В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (y p ) значение как точечный прогноз при x p = x k , т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения x . Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки , т.е. и соответственно, интервальной оценкой прогнозного значения:

Чтобы понять, как строится формула для определения величин стандартной ошибки , обратимся к уравнению линейной регрессии: . Подставим в это уравнение выражение параметра a :

тогда уравнение регрессии примет вид:

Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки y и ошибки коэффициента регрессии b , т.е.

Из теории выборки известно, что . Используя в качестве оценки s 2 остаточную дисперсию на одну степень свободы S 2 , получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной y :

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой:

.

Считая, что прогнозное значение фактора x p = x k , получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, т.е. :

Соответственно имеет выражение:

. (1.26)

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения y при заданном значении x k характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки , как видно из формулы, достигает минимума при , и возрастает по мере того, как "удаляется" от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между x k и x , тем больше ошибка , с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения x k . Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор x находится в центре области наблюдений x и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении x k от . Если же значение x k оказывается за пределами наблюдаемых значений x , используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько x k отклоняется от области наблюдаемых значений фактора x .

На графике доверительные границы для представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии (рис. 1.5).

Рис. 1.5 показывает, как изменяются пределы в зависимости от изменения x k : две гиперболы по обе стороны от линии регрессии определяют 95% -ые доверительные интервалы для среднего значения y при заданном значении x .

Однако фактические значения y варьируют около среднего значения . Индивидуальные значения y могут отклоняться от на величину случайной ошибки e , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S 2 . Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения y должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S .

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения y составит:

. (1.27)

При прогнозировании на основе уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения y , но и от точности прогноза значения фактора x . Его величина может задаваться на основе анализа других моделей, исходя из конкретной ситуации, а также анализа динамики данного фактора.

Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака y () может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения, исходя из регрессионной модели и выдвинутой гипотезы развития событий.

Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии.

В прогнозных расчётах по уравнению регрессии определяется то, что уравнение не является реальным , для есть ещё стандартная ошибка . Поэтому интервальная оценка прогнозного значения

Выразим из уравнения

То есть стандартная ошибка зависит и ошибки коэффициента регрессии b,

Из теории выборки известно, что . Используя в качестве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы , получим формулу расчёта ошибки среднего значения переменной y: .

Ошибка коэффициента регрессии: .

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется уравнение как точечный прогноз при , то есть путём подстановки в уравнение регрессии . Однако точечный прогноз явно нереален.

- формула стандартной ошибки предсказываемого значения y при заданных , характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки , достигает min при , и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. То есть чем больше разность между и x, тем больше ошибка , с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения .

Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак - фактор x находится в центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении от .

Если же значение оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении ЛР, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости то того, насколько отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х. Доверит. интервалы при .

На графике доверительной границы представляет собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии.

Две гиперболы по обе стороны от ЛР определяют 95%-ные доверительные интервалы для среднего значения y при заданном значении x.

Однако фактические значения y варьируют около среднего значения . Индивидуальные значения y могут отклоняться от на величину случайной ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы . Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения y должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку.

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения y составит:

.

При прогнозировании на основе УР следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения y, но и от точности прогноза значений фактора x.

Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора.

Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака y() может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели и выдвинутой гипотезы развития событий.

Понятие о множественной регрессии. Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР). Определение параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов.

Парная регрессия используется при моделировании, если влияние других факторов, воздействующих на объект исследования можно пренебречь.

Например, при построении модели потребления того или иного товара от дохода исследователь предполагает, что в каждой группе дохода одинаково влияние на потребление таких факторов, как цена товара, размер семьи, ее состав. Однако, уверенности в справедливости данного утверждения нет.

Прямой путь решения такой задачи состоит в отборе единиц совокупности с одинаковыми значениями всех других факторов, кроме дохода. Он приводит к планированию эксперимента – метод, который используется в естественно-научных исследованиях. Экономист лишен возможности регулировать другие факторы. Поведение отдельных экономических переменных контролировать нельзя, т.е. не удается обеспечить равенство прочих условий для оценки влияния одного исследуемого фактора.

Как поступить в этом случае? Надо выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии.

такого рода уравнения используется при изучении потребления.

Коэффициенты b j – частные производные у по факторами х i

при условии, что все остальные х i = const

Рассмотрим современную потребительскую функцию (впервые 30е годы предложил Кейнс Дж.М.) как модель вида С = f(y,P,M,Z)

c- потребление. у – доход

P – цена, индекс стоимости.

M – наличные деньги

Z – ликвидные активы

При этом

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функций издержек производства, в макроэкономических вопросах и других вопросах эконометрики.

В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого их них в отдельности, а также совокупное воздействие на моделируемый показатель.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Она включает в себя 2 круга вопросов:

1. отбор факторов

2. выбор уравнения регрессии.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Требования к факторам, включаемым во множественную регрессию

1. они должны быть количественно измеримы, если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов; в модели стоимости объектов недвижимости: районы должны быть проранжированы).

2. факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда R у x 1 нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии.

Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются интерпретируемыми.

В уравнение предполагается, что факторы х 1 и х 2 независимы друг от друга, r х1х2 = 0, тогда параметр b1 измеряет силу влияния фактора х 1 на результат у при неизменном значении фактора х 2 . Если r х1х2 =1, то с изменением фактора х 1 фактор х 2 не может оставаться неизменным. Отсюда b 1 и b 2 нельзя интерпретировать как показатели раздельного влияния х 1 и х 2 и на у.

Пример, рассмотрим регрессию себестоимости единицы продукции у (руб.) от заработной платы работника х (руб.) и производительности труда z (ед. в час).

у = 22600 - 5x - 10z + e

коэффициент b 2 = -10, показывает, что с ростом производительности труда на 1 ед. себестоимость единицы продукции снижается на 10 руб. при постоянном уровне оплаты.

Вместе с тем параметр при х нельзя интерпретировать как снижение себестоимости единицы продукции за счет роста заработной платы. Отрицательное значение коэффициента регрессии при переменной х обусловлено высокой корреляцией между х и z (r х z = 0,95). Поэтому роста заработной платы при неизменности производительности труда (не учитывая инфляции) быть не может.

Включенные во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строиться модель с набором р факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации R 2 , которая фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии р факторов. Влияние других неучтенных в модели факторов оценивается как 1-R 2 c соответствующей остаточной дисперсией S 2 .

При дополнительном включении в регрессию р+1 фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшается.

R 2 p +1 >= R 2 p и S 2 p +1 <= S 2 p

Если же этого не происходит и данные показатели практически мало отличаются друг от друга, то включенный в анализ фактор x р+1 не улучшает модель и практически является лишним фактором.

Если для регрессии, включающей 5 факторов R 2 = 0,857, и включенный 6 дало R 2 = 0,858, то нецелесообразно включать в модель этот фактор.

Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической не значимости параметров регрессии по критерию t-Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости.

Отбор факторов производиться на основе теоретико-экономического анализа. Однако, он часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов осуществляется в две стадии:

на первой – подбирают факторы, исходя из сущности проблемы.

на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии.

Коэффициенты интеркоррелиции (т.е. корреляция между объясняющими переменными) позволяют исключить из моделей дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если r х i х j >=0.7.

Поскольку одним из условий построения уравнения множественной регрессии является независимость действия факторов, т.е. Rх i x j = 0, коллинеарность факторов нарушает это условие. Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.

Рассмотрим матрицу парных коэффициентов корреляции при изучении зависимости у = f(x, z, v)

	y	x	z	v
y
x	0,8
z	0,7	0,8
v	0,6	0,5	0,2

Очевидно, факторы x и z дублируют друг друга. В анализ целесообразно включит фактор z, а не х, так как корреляция z с у слабее чем корреляция фактора х с у (r у z < r ух), но зато слабее межфакторная корреляция (r zv < r х v)

Поэтому в данном случае в уравнение множественной регрессии включает факторы z и v

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Но наиболее трудности возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарности факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью МНК.

Если рассмотренная регрессия у = a + bx + cx + dv + e, то для расчета параметров, применяется МНК

S y = S факт +S e

общая сумма = факторная + остаточная

Кв.отклонения

В свою очередь, при независимости факторов друг от друга выполнимо равенство:

S = S x +S z + S v

Суммы квадратов отклонения, обусловленных влиянием соответствующих факторов

Если же факторы интеркоррелированы, то данное равенство нарушается.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующего:

· затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

· оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

Для оценки мультиколлинеарных факторов будем использовать определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов была бы единичной.

y = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + e

Если же между факторами существует полная линейная зависимость, то:

Чем ближе к 0 определитель, тем сильнее межколлинеарность факторов и ненадежны результаты множественной регрессии. Чем ближе к 1, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Оценка значимости мультиколлинеарности факторов может быть проведена методами испытания гипотезы 0 независимости переменных H 0:

Доказано, что величина имеет приближенное распределение с степенями свободы. Если фактически значение превосходит табличное (критическое) то гипотеза H 0 отклоняется. Это означает, что , недиагональные коэффициенты указывают на коллинеарность факторов. Мультиколлинеарности считается доказанной.

Через коэффициенты множественной детерминации можно найти переменные, ответственные за мультиколлинеарность факторов. Для этого в качестве зависимой переменной рассматривается каждый из факторов. Чем ближе значение R 2 к 1, тем сильнее проявляется мультиколлинеарность. Сравнивая между собой коэффициенты множественной детерминации и т.п.

Можно выделить переменные, ответственные за мультиколлинеарность, следовательно, решить проблему отбора факторов, оставляя в уравнения факторы с минимальной величиной коэффициента множественной детерминации.

Существует ряд походов преодоления сильной межфакторной корреляции. Самый простой путь устранения МК состоит в исключении из модели одного или несколько факторов.

