Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Характерные особенности такого вида задач:

1) В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин.

2) В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

Подготовка:

1) Работа над величинами.

2) Связь между величинами.

3) Наблюдение за зависимостью между величинами.

4) Хорошее овладение способами решения задач на нахождение четвёртого пропорционального.

Ознакомление: первые задачи на пропорциональное деление иллюстрируются или инсценируются. Переход к ознакомлению можно осуществлять от задач на нахождение четвёртого пропорционального.

Проверка решения выполняется способом установления соот­ветствия между числами, полученными в ответе, и данными в условии задачи: узнаем, действительно ли картофеля привезли на 24 кг больше чем свёклы: 72 – 48 = 24; значит, можно считать, что задача решена правильно.

Для закрепления умения решать задачи предлага­ются:

Готовые задачина нахождение неизвестных по двум раз­ностям I вида с различными группами пропорциональных ве­личин и проводятся различные упражнения творческого характера;

Задачи на нахож­дение неизвестных по двум разностям II вида;

Упражнения на преобразование задач.

Задачи, связанные с движением , т. е. задачи с ве­личинами: скорость, время, расстояние, рассматриваются в 4 классе.

Подготовительная работа к решению задач, свя­занных с движением, предусматривает обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной – ско­ростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние.

С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движе­нием транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело (трамвай, машина, человек и т.п.) может двигаться быстрее имедленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных направлениях: либо приближаясь одно к другому (двигаясь навстречу одно к другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как вы­полняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком; место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т.п. обознача­ют либо точкой на отрезке и соответствующей буквой, либо чёр­точкой, либо флажком; направление движения указывают стрел­кой. Например, встречное движение двух тел изображается так:

А ├────────┼────────┤В

Здесь отрезок обозначает расстояние, которое должны прой­ти тела до встречи, флажок – место встречи, точки А и В – пункты выхода тел, стрелки – направление движения. Полезно выполнять и обратные упражнения: по данному чертежу выпол­нять соответствующее движение.

При ознакомлении со скоростью целесообразно так органи­зовать работу, чтобы учащиеся нашли скорость своего движе­ния пешком. Для этого можно начертить во дворе, в спортзале или коридоре «замкнутую дорожку». На дорожке надо отметить расстояния по 10 м, чтобы удобнее было нахо­дить, какой путь прошёл каждый ученик. Учитель предлагает детям идти по дорожке, например, в течение 4 мин. Учащиеся сами легко найдут по десятиметровым отметкам пройденное расстояние. На уроке каждый из детей может вычислить, какое расстояние он проходит за 1 мин. Учитель сообщает, что рас­стояние, которое прошёл ученик за минуту, называют его ско­ростью. Ученики называют свои скорости. Затем учитель назы­вает скорости некоторых видов транспорта. Эти данные уча­щиеся могут записать в своих справочниках и использовать в дальнейшем при составлении задач.

Раскрытие связей между величинами : скорость – время – расстояние ведётся по такой же методике, как и раскрытие связей между другими пропорциональными величинами. В результате решения соответствующих простых задач ученики долж­ны усвоить такие связи: если известны расстояние и время дви­жения, то можно найти скорость действием деления; если из­вестны скорость и время движения, то можно найти расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, то можно найти время движения действием деления.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать состав­ные задачи, в том числе задачи на нахождение четвёртого про­порционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами: скорость, время, расстояние. При работе над этими задачами надо чаще исполь­зовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертёж помогает правильно представить жизненную ситуацию, отражённую в задаче.

Так же как и при решении задач других видов, следует включать упражнения творческого характера на преобразова­ние и составление задач.

Одновременно с решением задач названных видов в 4 клас­се вводятся задачи на встречное движение и движение в про­тивоположных направлениях. Каждая из этих задач имеет три вида в зависимости от данных и искомого:

I вид – даны скорость каждого из тел и время движения, искомое – расстояние;

II вид – даны скорость каждого из тел и расстояние, ис­комое – время движения;

III вид – даны расстояние, время движения и скорость одного из тел, искомое – скорость другого тела.

В целях подготовки к введению задач на встречное дви­жение очень важно сформировать правильные представления об одновременном движении двух тел: дети должны хорошо уяснить, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут находиться в пути одинаковое время и при этом оба пройдут всё расстояние между пунктами, из которых они вышли. Чтобы дети осознали это, следует вклю­чать задачи-вопросы, аналогичные следующим:

1) Из двух городов одновременно отплыли навстречу друг другу два теплохода и встретились через 3 ч. Сколько времени был в пути до встречи каждый теплоход?

