Решение уравнений с помощью систем. Решение задач с помощью систем уравнений. Варианты нахождения обратной матрицы

Цели :

научить детей решать задачи с помощью составления систем уравнений;
познакомить и литературным наследием родного края, вспоминая творчество П.П.Бажова;
использовать при решении задач факты окружающей действительности.

ХОД УРОКА

1. Подготовка к восприятию материала (проверка опорных знаний)

Учитель, используя медиапроектор, восстанавливает изученную ранее тему. Детям задаются вопросы их предполагаемые ответы, воспроизводятся на экране.

Вопросы:

Посмотрите на экран, что вы видите? (Презентация . Слайд 1)
Что такое система уравнений? (Презентация . Слайд 2)
Какие способы решения систем уравнений вы знаете? (Презентация . Слайд 3)
Давайте вспомним суть применения каждого способа (Презентация . Слайды 4, 5, 6).

– Система уравнений не только позволяет установить общие корни уравнений, содержащихся в ней, но и становится хорошим помощником при решении задач. В таких задачах неизвестных компонентов более одного и они связаны друг с другом условием. Сегодня мы рассмотрим задачи, в которых неизвестно два каких либо элемента и будем учиться решать такие задачи с помощью составления системы уравнений.

Дети записывают в тетрадях число, тему урока. (Презентация . Слайд 7)

2. Изучение новой темы

Задача 1

– Рассмотрим для примера такую задачу.
Я знаю, что в классе 20 учеников. Среди них есть девочки и мальчики. А еще я знаю, что девочек больше чем мальчиков на 4 человека. Сколько мальчиков и девочек в этом классе? Ответ можно узнать двумя способами: 1) просто пересчитать; 2) решить такую задачу: (Презентация . Слайд 8)
Пусть х – количество девочек
y – количество мальчиков
Т.к. мальчиков и девочек вместе – 20. Получим уравнение: х + у = 20
С другой стороны девочек больше чем мальчиков на 4
Значит можно получить следующее уравнение х – у = 4
Объединим оба эти уравнения в систему, т.к в каждом уравнении речь идет об одних и те же детях., получим:
Далее дети самостоятельно решают систему уравнений, на листочках под копирку.

Ответ: В классе 8 мальчиков и 12 девочек.

3. Самостоятельная работа в парах

У вас на партах лежат цветные карточки. На экране появятся условия задач. Вы выбираете для решения ту задачу, которая расположена на таком же цветном фоне, что и цвет вашей карточки. (Слайд 9)

Записывают составленную систему на тех же листочках под копирку.

Задача 2

1) В Зоопарке г. Екатеринбурга, живет много разных животных. Среди них есть медведи – бурые и белые. Известно, что всего в зоопарке живет 9 медведей, а бурых на 5 медведей больше, чем белых. Сколько белых и бурых медведей живет в зоопарке г. Екатеринбурга?

Решение:

Ответ: В зоопарке 2 белых медведя и 7 бурых медведей.

2) В Зоопарке г. Екатеринбурга, живет много разных животных. Среди них есть лисы – черные и рыжие. Известно, что всего в зоопарке живет 7 лис, а черных на 3 лисы меньше, чем рыжих. Сколько черных и рыжих лис живет в зоопарке г. Екатеринбурга?

Решение

Ответ: В зоопарке 5 рыжих лисиц и 2 черные лисицы.

После того как дети самостоятельно составили систему уравнений – листочки сдают, проверка. Решать эти системы они будут дома.

