Прямолинейное равномерное движение с постоянным ускорением. Тема урока: «Ускорение. Прямолинейное движение с постоянным ускорением». Скорость при движении с постоянным ускорением

Изучением классического механического движения в физике занимается кинематика. В отличие от динамики, наука изучает, почему движутся тела. Она отвечает на вопрос, как они это делают. В данной статье рассмотрим, что такое ускорение и движение с постоянным ускорением.

Понятие об ускорении

Когда тело движется в пространстве, за некоторое время оно преодолевает определенный путь, который является длиной траектории. Чтобы рассчитать этот путь, пользуются понятиями скорости и ускорения.

Скорость как физическая величина характеризует быстроту во времени изменения пройденного пути. Скорость направлена по касательной к траектории в сторону перемещения тела.

Ускорение — это несколько более сложная величина. Говоря кратко, она описывает изменение скорости в рассматриваемый момент времени. Математическое выглядит так:

Чтобы яснее понять эту формулу, приведем простой пример: предположим, что за 1 секунду движения скорость тела увеличилась на 1 м/с. Эти цифры, подставленные в выражение выше, приводят к результату: ускорение тела в течение этой секунды было равно 1 м/с 2 .

Направление ускорения совершенно не зависит от направления скорости. Его вектор совпадает с вектором результирующей силы, которая вызывает это ускорение.

Следует отметить важный момент в приведенном определении ускорения. Эта величина характеризует не только изменение скорости по модулю, но и по направлению. Последний факт следует учитывать в случае криволинейного движения. Далее в статье будет рассматриваться только прямолинейное движение.

Скорость при движении с постоянным ускорением

Ускорение является постоянным, если оно в процессе движения сохраняет свой модуль и направление. Такое движение называют равноускоренным или равнозамедленным — все зависит от того, приводит ли ускорение к увеличению скорости или к ее уменьшению.

В случае движения тела с постоянным ускорением определить скорость можно по одной из следующих формул:

Первые два уравнения характеризуют равноускоренное перемещение. Отличие между ними заключается в том, что второе выражение применимо для случая ненулевой начальной скорости.

Третье уравнение — это выражение для скорости при равнозамедленном движении с постоянным ускорением. Ускорение при этом направлено против скорости.

Графиками всех трех функций v(t) являются прямые. В первых двух случаях прямые имеют положительный наклон относительно оси абсцисс, в третьем случае этот наклон является отрицательным.

Формулы пройденного пути

Для пути в случае движения с ускорением постоянным (ускорение a = const) получить формулы несложно, если вычислить интеграл от скорости по времени. Проделав эту математическую операцию для записанных выше трех уравнений, мы получим следующие выражения для пути L:

L = v 0 *t + a*t 2 /2;
L = v 0 *t - a*t 2 /2.

Графиками всех трех функций пути от времени являются параболы. В первых двух случаях правая ветвь параболы возрастает, а для третьей функции она постепенно выходит на некоторую константу, которая соответствует пройденному пути до полной остановки тела.

Решение задачи

Двигаясь со скоростью 30 км/ч, автомобиль начал ускоряться. За 30 секунд он прошел расстояние 600 метров. Чему было равно ускорение автомобиля?

В первую очередь переведем начальную скорость из км/ч в м/с:

v 0 = 30 км/ч = 30000/3600 = 8,333 м/с.

Теперь запишем уравнение движения:

L = v 0 *t + a*t 2 /2.

Из этого равенства выразим ускорение, получим:

a = 2*(L - v 0 *t)/t 2 .

Все физические величины в этом уравнении известны из условия задачи. Подставляем их в формулу и получаем ответ: a ≈ 0,78 м/с 2 . Таким образом, двигаясь с ускорением постоянным, автомобиль за каждую секунду увеличивал свою скорость на 0,78 м/с.

Рассчитаем также (для интереса), какую скорость он приобрел через 30 секунд ускоренного движения, получаем:

v = v 0 + a*t = 8,333 + 0,78*30 = 31,733 м/с.