2) Из посёлка в город вышел пешеход и в это время из го­рода навстречу ему выехал велосипедист, который встретил пешехода через 40 мин. Сколько времени был в пути до встречи пешеход?

Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение, причём целесообразно на одном уроке ввести все три вида, получая новые задачи путём преобразова­ния данной в обратные. Такой приём позволяет детям само­стоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решённой детьми. Раскроем это на конкретном примере.

Учитель читает задачу: «Из двух поселков выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встрети­лись через 2 ч. Один ехал со скоростью 15 км в час, а второй со скоростью 18 км в час. Найти расстояние между поселками».

Что известно о движении велосипедистов? Что надо узнать? Пусть это будет посёлок, из которого выехал первый велосипе­дист. (Учитель вставляет в наборное полотно карточку с рим­ской цифрой «I»). А это посёлок, из которого выехал второй велосипедист. (Вставляет карточку.) Двое из вас будут вело­сипедистами. (Выходят два ученика.) С какой скоростью ехал первый? (15 км в час.) Это твоя скорость. (Даёт карточку, на которой написано число 15.) Это твоя скорость. (Даёт второму ученику карточку.) Сколько времени они будут двигаться до встречи? (2 ч.) Начинайте двигаться. Прошел час. (Дети встав­ляют одновременно свои карточки в наборное полотно.) Про­шёл второй час. (Дети вставляют карточки.) Встретились ли велосипедисты? (Да.) Почему? (Шли до встречи по 2 ч.) Обо­значу место встречи флажком. (Вставляет флажок.) Что надо узнать? (Всё расстояние.) Обозначу вопросительным знаком. Получается иллюстрация:

После такого разбора учащиеся сами находят два способа решения. Решения надо записать с пояснениями сначала от­дельными действиями, а позднее можно записать выражение или уравнение.

Первый способ:

1) 35 ∙ 2 = 30 (км) – проехал первый велосипедист;

2) 18 ∙ 2 = 36 (км) – проехал второй велосипедист;

3) 30 + 36 = 66 (км) – расстояние между поселками.

Второй способ:

1) 15 + 18 = 33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 33 ∙ 2 = 66 (км) – расстояние между поселками.

Если дети затруднятся в решении вторым способом, надо вновь проиллюстрировать движение: прошел час – сблизились на 33км, ещё час – ещё сблизились на 33 км, т.е. велосипе­дисты проехали 2раза по 33 км.

Учитель на доске, а дети в тетрадях выполняют чертёж к решённой задаче:

15км/ч 2 ч 18 км/ч

I ├────────┼────────┤II

Выясняется, который из велосипедистов прошёл до встречи большее расстояние и почему.

Учитель изменяет условие задачи, используя тот же чертёж:

15км/ч? ч 18 км/ч

I ├────────┼────────┤II

Дети составляют задачу по этому чертежу, затем задача коллективно разбирается, после чего записывается решение с пояснениями:

1) 15+18=33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 66:33=2 (ч) – время движения до встречи.

Условие задачи ещё раз изменяется:

Км/ч 2 ч 18 км/ч

I ├────────┼────────┤II

Ученики составляют задачу, после чего коллективно разби­раются два способа решения:

Первый способ:

1) 18 ∙ 2 = 36 (км) – проехал до встречи второй велосипедист;

2) 66 – 36 = 30 (км) – проехал до встречи первый велосипедист;

3) 30: 2 = 15 (км/ч) – скорость первого велосипедиста.

Ответ: 15 км в час.

Второй способ:

1) 66: 2 = 33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 33 – 18 = 15 (км/ч) – скорость первого велосипедиста.

Ответ: 15 км в час.

На последующих уроках проводится работа по закрепле­нию умения решать задачи рассмотренных видов. С этой целью включаются готовые задачи на встречное движение, при этом учащиеся сами выполняют чертёж, выясняя предварительно, ближе к какому пункту произойдёт встреча. Как и при работе над другими задачами, следует выполнять различные упраж­нения творческого характера.

Аналогичным образом ведётся работа над задачами на дви­жение в противоположных направлениях.

Пропорция – равенство двух отношений: a/b = c/d (a, d – крайние члены пропорции; b, c – средние члены пропорции).

