Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Теория нечетких множеств представлена в разделе прикладной математики, который посвящен методам проведения анализа неопределенных данных, описывающих неопределенности реальных событий и процессов с использованием понятий о множествах без четких границ.

Классическая теория множеств определяет принадлежность конкретного элемента определенной совокупности. При этом под принадлежностью принимаются понятия в бинарном выражении, т.е. присутствует четкое условие: рассматриваемый элемент или принадлежит, или не принадлежит множеству.

Теория множеств относительно нечеткости предусматривает градуированное понимание принадлежности рассматриваемого элемента конкретному множеству, а степень его принадлежности подлежит описанию с помощью соответствующей функции. Другими словами, переход от принадлежности заданному множеству некоторых элементов к непринадлежности происходит не резко, а постепенно с использованием вероятностного подхода.

Достаточный опыт зарубежных и отечественных исследователей свидетельствует о ненадежности и неадекватности вероятностного подхода, используемого в качестве инструмента решения задач слабоструктурированного типа. Использование методов статистики при решении такого типа задач приводит к существенному искажению исходной постановки задачи. Именно недостатки и ограничения, связанные с применением классических методов решения задач слабоструктурированной формы, являются следствием «принципа несовместимости», который сформулирован в теории нечетких множеств, разработанной Л.А. Заде.

Поэтому некоторые зарубежные и отечественные исследователи разработали методы оценивания проектов и эффективности с использованием инструментов теории нечетких множеств. В них на замену метода распределения вероятностей пришло распределение возможностей, которое описывается функцией принадлежности числа нечеткого типа.

Основы теории множеств базируются на инструментах, которые имеют отношение к в неопределенных условиях. При их использовании предполагается формализация исходных параметров и показателей эффективности в качестве вектора нечеткого интервала (интервальных значений). Попадание в каждый такой интервал может быть охарактеризован степенью неопределенности.

Используя арифметику при работе с такими нечеткими интервалами, экспертами может быть получен в результате нечеткий интервал для конкретного целевого показателя. Основываясь на исходной информации, опыте и интуиции, эксперты могут дать качественную и количественную характеристики границ (интервалов) возможных значений области и параметров их возможных значений.

Теория множеств может быть активно использована на практике и в системами, в финансах и экономике для решения задач при условии неопределенности основных показателей. Например, такая техника, как фотоаппараты и некоторые стиральные машины, оборудована нечеткими контроллерами.

В математике теория множеств, предложенная Л.А. Заде, позволяет описать нечеткие знания и понятия, оперировать ими и делать нечеткие выводы. Благодаря основанным на данной теории методам построения нечетких систем с помощью компьютерных технологий значительно расширяются компьютеров. В последнее время управление нечеткими множествами является одной из результативных областей исследований. Полезность нечеткого управления проявляется в определенной сложности технологических процессов с позиции анализа с использованием количественных методов. Также управление нечеткими множествами применяется при качественной интерпретации различных источников информации.

Георг Кантор (фото приведено далее в статье) - немецкий математик, который создал теорию множеств и ввел понятие трансфинитных чисел, бесконечно больших, но отличающихся друг от друга. Также он дал определение порядковым и кардинальным числам и создал их арифметику.

Георг Кантор: краткая биография

Родился в Санкт-Петербурге 03.03.1845. Его отцом был датчанин протестантского вероисповедания Георг-Вальдемар Кантор, занимавшийся торговлей, в т. ч. и на фондовой бирже. Его мать Мария Бем была католичкой и происходила из семьи выдающихся музыкантов. Когда в 1856 году отец Георга заболел, семья в поисках более мягкого климата переехала сперва в Висбаден, а затем во Франкфурт. Математические таланты у мальчика проявились еще до его 15-летия во время учебы в частных школах и гимназиях Дармштадта и Висбадена. В конце концов Георг Кантор убедил отца в своем твердом намерении стать математиком, а не инженером.

