельного» в художественном образе достигается в «Теэтете» при помощи геометрического построения. Геометрия в диалоге «Теэтета» служит здесь тем телесным и практическим началом, при помощи которого Платон делает свои отвлеченные построения. С помощью геометрии Платон пытается перевести на научный язык практику античного изобразительного искусства (в данном случае архитектуры).

В понятии симметрии у Платона имеется довольно существенное расхождение с обычным пониманием в западно-европейской эстетике. Расхождение это больше всего заметно благодаря чересчур большому объему этого понятия у Платона. Теперь представляют симметрию.главным образом как наличие взаимно эквивалентных частей, расположенных вокруг некоего центра или оси. Платоновское же понятие симметрии сводилось к наличию взаимно эквивалентных частей при очень расширенном понимании «центра» или «оси». Тут мыслятся не только числовые и геометрические отношения, но и отношения любых сфер бытия и жизни вообще.

Больше всего, конечно, «симметрия» мыслится (как и все прочие эстетические формы) у Платона в отношении души и космоса. Как увидим, она свойственна уже и всем элементарным фигурам, из которых строится у Платона космос (Tim., 69 b), но особенно она фиксируется на живом теле и душе и во взаимоотношениях души и тела (Tim., 87 с). Можно сказать, симметрия обладает здесь столь же широким значением, что и в досократовской эстетике, но только в ней подчеркнут творческий момент, совершенно растворенный в космологическом и физическом представлении о мире у досократиков.

Отличное определение

Неполное определение ↓

В геометрии - свойство геометрических фигур. Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная) симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), если ее точки попарно обладают указанным свойством. Фигура симметрична относительно точки (центр симметрии), если ее точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных расстояниях от него.

Определение симметрии

Понятие "симметрия" (греч. symmetria - соразмерность), по словам одного из крупнейших математиков ХХ в. Германа Вейля (1885 - 1955), "является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство". Обычно под словом "симметрия" понимается гармония пропорций - нечто уравновешенное, не ограниченное пространственными объектами (например, в музыке, поэзии и т.п.). С другой стороны, это понятие имеет и чисто геометрический смысл, заключающийся в закономерной повторяемости в пространстве равных фигур или их частей. Как писал Е.С.Федоров (1901), "симметрия есть свойство геометрических фигур повторять свои части, или, выражаясь точнее, свойство их в различных положениях приходить в совмещение с первоначальным положением".

Однако, говоря о симметричных фигурах, следует различать два вида равенства: конгруэнтное (греч. congruens - совмещающийся) и энантиоморфное - зеркально равное (греч. enantios - противоположный, morphe - форма). В первом случае подразумеваются фигуры или их части, равенство которых можно выявить простым совмещением - наложением друг на друга, т.е. "собственным" движением, переводящим левую (Л) фигуру (например, левый винт, руку) в левую, правую (П) - в правую, при котором все точки одной фигуры совпадают с соответствующими точками другой. Во втором случае - равенство выявляется с помощью отражения - движения, переводящего объект в его зеркальное изображение (левое - в правое и наоборот).

При этом все точки пространственной фигуры становятся попарно симметричными относительно плоскости. В результате таких преобразований (движений) объект совмещается сам с собой, т.е. преобразуется в себя. Иными словами, он инвариантен по отношению к этому преобразованию, а следовательно, симметричен. Само преобразование, выявляющее симметричность объекта, называемое преобразованием симметрии, сохраняет неизменными метрические свойства частей объекта, а значит, и расстояния между любой парой их точек. Таким образом, объекты можно считать симметрично равными, если все точки одного из них переводятся в соответствующие точки другого по единому правилу.