По столбу высотой 10 м взбирается улитка. Решение нестандартных задач по математике в начальной школе. Движение гусеницы

Карагандинская областна специализированная школа-интернат «Дарын»

Класс: 5 (003 группа Б)

Дата: 08.12.2015

Разработал а : учитель математики Ким Ирина Валентиновна

Тема урока: Математические рассуждения

Используемые технологии: метод «Снежный ком», метод «Пазл», метод «Карусель»

Цель урока: способствовать формированию у учащихся умения рассуждать как компонента логической грамотности;

Задачи урока:

расширить область познаний у учащихся в области математики, логики;

способствовать формированию навыков вариативности логических рассуждений;

развивать познавательную активность, устойчивый интерес к предмету;

развивать навыки коллективных решений, публичных выступлений,

Методические приёмы обучения:

работа учащихся в группах;

решение ситуационных задач;

взаимооценка, самооценка.

Оборудование: проектор, интерактивная доска

Компетенции, на формирование которых направлен урок:

Предметные компетенции : умение сравнивать разные приемы действий, выбирать удобные способы для выполнения конкретного задания; анализировать текст познавательной задачи: ориентироваться в тексте, выделять условие и вопрос, данное и искомое; моделировать ситуацию, описанную в тексте задачи, использовать соответствующие знаково-символические средства для моделирования ситуации; конструировать последовательность «шагов» (алгоритм) решения задачи; моделировать в процессе совместного обсуждения алгоритм решения задачи, использовать его в ходе самостоятельной работы; применять изученные способы учебной работы и разнообразные приемы для работы с головоломками; анализировать правила игры, действовать в соответствии с заданными правилами; выполнять пробное учебное действие, фиксировать индивидуальное затруднение в пробном действии;

Личностные компетенции : умение адекватно оценивать свои способности и возможности на уроке; быть толерантным; умение формировать внутреннюю мотивацию приобретения знаний для дальнейшего образования, а также понимать необходимость личностного роста для успешного самоопределения в будущем.

Информационные компетенции: умение анализировать и отбирать необходимую информацию для решения поставленных задач.

Коммуникативные компетенции: умение работать в группе, достигать цели общения в процессе парной, коллективной работы, находить общее решение поставленной задачи; умение корректно и правильно задать вопрос, представить себя, выступить перед аудиторией в роли спикера .

Социальные компетенции: развитие необходимых личностных качеств, направленных на освоение способов физического, духовного, интеллектуального саморазвития.

Управленческие компетенции: умение решать проблемные вопросы, делать осознанный выбор уровня сложности заданий; умение, модельные ответы, адекватно оценивать свои способности и возможности.

Ход урока

Этапы урока

Содержание

Навигация

по слайдам

1 этап «Разминка»

Учащимся в группах предлагается устно ответить на вопросы учителя.

(3 балла за каждый правильный ответ)

1. Грузовик ехал в деревню. По дороге он встретил 4 легковые машины. Сколько машин ехало в деревню? (Одна)

2. 65 2 = 4225

3. На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? (50)

4. Кирпич весит один килограмм плюс еще полкирпича. Сколько весит кирпич? (2 кг)

5. 428 · 25 = 10700

6. Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько потребуется землекопов, для того чтобы выкопать 100 м канавы за 100 часов?

Понадобятся те же пять землекопов, не больше. В самом деле, пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы; значит, пять землекопов за 1 час вырыли бы 1 м канавы, а в 100 часов - 100 м.

7. 72 · 11 = 792

8. Парусник выходит в плавание в понедельник в полдень. Плавание продлится 100 часов. Каков день и час его прибытия?

(В пятницу, в 16 ч)

9. 89 · 11 = 979

10. Портной имеет кусок сукна в 16 м, от которого он отрезает ежедневно по 2 метра. Через сколько дней он отрежет последний кусок? (Последний кусок будет отрезан через семь дней)

Слайд 2

2 этап «Пазл»

Каждая группа получает задание решить 4 задачи и самостоятельно распределяет между членами группы, кто какое задание будет решать. Через 5 минут группы перераспределяются. Собираются в новые группы ученики, которые решали одинаковые задачи и сверяют решение, потом возвращаются в свои группы и подсчитывают количество правильно выполненных заданий.

(5 баллов за каждую правильно решенную задачу)

1. Какой цифрой оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 81?

Ответ: Данное произведение оканчивается нулем, так как одним из множителей является число 10, а в произведении 10 на любое число получим число, оканчивающееся нулем.