Другой подход связан с преобразованием факторов, при котором уменьшается корреляция между ними.

Если y = f(x 1 , x 2 , x 3), то возможно построение следующего совмещенного уравнения:

у = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + e.

Это уравнение включает взаимодействие первого порядка (взаимодействие двух факторов).

Возможно включение в уравнение взаимодействий и более высокого порядка, если будет доказано их статистически значимость по F-критерию

b 123 x 1 x 2 х 3 – взаимодействие второго порядка.

Если анализ совмещенного уравнения показал значимость только взаимодействия факторов х 1 и х 3 , то уравнение будет имеет вид:

у = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 13 x 1 x 3 + e.

Взаимодействие факторов х 1 и х 3 означает, что на разных уровнях фактора х 3 влияние фактора х 1 на у будет неодинаково, т.е. оно зависит от значения фактора х 3 . На рис. 3.1 взаимодействие факторов представляет непараллельными линями связи с результатом у. И наоборот, параллельные линии влияние фактора х 1 на у при разных уровнях фактора х 3 означают отсутствие взаимодействия факторов х 1 и х 3 .

Рис 3.1. Графическая иллюстрация взаимодействия факторов.

а - х 1 влияет на у, причем это влияние одинаково при х 3 =В 1 , так и при х 3 =В 2 (одинаковый наклон линий регрессии), что означает отсутствие взаимодействия факторов х 1 и х 3 ;

б – с ростом х 1 результативный признак у возрастает при х 3 =В 1 , с ростом х 1 результативный признак у снижается при х 3 =В 2 . Между х 1 и х 3 существует взаимодействие.

Совмещенные уравнения регрессии строятся, например, при исследовании эффекта влияния на урожайность разных видов удобрений (комбинации азота и фосфора).

Решению проблемы устранения мультиколлинеарности факторов может помочь и переход к устранениям приведенной формы. С этой целью в уравнение регрессии производится подстановка рассматриваемого фактора через выражение его из другого уравнения.

которое представляет собой приведенную форму уравнения для определения результативного признака у. Это уравнение может быть представлено в виде:

К нему для оценки параметров может быть применен МНК.

Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важнейших этапов практического использования методов регрессии. Походы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разные. Они приводят построение уравнения множественной регрессии соответственно разным методикам. В зависимости от того, какая методика построение уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения на ЭВМ.

Наиболее широкое применение получили следующие методы построение уравнения множественной регрессии :

· метод исключения;

· метод включения;

· шаговый регрессионный анализ.

Каждый из этих методов по-своему решает проблему отбора факторов, давая в целом близкие результаты – отсев факторов из полного его отбора (метод исключение), дополнительное введение фактора (метод включения), исключение ранее введенного фактора (шаговый регрессионный анализ).

На первый взгляд может показаться, что матрица парных коэффициентов корреляции играет главную роль в отборе факторов. Вместе с тем вследствие взаимодействия факторов парные коэффициенты корреляции не могут в полной мере решать вопрос о целесообразности включения в модель того или иного фактора. Эту роль выполняют показатели частной корреляции, оценивающие в чистом виде тесноту связи фактора с результатом. Матрица частных коэффициентов корреляции наиболее широко используется в процедура отсева фактора. При отборе факторов рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6-7 раз меньше объема совокупности, по которой строит регрессии. Если это отношение нарушено, то число степеней свободны остаточной вариаций очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регресс оказываются статистически незначимыми, а F-критерий меньше табличного значения.

Если модель регрессии признана адекватной, то переходят к построению прогноза.

Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины независимой переменной х прогн :

Данный прогноз называется точечным. Вероятность реализации точечного прогноза практически равна нулю, поэтому рассчитывается доверительный интервал прогноза с большой надежностью:

где t – t-критерий Стьюдента, определяемый по таблице при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы k=n-2 (для парной регрессии);

– остаточная дисперсия на одну степень свободы, определяемая по формуле:

;

s – стандартная ошибка предсказания, определяемая по формуле:

.

По статистическим данным, описывающим зависимость удельного веса бракованной продукции от удельного веса рабочих со специальной подготовкой на предприятиях построить уравнение парной регрессии и определить его значимость.

1. Построим диаграмму рассеяния для определения наличия зависимости между признаками и типа этой зависимости.

Диаграмма рассеяния или корреляционное поле показывает наличие линейной обратной связи.

2. Определим линейный коэффициент корреляции по формуле . Для этого построим вспомогательную таблицу:

Номер предприя-тия	Удельный вес рабочих со специальной подготовкой, % х	Удельный вес бракован-ной продукции, % y	(x-xср)^2	(y-yср)^2	xy
			857,6531	83,59184
			371,9388	9,877551
			86,22449	1,306122
			0,510204	0,734694
			114,7959	8,163265
			429,0816	14,87755
			661,2245	34,30612
Сумма			2521,429	152,8571
Среднее значение	44,28571	8,857143	360,2041	21,83673	306,4286

Линейный коэффициент корреляции будет равен:

С помощью встроенной функции КОРРЕЛ Excel получаем такое же значение линейного коэффициента корреляции. Для этого в ячейку необходимо ввести =КОРРЕЛ(массив1; массив2), причем не имеет значения последовательность ввода массивов.