После недолгого обучения в Цюрихском университете в 1863 г. Кантор перевелся в Берлинский университет, чтобы изучать физику, философию и математику. Там ему преподавали:

• Карл Теодор Вейерштрасс, чья специализация на анализе, вероятно, оказала наибольшее влияние на Георга;
• Эрнст Эдуард Куммер, преподававший высшую арифметику;
• Леопольд Кронекер, специалист по теории чисел, который впоследствии выступал против Кантора.

Проведя один семестр в университете Геттингена в 1866 г., в следующем году Георг написал докторскую диссертацию под заголовком «В математике искусство задавать вопросы более ценное, чем решение задач», касающуюся проблемы, которую Карл Фридрих Гаусс оставил нерешенной в его Disquisitiones Arithmeticae (1801). После краткого преподавания в Берлинской школе для девочек Кантор начал работать в университете Галле, в котором оставался до конца своей жизни сначала как преподаватель, с 1872 года как доцент и с 1879-го в качестве профессора.

Исследования

В начале серии из 10 работ с 1869 по 1873 г. Георг Кантор рассмотрел теорию чисел. Работа отражала увлеченность предметом, его исследования Гаусса и влияние Кронекера. По предложению Генриха Эдуарда Гейне, коллеги Кантора в Галле, который признавал его математическое дарование, он обратился к теории тригонометрических рядов, в которых расширил понятие действительных чисел.

Отталкиваясь от работы по функции комплексной переменной немецкого математика Бернхарда Римана 1854 года, в 1870 г. Кантор показал, что такая функция может быть представлена только одним способом - тригонометрическими рядами. Рассмотрение совокупности чисел (точек), которые бы не противоречили такому представлению, привело его, во-первых, в 1872 году к определению в терминах рациональных чисел (дробей целых чисел) и далее к началу работы над трудом всей его жизни, теорией множеств и концепцией трансфинитных чисел.

Теория множеств

Георг Кантор, теория множеств которого зародилась в переписке с математиком технического института Брауншвейга Ричардом Дедекиндом, дружил с ним с детства. Они пришли к выводу, что множества, конечные или бесконечные, являются совокупностью элементов (например, чисел, {0, ±1, ±2 . . .}), которые обладают определенным свойством, сохраняя при этом свою индивидуальность. Но когда Георг Кантор применил для изучения их характеристик взаимно однозначное соответствие (например, {А, B, C} к {1, 2, 3}), он быстро понял, что они отличаются по степени их принадлежности, даже если это были бесконечные множества, т. е. множества, часть или подмножество которых включает столько же объектов, сколько оно само. Его метод вскоре дал удивительные результаты.

В 1873 году Георг Кантор (математик) показал, что рациональные числа, хотя и бесконечны, являются счетными, потому что могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с натуральными (т. е. 1, 2, 3 и т. д.). Он показал, что множество действительных чисел, состоящее из иррациональных и рациональных, бесконечное и несчетное. Что более парадоксально, Кантор доказал, что множество всех алгебраических чисел содержит столько же элементов, сколько множество всех целых, и что трансцендентные числа, не являющиеся алгебраическими, которые представляют собой подмножество иррациональных чисел, несчетные и, следовательно, их количество больше, чем целых чисел, и должно рассматриваться как инфинитное.

Противники и сторонники

Но работа Кантора, в которой он впервые выдвинул эти результаты, не была опубликована в журнале «Крелль», так как один из рецензентов, Кронекер, был категорически против. Но после вмешательства Дедекинда она была опубликована в 1874 году под названием «О характерных свойствах всех действительных алгебраических чисел».

Наука и личная жизнь

В этом же году во время проведения медового месяца со своей женой Валли Гутман в Кантор встретил Дедекинда, который благожелательно отозвался о его новой теории. Жалование Георга было небольшим, но на деньги отца, который умер в 1863 г., он построил для своей жены и пятерых детей дом. Многие из его работ были опубликованы в Швеции в новом журнале Acta Mathematica, редактором и основателем которого был Геста Миттаг-Леффлер, в числе первых признавший талант немецкого математика.