Полученная скорость равна 114,2 км/ч.

Движение с постоянным ускорением–это такое движение, при котором вектор ускорения остается постоянным как по величине, так и по направлению. Примером такого типа движения может служить движения точки в поле силы тяжести (как вертикально, так и под углом к горизонту).

Используя определение ускорения получим следующее соотношение

После интегрирования имеем равенство
.

С учетом того, что вектор мгновенной скорости есть
, будем иметь следующее выражение

Интегрирование последнего выражение дает следующее соотношение

. Откуда имеем получаем уравнение движения точки с постоянным ускорением

Примеры векторных уравнений движения материальной точки

Равномерное прямолинейное движение (
):

. (1.7)

Движение с постоянным ускорением (
):

. (1.8)

Зависимость скорости от времени при движении точки с постоянным ускорением имеет вид:

. (1.9)

Вопросы для самоконтроля.

Сформулируйте определение механического движения.

Дайте определение материальной точки.

Каким образом определяется положение материальной точки в пространстве в векторном способе описания движения?

В чем сущность векторного метода описания механического движения? Какие характеристики используются для описания этого движения?

Дайте определения векторов средней и мгновенной скорости. Как определяется направление этих векторов?

Дайте определение векторов среднего и мгновенного ускорений.

Какое из соотношений является уравнением движения точки с постоянным ускорением? Какое соотношение определяет зависимость вектора скорости от времени?

§1.2. Координатный способ описания движения

В координатном способе для описания движения выбирают систему координат (например, декартову). Начало отсчета жестко закрепляют с выбранным телом (телом отсчета ). Пусть
единичные орты, направленные в положительные стороны осейOX, OY и OZ соответственно. Положение точки задается координатами
.

Вектор мгновенной скорости определяется следующим образом:

где
проекции вектора скорости на оси координат, а
производные от координат по времени.

Длина вектора скорости связана с его проекциями соотношением:

. (1.11)

Для вектора мгновенного ускорения справедливо соотношение:

где
проекции вектора ускорения на оси координат, а
производные по времени от проекций вектора скорости.

Длина вектора мгновенного ускорения находится по формуле:

. (1.13)

Примеры уравнений движения точки в декартовой системе координат

. (1.14)

Уравнения движения:
. (1.15)

Зависимости проекций вектора скорости на оси координат от времени:

(1.16)

Вопросы для самоконтроля.

В чем сущность координатного способа описания движения?

Каким соотношением определяется вектор мгновенной скорости? По какой формуле вычисляется величина вектора скорости?

Каким соотношением определяется вектор мгновенного ускорения? По какой формуле вычисляется величина вектора мгновенного ускорения?

Какие соотношения называют уравнениями равномерного движения точки?

Какие соотношения называют уравнениями движения с постоянным ускорением? По каким формулам рассчитывают проекции мгновенной скорости точки на оси координат?

Положение тел относительно выбранной системы координат принято характеризовать радиусом-вектором , зависящим от времени. Тогда положение тела в пространстве в любой момент времени можно найти по формуле:

(Напомним, что в этом и заключается основная задача механики.)

Среди множества различных видов движения самым простым является равномерное – движение с постоянной скоростью (нулевым ускорением), причем неизменным должен оставаться вектор скорости (). Очевидно, что такое движение может быть только прямолинейным. Именно при равномерном движении перемещение вычисляется по формуле:

Иногда тело движется по криволинейной траектории так, что модуль скорости остается постоянным () (такое движение нельзя назвать равномерным и к нему нельзя применить формулу). В этом случае пройденный путь может быть вычислен по простой формуле:

Примером такого движения является движение по окружности с постоянной по модулю скоростью .