Таким образом, делаем вывод о сильной обратной линейной зависимости между изучаемыми признаками.

2. Построим уравнение парной линейной регрессии . Оценим параметры уравнения регрессии а и b с помощью МНК. Для этого построим вспомогательную таблицу.

Номер	х	у	x^2	xy
Сумма

Система нормальных уравнений для нахождения параметров парной линейной регрессии имеет вид:

Подставим необходимые данные и получим:

Решив систему, получим

С помощью встроенной функции ЛИНЕЙН Excel получаем такие же значения параметров уравнения регрессии. Для этого необходимо выделить две ячейки в одной строке, выбрать в главном меню Вставка/Функция , далее выбрать из категории Статистические функцию ЛИНЕЙН . В образовавшемся окне заполнить аргументы функции:

Известные значения y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения x – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении регрессии, может принимать значение 0 или 1. Указываем 1.

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если указать 0, будут выведены только значения параметров уравнения регрессии а и b в двух выделенных ячейках.

Чтобы вывести всю статистику по уравнению регрессии изначально необходимо выделить диапазон из пяти строк и двух столбцов и задать логическое значение 1 в аргументе функции ЛИНЕЙН Статистика . Дополнительная регрессионная статистика будет выводится в порядке, указанном в следующей схеме:

Для разбираемого примера таблица будет выглядеть следующим образом:

-0,23824	19,40793
0,027796	1,339265
0,936275	1,395765
73,46237
143,1163	9,740793

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид: .

. Табличное значение t-критерия Стьюдента составляет 2,57. Поскольку расчетное значение больше табличного параметр а признается статистически значимым.

t-критерий Стьюдента для параметра а будет равен . Поскольку , параметр b признается статистически значимым.

Т.к. коэффициент детерминации , коэффициент корреляции равен и будет иметь отрицательное значение, поскольку связь обратная, на что указывает отрицательный коэффициент при х в уравнении регрессии.

Расчетное значение F-критерия Фишера равно 73,46, табличное значение F-критерия Фишера равно 6,61. Поскольку расчетное значение F-критерия больше табличного или критического, уравнение парной линейной регрессии в целом признается статистически значимым с вероятностью 95%.

t-критерий Стьюдента для линейного коэффициента корреляции определяется по формуле: , что больше табличного значения, поэтому линейный коэффициент корреляции признается статистически значимым.

Точечный прогноз заключается в получении прогнозного значения уp , которое определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения xp:

уp = a + b* xp

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т. е. нижней и верхней границ уpmin , уpmax интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения yp (ypmin < yp < ypmin ) с заданной вероятностью.

При построении доверительного интервала прогноза используется стандартная ошибка прогноза :

Где

Строится доверительный интервал прогноза :

Множественный регрессионный анализ

(слайд 1) Множественная регрессия применяется в ситуациях, когда из множества факторов, влияющих на результативный признак, нельзя выделить один доминирующий фактор и необходимо учитывать влияние нескольких факторов. Например, объем выпуска продукции определяется величиной основных и оборотных средств, численностью персонала, уровнем менеджмента и т. д., уровень спроса зависит не только от цены, но и от имеющихся у населения денежных средств.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с несколькими факторами и определить при этом влияние каждого фактора в отдельности, а также их совместное воздействие на изучаемый показатель.

Таким образом, множественная регрессия – это уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

(слайд 2) Построение уравнения множественной регрессии

1. Постановка задачи

По имеющимся данным n наблюдений (табл. 3.1) за совместным изменением p +1 параметра y и xj и ((yi,xj,i ); j =1, 2, ..., p ; i =1, 2, ..., n ) необходимо определить аналитическую зависимость ŷ = f(x1 ,x2 ,...,xp) , наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

Таблица 3.1

Данные наблюдений

		x1 1
		х1 2
		х1 n	x 2 n

Каждая строка таблицы представляет собой результат одного наблюдения. Наблюдения различаются условиями их проведения.

Вопрос о том, какую зависимость следует считать наилучшей, решается на основе какого-либо критерия. В качестве такого критерия обычно используется минимум суммы квадратов отклонений расчетных значений результативного показателя ŷi от наблюдаемых значений yi:

2. Спецификация модели

(слайд 3) Спецификация модели включает в себя решение двух задач:

– отбор факторов, подлежащих включению в модель;

– выбор формы уравнения регрессии.

2.1. Отбор факторов при построении множественной регрессии

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с представлениями исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями.

К факторам, включаемым в модель, предъявляются следующие требования :

1. Факторы должны быть количественно измеримы. Включение фактора в модель должно приводить к существенному увеличению доли объясненной части в общей вариации зависимой переменной. Поскольку данная величина характеризуется коэффициентом детерминации , включение нового фактора в модель должно приводить к заметному изменению коэффициента. Если этого не происходит, то включаемый в анализ фактор не улучшает модель и является лишним.