– Вы должны поднять карточку в том случае, если система составлена правильно. (Презентация . Слайд 10)

4. Закрепление материала

– А сейчас, я хочу рассказать вам об очень интересном человеке. Он родился в 28 января 1879 году, в семье мастера Сысертского завода. И отец, и дед его, и прадед всю жизнь провели на медеплавильных заводах Сысертского горного округа. В 1899 году он стал народным учителем и трудовой свой путь начал в глухой уральской деревне Шайдурихе, возле старинного города Невьянска.
С детства он прислушивался к рассказам рабочих об их тяжелой жизни, позже изучил много документов, рассказывающих о горнозаводском Урале. В летние каникулы он пешком или на велосипеде путешествовал по уральским заводам и деревням, по реке Чусовой, изучал труд камнерезов и гранильщиков, сталеваров и литейщиков, беседовал с ними о тайнах их ремесла
Люди говорили, что живет в горах Малахитница (Хозяйка Медной горы), охраняет камни, рядом с ней всегда много ящериц, а иногда и сама ящерицей оборачивается.
А звали этого интересного человека Павел Петрович Бажов. (Презентация . Слайд11)

Колдун уральский бородатый,
Бажов дарит нам новый сказ.
«Живинка в деле» – сказ богатый
И поучительный для нас.
В нем слово каждое лучится,
Его направленность мудра,
Найдут, чему здесь поучиться,
Любого дела мастера
Важны в работе ум и чувство,
В труде двойное естество
«Живинкой в деле» мастерство
Преображается искусство,
И нет тогда ему границ.
И совершенству нет предела,
Не оторвать тогда от дела
Ни мастеров, ни мастериц.
Их вдохновение безмерно,
Глаза их пламенем горят.
Они работают? Неверно.
Они – творят.

Демьян Бедный

– Вы знаете его сказы или повести?
– Что означает слово «сказ»?

Сказ – это литературное произведение, в котором рассказчиком является не сам писатель, а другой, вымышленный им человек.

– В сказах Бажова живет хранительница недр, покровительница уральских рудокопов. Как ее зовут?
– Хозяйка Медной горы. (Презентация . Слайд12)
– В каких сказах Бажова встречается Хозяйка Медной горы?

Малахитовая шкатулка,
Каменный цветок
Горный мастер
Хрупкая веточка
Таюткино зеркальце
Две ящерки
Приказчиковы подошвы
Сочневы камешки

– В сказах Бажова главными героями выступали и дети (Презентация . Слайд 13), это такие сказы как:

Тяжелая витушка
Серебряное копытце
Хрупкая веточка
Каменный цветок
Огневушка-Поскакушка
Таюткино зеркальце
Малахитовая шкатулка
Жабреев ходок
Голубая змейка

– У меня в руках книга, в которой собраны произведения П.П.Бажова. Она называется «Малахитовая шкатулка». В этой книге разное количество сказов и повестей. Книга большая и в ней много страниц.

Задача 3 (Презентация . Слайд 15)

Я знаю, что 2 сказа о Хозяйке Медной горы и 3 сказа о героях-детях занимают 94 страницы. А 3 сказа о Хозяйке Медной горы и и 4 сказа о героях детях занимают 133 страниц. Помогите мне узнать, сколько страниц может занимать 1 сказ о Хозяйке Медной горы и 1 сказ о героях-детях?

Х стр. – о Х. М.г. 2х + 3у = 94
У стр. – о Д. 3х + 4у = 133
Получим систему

Ответ: 1 сказ о ХМг занимает 23 страницы; 1 сказ о детях занимает 16 страниц

Задача 4 (дополнительно) (Презентация . Слайд17)

Старик Кокованя приютил у себя сироту. Девочка Даренка была смышленая и чудная. Встретилась она с волшебным козлом, которого прозвали Серебряное копытце. При каждой встрече с ним можно было собрать много каменьев. При первой встрече Даренка собрала два мешочка гранатов и три мешочка малахита, всего 1300 гр. А при второй встрече один мешочек гранатов и два мешочка малахит, всего 800 грамм. Сколько грамм самоцветов содержится в каждом мешочке с малахитом и в каждом мешочке с гранатом?

Хгр – 1 мешочек малахита 2у + 3х = 1300
Угр – 1 мешочек граната у + 2х = 800

Получим систему

Ответ: В 1 мешочке 300гр малахита и 200гр. граната

– Я предлагаю каждому из вас, вернувшись, домой, прочитать сказы Бажова, ведь он писал их для нас.

5. Подведение итогов урока, выставление оценок.

– Итак, подведем итоги. Какая сегодня у нас была тема урока?
– Что нового вы узнали, чему научились?
– Остались ли у вас вопросы, на которые учитель должен будет ответить на следующем уроке?

6. Домашнее задание

Решить задачу 1 графическим способом.
Составить и решить задачу, в которой вы можете узнать возраст своих родителей, с помощью системы уравнений.

Тема урока: «Решение уравнений с помощью систем»

Цель: научить решать уравнения с помощью систем.

Задачи:

Обучающиие.

Научить решать уравнения с помощью систем и закрепить эти знания

Развивающие.

Развитие операций мышления (обобщение, анализа, выделение существенного). Развитие внимания.

Развития навыков сотрудничества.

Воспитательные.

Воспитание сознательного отношения к изучению алгебры.

Воспитание стремления к самосовершенствованию.

Тип урока – комбинированный.

Ход урока

Ι.Мотивация к учебной деятельности.

Цель: организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности.

– Добрый день, ребята! Эпиграфом нашего урока будут слова – «В единстве наша сила».

Тема нашего урока «Решение уравнений с помощью систем. Как Вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (Ответы обучающихся). Обобщим и закрепим полученные знания о решении уравнений с помощью систем.

ΙΙ. Проверка домашнего задания.

Цель: организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.

Обменяйтесь, пожалуйста, тетрадями и проверьте, как выполнено задание друг у друга.

Продолжите предложение «Я знаю по данной теме …», «Я умею по данной теме….». Скажите чем отличаются понятия «знаю» и «умею»?

III . Выявление места и причины затруднения

Цель: организовать восстановление фиксацию места затруднения, соотнесение своих действий с используемыми эталонами – определить те знания и умения, которых недостаёт для решения исодной задачи.

Я предлагаю вам решить следующее уравнение

Скажите, пожалуйста, что мы называем уравнением? (Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений)

Что означает решить уравнение? (Решить уравнение - значит найти все его корни, то есть те значения x , которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет)

IV . Построение проекта выхода из затруднения

Цель: организовать построение проекта выхода из затруднения.

Как Вы думаете, что нужно сделать, чтобы решить это уравнение с помощью систем? (Возвести в квадрат) Правильно. Какой вы знаете способ решения этого уравнения? (Возможные варианты ответов: возвести в квадрат и сделать проверку, но при этом могут появиться лишние корни; нет, не можем). Нужно учесть, при решении этого уравнения, что правая часть его больше или равна 2.

Какое уравнение мы получили? (Квадратное). Предположите, ребята, можно ли правильно и грамотно решить уравнение сразу и целиком? (Нет) А если разбить его на составляющие части и решить по отдельности? (Да, можно) То есть мы можем сказать, что даже в уравнениях в единстве – сила. Подумайте и скажите, что является примером проявления единства и силы? (Ответы: во время войны люди едины).

Корни данного уравнения 3 и -23/7. Первый корень удовлетворяет неравенству х>2, а второй корень не удовлетворяет. Решением уравнения является только один корень. (Ответ х=3)

Ребята, сейчас при решении данного уравнения мы использовали теорему:

Этой теоремой мы будем пользоваться при решении подобных уравнений. Откройте пожалуйста учебник на странице 243. Прочитайте еще раз теорему.

V .Первичное закрепление.

Сейчас я предлагаю вам решить следующие уравнения.

Тем, кто занимается на «5» уравнение под номером один, остальным задание под номером 2.

(В тетрадях решение записывают все. На доске записывает решение один обучающийся. После решения открываю слайд с правильным ответом для задания под номером 1)

V . Самостоятельная работа с самопроверкой.

Цель: организовать самостоятельное выполнение обучающимися типовых заданий на новый способ действия.

Тест на компьютерах.

VI .Включение в систему знаний и повторение.

Цель: организовать выявление типов заданий, где используется новый способ.

Может вы уже где - то встречались с подобными уравнениями? (Это задание В5,

Итак, с чем мы с вами сегодня познакомились? Что вы узнали нового? (Ответы)

Сейчас я снова хочу обратиться к эпиграфу нашего урока «В единстве наша сила». Ребята, как вы думаете, почему к уроку я выбрала именно этот эпиграф? (Ответы обучающихся).

VII . Рефлексия учебной деятельности .

Цель: организовать оценивание обучающимися собственной деятельности на уроке.

«Ребята, продолжите, пожалуйста, фразу «На уроке мне удалось….» (Ответы обучающихся.)

VIII . Домашнее задание .

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Против течения

По течению

№ 1193. Математика 5 класс. Н.Я.Виленкин

? км/ч

№ 14.1

Расстояние между двумя пунктами по реке равно 80 км. Это расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 часа, а против течения – за 5 часов. Найдите скорость катера по течению и против течения.

По течению

4(х+у)

5(х-у)

Ответ:

№ 14.4

Катер за 4 часа по течению реки проплывает на 10 км меньше, чем за 6 часов против течения. Найдите собственную скорость катера, если плот по этой же реке за 15 ч проплывает за 15 часов такое же расстояние, что и катер за 2 часа по озеру.

Против теч.

По течению

4(х+у)

на 10

6(х-у)

4(х+у) +10 =6(х-у)

4х+4у+10=6х-6у

4х-6х+4у+6у=-10

Ответ:

№ 14.10

Кол-во га

за 1 день

Кол-во

дней

Всего га

1 тракторист

2 тракторист

№ 14.10

Два тракториста вспахали вместе 678 га. Первый тракторист работал 8 дней, а второй – 11 дней. Сколько га вспахивал за день каждый тракторист, если первый тракторист за каждые 3 дня вспахивал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня?

Кол-во га

за 1 день

Кол-во

дней

Всего га

1 тракторист

на 22 га

меньше

2 тракторист

Ответ:

№ 14.5

Теплоход 120 км проходит за 5 часов против течения реки и 180 км за 6 часов по течению. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

По течению

6(х+у)

5(х-у)

Ответ:

№ 14.11

Кол-во ц

за 1 час

Кол-во

часов

Всего

бригада

№ 14.11

Две бригады работали на уборке картофеля. В первый день одна бригада работала 2 часа, а вторая – 3 часа, причем ими было собрано 23 ц картофеля. Во второй день первая бригада за 3 часа работы собрала на 2 ц больше, чем вторая за 2 часа. Сколько центнеров картофеля собирала каждая бригада за 1 час работы?

Кол-во ц

за 1 час

Кол-во

часов

Всего

бригада

на 2 ц

больше

бригада

Ответ:

№ 14.7

х-1 число

у-2 число

3(х-у)=(х+у)+6

2(х-у)=(х+у)+9

Ответ:

№ 14.12

Кол-во т

за 1 рейс

Кол-во

рейсов

Всего

тонн

машина

№ 14.12

В первый день было вывезено 27 тонн зерна, причем одна машина сделала 4 рейса, а другая – 3 рейса. На следующий день вторая машина за 4 рейса перевезла на 11 тонн больше, чем первая машина за 3 рейса. Сколько тонн зерна перевозили на каждой машине за один рейс?

Кол-во т

за 1 рейс

Кол-во

рейсов

Всего

тонн

машина

на 11т

больше

машина

Ответ:

№ 14.14

Кол-во кг

в 1 ящике

Кол-во

ящиков

Всего

черешня

на 3 ящика

меньше

вишня

№ 14.14

На рынке было закуплено 84 кг черешни и вишни, причем черешни куплено на 3 ящика меньше, чем вишни. Сколько ящиков черешни и вишни закуплено по отдельности, если в 1 ящике черешни 8 кг, а вишни 10 кг?

Кол-во кг

в 1 ящике

Кол-во

ящиков

Всего

черешня

вишня