Более сложным является равноускоренное движение – движение с постоянным ускорением (). Для такого движения справедливы две формулы кинематики:

из которых можно получить две дополнительные формулы, которые часто могут быть полезны при решении задач:

;

Равноускоренное движение не обязательно должно быть прямолинейным. Необходимо лишь, чтобы вектор ускорения оставался постоянным. Примером равноускоренного, но не всегда прямолинейного движения, является движение с ускорением свободного падения (g = 9,81 м/с 2), направленным вертикально вниз.

Из школьного курса физики знакомо и более сложное движение – гармонические колебания маятника, для которого формулы – не справедливы.

При движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью оно движется с так называемым нормальным (центростремительным ) ускорением

направленным к центру окружности и перпендикулярным скорости движения.

В более общем случае движения по криволинейной траектории с меняющейся скоростью ускорение тела можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие и представить в виде суммы тангенциального (касательного) и нормального (перпендикулярного, центростремительного) ускорения:

где – орт вектора скорости и орт нормали к траектории; R – радиус кривизны траектории.

Движение тел всегда описывается относительно какой-либо системы отсчета (СО). При решении задач необходимо выбрать наиболее удобную СО. Для поступательно движущихся СО формула

позволяет легко переходить от одной СО к другой. В формуле – скорость тела относительно одной СО; – скорость тела относительно второй СО; – скорость второй СО относительно первой.

Вопросы для самопроверки и задачи

1) Модель материальной точки: в чем ее суть и смысл?

2) Сформулируйте определение равномерного, равноускоренного движения.

3) Сформулируйте определения основных кинематических величин (радиуса-вектора, перемещения, скорости, ускорения, тангенциального и нормального ускорения).

4) Напишите формулы кинематики равноускоренного движения, выведите их.

5) Сформулируйте принцип относительности Галилея.

2.1.1. Прямолинейное движение

Задача 22. (1) Автомобиль движется по прямолинейному участку дороги с постоянной скоростью 90 . Найти перемещение автомобиля за 3,3 мин и его положение в этот же момент времени, если в начальный момент времени автомобиль находился в точке, координата которой равна 12,23 км, а ось Ox направлена 1) вдоль движения автомобиля; 2) против движения автомобиля.

Задача 23. (1) Велосипедист движется по загородной дороге на север со скоростью 12 в течение 8,5 мин, затем он, свернув направо на перекрестке, проехал еще 4,5 км. Найти перемещение велосипедиста за время его движения.

Задача 24. (1) Конькобежец движется прямолинейно с ускорением 2,6 , и за 5,3 с его скорость увеличилась до 18 . Найти начальное значение скорости конькобежца. Какое расстояние пробежит спортсмен за это время?

Задача 25. (1) Автомобиль движется прямолинейно, притормаживая перед знаком ограничения скорости 40 с ускорением 2,3 Сколько времени длилось такое движение, если перед началом торможения скорость автомобиля была равна 70 ? На каком расстоянии от знака водитель начал тормозить?

Задача 26. (1) С каким ускорением движется поезд, если на пути 1200 м его скорость возросла от 10 до 20 ? Сколько времени затратил поезд на этот путь?

Задача 27. (1) Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3 с. Какова была начальная скорость тела? На какой максимальной высоте оно побывало?

Задача 28. (2) Тело на веревке поднимают с поверхности земли с ускорением 2,7 м/с 2 вертикально вверх из состояния покоя. Через 5,8 с веревка оборвалась. Сколько времени двигалось тело до земли после того, как оборвалась веревка? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 29. (2) Тело начинает двигаться без начальной скорости с ускорением 2,4 Определить путь, пройденный телом за первые 16 с от начала движения, и путь, пройденный за последующие 16 с. С какой средней скоростью двигалось тело эти 32 с?

2.1.2. Равноускоренное движение в плоскости

Задача 30. (1) Баскетболист бросает мяч в кольцо со скоростью 8,5 под углом 63 о к горизонту. С какой скоростью мяч попал в кольцо, если долетел до него за 0,93 с?