Например, если для регрессии, включающей 5 факторов, коэффициент детерминации составил 0,85, и включение шестого фактора дало коэффициент детерминации 0,86, то вряд ли целесообразно дополнять модель этим фактором.

Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественной оценки, то нужно придать ему количественную определенность. В этом случае в модель включается соответствующая ему «фиктивная» переменная , имеющая конечное количество формально численных значений, соответствующих градациям качественного фактора (балл, ранг).

Например, если нужно учесть влияние уровня образования (на размер заработной платы), то в уравнение регрессии можно включить переменную, принимающую значения: 0 – при начальном образовании, 1 – при среднем, 2 – при высшем.

Несмотря на то, что теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое количество факторов, на практике в этом нет необходимости, т.к. неоправданное их увеличение приводит к затруднениям в интерпретации модели и снижению достоверности результатов.

2. Факторы не должны быть взаимно коррелированы и, тем более, находиться в точной функциональной связи. Наличие высокой степени коррелированности между факторами может привести к неустойчивости и ненадежности оценок коэффициентов регрессии, а также к невозможности выделить изолированное влияние факторов на результативный показатель. В результате параметры регрессии оказываются неинтерпретируемыми.

Пример . Рассмотрим регрессию себестоимости единицы продукции (у ) от заработной платы работника (х ) и производительности труда в час (z ).

Коэффициент регрессии при переменной z показывает, что с ростом производительности труда на 1 ед-цу в час себестоимость единицы продукции снижается в среднем на 10 руб. при постоянном уровне оплаты труда.

А параметр при х нельзя интерпретировать как снижение себестоимости единицы продукции за счет роста заработной платы. Отрицательное значение коэффициента регрессии в данном случае обусловлено высокой корреляцией между х и z (0,95).

(слайд 4) Считается, что две переменные явно коллинеарны , т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если коэффициент интеркорреляции (корреляции между двумя объясняющими переменными) ≥ 0,7. Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из уравнения. Предпочтение при этом отдается не тому фактору, который более тесно связан с результатом, а тому, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами.

В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.

Наряду с парной коллинеарностью может иметь место линейная зависимость между более чем двумя переменными – мультиколлинеарность , т.е. совокупное воздействие факторов друг на друга.

Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы всегда будут действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестанет быть полностью независимой, что не позволит оценить воздействие каждого фактора в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью МНК.

(слайд 5) Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно по следующим причинам :

затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

оценки параметров не надежны, имеют большие стандартные ошибки и меняются с изменением количества наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

(слайд 6) Для оценки мультиколлинеарности используется определитель матрицы парных коэффициентов интеркорреляции :

(!) Если факторы не коррелируют между собой , то матрица коэффициентов интеркорреляции является единичной, поскольку в этом случае все недиагональные элементы равны 0. Например, для уравнения с тремя переменными матрица коэффициентов интеркорреляции имела бы определитель, равный 1, поскольку
и
.

(слайд 7)

(!) Если между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны 1, то определитель такой матрицы равен 0 (Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю).

Чем ближе к 0 определитель матрицы коэффициентов интеркорреляции, тем сильнее мультиколлинеарность и ненадежнее результаты множественной регрессии.

Чем ближе к 1 определитель матрицы коэффициентов интеркорреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

(слайд 8) Способы преодоления мультиколлинеарности факторов :

1) исключение из модели одного или нескольких факторов;

2) переход к совмещенным уравнениям регрессии, т.е. к уравнениям, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Например, если
, то можно построить следующее совмещенное уравнение:;

3) переход к уравнениям приведенной формы (в уравнение регрессии подставляется рассматриваемый фактор, выраженный из другого уравнения).

(слайд 9) 2.2. Выбор формы уравнения регрессии

Различают следующие виды уравнений множественной регрессии :

линейные,

нелинейные, сводящиеся к линейным,

нелинейные, не сводящиеся к линейным (внутренне нелинейные).

В первых двух случаях для оценки параметров модели применяются методы классического линейного регрессионного анализа. В случае внутренне нелинейных уравнений для оценки параметров применяются методы нелинейной оптимизации.

Основное требование, предъявляемое к уравнениям регрессии, заключается в наличии наглядной экономической интерпретации модели и ее параметров. Исходя из этих соображений, наиболее часто используются линейная и степенная зависимости.

Линейная множественная регрессия имеет вид:

Параметры bi при факторах хi называются коэффициентами «чистой» регрессии . Они показывают, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак за счет изменения соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

(слайд 10) Например, зависимость спроса на товар (Qd) от цены (P) и дохода (I) характеризуется следующим уравнением:

Qd = 2,5 - 0,12P + 0,23 I.