2. По столбу высотой 10 м взбирается улитка. За день она поднимается по столбу на 5 метров, за ночь опускается на 4 м. Сколько дней ей потребуется, чтобы подняться на вершину столба?

Ответ: За первый день улитка поднимется на 5 м, а за ночь опустится на 4 м. Следовательно, за первые сутки она окажется на высоте 1 м; 5 м пройдет за 5 суток. На шестой день улитка достигнет вершины.

3. Число выстрелов по мишени уменьшилось на 10, а число попаданий увеличилось на 3. Как изменилось число промахов?

Ответ: При уменьшении на 10 числа выстрелов при том же числе попаданий число промахов уменьшилось на 10. Если к тому же число попаданий увеличилось на 3, то число промахов еще уменьшилось на 3. Таким образом, всего число промахов уменьшилось на 13.

4. Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях. Их туфли также были белого, зеленого и синего цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми, Наташа была в зеленых туфлях. Определить цвет платья и туфель каждой из подруг?

Ответ: У Ани белые туфли и белое платье, у Вали зеленое платье и синие туфли, у Наташи синее платье и зеленые туфли.

Слайды 3 - 7

3 этап «Геометрический»

Метод «Карусель»

Каждая группа предоставляет свое решение соседней группе на проверку по часовой стрелке.

(5 баллов за каждое правильное решение)

На рисунке представлены 2 фигуры. Одним разрезом поделите каждую из них на две части и сделайте из них квадрат.

Слайды 8 - 9

4 этап «Снежный ком»

Ученики решают задачу сначала индивидуально, затем в парах, потом – в группе. Представляют

решение у доски.

(10 баллов за правильно решенную задачу)

Задача для 1 группы

Имеются два сосуда вместимостью 3 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л воды?

Задача для 2 группы

Имеется 81 монета одного достоинства. Из них одна фальшивая и она тяжелее настоящей монеты. Как с помощью четырех взвешиваний на чашечных весах найти эту монету?

Необходимо каждый раз все количество монет делить на 3 равных кучи и взвешивать 2 из них. Если кучи по весу равны, то искомая монета в третьей куче, если же какая-то из двух куч тяжелее, то фальшивая монета в ней. Далее найденную кучу нужно снова делить на 3 части и взвешивать любые 2. В первом взвешивании измеряются кучи по 27 монет, во втором взвешивании измеряются кучи по 9 монет, в третьем взвешивании измеряются кучи по 3 монеты и в четвертом взвешивании на чаши весов ложится по одной монете.

Задача для 3 группы

В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли?

Каждый шахматист сыграл 6 партий. Всего сыграна 21 партия (произведение 7 · 6 нужно разделить на два, в противном случае каждая партия будет сосчитана дважды).

Слайды 10 - 13

5 этап «Головоломки со спичками»

Работа на планшете.

Считается количество баллов, набранных группой.

Слайд 14

Подведение итогов. Подсчет баллов. Определение победителей.

Рефлексия

Алгоритм рефлексии (по Т.И. Шамовой):

«Я» - как чувствовал себя в процессе учения,
с каким настроением работал,
доволен ли собой.
«Мы» - насколько мне комфортно работалось в группе,
я помогал товарищам – они помогали мне (чего было
больше),
были ли у меня затруднения при работе в группе
«Дело» - я достиг цели учения,
мне этот материал нужен для дальнейшей учёбы, практики, просто интересен,
в чём я затруднялся, почему как мне преодолеть свои проблемы.

Слайд 15

Решение олимпиадных задач в начальной школе

Движение гусеницы.

Нельзя обойти вниманием интересную старинную задачу:
В воскресенье в 6 часов утра гусеница решила забраться на вершину дерева высотой 12 футов. За день она успевала подняться на 4 фута, а ночью во сне сползала на 3 фута. Когда гусеница достигнет вершины?
Узнаем, на сколько футов удается подняться гусенице за сутки.
4 – 3 = 1 (фут).
Просится ответ, что на 12 футов гусеница поднимется за 12 суток. Но этот ответ неверный, т. к. не надо учитывать последнее сползание гусеницы.
12 – 4 = 8 (фут).
Прошло 8 суток. Гусеница поднялась на 8 футов. На девятые сутки она поднимется на 12 футов и к 6 часам вечера в понедельник она достигнет вершины.
Ответ: в следующий через неделю понедельник к 6 часам вечера она достигнет вершины.
Важно, чтобы учащиеся поняли, что когда гусеница достигнет вершины, в этот момент счет времени прекращается. Она достигла цели и уже не важно, будет она спускаться или нет.
Для первой задачи лучше выбрать вариант, где высота столба небольшая, и с помощью рисунка можно проследить весь путь гусеницы.
По столбу высотой 10 метров взбирается улитка. Днем она поднимается на 5 м., а ночью опускается на 4 м. Через сколько дней улитка достигнет вершины столба?