Связь с метафизикой

Теория Кантора стала совершенно новым предметом исследований, касающимся математики бесконечного (например, ряда 1, 2, 3 и т. д., и более сложных множеств), который в значительной степени зависел от взаимно однозначного соответствия. Разработка Кантором новых методов постановки вопросов, касающихся непрерывности и бесконечности, придала его исследованиям неоднозначный характер.

Когда он утверждал, что бесконечные числа реально существуют, он обратился к древней и средневековой философии в отношении актуальной и потенциальной бесконечности, а также к раннему религиозному воспитанию, которое дали ему родители. В 1883 году в своей книге «Основы общей теории множеств» Кантор объединил свою концепцию с метафизикой Платона.

Кронекер же, утверждавший, что «существуют» только целые числа («Бог создал целые числа, остальное - дело рук человека»), в течение многих лет горячо отвергал его рассуждения и препятствовал его назначению в Берлинском университете.

Трансфинитные числа

В 1895-97 гг. Георг Кантор полностью сформировал свое представление о непрерывности и бесконечности, включая бесконечные порядковые и кардинальные числа, в его самой известной работе, опубликованной под названием «Вклад в создание теории трансфинитных чисел» (1915). Это сочинение содержит его концепцию, к которой его привела демонстрация того, что бесконечное множество может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с одним из его подмножеств.

Под наименьшим трансфинитным кардинальным числом он подразумевал мощность любого множества, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами. Кантор назвал его алеф-нулем. Большие трансфинитные множества обозначаются алеф-один, алеф-два и т. д. Далее он развил арифметику трансфинитных чисел, которая была аналогична конечной арифметике. Таким образом, он обогатил понятие бесконечности.

Оппозиция, с которой он столкнулся, и время, которое понадобилось на то, чтобы его идеи были полностью приняты, объясняются сложностями переоценки древнего вопроса о том, чем является число. Кантор показал, что множество точек на линии обладает более высокой мощностью, чем алеф-нуль. Это привело к известной проблеме гипотезы о континууме - никаких кардинальных чисел между алеф-нулем и мощностью точек на линии нет. Эта задача в первой и второй половине 20-го века вызывала большой интерес и изучалась многими математиками, в т. ч. Куртом Геделем и Полом Коэном.

Депрессия

Биография Георга Кантора с 1884 г. была омрачена начавшимся у него психическим заболеванием, но он продолжал активно работать. В 1897 г. он помог провести в Цюрихе первый международный математический конгресс. Отчасти потому, что ему оппонировал Кронекер, он часто сочувствовал молодым начинающим математикам и стремился найти способ избавить их от притеснений со стороны преподавателей, чувствующих угрозу со стороны новых идей.

Признание

На рубеже веков его работа была полностью признана в качестве основы для теории функций, анализа и топологии. Кроме того, книги Кантора Георга послужили толчком для дальнейшего развития интуитивистских и формалистических школ логических основ математики. Это существенно изменило систему преподавания и часто ассоциируется с «новой математикой».

В 1911 г. Кантор был в числе приглашенных на празднование 500-летия Сент-Эндрюсского университета в Шотландии. Он отправился туда в надежде встретиться с который в своей недавно опубликованной работе Principia Mathematica неоднократно ссылался на немецкого математика, но этого не произошло. Университет присвоил Кантору почетную степень, но из-за болезни он не смог принять награду лично.

Кантор вышел на пенсию в 1913 г., жил в бедности и во время Первой мировой войны голодал. Торжества в честь его 70-летия в 1915 г. были отменены по причине войны, но небольшая церемония состоялась у него дома. Он умер 06.01.1918 г. в Галле, в психиатрической лечебнице, где провел последние годы своей жизни.

Георг Кантор: биография. Семья

9 августа 1874 г. немецкий математик женился на Валли Гутман. У супругов родилось 4 сына и 2 дочери. Последний ребенок родился в 1886 г. в приобретенном Кантором новом доме. Содержать семью ему помогло наследство отца. На состоянии здоровья Кантора сильно отразилась смерть его младшего сына в 1899 г. - с тех пор его не покидала депрессия.