Коэффициенты данного уравнения говорят о том, что при увеличении цены на единицу, спрос уменьшится в среднем на 0,12 единиц, а при увеличении дохода на единицу, спрос возрастет в среднем 0,23 единицы.

Параметр а не всегда может быть содержательно проинтерпретирован.

Степенная множественная регрессия имеет вид:

Параметры bj (степени факторов хi ) являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько % в среднем изменится результативный признак за счет изменения соответствующего фактора на 1% при неизмененном значении остальных факторов.

Наиболее широкое применение этот вид уравнения регрессии получил в производственных функциях, а также при исследовании спроса и потребления.

Например, зависимость выпуска продукции Y от затрат капитала K и труда L:
говорит о том, что увеличение затрат капитала K на 1% при неизменных затратах труда вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0,23%. Увеличение затрат труда L на 1% при неизменных затратах капитала K вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0,81 %.

Возможны и другие линеаризуемые функции для построения уравнения множественной регрессии:

Чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры. Кроме того, необходимо помнить о соотношении между количеством наблюдений и количеством факторов в модели. Так, для анализа трехфакторной модели должно быть проведено не менее 21 наблюдения.

(слайд 11) 3. Оценка параметров модели

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов , согласно которому следует выбирать такие значения параметров а и bi , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака yi от теоретических значений ŷ минимальна, т. е.:

Если , тогдаS является функцией неизвестных параметров a , bi :

Чтобы найти минимум функции, нужно найти частные производные по каждому из параметров и приравнять их к 0:

Отсюда получаем систему уравнений:

(слайд 12) Ее решение может быть осуществлено методом определителей:

,

где ∆ – определитель системы;

∆a , ∆ b 1, ∆ bp – частные определители (∆ j ).

–определитель системы,

∆j – частные определители, которые получаются из основного определителя путем замены j-го столбца на столбец свободных членов .

При использовании данного метода возможно возникновение следующих ситуаций:

1) если основной определитель системы Δ равен нулю и все определители Δj также равны нулю, то данная система имеет бесконечное множество решений;

2) если основной определитель системы Δ равен нулю и хотя бы один из определителей Δj также равен нулю, то система решений не имеет.

(слайд 13) Помимо классического МНК для определения неизвестных параметров линейной модели множественной регрессии используется метод оценки параметров через β -коэффициенты – стандартизованные коэффициенты регрессии.

Построение модели множественной регрессии в стандартизированном, или нормированном, масштабе означает, что все переменные, включенные в модель регрессии, стандартизируются с помощью специальных формул.

У равнение регрессии в стандартизованном масштабе:

где
,
- стандартизованные переменные;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

Т.е. посредством процесса стандартизации точкой отсчета для каждой нормированной переменной устанавливается ее среднее значение по выборочной совокупности. При этом в качестве единицы измерения стандартизированной переменной принимается ее среднеквадратическое отклонение σ .

β -коэффициенты показывают , на сколько сигм (средних квадратических отклонений) изменится в среднем результат за счет изменения соответствующего фактора xi на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов.

Стандартизованные коэффициенты регрессии βi сравнимы между собой, что позволяет ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. Большее относительное влияние на изменение результативной переменной y оказывает тот фактор, которому соответствует большее по модулю значение коэффициента βi . В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии , в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые не сравнимы между собой.

(слайд 14) Связь коэффициентов «чистой» регрессии bi с коэффициентами βi описывается соотношением:

, или

Параметр a определяется как .

Коэффициенты β определяются при помощи МНК из следующей системы уравнений методом определителей:

Для оценки параметров нелинейных уравнений множественной регрессии предварительно осуществляется преобразование последних в линейную форму (с помощью замены переменных) и МНК применяется для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии в преобразованных переменных. В случае внутренне нелинейных зависимостей для оценки параметров приходится применять методы нелинейной оптимизации.

(слайд 1) 4. Проверка качества уравнения регрессии

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – коэффициента детерминации.

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, т.е. оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции рассчитывается по формуле:

Коэффициент множественной корреляции принимает значения в диапазоне 0 ≤ R ≤ 1. Чем ближе он к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов.

При линейной зависимости признаков формулу индекса множественной корреляции можно записать в виде:

,

где - стандартизованные коэффициенты регрессии,

- парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Данная формула получила название линейного коэффициента множественной корреляции , или совокупного коэффициента корреляции .

Индекс детерминации для нелинейных по оцениваемым параметрам функций принято называть «квази-
». Для его определения по функциям, использующим логарифмические преобразования (степенная, экспонента), необходимо сначала найти теоретические значения ln y, затем трансформировать их через антилогарифмы (антилогарифм ln y = y) и далее определить индекс детерминации как «квази-
» по формуле:

.

Величина «квази-
» не будет совпадать с совокупным коэффициентом корреляции, который может быть рассчитан для линейного в логарифмах уравнения множественной регрессии, потому что в последнем раскладывается на факторную и остаточную суммы квадратов не
, а
.

