Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

В МОРСКОЙ ПЕХОТЕ

"Было ясно, что предстоящая битва имеет важнейшее военно-политическое значение.
С падением Сталинграда вражеское командование получало возможность отрезать
юг страны от центра. Мы могли потерять также и Волгу.
Перебрав все возможные варианты, мы решили предложить И.В.Сталину
следующий план действий: первое – активной обороной продолжать изматывать
противника; второе – приступить к подготовке контрнаступления.
И.В.Сталин сказал, что во главе Фронта следует поставить другого командующего.
Кандидатом на этот пост был представлен генерал-лейтенант К.К.Рокоссовский.
Карту-план контрнаступления подписали Г.К.Жуков, А.М.Василевский. «Утверждаю!» -
подписал Верховный."
Г.К.Жуков

Повела судьба-дорога,
Прокричи – «Счастливый путь!»
Если ехать очень долго –
Доберёшься как-нибудь!
Доберёшься с думой честной
По тропе и целине -
Где в теплушке многоместной,
Где – на крашеной броне!
Различай огни и знаки –
Тут ручьём, там – бережком:
«В Сталинград!» - кричат вояки,
«В Сталинград!» - сказал Нарком!
«В Сталинград!» - и поезд мчится,
«В Сталинград!» - и тяжкий бег,
Всё-то вскорости решится,
Что задумал Главковерх!
Видно – час уже назначен,
Битва страшная грядёт –
Кто не знает – озадачен,
Кто уверен – только ждёт!
Полустанки и просёлки –
Всё забито до вершин,
Удивился Ваня Пчёлкин –
«Сколько пушек и машин!»
Сходу взяли буераки,
Час – и рубль за перевоз,
К тракторам бы эти траки,
Да в деревню, да в колхоз!
Там – паши! Плуги – громада,
Борозда? Спеши – сажай!
Урожай бы был - «что надо»,
Настоящий урожай!
Планы – в срок! Потом – речёвки,
Лозунг в небе золотом!
...Не о том ты, Ваня Пчёлкин,
Размышляешь не о том!
Что поля и посевная?
Что седой колхозный дед?
Тут страна твоя родная
В пике Славы и Побед!
Так считай! Считай отныне –
Заблуждаться – не грешно!
...Так не думают в Берлине,
Там другое решено!
Там чужие планы-стрелы,
Там в делах фашистский ряд –
Вон, противник ошалелый,
Прёт на город Сталинград!
Он уверен в каждой роте –
Прочен тыл и прочен фронт,
Он уже на горизонте,
Он - у сталинских ворот!
Панорама вся – в биноклях –
Дымка, Волга и рассвет:
Тут вопрос стоит о сроках,
И других вопросов – нет!
Кто задаст в безумном беге?
Тут решай в безумстве дней -
Чьи фельдмаршалы-стратеги
Благородней и умней?
Чьи острей мечи и грани?
Чей сильней солдатский штык?
Что там спор? На поле брани
Выявляют, кто велик!
...А пока – вагон и полки,
Жаль, не баня и полок –
Не стратег ты, Ваня Пчёлкин,
Ты – дивизия и полк,
Ты же – Фронт! Тут - не до спора,
Спор - без дела и во вред,
Ты – великая опора
И родитель всех Побед!
Ты - борец за дом и правду,
Ты – кормилец нищих ртов,
Подъезжая к Сталинграду,
Будь ко всякому готов!
Будь готов к случайной пище,
О мечте – пока молчок:
Видишь, в этой теснотище
Примостился морячок?
Всё при нём – бушлат и фляжка,
И значков невпроворот,
Бескозырка и тельняшка,
Лента чёрная – «Балтфлот!»
Брюки-клёш! Размер – для форса,
Взгляд – намеренно суров,
Ясно даже без вопроса –
Он с балтийских крейсеров!
Разговор? Да бога ради –
На словах – опереди:
«Я давно в морской бригаде,
С сорок первого, поди!»
Любопытство – тут же в гору,
Знают – время не для лжи:
«Ты, братишка, про «Аврору!» -
Про «Аврору» расскажи!»
Что сказать? Да всё по чести,
Сообщить безмерно рад,
Что стоит она на месте,
Защищая Ленинград!
Кто способен – все на Фронте,
Бой порою городской,
Все авроровцы в пехоте,
Но, как принято, в морской!
...Разговор – душе отрада,
Не домой, а к смерти мчим –
Сталинград от Ленинграда,
Удивляясь, отличим,
И оценим факт и правду,
Чарку водки, крепкий чай –
«Вот бы мне в твою бригаду!» -
Бросил Пчёлкин невзначай!
Тут уж так – бурлите плёсы,
Удивляй честной народ –
«Там у вас одни матросы,
Или есть солдатский взвод?»
Что в ответ? Судьба – морока,
Кровь водицею течёт –
«Мы же выбиты до срока,
Моряков наперечёт!
Но зато врагами кляты,
Моряки – герои сплошь,
Пополнение – солдаты,
Попросись – и попадёшь!
Да у нас пустые штаты,
Без бойцов порой сидим –
Вот тебе координаты,
Приходи – определим!»
«Ладно, парень, ты не парься –
Попрошусь и я на Флот!
Как зовут-то?» «Тёркин Вася,
Только знай, что я не «тот»!
«Тот» смоленский, а не псковский,
Мне уж точно не родня –
Про «него» писал Твардовский,
Про «него» - не про меня!
Коль глядеть на Божий свиток –
Делал всех один верстак,
Видно Тёркиных избыток,
Коль считать, так это так!
Всем – единая примета
И единая печать –
Видно дар на то поэта,
Чтоб весёлых замечать!»
...Выбор правильный - в минуте,
Помечтал – и вышел сон:
Пчёлкин был на сборном пункте
К морякам определён!
В этом вихре – словно плашка,
Но не сломлен и не смят:
Из «морского» лишь тельняшка,
Как подарок от ребят!
Вот и вся экипировка,
И снаряд над головой –
Вроде чувствует неловко,
Вроде он пока не свой!
Тёркин – друг! Суров и весел –
«Будь, братишка, сам собой,
Что до срока нос повесил?
Приготовься! Завтра в бой!»
Вот и вся на деле ясность –
Надо выполнить приказ!
...Настроение опасность
Поднимает всякий раз!