I. Основные понятия и аксиомы теории множеств

За тысячи лет своего существования от простейших представлений о числе и фигуре математики пришла к образованию многих новых понятий и методов. Она превратилась в мощное средство изучения природы и гибкое орудие практики. XX век принес математике новые идеи, теории, расширилась сфера её применения. Математика занимает особое положение в системе наук - её нельзя отнести ни к гуманитарным, ни к естественным наукам. Но она ввела те основные понятия, которые используются в них. Таким понятием является понятие «множество», которое впервые возникло в математике и в настоящее время является общенаучным.

Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия.

В конце 19 века Георг Кантор, немецкий математик, основоположник теории множеств, дал интуитивное определение понятию «множеству» так: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое» . Такое определение множества потребовало введения трех символов .

Первый из них должен представлять множество как нечто «единое», т.е. являться представителем самого множества. В качестве такого символа принято применять любую прописную букву какого-либо алфавита: например, обозначать множества прописными буквами латинского алфавита А, В, …, Х или какого-либо другого по соглашению.

Второй символ должен представлять «многое», то есть рассматриваться как элемент множества. В качестве этого символа принято использовать строчные буквы этого же алфавита: a, b, …, z.

Третий символ должен однозначно соотнести элемент множеству. В качестве соответствующего символа определен знак , который происходит от первой буквы греческого слова (быть). Запись определяет отношение: х есть элемент Х. Для того чтобы указать, что х не есть элемент Х, пишут .

Стоит отметить, что такое определение понятия множества приводит к ряду внутренних противоречий теории - так называемым парадоксам.

Например, рассмотрим парадокс Рассела. Парикмахер
(элемент х), проживающий в некоторой деревне, которые не бреются сами (пусть Х - множество всех тех и только тех жителей данной деревни, которые не бреются сами). Бреет ли парикмахер самого себя? То есть или ? Ответить на вопрос невозможно, поскольку полагая, например, что , сразу приходим к противоречию: , и обратно.

В школьном курсе математики учащимися рассматривается понятие множества, как неопределяемое понятие, под которым понимается совокупность объектов окружающей нас действительности, мыслимую как единое целое. А каждый объект этой совокупности называют элементом данного множества .

На настоящее время существует несколько аксиоматических систем теории множеств:

Система аксиом Цермело. К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Аксиомы теории NBG. Данная система аксиом, предложенная фон Нейманом, впоследствии пересмотренная и упрощенная Робинсоном, Бернайсом и Геделем.

Система Цермело (Z-система) состоит из 7 аксиом. Опишем данные аксиомы в тех рамках, в которых они используются в школьном курсе математики.

Аксиома объемности (Z1). Если все элементы множества А принадлежат множеству В, а все элементы множества В принадлежат также множеству А, то А=В.

Для пояснения данной аксиомы нам необходимо использовать термин «подмножество»: Если каждый элемент множества A является элементом множества Z, то говорят, что А - подмножество Z, и пишут . Символ именуется «включение». Если не исключается возможность ситуации, когда Z=A, то для того чтобы акцентировать на этом внимание, пишут .

Введя термин «подмножество», сформулируем аксиому 1 в символьном виде: .

Аксиома пары (Z2). Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются {a,b}.

Данная аксиома используется при пояснении декартова произведения множеств, где первоначальным понятием является «упорядоченная пара». Под упорядоченной парой понимают совокупность двух элементов, каждый из которых занимает в записи определенное место. Обозначают упорядоченную пару так: (а,b).

Аксиома суммы (Z3). Для произвольных множеств А и В существует единственное множество С, элементами которого являются все элементы множества А и все элементы множества В и которое никаких других элементов больше не содержит.