По рисунку видно, что пройдет 6 дней, прежде чем улитка достигнет вершины дерева. Необходимо записать и арифметический способ решения:
1. 5 – 4= 1(м) – поднимается улитка за сутки.
2. 10 – 5 = 5(м) – нужно пройти улитке без последнего поднятия.
3. 5: 1 = 5 (дн) – понадобится гусенице, чтобы пройти 5 м.
4. 5 + 1 =6 (дн) – необходимо гусенице, чтобы подняться на вершину дерева, т. к. в последний шестой день гусеница сразу поднимется на 5 м и достигнет вершины.
В литературе встретила несколько задач, которые можно считать вариантами этой задачи.
1. Улитка ползет по столбу высотой 20 м. Каждый день она поднимается на 2 м. И каждую ночь опускается на 1 м. Через сколько дней она достигнет вершины?
2. Высота столба 10 м. Муравей поднимается по нему за день на 4 м. вверх, а за ночь опускается на 2 м. вниз. За сколько дней муравей доползет до вершины столба?
3. По вертикальному столбу высотой 6 м. ползет улитка. За день она поднимается на 4 м., за ночь опускается на 3 м. Сколько дней ей потребуется, чтобы добраться до вершины?
4. По столбу высотой 100 м. взбирается улитка. За день она поднимается по столбу на 5 м., за ночь опускается на 4 м. Сколько дней ей потребуется, чтобы подняться на вершину столба?
5. Улитка каждый день вползает по стене на 7 м. вверх и ночью спускается на 4 м. вниз. На какой день она, начав от земли, достигнет крыши дома, высота которого 19 м.?
6. Червяк ползет по стволу липы. Ночью он поднимается на 4м вверх, а днем опускается на 2 м вниз. На восьмую ночь червяк достиг вершины дерева. Как высока липа?
7. В 6 часов утра в понедельник гусеница начала вползать на дерево высотой 12 м. За день (до 18 ч.) она поднималась на 4 м., а за ночь спускалась на 3 м. Когда она достигнет вершины?
8. Петя, делая в секунду шаг, идет следующим образом: 2 шага вперед, шаг назад. За сколько секунд он пройдет 20 шагов?
9. Гусеница ползет по стволу яблони. За первый час поднялась на 10 см., за второй – опустилась на 4 см., за третий – вновь поднялась и т. д. На сколько см. поднимется гусеница за 11 часов?
10. Гном Путалка идет к клетке с тигром. Каждый раз, когда он делает 2 шага вперед, тигр рычит и гном отступает на шаг назад. За какое время он дойдет до клетки, если до нее 5 шагов, а один шаг Путалка делает за 1 секунду?
11. В 6 часов в воскресенье гусеница начала вползать на дерево. В течение дня, т. е до 18 ч., она заползала на высоту 5 м, а в течение ночи спускалась на 2 метра. В какой день и час она будет на высоте 9 метров?
12. Витя наблюдает за пауком, который на паутинке поднимается на вершину дерева высотой 12 м. Причем, поднимается так: за день поднимается на 5 метров, а ночью во сне опускается на 4 м. За сколько дней поднимется паучок на вершину?
13. По вертикальному столбу высотой 6 м движется улитка. За день она поднимается на 4 м, ночью во сне сползает на 3 м. Сколько дней ей потребуется, чтобы добраться до вершины?

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Улитка ползет по столбу высотой 10 метров. За день она поднимается на 5 м, а за ночь опускается на 4 метра. За сколько дней улитка доберется от подножия до вершины столба?

Ответы:

5 м-4 м=1 м (поднимается за сутки) На пятые сутки улитка доберется до 5 м, а на шестой день достигнет вершины столба, так как 5 м+5 м=10 м (она ночью спустится на 4 м, но на вершине то улитка уже побывала) Ответ: на шестой день улитка доберется до вершины столба

Похожие вопросы