Задачи повышенной трудности

(решения, указания, методические советы)

Задачи повышенной трудности отмечены в учебнике значком или. Рассмотрим некоторые из них. Прежде чем разбирать задачу повышенной трудности в классе, надо дать ее на дом, чтобы учащиеся смогли подумать над ней, не ограничивая себя временем. Затем в классе рассмотреть решения, которые они предложат. Если никто не справился, или справились 1-3 человека, решение не разбирается, а только дается подсказка, которая позволит остальным нащупать пути решения. Подсказку лучше давать примерно в такой форме: подумайте над … .

116 . Сколько всего различных незамкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках A , B , C , D (рис. 16)?

Задача № 000 – это фактически задача на перебор вариантов. Ее цель в данном параграфе состоит в том, чтобы дать учащимся возможность накопить некоторый опыт по подсчету числа вариантов и по построению дерева вариантов прежде, чем будут введены соответствующие термины и сформулировано правило произведения.

После обсуждения ответов и решений учащихся учитель может сказать примерно следующее:

«Вы получили разные ответы, но никто не смог доказать, что он перебрал все возможные случаи. Давайте попробуем разработать такой способ подсчета, при котором можно быть уверенным в том, что мы перебрали все возможные варианты.» Тогда словосочетание «перебор … вариантов» появляется в таком контексте, что смысл его объяснять не надо, тем более, что используемые слова учащимся к этому моменту уже знакомы из других жизненных ситуаций.

Далее учащимся предлагается сначала посчитать, сколько можно построить ломаных с началом в точке А . Рассуждаем так: из точки А можно пойти в точку B или в точку C или в точку D . Чтобы ничего не пропустить, сделаем рисунок:

Теперь подумаем, куда мы можем пойти из точки B , из точки C, из точки D, и т. д. В результате рассуждений получаем такой рисунок:

«Итак, мы видим, что можно построить 6 ломаных с началом в точке A . Запишем их названия. Как вы думаете, сколько всего ломаных мы получим, если проделаем такую же работу с остальными точками? Проверьте свое предположение дома.»

Здесь работа над задачей в классе заканчивается и учащимся предлагается закончить ее дома: изобразить все ломаные с началом в точке A и, рассуждая аналогично (сделав такой же рисунок), выписать и изобразить все ломаные с началом в точках B , C и D . В процессе выполнения этой работы учащиеся заметят, что каждая ломанае повторяется дважды, поскольку, например, ABCD и DCBA – это одна и та же ломаная. Поэтому всего различных ломаных получится не 6 × 4 = 24, а вдвое меньше – 12.

Время на работу с задачей в классе можно сократить, если заранее заготовить слайд с «деревьями», построенными из точек B , C и D .

117 . Сколько всего различных замкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках A , B , C , D (рис. 16)?

Решение. Рассуждения здесь могут быть такими: «Перебирая возможные варианты для незамкнутых ломаных, мы первоначально получили 24 варианта. Затем выяснили, что мы получили 24 варианта названий ломаных, и в этих названиях каждая ломаная повторяется дважды, поэтому всего ломаных 12.

Превратим незамкнутые ломаные в замкнутые: добавим необходимое звено. Видим, например, что замкнутые ломаные ABCD , BCDA , CDAB и DABC – это одна и та же ломаная,

т. е. число различных замкнутых ломаных в 4 раза меньше числа незамкнутых: 12: 4 = 3.»

Можно рассуждать по-другому. «Рассмотрим замкнутую ломаную ABCD . Ее название можно записать 8-ю способами (по два названия для каждой из начальных точек A , B . C , D ). Это значит, что число замкнутых ломаных в 8 раз меньше числа всех возможных вариантов записи названий ломаных с вершинами в точках A , B , C иD : 24: 8 = 3.»

И, наконец, тот же результат можно получить, попытавшись изобразить различные замкнутые ломаные с вершинами в этих точках. Больше трех вариантов найти не удается.

161 . Однажды на досуге Иа-Иа и Пятачок решили попробовать зашифровать цифры буквами. Иа-Иа удалось записать некоторое трехзначное число, затем сумму его цифр, а затем сумму цифр этой суммы. Вот что у него получилось:

.

А Пятачок проделал то же самое с другим трехзначным числом. У него получилось так:

Постарайтесь разгадать, какое число записал Иа-Иа, а какое Пятачок.

Как правило, находятся учащиеся, которые справляются с этой задачей дома без чьей-либо помощи. Если их немного, не стоит торопиться с тем, чтобы они рассказали свое решение всем. Достаточно ответа на вопрос: с чего ты начал?

Если же таких учащихся не нашлось, дается подсказка: подумайте, какой может быть сумма цифр трехзначного числа, может ли она начинаться с цифры 3, с цифры 4 и т. д.? если нет, то почему? После этого задача опять задается на дом.

Решение (один из способов рассуждений).

1) И + О = И, значит, О = 0. Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше+ 9 + 9 = 27). Поскольку, О = 0, а И может быть равно только 2 или 1, сумма цифр задуманного числа равна либо 20, либо 10. Проверим оба варианта.

Если И = 2, то ИО=20, тогда А должно быть равно 16. Но цифры 16 не существует.

Если И = 1, то ИО=10, тогда А должно быть равно 8. Это возможно.

Значит, Иа-Иа задумал число 181.

2) Аналогично у Пятачка: число ЧО может быть равно 20 или 10, т. е. Ч может быть равно 2 или 1. Проверим эти варианты.

Если Ч = 2, то П = 9. Это возможно.

Если Ч = 1, то П определить невозможно, так как П + П = 9, а 9 не делится на 2.

Значит, Пятачок задумал число 929.

166 . Прохожий заметил идущий на остановку автобус в 180 метрах позади себя. Чтобы не опоздать, он побежал и через 12 секунд прибежал на остановку одновременно с автобусом. С какой скоростью пришлось бежать прохожему, если известно, что автобус движется со скоростью 19 м/сек?

Прежде чем давать эту задачу на дом, целесообразно прочитать ее в классе и сделать к ней рисунок, т. е. составить графическую модель ситуации, описанной в задаче:

1) 19 × 12 = 228 (м) – расстояние, которое проехал автобус;

2) 228 – 180 = 48 (м) – расстояние, которое пробежал прохожий;

3) 48: 12 = 4 (м/с) – скорость прохожего.

Ответ: 4 м/с.

II способ.