Задача 31. (1) Баскетболист бросает мяч в кольцо. В момент броска мяч находится на высоте 2,05 м, а через 0,88 с падает в кольцо, расположенное на высоте 3,05 м. С какого расстояния от кольца (по горизонтали) произведен бросок, если мяч был брошен под углом 56 о к горизонту?

Задача 32. (2) Мяч брошен горизонтально со скоростью 13 , спустя некоторое время его скорость оказалась равной 18 . Найти перемещение мяча за это время. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 33. (2) Тело брошено под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью 17 м/с. Найти величину этого угла, если дальность полета тела в 4,3 раза больше максимальной высоты подъема.

Задача 34. (2) Бомбардировщик, пикирующий со скоростью 360 км/ч, сбрасывает бомбу с высоты 430 м, находясь по горизонтали на расстоянии 250 м от цели. Под каким углом должен пикировать бомбардировщик? На какой высоте окажется бомба спустя 2 с от начала падения? Какую скорость она будет иметь в этой точке?

Задача 35. (2) Самолет, летевший на высоте 2940 м со скоростью 410 км/ч, сбросил бомбу. За какое время до прохождения над целью и на каком расстоянии от нее самолет должен сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Найти модуль и направление скорости бомбы спустя 8,5 с от начала ее падения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 36. (2) Снаряд, выпущенный под углом 36,6 о к горизонту, дважды был на одной и той же высоте: спустя 13 и 66 с после вылета. Определить начальную скорость, максимальную высоту подъема и дальность полета снаряда. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.1.3. Движение по окружности

Задача 37. (2) Грузило, движущееся на леске по окружности с постоянным тангенциальным ускорением, к концу восьмого оборота имело скорость 6,4 м/с, а после 30 с движения его нормальное ускорение стало 92 м/с 2 . Найти радиус этой окружности.

Задача 38. (2) Мальчик, катающийся на карусели, движется при остановке карусели по окружности радиусом 9,5 м и проходит путь 8,8 м, имея в начале этой дуги скорость 3,6 м/с, а в конце – 1,4 м/с. Определить полное ускорение мальчика в начале и конце дуги, а также время его движения по этой дуге.

Задача 39. (2) Муха, сидящая на краю лопасти вентилятора, при его включении движется по окружности радиусом 32 см с постоянным тангенциальным ускорением 4,6 см/с 2 . Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение будет вдвое больше тангенциального и чему будет равна линейная скорость мухи в этот момент времени? Сколько оборотов муха сделает за это время?

Задача 40. (2) При открывании двери ручка из состояния покоя движется по окружности радиусом 68 см с постоянным тангенциальным ускорением, равным 0,32 м/с 2 . Найти зависимость полного ускорения ручки от времени.

Задача 41. (3) Для экономии места въезд на один из высочайших в Японии мостов устроен в виде винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом 65 м. Полотно дороги составляет с горизонтальной плоскостью угол 4,8 о. Найти ускорение автомобиля, движущегося по этой дороге с постоянной по модулю скоростью, равной 85 км/ч?

2.1.4. Относительность движения

Задача 42. (2) Два корабля движутся относительно берегов со скоростью 9,00 и 12,0 узлов (1 узел = 0,514 м/с), направленной под углом 30 и 60 о к меридиану соответственно. С какой скоростью второй корабль движется относительно первого?

Задача 43. (3) Мальчик, который может плавать со скоростью, в 2,5 раза меньшей скорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу мальчик должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки равна 190 м.

Задача 44. (3) Два тела одновременно начинают двигаться из одной точки в поле силы тяжести с одинаковой скоростью, равной 2,6 м/с. Скорость одного тела направлена под углом π/4, а другого – под углом –π/4 к горизонту. Определить относительную скорость этих тел через 2,9 с после начала их движения.

При равноускоренном движении справедливы следующие уравнения, которые мы приводим без вывода:

Как вы понимаете, векторная формула слева и две скалярные формулы справа равноправны. С точки зрения алгебры, скалярные формулы означают, что при равноускоренном движении проекции перемещения зависят от времени по квадратичному закону. Сравните это с характером проекций мгновенной скорости (см. § 12-з).