В символьном виде аксиому Z3 можно записать так: . На основании данной аксиомы и вытекающих из неё теорем указываются свойства операций множеств, описание которых будут изложены в пункте 3. Аксиомы Z1 и Z2 позволяют нам ввести понятие операции объединения, пересечения, дополнение, разности множеств.

Аксиома степени (Z4). Для любого множества Х существует множество всех его подмножеств Р(Х).

Аксиома бесконечности (Z6). Существует, по крайней мере, одно бесконечное множество - натуральный ряд чисел.

Аксиома выбора (Z7) . Для всякого семейства непустых множеств существует функция, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Функция называется функцией выбора для заданного семейства.

Стоит отметить важность соответствующих аксиом, так как множества и отношения между ними являются предметом изучения любой математической дисциплины.

Укажем ещё одно важное открытие в теории множеств - изображение отношений между подмножествами, для наглядного представления . Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано. Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер. Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна, а в некоторых книгах их называют также диаграммами Эйлера-Венна . Диаграммы Эйлера-Венна используются не только в математике и логике, но и в менеджменте и других прикладных направлениях.

II. Отношения между множествами и способы их задания

Итак, под множествами понимается совокупность любых объектов, мыслимая как единое целое. Множества могут состоять их объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, атомы, числа, уравнения, точки, углы и т. д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложение к самым разнообразным областям знания (математике, физике, экономике, лингвистике и т. д.).

Считают, что множество определяется своими элементами, то есть множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Различают два способа задания множеств.

1. перечисления элементов .

Например, если множество А состоит из элементов а, b, с, то пишут: А = {a, b, c}.

Не каждое множество можно задать с помощью перечисления элементов. Множества, все элементы которых можно перечислить называют конечными. Множества, все элементы которых нельзя перечислить называют бесконечными. Их нельзя задать с помощью перечисления элементов. Исключение составляют бесконечные множества, в которых ясен порядок образование каждого следующего элемента на основе предыдущего. Например, множество натуральных чисел - бесконечное множество. Но известно, что в нем каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего. Поэтому можно задать так N = {1, 2, 3, 4, …}.

1. Множество можно задать с помощью указания характеристического свойства.

Характеристическим свойством данного множества называется свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают ни один, не принадлежащий ему элемент. Обозначается: А = {x|…}, где после вертикальной черты записывается характеристическое свойство элементов данного множества.

Например, В={1,2,3}. Нетрудно заметить, что каждый элемент множества В - натуральное число, меньшее 4. Именно это свойство элементов множества В является для него характеристическим. В этом случае пишут: и читают: «Множество В состоит из таких элементов х, что х принадлежит множеству натуральных чисел и х меньше четырех» или множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Множество В можно задать и по - другому: или , и т.д.

При этом, если элемент не подчиняется характеристическому свойству множества, то он данному множеству и не принадлежит. Существуют множества, которые можно задать только с помощью указания характеристического свойства, например, .

Особую важность в школьном курсе математике имеют числовые множества , т.е. множества, элементами которого являются числа . Для названия числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:

N = {1, 2, 3, 4, …} - множество натуральных чисел;

Z = {…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} - множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные);

Q = {x | x=p/q, где p∈Z, q∈N} - множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде обыкновенной дроби);

J - множество иррациональных чисел (множество, состоящее из бесконечных десятичных непериодических дробей, например: 1,23456342 …;, и др.)

R = (-∞; +∞) - множество действительных чисел.

Множество всех действительных чисел Л. Эйлер изобразил с помощью кругов. (Рис. 1)

Cтоит отметить, что все любые числовые множества можно задать с помощью числового промежутка. (Рис. 2)

Типы числовых промежутков

Множество С, рассмотренное выше, это числовое множество и его можно указать с помощью числового промежутка (Рис. 3)

Рисунок 3 - Числовой промежуток

Укажем еще одно важное правило для задания числовых множеств: Конечные числовые множества изображаются на числовой прямой отдельными точками.

В математике иногда приходится рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым . Его обозначают знаком ∅. Например, дано множество A={x|x∈N∧-2