1) 180: 12 =15 (м/с) – скорость, с которой автобус догоняет прохожего;

2) 19 – 15 = 4 (м/с) – скорость прохожего.

Ответ: 4 м/с.

Наводящие вопросы, которые могут быть заданы классу:

На какую из ранее решенных задач похожа эта задача? (задача № 000, про шляпу, которую ветер сорвал со старухи Шапокляк)

1) Какую величину требуется найти в задаче? (скорость)

2) Какие величины надо знать, чтобы определить скорость движения? (путь и время)

3) Какие из них нам известны? (время)

4) Подумайте, как определить путь.

II способ.

1) О каком движении речь идет в задаче: навстречу, вдогонку, объекты сближаются или удаляются? Как бы вы охарактеризовали скорость, с которой меняется взаимное расположение объектов? (движение вдогонку, автобус догоняет пешехода, скорость сближения)

2) В этой задаче двигаются автобус и прохожий, причем автобус догоняет прохожего. Какие скорости и расстояния рассматриваются, когда речь идет о движении вдогонку? (скорости движущихся объектов, скорость сближения или удаления, расстояние между объектами, время, которое требуется, чтобы одному из них догнать другого).

4) Какие из этих величин известны, какие нет? Какая из них искомая? (известно время, которое потребовалось автобусу, чтобы догнать прохожего, скорость автобуса; неизвестна скорость сближения; искомая величина – скорость прохожего).

5) Как определить неизвестные величины?

Здесь так же, как в случае с задачей о шляпе, второе решение короче, но додуматься до него труднее. Поэтому не следует торопиться с тем, чтобы дать детям готовое решение, эффект будет минимальный. Лучше к этой задаче возвращаться в течение нескольких уроков, давая детям возможность все глубже осознавать описанную в ней ситуацию.

225. а) 1000 л бензина стоят 8 500 рублей. Определите стоимость 210 л бензина. Постарайтесь решить эту задачу, не переводя рубли в копейки.

б) Рабочий изготовил 10 деталей на своем станке за 52 часа 30 минут; станок-автомат изготовил 25 таких же деталей за 43 часа 45 минут. Во сколько раз автомат работал быстрее рабочего?

а) Подсказка. Определите стоимость 10 л бензина.

б) Аналогичный прием применить не удается. Но уже попытки предпринять что-либо способствуют накоплению опыта в работе с единицами измерения времени. В конечном итоге приходим к необходимости выразить время работы в минутах.

349. Аэроплан совершал перелет из одного пункта в другой со средней скоростью 180 км/ч . Если бы его скорость была 200 км/ч , то на тот же путь он затратил бы на 30 минут меньше. Определите расстояние между пунктами.

В учебнике есть задачи-ступеньки, ведущие к задаче № 000. Это задачи № 000-329. Решение этих задач приводит к необходимости выполнить деление с остатком, определить, какую часть составляет этот остаток от величины, принятой за целое: расстояния, которое преодолевается за единицу времени, или стоимости единицы массы.

Практика показывает, что для того, чтобы задачу № 000 тем или иным способом решили практически все учащиеся, требуется несколько уроков. Как правило, на первый урок после того, как было получено задание, с решением приходят 1-2 ученика, причем довольно часто задача бывает решена методом подбора. Отвергать его не следует. Однако, надо предложить учащимся постараться решить задачу более традиционным методом.

Попытка решить задачу с помощью уравнения, как правило, приводит к выражениям, которые учащиеся на этом этапе преобразовывать еще не умеют. Поэтому возникает необходимость решить эту задачу арифметическим методом.

Первая Подсказка. Какие величины надо знать, чтобы определить расстояние? Какие из них известны? Представьте, что вылетели одновременно два аэроплана : первый со скоростью 180 км/ч, а второй – со скоростью 200 км/ч.

После этой подсказки еще несколько учащихся приносят решения.

Вторая Подсказка. На каком расстоянии от пункта прибытия был первый аэроплан в тот момент, когда второй туда прилетел? Как бы вы охарактеризовали это расстояние? Целесообразно вместе с учащимися построить графическую модель ситуации:

Третья Подсказка. Скорость известна. Что нужно знать, чтобы определить время в пути, зная, на какое расстояние за это время второй аэроплан обогнал первый?

Решение (заметим, что мы приводим только один из возможных способов, практика же показывает, что при такой организации работы над задачей учащиеся приносят до пяти различных способов решений).

1) Представим, что вылетели одновременно два аэроплана, первый со скоростью 180 км/ч, а второй – со скоростью 200 км/ч. Тогда, в тот момент, когда второй совершил посадку, первый был от пункта назначения в 30 мин полета. Поскольку его скорость 180 км/ч, ему осталось лететь

180: 2 = 90 (км).

2) 90 км – это расстояние, на которое второй аэроплан обогнал первый за время полета. Чтобы найти расстояние между городами, надо знать время полета. Это то самое время, за которое второй аэроплан обогнал первый на 90 км. Его можно найти, если определить скорость удаления:

200 – 180 = 20 (км/ч).

3) 90: 20 = 4 ч (10 км ост).

Если за 1 час расстояние между самолетами увеличивается на 20 км, то на 10 км оно увеличится за полчаса. Значит, второй аэроплан был в полете 4 ч 30 мин.

4) 200 × 4 = 800 (км) – расстояние, которое пролетел второй аэроплан за 4 часа.

И еще за полчаса он пролекм.

5) Значит расстояние между городами: 800 + 100 = 900 (км).

Ответ. 900 км.

493. Изобразите отрезок MN . Отметьте на нем точки K и L так, чтобы отрезок KN составлял , а отрезок ML – отрезка MN . Какую часть отрезков MN , NK , ML , MK и NL составляет отрезок KL ? Прежде чем решать задачу подумайте, какой длины удобно взять отрезок MN .

Подсказка содержится в тексте задачи. Учащимся предлагается в классе прочитать первые два предложения и подумать над подсказкой. После этого задача дается на дом.

Можно даже выполнить первую половину задания в классе: изобразить отрезок и отметить на нем точки. Завершить выполнение задания учащимся предлагается дома.

Ответ: отрезок KL составляет длины отрезка MN , длины отрезка NK , длины отрезка ML , 1 длины отрезка MK , 1 длины отрезка NL .