Зная, что sx = x – xo и sy = y – yo (см. § 12-е), из двух скалярных формул из правой верхней колонки получим уравнения для координат:

Поскольку ускорение при равноускоренном движении тела постоянно, то координатные оси всегда можно расположить так, чтобы вектор ускорения был направлен параллельно одной оси, например оси Y. Следовательно, уравнение движения вдоль оси X заметно упростится:

x = xo + υox t + (0) и y = yo + υoy t + ½ ay t²

Обратите внимание, что левое уравнение совпадает с уравнением равномерного прямолинейного движения (см. § 12-ж). Это означает, что равноускоренное движение может «складываться» из равномерного движения вдоль одной оси и равноускоренного движения вдоль другой. Подтверждением этому служит опыт с ядром на яхте (см. § 12-б).

Задача . Вытянув руки, девочка подбросила шар. Он поднялся на 80 cм и вскоре упал к ногам девочки, пролетев 180 cм. С какой скоростью шар был подброшен и какую скорость шар имел при ударе о землю?

Возведём в квадрат обе части уравнения для проекции на ось Y мгновенной скорости: υy = υoy + ay t (см. § 12-и). Получим равенство:

υy² = ( υoy + ay t )² = υoy² + 2 υoy ay t + ay² t²

Вынесем за скобки множитель 2 ay только для двух правых слагаемых:

υy² = υoy² + 2 ay ( υoy t + ½ ay t² )

Заметим, что в скобках получилась формула для вычисления проекции перемещения: sy = υoy t + ½ ay t². Заменяя её на sy , получим:

Решение. Сделаем чертёж: ось Y направим вверх, а начало координат поместим на земле у ног девочки. Применим выведенную нами формулу для квадрата проекции скорости сначала в верхней точке подъёма шара:

0 = υoy² + 2·(–g)·(+h) ⇒ υoy = ±√¯2gh = +4 м/с

Затем при начале движения из верхней точки вниз:

υy² = 0 + 2·(–g)·(–H) ⇒ υy = ±√¯2gh = –6 м/с

Ответ: шар был брошен вверх со скоростью 4 м/с, а в момент приземления имел скорость 6 м/с, направленную против оси Y.

Примечание. Надеемся, вы понимаете, что формула для квадрата проекции мгновенной скорости будет верна по аналогии и для оси X:

Если движение одномерное, то есть происходит только вдоль одной оси, можно пользоваться любой из двух формул в рамках.

Ускорение. Прямолинейное движение с постоянным ускорением. Мгновеннная скорость.

Ускорение показывает, как быстро меняется скорость тела.

t 0 = 0c v 0 = 0 м/с Скорость изменилась на v = v 2 - v 1 в течение

t 1 = 5c v 1 = 2 м/ с промежутка времени = t 2 - t 1 . Значит за 1 с скорость

t 2 = 10c v 2 = 4 м/с тела увеличится на = .

t 3 = 15c v 3 = 6 м/с = или = . (1 м/с 2)

Ускорение – векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Физический смысл : а = 3 м/с 2 – это значит, что за 1 с модуль скорости меняется на 3 м/с.

Если тело разгоняется а>0, если тормозит а

Аt = ; = + аt мгновенная скорость тела в любой момент времени. (Функция v(t)).

Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение движения

Д
ля равномерного движения S=v*t, где v и t являются сторонами прямоугольника под графиком скорости. Т.е. перемещение = площади фигуры под графиком скорости.

Аналогично можно найти перемещение при равноускоренном движении. Нужно всего лишь найти отдельно площадь прямоугольника, треугольника и сложить их. Площадь прямоугольника v 0 t, площадь треугольника (v-v 0)t/2, где мы делаем замену v – v 0 = аt . Получим s = v 0 t + аt 2 /2