(слайд 2) Использование коэффициента множественной детерминации
для оценки качества модели обладает тем недостатком, что включение в модель нового фактора (даже несущественного) автоматически увеличивает величину
. Поэтому при большом количестве факторов предпочтительней использовать так называемый скорректированный (улучшенный) коэффициент множественной детерминации
, определяемый соотношением:

где n – число наблюдений,

m – число параметров при переменных х (чем больше величина m, тем сильнее различия между к-том множ. детерминации
и скорректированным к-том
).

При заданном объеме наблюдений и при прочих равных условиях с увеличением числа независимых переменных (параметров) скорректированный к-т множ. детерминации убывает. Его величина может стать и отрицательной при слабых связях результата с факторами. При небольшом числе наблюдений нескорректированная величина к-та имеет тенденцию переоценивать долю вариации результативного признака, связанную с влиянием факторов, включенных в регрессионную модель. Чем больше объем совокупности, по которой исчислена регрессия, тем меньше различаются
и
.

Отметим, что низкое значение коэффициента множественной корреляции и коэффициента множественной детерминации может быть обусловлено следующими причинами :

– в регрессионную модель не включены существенные факторы;

– неверно выбрана форма аналитической зависимости, не отражающая реальные соотношения между переменными, включенными в модель.

(слайд 3) Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F - критерия Фишера :

Выдвигаемая «нулевая» гипотеза H0 о статистической незначимости уравнения регрессии отвергается при выполнении условия F > F крит, где F крит определяется по таблицам F -критерия Фишера по двум степеням свободы k 1 = m , k 2= n- m - 1 и заданному уровню значимости α.

Значимость одного и того же фактора может быть различной в зависимости от последовательности введения его в модель.

(слайд 4) Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный F -критерий (оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении):

,

где
- коэффициент множ. детерминации для модели с полным

набором факторов;

- тот же показатель, но без включения в модель фактора х1 ;

n – число наблюдений;

m – число параметров при переменных х.

Если фактическое значение F превышает табличное, то дополнительное включение в модель фактора xi статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии bi при факторе xi статистически значим.

Если же фактическое значение F меньше табличного, то нецелесообразно включать в модель дополнительный фактор, поскольку он не увеличивает существенно долю объясненной вариации результата, а коэффициент регрессии при данном факторе статистически не значим.

(слайд 5) Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов чистой регрессии. Зная величину , можно определить и t -критерий Стьюдента :

или

где m bi – средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии b i , она может быть определена по формуле:

.

Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при n-m-1 степенях свободы применяется для проверки значимости коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала.

Для прогнозирования с помощью уравнения регрессии необходимо вычислить коэффициенты и уравнения регрессии. И здесь существует еще одна проблема сказывающаяся на точности прогнозирования. Она заключается в том, что обычно нет всех возможных значений переменных Х и У, т.е. генеральная совокупность совместного распределения в задачах прогнозирования не известна, известна только выборка из этой генеральной совокупности. В результате этого при прогнозировании помимо случайной составляющей возникает еще один источник ошибок – ошибки, вызванные не полным соответствием выборки генеральной совокупности и порождаемыми этим погрешностями в определении коэффициентов уравнения регрессии.

Иными словами вследствие того, что генеральная совокупность не известна, точные значения коэффициентов и уравнения регрессии определить не возможно. Используя выборку из этой неизвестной генеральной совокупности можно лишь получить оценки и истинных коэффициентов и.

Для того чтобы ошибки прогнозирования в результате такой замены были минимальными, оценку необходимо осуществлять методом который гарантирует несмещенность и эффективность полученных значений. Метод обеспечивает несмещенные оценки, если при неоднократном его повторении с новыми выборками из одной и той же генеральной совокупности обеспечивается выполнение условия и. Метод обеспечивает эффективные оценки, если при неоднократном его повторении с новыми выборками из одной и той же генеральной совокупности обеспечивается минимальная дисперсия коэффициентов a и b, т.е. выполняются условия и.

В теории вероятности доказана теорема согласно которой эффективность и несмещенность оценок коэффициентов уравнения линейной регрессии по данным выборки обеспечивается при применении метода наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов заключается в следующем.

Для каждой из точек выборки записываются уравнение вида. Затем находятся ошибка между расчетным и фактическим значениями. Решение оптимизационной задачи по нахождению таких значений и которые обеспечивают минимальную сумму квадратов ошибок для всех n точек, т.е. решение задачи поиска, дает несмещенные и эффективные оценки коэффициентов и. Для случая парной линейной регрессии это решение имеет вид:

Следует отметить, что полученные таким образом по выборке несмещенные и эффективные оценки истинных значений коэффициентов регрессии для генеральной совокупности вовсе не гарантируют от ошибки при однократном применении. Гарантия заключается в том, что, в итоге многократного повторения этой операции с другими выборками из той же генеральной совокупности, гарантирована меньшая сумма ошибок по сравнению любым другим способом и разброс этих ошибок будет минимален.