581. Библиотеке надо переплести 960 книг. Одна переплетная мастерская может выполнить эту работу за 16, другая - за 24 и третья - за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно, и сколько книг успеет переплести каждая мастерская? Можно ли распределить книги между мастерскими так, чтобы эта работа была выполнена за более короткий срок?

Учащиеся уже решали задачи на совместную работу, но до сих пор работающих было двое (№ 000, 143, 157), решение было связано с дробями (№ 000, 518, 519). Поэтому на уроке, когда эта задача дается на дом, следует предоставить учащимся возможность прочитать условие и подумать над вопросом: что надо знать, чтобы определить, за какой срок смогут выполнить работу три мастерские, работая одновременно? Возможны два варианта ответа: 1) сколько книг могут переплести три мастерские за один день, работая одновременно; 2) какую часть работы могут выполнить за один день три мастерские, работая одновременно (). Однако в 5-м классе второй вариант маловероятен. Такой способ решения можно рассмотреть в 6-м классе, вернувшись к этой задаче во втором полугодии, когда учащимся будут знакомы все действия с обыкновенными дробями.

1) Сколько книг может переплести за один день первая мастерская?

960: 16 = 60 (книг).

2) Сколько книг может переплести за один день вторая мастерская?

960: 24 = 40 (книг).

3) Сколько книг может переплести за один день третья мастерская?

960: 48 = 20 (книг).

4) Сколько книг могут переплести за один день три мастерские, работая одновременно?

60 + 40 + 20 = 120 (книг).

5) За какой срок выполнят работу три мастерские, работая одновременно?

960: 120 = 8 (дней).

6) Сколько книг успеет переплести первая мастерская за 8 дней?

60 × 8 = 480 (книг).

7) Сколько книг успеет переплести вторая мастерская за 8 дней?

40 × 8 = 320 (книг).

6) Сколько книг успеет переплести третья мастерская за 8 дней?

20 × 8 = 160 (книг).

Заметим, что первые 5 действий можно записать одним выражением.

Второй вопрос задачи можно перефразировать следующим образом: будет ли работа выполнена за более короткий срок, если отдать больше книг в ту мастерскую, которая работает быстрее всех? (Поскольку очевидно, что если книги отдать в мастерскую, которая работает медленнее, работа будет выполняться дольше).

В ответе на первый вопрос задачи было получено:

а) работа будет выполнена за 8 дней;

б) за 8 дней I мастерская успеет переплести 480 книг;

II мастерская успеет переплести 320 книг;

III мастерская успеет переплести 160 книг.

Если перераспределить книги, увеличив их число в I мастерской, то на работу потребуется более 8 дней. Значит, оптимальным является только найденный вариант распределения.

На самом деле, тот факт, что увеличение числа книг в первой мастерской ведет к увеличению срока выполнения работы, достаточно очевиден, но у некоторых учащихся остаются сомнения, если им наглядно не представлены результаты, найденные при ответе на первый вопрос.

Примем объем всей работы за единицу – 1. Тогда за один день

I мастерская сможет выполнить часть всей работы,

II мастерская сможет выполнить часть всей работы,

III мастерская сможет выполнить часть всей работы,

1) Какую часть работы могут выполнить за один день три мастерские, работая одновременно?

(часть работы)

2) За один день выполняется часть работы, значит, вся работа будет выполнена за 8 дней.

3) Какую часть книг успеет переплести каждая мастерская за 8 дней?

I мастерская: (часть);

II мастерская: (часть);

III мастерская: (часть).

4) Сколько книг успеет переплести каждая мастерская за 8 дней?

I мастерская: 960 × = 480 (книг);

II мастерская: 960 × = 320 (книг);

III мастерская: 960 × = 160 (книг).

Ответ: 8 дней, I мастерская успеет переплести 480 книг, II мастерская – 320 книг, III мастерская – 160 книг.

677. В первой фляге молока в 3 раза больше, чем во второй. Когда из первой фляги перелили во вторую 15 л, молока в обеих флягах стало поровну. Сколько литров молока было в каждой фляге первоначально?

Попытка решить задачу алгебраическим методом, приводит к уравнению, которое пятиклассникам, решить довольно затруднительно. Поэтому здесь целесообразно предложить учащимся составить графическую модель ситуации (рисунок), описанной в задаче, и подумать над этой моделью:

Наводящий вопрос: покажите то количество молока, которое надо перелить из первого бидона во второй, чтобы уравнять количество молока в обоих бидонах.

Как только учащиеся поняли, что 15 л это треть молока, содержащегося в первом бидоне, задача решена.

678. 1) Решите задачу подбором. Из 29 коробок часть содержит по 14 кг конфет, а часть по 15 кг. Сколько тех и других коробок, если общая масса конфет в коробках обоих типов одинаковая?

2) Придумайте сами аналогичную задачу.

Подсказка: внимательно изучите данные.

Внимательно изучив данные, видим, что 14 + 15 = 29. Значит коробок, в которых по 14 кг должно быть 15, а тех, в которых по 15 кг – 14.

689. Пассажир поезда, идущего со скоростью 50 км/ч, заметил, что встречный поезд шел мимо него в течение 10 секунд. Определите длину встречного поезда, если его скорость – 58 км/ч.

Какие величины в задаче известны? Сделаем рисунок:

Длина поезда – это расстояние от начала головного вагона до конца хвостового вагона. Какие величины мы обычно используем, чтобы найти расстояние?

Как бы вы решали задачу, если бы поезд, в котором сидел пассажир, стоял на месте?

1) 50 + 58 = 108 км/ч скорость, с которой встречный поезд проехал мимо пассажира.

2) 108 (км/ч) = (108 × 1000) : 3600 (м/с) = 30 (м/с).

3) 30 × 10 = 300 (м) – длина поезда.

Ответ: 300 м.

690. а). От пристани А вниз по течению реки отправился катер. В это же время от пристани В навстречу ему вышел второй катер с такой же собственной скоростью. Первый катер достиг пристани В через 4 ч. На каком расстоянии от пристани А был в это время второй, если скорость течения 2 км/ч?

б) В случае затруднений, постарайтесь определить, на сколько первый катер проходит больше километров за 1 час, чем второй

в) Если вы так и не смогли решить задачу, постарайтесь разобраться в том, как это можно сделать, из следующего текста.

Первый катер при движении по течению за 4 ч «выиграл» 8 км (4 × 2) по сравнению с тем расстоянием, которое он прошел бы за это время, двигаясь в стоячей воде, а второй катер столько же километров «проиграл», так как двигался против течения. Всего же второй катер за 4 ч «проиграл» первому 16 км. Значит, на таком расстоянии он был от A тогда, когда первый прибыл в B .

Подсказки и решение этой задачи следуют сразу после условия, под буквами б) и в).

¢798. Начертите с помощью циркуля окружность и проведите диаметр. Обозначьте его АВ . На окружности отметьте две любые точки С и D . Соедините их с точками А и В . Какими (острыми, прямыми или тупыми) получились углы АСВ и ADB ? Сделайте вывод.

799. Начертите окружность и проведите отрезок АВ с концами на этой окружности. Отметьте на окружности точки C , D и Е так, чтобы угол АВС был острым, угол АВ D – прямым, а угол АВ E – тупым.

Задачи № 000 и 799 – это задачи-ступеньки к задаче № 000.

Выполняя задание № 000, учащиеся видят, что все углы, вершины которых принадлежат окружности, а стороны проходят через концы диаметра – прямые.

После выполнения задания № 000 целесообразно предложить учащимся вопрос: «Есть ли среди отрезков AC , AD и AE диаметр данной окружности?»

800. На отдельном листе бумаги, используя чашку вместо циркуля, проведите карандашом окружность. Вырежьте получившийся круг и подумайте, как при помощи перегибания найти его центр. Подумайте, как найти центр круга в случае, если круг перегнуть нельзя.

Выполнение первого задания – найти центр вырезанного круга перегибанием, как правило, затруднений не вызывает.

Если же круг перегнуть нельзя, то центр найти сложнее. Здесь учащимся следует предложить подумать, какие из свойств углов и окружностей, с которыми они познакомились, выполняя предыдущие задания (№ 000, 799), можно использовать в этой задаче. Оказывается, достаточно построить прямой угол BAC , где точки A , B , C принадлежат окружности, тогда BC – диаметр, а его середина – центр окружности.

Мы рекомендуем учителю обязательно рассмотреть эти задачи с учащимися, так как в 6 классе им будут предложены задания такого типа: на рисунке изображена окружность, центр которой не отмечен, и требуется определить длину этой окружности, измерив ее диаметр или радиус.

Если учащиеся не знакомы с тем, как определить диаметр или радиус окружности, центр которой не известен, выполнить такое задание им будет нелегко.

846. Найдите длину забора, окружающего дом прямоугольной формы, длиной 15,5 м и шириной 4,8 м, если забор поставлен на расстоянии 10 м от него.

К этой задаче целесообразно сделать схематический рисунок, чтобы, в частности, было понятно, что подразумевается под расстоянием от дома до забора:

879. Катер, встретив плот, продолжал движение еще в течение получаса в том же направлении, а затем развернулся и направился обратно. Сколько ему понадобится времени, чтобы догнать плот?

Эта задача вызывает затруднения даже у учащихся старших классов. Но, поскольку они знакомы с преобразованием буквенных выражений, в большинстве случаев им удается получить правильный ответ.

Как правило, пятиклассники либо приносят решение в буквенной форме, которое сделали родители, либо высказывают некоторые предположения, с обоснованием которых у них возникают затруднения, либо задают какие-нибудь значения скоростей катера и течения и решают задачу с числовыми данными.

Последний вариант, на наш взгляд, наиболее приемлем. Следует предложить учащимся задать различные значения для скоростей катера и течения и решить задачу с этими данными. Во всех случаях получается один и тот же результат. После этого учащиеся высказывают предположение, что результат не зависит от числовых данных. Учитель предлагает подумать – почему?

Обоснования могут быть различными по форме. Приведем одно их них.

Скорость удаления катера от плота (движение против течения):

(v собст. катера – v течения) + v плота(течения) = v собст. катера.

Скорость сближения катера и плота (движение по течению):

(v собст. катера + v течения) – v плота(течения) = v собст. катера.

1008. Приведите контрпример для утверждения: любые два прямоугольных параллелепипеда, имеющие равные объемы, имеют и равные площади поверхности.

Подсказка: для наглядности можно использовать кубики. Например:

1021. Пассажир поезда, идущего со скоростью 79,2 км/ч, заметил, что встречный поезд шел мимо него в течение 12 с. Определите скорость встречного поезда, если его длина – 480 м.

Эта задача очень похожа на задачу № 000. Только там были даны скорости обоих поездов, и надо было найти длину встречного поезда; здесь же длина известна, а найти надо скорость. Поэтому первой подсказкой к этой задаче может быть предложение вспомнить, как решалась задача № 000.

Кроме того, можно предложить учащимся подумать, как бы они решили задачу, если бы поезд, в котором сидел пассажир, стоял на месте; какой компонент и как надо изменить, учитывая, что поезда ехали навстречу друг другу.

1) Выразим скорость поезда, в котором ехал пассажир, в метрах в секунду:

79,2 (км/ч) = (79,2 × 1000) : 3600 (м/с) = 22 (м/с).

2) 480: 12 = 40 (м/с) – скорость, с которой встречный поезд проехал мимо пассажира.

3) 40 – 22 = 18 (м/с) – скорость встречного поезда.

4) Выразим скорость встречного поезда в км/ч:

(18 × 3600): 1000 = 64,8 (км/ч).

Ответ: 64,8 км/ч.

После того, как задача решена, можно предложить учащимся придумать задачу на такую ситуацию: пассажир сидит в поезде, а по параллельному пути его обгоняет другой поезд.

В соответствии с военно-политическими целями, поставленным коммунистической партией и правительством перед советским народом на новый этап войны, Ставка Верховного Главнокомандования выработала стратегический замысел действий Советских Вооруженных Сил в зимнюю кампанию 1942/43 г. Реальная оценка Ставкой их возможностей к концу 1942 г. привела к выводу о необходимости последовательного разгрома противника. Поэтому в основу замысла была положена идея проведения системы последовательных наступательных операций на огромном фронте от Ладожского озера до предгорий Главного Кавказского хребта. Осуществление его должно было привести к поражению наиболее сильных группировок врага, захвату стратегической инициативы и достижению решительного перелома в вооруженной борьбе на главном фронте второй мировой войны.