Основное свойство пропорции: ad = bc.

Две взаимно зависимых величины называютсяпропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным. Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности. Например, в пропорции 0,04/4 = 0,12/12 коэффициент пропорциональности равен k = 0,01.

Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной (во столько же раз) увеличивает (уменьшает) пропорционально и другую величину, то такие величины прямо пропорциональны. Примерами прямой пропорциональности являются зависимость пройденного пути от времени (при постоянной скорости), периметра квадрата от длинны его стороны. Если зависимость величин прямо пропорциональна, то их значения составляют пропорцию х 1 /х 2 = у 1 /у 2 .

Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной (во столько же раз) уменьшает (увеличивает) пропорционально и другую величину, то такие величины обратно пропорциональны. Пример обратной пропорциональности: зависимость скорости от времени (при постоянном значении пройденного пути), производительности труда от времени затраченного на выполнение определенной работы (при одинаковом объеме работы). Если зависимость величин обратно пропорциональна, то их значения составляют пропорцию х 1 /х 2 = у 2 /у 1 .

Решая задачи на пропорциональную зависимость, важно разбить решение на такие этапы :

1. Условие задачи записать в виде схемы.
2. Определить тип зависимости между величинами.
3. Прямо пропорциональная зависимость обозначается одинаково направленными стрелками. Обратно пропорциональная зависимость – стрелками противоположно направленными.
4. Обозначить неизвестное через х, записать пропорцию и найти неизвестный член.

Рассмотрим решение нескольких задач на пропорциональную зависимость.

Задача 1.

За некоторое время велосипедист проехал 5 км со скоростью 10 км/ч. Какое расстояние он проедет за то же время, увеличив свою скорость в полтора раза?

Решение.

При постоянном значении времени пройденный путь и скорость величины прямо пропорциональные. Поэтому с увеличением скорости в полтора раза, значение пути тоже увеличится в столько же раз.

Значит, он проедет 5 · 1,5 = 7,5 (км).

Ответ: 7,5 км.

Задача 2.

На некотором участке газопровода трубы длинной 4 м заменили на трубы длинной 5 м. Сколько нужно новых труб для замены 100 старых?

Решение.

Так как увеличение длинны труб приведет к уменьшению их количества на одном и том же участке газопровода, то зависимость обратно пропорциональная. Составим схему по условию.

Запишем пропорцию: 4/5 = х/100.

Откуда, х = (4 · 100)/5 = 80 (труб).

Ответ: 80 труб.

Как видим, если в условии задачи рассматриваются две величины, то решение достаточно простое, главное правильно определить вид зависимости. Но как быть, если рассматривается зависимость между тремя величинами?

Задача 3.

За 5 дней 3 маляра окрашивают 60 окон. За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

Решение.

Примем количество рабочих за постоянную величину (то есть работу выполняют постоянно 3 маляра) и рассмотрим зависимость между двумя величинами. Так как для покраски меньшего числа окон потребуется меньше дней при одном и том же количестве рабочих, то зависимость прямая.

Запишем пропорцию: 5/х = 60/48.

Откуда, х = (5 · 48)/60 = 4 (дня) – за столько дней покрасят 48 окон 3 маляра.

Для того, чтобы найти за сколько дней покрасят эти же 48 окон 2 маляра, составим таблицу, учитывая что постоянной величиной есть количество окон . Так как для меньшего числа рабочих потребуется больше дней для выполнения одного и того же задания, то зависимость обратная.

Пропорция будет такой: 4/х = 2/3.

Откуда, х = (4 · 3)/2 = 6 (дней) – за столько дней покрасят 48 окон 2 маляра.

Ответ: 6 дней.

Потребность разделить величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека, например, во время приготовления блюд, разделения прибыли между партнерами по бизнесу и т.п. Поэтому важно владеть навыками решения задач на пропорциональное деление. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 4.

Три компаньона вложили в организацию предприятия соответственно 280, 320 и 360 долларов. Прибыль, которую они получили, составила 2400 долларов. Сколько денег из прибыли получить каждый компаньон, если прибыль распределяется пропорционально вкладу каждого?

Решение.

Обозначим части прибыли, которые они должны получить, соответственно:

а: в: с = 280: 320: 360.

Упростим отношение:

а: в: с = 280: 320: 360 = 28: 32: 36 = 7: 8: 9.