Полученные коэффициенты уравнения регрессии определяют положение регрессионной прямой, она является главной осью облака образованного точками исходной выборки. Оба коэффициента имеют вполне определенный смысл. Коэффициент показывает значение при, но в многих случаях не имеет смысла, кроме того часто также не имеет смысла, по этому приведенной трактовкой коэффициента нужно пользоваться осторожно. Более универсальная трактовка смысла заключается в следующем. Если, то относительное изменение независимой переменной (изменение в процентах) всегда меньше чем относительное изменение зависимой переменной.

Коэффициент показывает насколько единиц изменится зависимая переменная при изменении независимой переменной на одну единицу. Коэффициент часто называют коэффициентом регрессии подчеркивая этим, что он важнее чем. В частности, если вместо значений зависимой и независимой переменных взять их отклонения от своих средних значений, то уравнение регрессии преобразуется к виду.

Коэффициент корреляции меняется в пределах от –1 до +1. Чем он ближе по абсолютному значению к единице, тем сильнее зависимость (тем сильнее облако данных прижато к своей главной оси). Если то наклон линии регрессии отрицателен, чем ближе он к 0 тем слабее связь, при линейной связи между переменными нет, а при связь переменных является функциональной. Коэффициент корреляции позволяет получить оценку точности уравнения регрессии - коэффициент детерминации. Для парной линейной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции, для многомерной или нелинейной регрессии его определение сложнее. Коэффициент детерминации показывает, сколько процентов дисперсии зависимой переменной объясняется уравнением регрессии, а - сколько процентов дисперсии осталась необъясненной (зависит от неконтролируемого нами случайного члена).

32. Временные ряды: понятие, классификация.

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Предполагается, что в общем случае каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию (Т), циклические или сезонные колебания (S) и случайную компоненту (E).

Виды временных рядов.

Временные ряды делятся на моментные и интервальные. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. Например, моментными являются временные ряды цен на определенные виды товаров, временные ряды курсов акций, уровни которых фиксируются для конкретных чисел. Примерами моментных временных рядов могут служить также ряды численности населения или стоимости основных фондов, т.к. значения уровней этих рядов определяются ежегодно на одно и то же число.

В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные интервалы (периоды) времени. Примерами рядов этого типа могут служить временные ряды производства продукции в натуральном или стоимостном выражении за месяц, квартал, год и т.д.

Иногда уровни ряда представляют собой не непосредственно наблюдаемые значения, а производные величины: средние или относительные. Такие ряды называются производными. Уровни таких временных рядов получаются с помощью некоторых вычислений на основе непосредственно наблюдаемых показателей. Примерами таких рядов могут служить ряды среднесуточного производства основных видов промышленной продукции или ряды индексов цен.

Уровни ряда могут принимать детерминированные или случайные значения. Примером ряда с детерминированными значениями уровней

служит ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах. Естественно, анализу, а в дальнейшем и прогнозированию, подвергаются ряды со случайными значениями уровней. В таких рядах каждый уровень может рассматриваться как реализация случайной величины - дискретной или непрерывной.

33. Компонентный анализ рядов динамики.

Ряды динамики - это ряды статистических показателей, характеризующих развитие явлений природы и общества во времени. Публикуемые Госкомстатом России статистические сборники содержат большое количество рядов динамики в табличной форме. Ряды динамики позволяют выявить закономерности развития изучаемых явлений.

Для более глубокого изучения закономерностей развития показателя используется компонентный анализ, который представляет из себя разложение данного временного ряда на конечное число соответствующих. Любой экономический процесс может быть представлен хотя бы одним из нижеуказанных компонент.

Наиболее часто встречающимися, на которые можно разложить временной ряд, являются следующие:

U (t) – характеризует устойчивые систематические изменения уровней ряда, т.е. тренд

K (t) – нестрого периодические циклические колебания

V (t) – строго периодические колебания (сезонные).

E (t) – случайная компонента (несистематические колебания, которые возникают от случая.

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают) и общая тенденция развития неясна.

На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.

34. Способы установления наличия тенденции в ряду динамики.

Приемы для установления тенденций или закономерностей.

o Преобразование ряда - применяется для большей наглядности зменений изучаемых явлений. Одно число ряда принимается за 1, чаще всего за 100 или 1000, и, по отношению к данному числу ряда, рассчитываются остальные.

o Выравнивание ряда - применяется при скачкообразных изменениях (колебаниях) уровней ряда. Цель выравнивания - устранить влияние случайных факторов и выявить тенденцию изменений значений явлений (или признаков), а в дальнейшем установить закономерности этих изменений

Способы и методы выявления тренда:

1)Увеличение интервалов.

Первоначальный ряд динамики заменяется другим рядом, уровни которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Новые уровни образуются суммированием старых.

2)Вычисление средних уровней для укрупненных интервалов. Является частным случаем первого метода.

3)Определение скользящей средней – для первоначального ряда динамики формируются увеличенные интервалы, состоящие из одинакового количества уровней. Каждый новый интервал получается из предыдущего смещением на один уровень.