Советским войскам предстояло вначале разгромить неприятельскую группировку в междуречье Волги и Дона, а затем нанести удары на Северном Кавказе, Верхнем Дону и под Ленинградом. Чтобы сковать противника и лишить его возможности маневрировать силами, предусматривалось провести также наступательные операции в районах Великих Лук Ржева и Вязьмы. В случае успешного решения этих задач предполагалось развить стратегическое наступление на курском, харьковском направлениях и в Донбассе.

Основные усилия в зимней кампании 1942/43 г. сосредоточивались на южном крыле советско-германского фронта. Именно здесь находились наиболее крупные и активные группировки противника, разгром которых обеспечивал захват стратегической инициативы и создавал благоприятные условия для развертывания наступления на других важных направлениях.

Обстановка, сложившаяся на южном крыле советско-германского фронта, способствовала проведению здесь наступательных операций большого размаха с решительными целями. Вражеские ударные группировки, действовавшие под Сталинградом и на Северном Кавказе, еще не успели создать сильной обороны и оказались разбросанными на огромном фронте - от Воронежа до Элисты и от Моздока до Новороссийска. В результате исключительно упорной и активной обороны советских войск летом и осенью 1942 г. они понесли большие потери. Стратегические и оперативные резервы вермахта на советско-германском фронте были в значительной степени истощены, тогда как советское командование заканчивало накопление крупных резервов, полностью оснащенных всеми средствами вооруженной борьбы.

По общему замыслу Ставки ВГК на первом этапе кампании предусматривалось сосредоточить крупные силы на сталинградско-ростовском направлении и, двинув их в решительное контрнаступление, окружить и уничтожить основную группировку противника (около 40 дивизий по состоянию на 1 ноября 1942 г.) в районе Сталинграда. В последующем имелось в виду с вводом в сражение дополнительных резервов расширить фронт стратегического контрнаступления, разгромить вражеские войска на Среднем Дону и ударом в общем направлении на Каменск-Шахтин-ский, Ростов-на-Дону отрезать пути отхода в Донбасс крупной неприятельской группировке, находившейся на Северном Кавказе 1. Таким образом, предполагалось создать предпосылки для завершения разгрома всего южного крыла германского восточного фронта.

Учитывая опыт предшествующего периода войны, Ставка Верховного Главнокомандования отказалась от одновременного проведения наступательных операций на всех стратегических направлениях советско-германского фронта. Первоначально основные усилия она сосредоточила на главной операции кампании в междуречье Волги и Дона. Поэтому наиболее подробно разрабатывался план действий фронтов, которым предстояло наступать на сталинградско-ростовском направлении.

Исходя из замысла советского Верховного Главнокомандования, важнейшей стратегической операцией кампании должно было явиться контрнаступление под Сталинградом. С него и намечалось начать мощное зимнее наступление.

Принципиальное решение о контрнаступлении под Сталинградом было принято 13 сентября 1942 г. после заслушивания Верховным Главнокомандующим докладов генералов Г. К. Жукова и А. М. Василевского. «Перебрав все возможные варианты,- вспоминал бывший заместитель Верховного Главнокомандующего Маршал Советского Союза Г. К. Жуков,- мы решили предложить И. В. Сталину следующий план действий: первое - активной обороной продолжать изматывать противника; второе - приступить к подготовке контрнаступления, чтобы нанести противнику в районе Сталинграда такой удар, который резко изменил бы стратегическую обстановку на юге страны в нашу пользу» 2. При этом учитывалось, что решительный разгром противника на сталинградско-ростовском направлении поставит в тяжелое положение группу армий «А», действовавшую на Северном Кавказе, и заставит ее или поспешно отступать, или сражаться, по существу, в условиях окружения. Срок начала контрнаступления не устанавливался, однако из доклада заместителя Верхов-юго Главнокомандующего следовало, что оно могло быть предпринято не ранее последней декады октября 1942 г.3.

При выработке предварительных соображений по плану контрнаступления под Сталинградом учитывался произведенный Генеральным штабом всесторонний анализ обстановки на советско-германском фронте, и в частности на его южном крыле. Исходя из этого анализа, предполагалось использовать выгодное положение советских войск, охватывавших 6-ю и 4-ю танковую немецкие армии, и нанести по их флангам мощные концентрические удары с целью окружения и разгрома всех основных сил вражеской группировки, действовавшей в междуречье Волги и Дона.

2 Н. Воронов. На службе военной. М., 1963, стр. 287.

3 Г. Жуков. Воспоминания и размышления. Т. 2. Изд. 2. М., 1974, стр. 86. :; Т. 1, стр.

Операцию предлагалось провести в два этапа. На первом этапе прорвать оборону и окружить главные силы 6-й полевой и 4-й танковой армий, а также создать прочный внешний фронт окружения. Содержанием второго этапа должно было явиться отражение попыток деблокады окруженных войск и их уничтожение.

Соображения представителей Ставки были в принципе одобрены. После этого заместитель Верховного Главнокомандующего и начальник Генерального штаба убыли в район Сталинграда, чтобы на месте изучить все вопросы, связанные с контрнаступлением, и представить в Ставку конкретные предложения по плану этой решающей операции. Особое внимание обращалось на строгое соблюдение скрытности подготовки контрнаступления.

Результаты работы представителей Ставки ВГК во фронтах сталинградского направления были обсуждены в конце сентября на совещании у Верховного Главнокомандующего. Тогда и был в основном утвержден оперативный план контрнаступления, определены направления главных ударов привлекаемых к операции фронтов, необходимые для них силы и средства, районы размещения выдвигаемых к фронту резервов и примерные сроки их сосредоточения. Одновременно были приняты решения по организации управления войсками в предстоящей операции. В частности, Сталинградский и Юго-Восточный фронты, руководство которыми ранее осуществлял командующий Юго-Восточным фронтом, переименовывались соответственно в Донской и Сталинградский с непосредственным подчинением Ставке ВГК. В полосе среднего течения Дона создавался новый, Юго-Западный фронт, на который возлагалась главная задача в операции - нанести мощный удар по флангу сталинградской группировки противника, выйти ей в тыл и сыграть решающую роль в ее окружении. Во главе фронтов, которым предстояло начать контрнаступление на юге, были поставлены опытные военачальники: командующим Донским фронтом - генерал К. К. Рокоссовский, находившийся до этого на посту командующего Брянским фронтом; командующим Юго-Западным фронтом - генерал Н. Ф. Ватутин, который летом и осенью 1942 г. являлся командующим Воронежским фронтом; командующим Сталинградским фронтом оставался генерал А. И. Еременко.

После дополнительного тщательного изучения на месте реальных возможностей для проведения контрнаступления план операции был окончательно утвержден. Операция получила условное наименование «Уран». Переход войск в контрнаступление определялся для Юго-Западного и Донского фронтов 9 ноября, а для Сталинградского фронта - 10 ноября. Разница в сроках перехода фронтов в наступление обусловливалась различной глубиной задач и необходимостью обеспечить одновременный выход ударных группировок в район Калач-на-Дону, Советский, где предусматривалась их встреча.

С учетом того, что успех готовившегося под Сталинградом удара по врагу должен был оказать решающее влияние на весь ход зимней кампании и приобретал поэтому не только военное, но и важное политическое значение, Политбюро ЦК ВКП(б), ГКО и Ставка ВГК признали необходимым «считать предстоящую операцию в районе Сталинграда главным мероприятием до конца 1942 года на всем советско-германском фронте, сосредоточив на ней основное внимание и усилия партии, правительства и всего советского народа» 1.

1 Цит. по: Сталинградская эпопея. М., 1968, стр. 83.

К практической работе над планом контрнаступления командования фронтов сталинградского направления были привлечены в первых числах октября. В эти дни представители Ставки ВГК ознакомили в общих чертах руководящий состав фронтов с замыслом и планом Сталинградской операции на окружение врага. Фронты получили указания разработать конкретные предложения о наиболее целесообразном использовании сил и средств в операции1. 9 октября командующие фронтами представили в Ставку свои первоначальные соображения.

В центральных управлениях Наркомата обороны, штабах родов войск и видов Вооруженных Сил разрабатывались принципиальные вопросы использования в контрнаступлении авиации, артиллерии, бронетанковых войск и материально-технического обеспечения операции. Возглавили эту работу выезжавшие в район Сталинграда по заданию Ставки ВГК командующий артиллерией Советской Армии генерал Н. Н. Воронов, командующий Военно-Воздушными Силами генерал А. А. Новиков, его заместитель генерал Г. А. Ворожейкин, командующий авиацией дальнего действия генерал А. Е. Голованов, начальник Главного автобронетанкового управления генерал Я. Н. Федоренко. В непосредственной работе по планированию материально-технического обеспечения контрнаступления принимали участие начальник Тыла Советской Армии генерал А. В. Хрулев и начальник Главного артиллерийского управления генерал Н.Д.Яковлев.

Таким образом, в разработку замысла и плана Сталинградской наступательной операции был вложен творческий труд большого коллектива военачальников, командиров и штабов. Основная роль в планировании и обеспечении этой операции принадлежала Ставке Верховного Главнокомандования, ее представителям и Генеральному штабу.

Одновременно с развертыванием подготовки контрнаступления на сталинградском направлении Ставка приказала командованию ряда других фронтов готовить войска к активным наступательным действиям.

Ленинградскому и Волховскому фронтам было приказано впредь до особого распоряжения никаких частных операций не проводить, а готовить войска к прорыву блокады Ленинграда 2.

Северо-Западный, Калининский и Западный фронты должны были в октябре - ноябре 1942 г. провести совместную наступательную операцию на московском направлении с целью разгрома противника в районах Ржева и Ново-Сокольников. Операция условно именовалась «Марс». Первоначальный срок готовности ее был определен 21 октября, а начало действий - 23 октября 3.

Закавказский фронт получил приказ прочно оборонять занимаемые рубежи, а войскам Северной группы 4 надлежало быть готовыми к наступлению с целью нанести поражение моздокской группировке противника. Срок готовности Северной группы войск к проведению операции был определен 3 ноября, а начало действий - по специальному распоряжению Ставки.

Успешно развернувшееся создание резервных формирований позволило Ставке Верховного Главнокомандования в середине ноября приступить к подготовке новой операции, получившей условное наименование «Сатурн». Замыслом этой операции, являвшейся составной частью стратегического контрнаступления, предусматривалось через две-три недели после начала контрнаступления под Сталинградом нанести войсками левого крыла Воронежского и правого крыла Юго-Западного фронтов глубокий рассекающий удар с рубежа Дона (в его среднем течении) через Миллерово на Ростов. По плану проведения операций «Уран» и «Сатурн» под удар советских войск попадали до 60 дивизий врага. В случае успеха «Сатурна» могла быть окружена и группа армий «А», действовавшая на Северном Кавказе. Конкретное планирование операций на других направлениях, предусмотренных общим замыслом зимней кампании, осуществлялось в ходе контрнаступления под Сталинградом. Дальнейшие события полностью подтвердили правильность подобного метода планирования стратегических наступательных операций.

1 Архив МО, ф. 48а, оп. 1640, д. 27, лл. 240, 247.

2 Архив МО, ф. 48а, оп. 1640, д. 180, лл. 295, 302.

3 Там же, л. 275.

4 В состав Северной группы войск Закавказского фронта входили 9, 37, 44, 58, 4-я воздушная армии, отдельные части и соединения.

Умело организованное взаимодействие между группами фронтов, действовавшими на различных направлениях, должно было создать благоприятные условия для реализации замысла Ставки. Основы взаимодействия групп фронтов были заложены в самой идее проведения стратегического наступления.

Планируя и организуя контрнаступление под Сталинградом, Ставка предусмотрела сковывание сил врага активными действиями войск на западном, северо-западном направлениях и на Северном Кавказе. Она учитывала, что, как только противник попадет в тяжелое положение под Сталинградом и на Северном Кавказе, главное командование вермахта попытается перебросить на помощь южной группировке часть войск из других районов, в частности из района Ржева и Вязьмы. Вот тогда-то и должна была начаться наступательная операция «Марс». Ее цель состояла не только в том, чтобы сковать силы противника и нанести ему поражение, в районе ржевско-вяземского выступа, но и привлечь дополнительно на это направление вражеские резервы. Такая же роль в ходе Сталинградской наступательной операции отводилась контрударам войск Закавказского фронта в районе Моздока.

При подготовке зимних наступательных операций большое внимание уделялось применению авиации. Ей предстояло продолжать борьбу за завоевание стратегического господства в воздухе, а также поддержать ударные группировки фронтов до выполнения ими своих задач. В одной из телеграмм, направленных Верховным Главнокомандующим II. В. Сталиным генералу Г. К. Жукову, находившемуся в районе Сталинграда, говорилось, что на основе опыта войны с Германией «операцию против немцев можно выиграть лишь в том случае, если имеем превосходство в воздухе». Для успеха в операции надлежало выполнить три задачи: «Первое - сосредоточить действия нашей авиации в районе наступления наших ударных частей, подавить авиацию немцев и прочно прикрыть наши войска. Второе - пробить дорогу нашим наступающим частям путем систематической бомбежки стоящих против них немецких войск. Третье - преследовать отступающие войска противника путем систематической бомбежки и штурмовых действий, чтобы окончательно расстроить их и не дать им закрепиться на ближайших рубежах обороны» г. В конце телеграммы указывалось, что, если советские ВВС в данный момент не в состоянии выполнить эти задачи, лучше отложить операцию на некоторое время и накопить побольше авиации. Эти директивные указания Ставки ВГК имели прямое отношение не только к Сталинградской, но и ко всем последующим операциям Советских Вооруженных Сил.

Военно-Морской Флот должен был содействовать войскам фронтов в наступательных операциях на приморских направлениях, продолжать нарушать коммуникации противника и надежно защищать свои морские сообщения. Особое значение придавалось защите северных коммуникаций, по которым из США и Англии в порты Мурманск и Архангельск прибывало более 40 процентов поставок, предусмотренных соглашениями. Важное значение придавалось обеспечению коммуникаций в Каспийском море.

1 Архив МО, ф. 132а, оп. 2642, д. 32, л. 193.

Основные задачи Войск ПВО страны по-прежнему состояли в том, чтобы надежно прикрывать от ударов воздушного противника крупные экономические, политические центры и коммуникации. Им предстояло решать и новые задачи: оборонять объекты на освобождаемой территории и усилить прикрытие фронтовых путей сообщения.

Важное значение Ставка ВГК придавала активизации всенародной борьбы в тылу врага. Еще в сентябре 1942 г. она потребовала усилить удары по врагу на оккупированной советской территории. Несколько позже в период непосредственной подготовки наступательной кампании, многие партизанские соединения получили задачу совершить рейды из Брянских лесов на территорию Правобережной Украины, чтобы развернуть там диверсионную деятельность на коммуникациях противника, выводить из строя важные железнодорожные узлы, вести разведку.

Таким образом, Ставка Верховного Главнокомандования наиболее тщательно разрабатывала исходную операцию - стратегическое контрнаступление под Сталинградом. В его интересах намечалось осуществить наступательные операции с целью активного сковывания противника на западном направлении и на Северном Кавказе. Все последующие операции предусматривалось детально планировать уже в ходе начавшегося контрнаступления, когда должны были отчетливо проявиться тенденции к решительному изменению общей обстановки на советско-германском фронте.

В стратегическом замысле, методах разработки плана контрнаступления ярко проявилось высокое военное искусство советского Верховного Главнокомандования.

Предположим, что вы не можете вспомнить последнюю цифру телефона своего друга. Какое наибольшее количество номеров придется набрать, чтобы ему дозвониться?

Поскольку в конце телефонного номера может стоять любая из десяти цифр, то вам в худшем случае придется сделать десять попыток, тем самым перебрав все возможные варианты.

Нередко в повседневной жизни мы встречаемся с задачами, решение которых требует рассмотрения и подсчета всех возможных комбинаций . Поэтому такие задачи навзывают комбинаторными .

Пример 1 . Одноклассницы Оля, Валя и Катя дежурят по школе. Сколькими способами классный руководитель может расставить девочек по одной на каждом из трех этажей школы?

Решение. Предположим, что Олю назначили дежурить на третьем этаже. Тогда на втором этаже может дежурить Валя или Катя, а на первом − соответственно Катя или Валя.

Получаем два способа (две комбинации, два варианта) распределения дежурства (девочки обозначены первыми буквами их имен).

Пусть теперь дежурной на третьем этаже назначили Валю. Тогда на втором этаже может дежурить Оля или Катя, а на первом − соответственно Катя или Оля. Получаем еще два способа распределения дежурства.

И наконец, предположим, что дежурной на третьем этаже назначили Катю. Получаем еще два способа распределения дежурства.

Таким образом получилось шесть способов распределения дежурства.

Ответ: 6 способов.

При решении комбнаторных задач важно рассмотреть (перебрать) все случаи. Поэтому процесс перебора желательно сделать удобным и наглядным.

Например, решение задачи о распределении дежурства можнго проиллюстрировать с помощью такой схемы:

Эта схема позволяет записать шесть комбинаций, каждая из которых соответствует одному варианту распределения дежурства: ОВК, ОКВ, ВОК, ВКО, КВО, КОВ.

Изображженная схема напоминает перевернутое дерево. Поэтому ее называют деревом возможных вариантов .

Пример 2 . Сколько углов изображено на рисунке 182 ?

Решение. Обозначение любого угла, изображенного на рисунке, состоит из трех букв, второй из которых обязательно является буква O, а две другие выбираются из букв A, B, C, D. Поэтому искомое количествоо углов равно количеству способов выбрать из букв A, B, C, D две буквы.

При записи всех возможных вариантов надо учесть, что, например, комбинации AB и BA соответствуют одному и тому же углу AOB.

Вначале перечислим все пары букв с первой A:

AB, AC, AD.

Теперь перечислим пары, у которых первая буква B, а вторая не является буквой A:

BC, BD.

Осталось перечислить пары, у которых первая буква C, а второй не является ни A, ни B:

Таким образом, получили шесть комбинаций:

AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Следовательно, на рисунке 182 изображено шесть углов.

Ответ: 6 углов.

При решении этой задачи можно воспользоваться такой наглядной схемой.

Рассмотрим четыре точки, обозначенные буквами A, B, C, D (рис. 183 ).

Тогда количество отрезков, соединяющих каждые две точки, равно количеству углов, изображенных на рисунке 182 . Например, отрезку AC на рисунке 183 соответствует угол AOC на рисунке 182, отрезку BC − угол BOC. И наоборот, каждому углу на рисунке 182 соответствует определенный отрезок на рисунке 183 .

На рисунке 183 можно провести всего шесть отрезков. Следовательно, искомое количество углов равно шести.

С помощью схем, подобной той, которая изображена на рисунке 183, можно решать целый ряд задач. С помощью этой схемы решите такую задачу. При встрече четыре прямтеля обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? (Ответ: 6 ).