Так как величины пропорциональны, то пусть х – коэффициент пропорциональности (одна часть прибыли). Тогда, а = 7х, в = 8х, с = 9х. Сумма частей должна равняться прибыли, тогда уравнение будет иметь вид:

7х + 8х + 9х = 2400.

Откуда х = 100 (дол). Следовательно, первый компаньон должен получить из прибыли:

7 · 100 = 700 (дол), второй 8 · 100 = 800 (дол), а третий 9 · 100 = 900 (дол).

Ответ: 700, 800, 900.

Задача 5.

Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найти стороны треугольника, если АВ относится к ВС как 3: 4, а ВС относится к АС как 2: 3.

Решение.

Трудность заключается в том, что дано отношение не трех сторон, а первой ко второй и второй к третьей. Рассмотрим эти отношения:

АВ: ВС = 3: 4
ВС: АС = 2: 3.

Уравняем количество частей стороны ВС в первом и втором равенствах. Для этого второе отношение умножим на 2. Получим,

АВ: ВС = 3: 4
ВС: АС = 4: 6.

Теперь можем записать отношение трех сторон АВ: ВС: АС = 3: 4: 6. Тогда АВ = 3х, ВС = 4х, АС = 6х, где х – коэффициент пропорциональности.

Решая уравнение 3х + 4х + 6х = 32,5, получаем, что х = 2,5 (см).

Следовательно, стороны треугольника: АВ = 3 · 2,5 = 7,5 (см); ВС = 4 · 2,5 = 10 (см); АС = 6 · 2,5 = 15 (см).

Ответ: 7,5; 10; 15.

Задачи на пропорциональную зависимость развивают логическое мышление, учат анализировать и находить связи между величинами, а задачи на пропорциональное деление имеют широкое практическое применение, поэтому умение решать и те и другие просто необходимо.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на пропорциональную зависимость?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Пропорциональное деление

деление какой-либо величины в данном отношении. Если данная величина есть a , a отношение есть n , то надо разделить a на две части x и (а-х ) так, чтобы отношение x к (a-x ) равнялось бы n. Выразив это уравнением и решив его относительно x , получим:

x = an /(1 + n ).

К числу вопросов о пропорциональном делении относятся две известные геометрические задачи: найти длину x , среднепропорциональную двум данным длинам a и b ; разделить данную длину в крайнем и среднем отношении. Построения, с помощью которых получаются решения этих и подобных задач, приводятся в начальных учебниках геометрии.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Смотреть что такое "Пропорциональное деление" в других словарях:

Правило товарищества, арифметич. способ деления числа на части, пропорциональные данным числам; находит частое применение при делении прибыли между товарищами пропорционально (соответственно) внесенным ими в предприятие капиталам или… …

- (лат. proportionalis от proportio отношение, сходство, пропорция). Соразмерный, правомерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ лат. propotiornalis, от proportio, пропорция.… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ, пропорциональная, пропорциональное; пропорционален, пропорциональна, пропорционально (лат. proporcionalis соразмерный) (книжн.). 1. Обладающий соразмерностью частей. Пропорциональное телосложение. 2. Такой, который с увеличением … Толковый словарь Ушакова

История науки … Википедия

Часть папируса Ахмеса Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) древнеегипетское учебное руководство по арифметике … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

Петров (Иван) русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 году в крестьянской крепостной семье в Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В… … Биографический словарь

Русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 г. в крестьянской крепостной семье, Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В возрасте 11 лет… …

Феноменальный счетчик, родился в 1823 году в дер. Рагозино Кологривского у. Костромской губ.; родители его были крепостными крестьянами помещицы Волтатис. Несмотря на свою неграмотность, П. еще в самом раннем возрасте поражал своими способностями … Большая биографическая энциклопедия

Книги

• Арифметика: Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные , Киселев, Андрей Петрович. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…
• Арифметика , Киселев А.. Целые числа. О делимости чисел. Измерения величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины. Вниманиючитателей…
• Арифметика. Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины , Киселев А.П.. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…

1. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении Решение. см.

2. Число 27 разделить обратно пропорционально числам 4 и 5.

Решение. Числа, обратные данным, относятся как Получим

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

А. 1. Отрезок длиной разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.

2. Стороны треугольника, периметр которого пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.

3. Число 196 разделите на части, пропорциональные числам:

4. Число 434 разделите на части, обратно пропорциональные числам: а) 15 и 16; б) 2, 3 и 5.

Б. 1. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно