По кнопке выше «Купить бумажную книгу» можно купить эту книгу с доставкой по всей России и похожие книги по самой лучшей цене в бумажном виде на сайтах официальных интернет магазинов Лабиринт, Озон, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru.

По кнопке «Купить и скачать электронную книгу» можно купить эту книгу в электронном виде в официальном интернет магазине «ЛитРес» , и потом ее скачать на сайте Литреса.

По кнопке «Найти похожие материалы на других сайтах» можно искать похожие материалы на других сайтах.

On the buttons above you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.

Название: Как научиться решать задачи.

В книге изложена сущность решения школьных математических задач, а также задач повышенной трудности. Она предназначена для учащихся старших классов средней школы, но ею могут пользоваться также учащиеся техникумов и ПТУ, вообще все, кто хочет научиться решать математические задачи.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания, но до сих пор, пожалуй, единственным методом такого обучения были показ способов решения определенных видов задач и значительная, порой изнурительная практика по овладению ими. Поэтому все пособия для учащихся по решению задач были построены в форме сборника задач (с ответами и с некоторыми указаниями к ним).
В последние годы появился ряд пособий, в которых излагаются некоторые общие указания и рекомендации (эвристики) по решению задач, по поиску этих решений. В первую очередь это книги Д. Пойя, некоторые удачные пособия для поступающих в ВУЗы. Однако эти пособия излагают вопросы, связанные с решением математических задач, недостаточно полно, без необходимой системы, без учета тех реальных трудностей, с которыми сталкиваются учащиеся.
Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, и поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу. Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования.
Возникла необходимость разработки таких пособий, которые помогли бы преодолеть указанные причины и дали возможность учащимся планомерно сформировать у себя нужные умения и навыки в решении математических задач. Эта книга - первая попытка создать такое пособие.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
К читателям 4
Часть I. Задачи и их решение
Глава I. Составные части задач 6
I. 1 Что такое задача? -
I. 2. Условия и требования задачи -
I. 3. Направление анализа задач 9
I. 4. Как устроены условия задачи 12
I. 5. Схематическая запись задач 14
I. 6. Использование чертежей для схематической записи задач 17
I. 7. Практические и математические задачи 23
Глава II. Сущность и структура решения математических задач 24
II. 1. Что значит решить математическую задачу? -
II. 2. Структура процесса решения задач 28
II. 3. Стандартные задачи и их решение 40
II. 4. Нестандартные задачи и их решение 48
Глава III. Поиск плана решения математических задач 52
III. 1. Распознавание вида задачи 53
III, 2. Поиск плана решения задачи путем сведения к ранее решенным задачам 57
III. 3. Как поймать мышь в куче камней? 63
III. 4. Моделирование в процессах решения задач 72
Часть II. Методы решения задач
Глава IV. Задачи на преобразование и построение 79
IV. 1. Виды выражений и сущность их преобразований
IV. 2. Задачи на приведение выражений к стандартному виду 89
IV. 3. Задачи на упрощение выражений 92
IV. 4. Разложение на множители 99
IV. 5. Дифференцирование выражений 103
IV. 6. Задачи на построение 106
Глава V. Задачи нахождения искомого уравнений и неравенств 115
V. 1, Сущность решения уравнений и неравенств -
V. 2. Рациональные уравнения 120
V. 3. Рациональные неравенства 122
V. 4. Иррациональные уравнения у неравенства 126
V. 5. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 130
V. 6. Тригонометрические уравнения и неравенства 133
V. 7. Системы уравнений 142
V. 8. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными 148
V. 9. Задачи на максимум и минимум 154
V. 10. Геометрические задачи на вычисление 157
Глава VI. Задачи на доказательство 162
VI. 1. Сущность и методы доказательства -
VI. 2. Доказательство тождеств 166
VI. 3. Доказательство неравенств 171
VI. 4. Метод полной математической индукции 174
Ответы и указания 183

Как научиться решать задачи. Книга для учащихся старших классов. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.

3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1989. - 192 с.

В книге изложена сущность решения школьных математических задач, а также задач повышенной трудности. Она предназначена для учащихся старших классов средней школы, но ею могут пользоваться также учащиеся техникумов и ПТУ, вообще все, кто хочет научиться решать математические задачи.

Формат: djvu / zip

Размер: 2,9 Мб

/ Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
К читателям 4
Часть I. Задачи и их решение
Глава I. Составные части задач 6
I. 1* Что такое задача? -
I* 2. Условия и требования задачи -
I. 3* Направление анализа задач 9
I. 4. Как устроены условия задачи 12
I. 5, Схематическая запись задач 14
I. 6. Использование чертежей для схематической записи задач 17
I. 7. Практические и математические задачи 23
Глава II. Сущность и структура решения математических задач 24
II. 1, Что значит решить математическую задачу? ... -
II. 2. Структура процесса решения задач 28
II. 3. Стандартные задачи и их решение 40
II. 4. Нестандартные задачи и их решение 48
Глава III. Поиск плана решения математических задач 52
III. 1. Распознавание вида задачи 53
III, 2. Поиск плана решения задачи путем сведения к ранее решенным задачам 57
III. 3. Как поймать мышь в куче камней? 63
III. 4. Моделирование в процессах решения задач... 72
Часть II. Методы решения задач
Глава IV. Задачи на преобразование и построение... 79
IV. 1. Виды выражений и сущность их преобразований
IV. 2. Задачи на приведение выражений к стандартному виду 89
IV. 3. Задачи на упрощение выражений 92
IV. 4. Разложение на множители 99
IV. 5. Дифференцирование выражений 103
IV. 6. Задачи на построение 106
Глава V. Задачи нахождения искомого уравнений и неравенств 115
V. 1, Сущность решения уравнений и неравенств.... -
V. 2. Рациональные уравнения 120
V. 3. Рациональные неравенства 122
V. 4. Иррациональные уравнения у неравенства. . . 126
V. 5. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 130
V. 6. Тригонометрические уравнения и неравенства. . . 133
V. 7. Системы уравнений 142
V. 8. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными 148
V. 9. Задачи на максимум и минимум 154
V. 10. Геометрические задачи на вычисление 157
Глава VI. Задачи на доказательство 162
VI. 1. Сущность и методы доказательства -
VI. 2. Доказательство тождеств 166
VI. 3. Доказательство неравенств 171
VI. 4. Метод полной математической индукции 174
Ответы и указания 183

ЛМФридман Е.НТурецкий КАК НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ВИДЫ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ПРОЦЕСС РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НАЛИЗ РЕШЕНИЯ 1СУШЕСТВЛЕНИЕ ПЛАНА РЕШЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЕ (РАСПОЗНАВАНИЕ) ИСКОМЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЛИ ПОСТРОЕНИЕ ОКАЗАТЕЛЬСТВО И ОБЪЯСНЕНИЕ ЛМФридман ЕНТурецкий КАК НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ КНИГА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ старших классов средней школы 3-е издание, доработанное Москва «Просвещение» 19а9 ББК 22.1 Ф88 Рецензент учитель математики шкояы №415 г. Москвы А. В. Наумова Фридман Д. М., Турецкий Е. Н. Ф 88 Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред, шк,- 3-е изд., дораб.- М.: Просвещение, 1989.- 192 с: ил. ISBN 5-09-000596-6 В книге изложена сущность решения школьных математических задач, а также задач повышенной трудности. Она предназначена для учащихся старших классов средней школы, но ею могут пользоваться также учащиеся техникумов и ПТУ, вообще все, кто хочет научиться решать математические задачи. . 4306020000-384 ЛЛО ftft Ф 103(03)^89 2°3-88 ББК 22. ISBN 5-09-000596-6 © Издательство «Просвещение», 1979 © Издательство «Просвещение», 1989, с изменениями Учебное издание Фридман Лев Моисеевич Турецкий Евсей Наумович КАК НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ Зав. редакцией Р. А. Хабиб. Редактор Т. А. Бурмистрова. Младший редактор Е. А. Сафронова. Художественный редактор?. Я. Карасик. Технический редактор Т. Г. Иванова. Корректоры Л. С. Вайтман, Я. В. Бурдина. ИБ № 11288. Сдано в набор 10.07.87. Подписано к печати 24.11.88. Формат 60X90"/i6. Бум. кн. журн. отечеств. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 12,04-0,25 форз. Усл. кр.-отт. 12,69. Уч.-изд. л. 10,77 + 0,42 форз. Тираж 500 000 экз. Заказ № 522. Цена 50 коп. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Набрано в ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградском производственно-техническом объединении «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15. Отпечатано на Саратовском ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинате Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59. Предисловие Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания, но до сих пор, пожалуй, единственным методом такого обучения были показ способов решения определенных видов задач и значительная, порой изнурительная практика по овладению ими. Поэтому все пособия для учащихся по решению задач были построены в форме сборника задач (с ответами и с некоторыми указаниями к ним). В последние годы появился ряд пособий, в которых излагаются некоторые общие указания и рекомендации (эвристики) по решению задач, по поиску этих решений. В первую очередь это книги Д. Пойя, некоторые удачные пособия для поступающих в вузы. Однако эти пособия излагают вопросы, связанные с решением математических задач, недостаточно полно, без необходимой системы, без учета тех реальных трудностей, с которыми сталкиваются учащиеся. Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, и поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу. Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования. Возникла необходимость разработки таких пособий, которые помогли бы преодолеть указанные причины и дали возможность учащимся планомерно сформировать у себя нужные умения и навыки в решении математических задач. Эта книга - первая попытка создать такое пособие. Первые издания данного пособия вызвали благожелательные отклики читателей. Особую благодарность выражаем К. К. Михайловой, А. И. Фейгиной, Е. М. Больсену, которые дали ряд ценных советов по совершенствованию книги. В третье издание пособия внесены необходимые исправления и уточнения. Будем весьма благодарны всем, кто пришлет свой отзыв в адрес издательства: 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, редакция математики. Авторы К читателям Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня вашего математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач. И вот тут обнаруживается, что многие из вас не могут показать достаточные умения в решении задач. На всех экзаменах, как в школе, так и на приемных в вузы и техникумы, довольно часто встречаются случаи, когда ученик показывает, казалось бы, хорошие знания в области теории, знает все требуемые определения и теоремы, но запутывается при решении весьма несложной задачи. За время обучения в школе каждый из вас решает огромное число задач, порядка нескольких десятков тысяч. При этом все вы решаете одни и те же задачи. А в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться. В чем причина такого положения? Причин, конечно, много. И одной из них является то, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чем состоят приемы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приемы и способы. Задачи зачастую решаются лишь ради получения ответа. У большинства учащихся весьма смутные, а порой и неверные представления о сущности решения задач, о самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не представляют, из чего складывается анализ задачи, как могут они решить задачу на доказательство, если они не знают, в чем смысл доказательства? Многие учащиеся не знают, в чем смысл решения задач на построение, зачем и когда нужно производить проверку решения и т. д. Очевидно, что на таких представлениях не могут возникнуть сознательные и прочные умения в решении задач. Наблюдения показывают, что многие учащиеся решают задачи лишь по образцу. А поэтому, встретившись с задачей незнакомого типа, заявляют: «А мы такие задачи не решали». Как будто можно все виды задач заранее перерешать! А можно ли научиться решать любые задачи? Конечно, любые задачи научиться решать невозможно, ибо как бы вы 4 хорошо ни научились их решать, всегда встретится такая задача, которую вы не сможете решить. Ведь ученые-математики тратят всю свою жизнь на то, чтобы найти решение некоторых задач. В математике известны задачи, которые ученые уже много лет решают и не могуть решить. Но если говорить о школьных задачах или о задачах, которые предлагаются на разного рода экзаменах, то каждый (!) ученик в принципе может научиться их решать. Конечно, и здесь может встретиться такая задача, которую вы с ходу не сумеете решить. Понадобится посидеть над ней, изрядно поработать для того, чтобы ее решить, но в принципе любая из таких задач вам доступна, вы можете ее решить. Для того чтобы научиться решать задачи, надо много поработать. Но эта работа не сводится лишь к решению большого числа задач. Если кратко обозначить то, что нужно сделать для этого, то можно так сказать: надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение - как объект конструирования и изобретения. Эта книга предназначена для того, чтобы помочь вам научиться решать школьные и предлагающиеся на приемных экзаменах в вузы и техникумы математические-задачи. Если вы твердо захотели научиться решать задачи, то запаситесь терпением и упорством. Эту книгу нужно не просто читать, а прорабатывать. Это значит, что ее нужно читать, как говорят, с карандашом и бумагой. Надо тщательно обдумывать все, что в ней написано, додумываться до сути прочитанного. Надо терпеливо и не спеша проделать все задания, которые в ней указаны. Главное, не спешите, читайте книгу медленно, вдумчиво, возвращаясь по мере надобности к прочитанному. Вы должны понять, что только в результате самостоятельной и упорной работы можно действительно чему-то научиться, а тем более такому сложному умению, как умение решать математические задачи. Данная книга состоит из двух взаимосвязанных частей. В первой части даются общие сведения о задачах и их решении, рассматриваются общие методы анализа задачи и поиска ее решения. Во второй части рассматриваются методы решения некоторых наиболее часто встречающихся видов задач. Приведенные в книге задачи взяты, как правило, из школьных учебников и некоторых экзаменационных работ. Задания для самостоятельной работы снабжены указаниями и ответами, которые помещены в конце книги. Однако не спешите заглядывать в ответы. Сначала попытайтесь самостоятельно проверить свое решение, обдумать его и лишь затем сверить с приведенным ответом. В случае расхождения с приведенным ответом выявите причину расхождения, затем найдите свои ошибки и исправьте их. Если у вас хватит терпения и упорства проработать эту книгу до конца, то надеемся, что вы сами почувствуете, что приобрели достаточную уверенность, чтобы не теряться при встрече с незнакомой задачей. Думаем, что теперь вы будете с желанием и интересом решать встречающиеся вам задачи. Желаем успеха! Авторы Часть I ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ Глава I СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ ЗАДАЧИ 1.1. Что такое задача? Решение задач - это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа. Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач. Начнем все это изучать. Итак, что же такое задача? Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. Все это называется анализом задачи. Вот и начнем учиться производить анализ задачи. 1.2. Условия и требования задачи Получив задачу, мы, естественно, ее внимательно читаем. Задача 1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника. Первое, что мы можем заметить при чтении этой задачи, состоит в следующем: в ней имеются определенные утверждения и требования. В ней утверждается, что «в прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см». Требование задачи состоит в том, что нужно «найти катеты треугольника». Часто требование задачи формулируется в виде вопроса. Но 6 всякий вопрос предполагает требование найти ответ на этот вопрос, а поэтому всякий вопрос можно заменить требованием. Как видим, формулировка любой задачи состоит из нескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются у с- л о в и я м и задачи К Отсюда ясно, что первое, что нужно сделать при анализе задачи,- это расчленить формулировку задачи на условия и требования. Заметим, что в задаче обычно не одно условие, а несколько независимых элементарных (т. е. нерасчленимых дальше) условий; требований в задаче также может быть не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и требования задачи на отдельные элементарные условия и требования. В задаче 1 можно вычленить такие элементарные условия: 1) треугольник, о котором идет речь в задаче, прямоугольный; 2) в этот треугольник вписана окружность; 3) точка касания окружности с гипотенузой делит ее на два отрезка; 4) длина одного из этих отрезков равна 5 см; 5) длина другого отрезка равна 12 см. Требование этой задачи можно расчленить на два элементарных: 1) найти длину одного катета треугольника; 2) найти длину другого катета треугольника. Расчленение формулировки задачи на условия и требования не всегда легко произвести. В ряде случаев для этого нужно переосмыслить задачу, переформулировать ее. Например. Задача 2. Сколько цифр содержит число 2100 (в десятичной системе счисления)? Формулировка этой задачи состоит из одного вопроса. Но, вдумавшись в этот вопрос, мы можем из него вычленить такие условия: 1) 2100 есть натуральное число; 2) его можно записать обычным образом в виде многозначного числа в десятичной системе счисления. Тогда требование этой задачи состоит в следующем: найти, сколько цифр содержит запись этого многозначного числа. Задача 3. Решить уравнение ахА-хг + а2х-а=0. Формулировка этой задачи состоит из одного требования. Но анализ этого требования позволяет вычленить из него условие и собственно требование. Условие: а*4-#3 + а2х-а = 0 есть уравнение, а требование: решить это уравнение. 1 Заметим, что иногда условием задачи называют всю формулировку задачи, т. е. все условия и требования вместе. 7 Конечно, на этом нельзя остановиться и надо продолжить анализ. Мы замечаем, что запись уравнения содержит две буквы: а и х. Предполагается, конечно, что вы знаете, что эти буквы обозначают: буква а - параметр, т. е. величину, которая в пределах данной задачи рассматривается как постоянная; х - переменную, область изменения которой есть множество чисел, например действительных (обычно в задаче это как-то оговаривается). Кроме того, полезно вспомнить, что означает уравнение. Тогда условия этой задачи таковы: 1) а - есть параметр; 2) х - переменная, область изменения которой есть множество действительных чисел; 3) ах4 - х3-\-а2х - а = 0 есть равенство с переменной х. Требование этой задачи тогда можно так сформулировать: найти все такие значения переменной х из области ее изменения, при которых указанное равенство выполняется. Анализ задачи можно продолжить еще дальше. Можно спросить: что значит найти значения переменной х при данных условиях? Найдя ответ на этот вопрос, тем самым уточним требование задачи. Оно примет такой вид: найти такие выражения х от а, которые, будучи подставлены в заданное высказывание с переменной вместо х, обращают его в истинное высказывание при всех допустимых значениях параметра а. Как видим, анализ задачи и вычленение ее условий и требований можно производить с разной глубиной. Глубина анализа зависит главным образом от того, знакомы ли мы с видом задач, к которому принадлежит заданная, и знакомы ли с общим способом решения этих задач. Если да, то нам достаточен простейший анализ, сводящийся к установлению вида данной задачи; если нет, то для нахождения решения задачи нужен более глубокий анализ. Задание 1 Попытайтесь самостоятельно произвести анализ приведенных ниже задач, указать для каждой из них все ее элементарные условия и все требования. 1.1. При каких значениях х неравенство 2*;>4 обращается в верное числовое неравенство? 1.2. Построить сумму векторов ЛВ и CD, если А (- 1,2), В (2,3), С (1,1), D(3,5). 1.3. Из пункта Л в пункт В вышел поезд, скорость которого 72 км/ч. Через 45 мин вышел поезд из Б в Л со скоростью 75 км/ч. Расстояние между Л и В 348 км. На каком расстоянии от В поезда встретятся? 1.4. Ребро куба равно а. Чему равно расстояние между ребрами куба? 8 1.3. Направление анализа задач Вернемся к задаче 2. Анализируя эту задачу, мы вычленили такие условия: 1) 2100 есть натуральное число; 2) его можно записать обычным образом в виде многозначного числа. Почему именно эти условия вычленены из формулировки задачи? Ведь можно было вычленить и другие условия, например: 2100 есть произведение числа 2 само на себя сто раз или 2100 есть действительное число и т. д. Но почему-то мы выделили не эти условия, а указанные выше. Все дело в том, что, производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи. Действительно, в задаче 2 нам нужно узнать, сколько цифр содержит число 2100. Естественно, это предполагает, что, во- первых, это число рассматривается как натуральное (ибо обычно в записи чисел другого вида число цифр не подсчитывается, а то, что оно натуральное, следует из определения степени), а во- вторых, это натуральное число записано в обычном виде в форме многозначного числа. Эти два условия мы и выделили при анализе задачи. Рассмотрим еще примеры. Задача 4. Катер прошел 20 км по течению реки и 20 км против течения реки. Затратит ли он на весь путь больше времени, чем ему требуется на прохождение 40 км в стоячей воде, меньше или столько же? Первичный анализ этой задачи позволяет вычленить такие условия: 1) катер прошел 20 км по течению реки; 2) он прошел 20 км против течения реки; 3) он же прошел 40 км в стоячей воде. Но, сопоставив эти условия с требованием задачи: узнать больше, меньше или столько же времени затратил катер на первый и второй пути вместе по сравнению с третьим, мы обнаруживаем недостаточность произведенного анализа. Эта недостаточность проявляется хотя бы в том, что в условиях ничего не говорится о времени, а требование задачи сводится к сравнению промежутков времени. Поэтому нужно продолжить анализ. Для этого вдумаемся в требование задачи. Надо сравнить время движения катера по реке с временем движения этого катера в стоячей воде. От чего зависит это время? Очевидно, от собственной скорости катера, от скорости течения реки и, конечно, пройденных расстояний. Но если пройденные расстояния в формули- 9 ровке задачи даны, то скорости катера и реки даже не упоминаются. Как же быть? В таких случаях эти величины, без которых решение задачи невозможно, принимаются за неопределенные параметры. Положим, например, что собственная скорость катера равна v км/ч, а скорость течения реки а км/ч. Теперь мы можем вычленить такие условия: 1) собственная скорость катера v км/ч; 2) скорость течения реки а км/ч; 3) катер проплыл 20 км по течению реки; 4) он же проплыл 20 км против течения реки; 5) на весь путь туда и обратно по реке катер затратил U ч; 6) в стоячей воде катер проплыл 40 км; 7) на этот путь он затратил h ч. Требование задачи: сравнить U и U и установить, равны ли они или нет, а если нет, то что больше. Задача 5. Из всех цилиндров заданного объема найти цилиндр с наименьшей полной поверхностью. Условие этой задачи («из всех цилиндров заданного объема») можно понимать так, что рассматривается множество цилиндров, объем которых равен некоторому числу V (здесь V является параметром). Требование задачи состоит в том, чтобы из заданного множества цилиндров найти такой, полная поверхность которого наименьшая. Соотнесем это требование с указанным условием. Становится ясно, что полная поверхность рассматриваемых цилиндров выступает в качестве переменной величины. Надо найти минимум этой переменной. Для этого, очевидно, эту переменную следует представить как функцию от другой переменной. В качестве последней можно взять, например, радиус г основания цилиндра. Следовательно, надо найти такое значение г (при данном параметре V), при котором S(r), где S(r) - это функция поверхности цилиндра от радиуса г, принимает наименьшее значение. Итак, условия данной задачи таковы: 1) рассматривается множество цилиндров, объем которых равен V {V-параметр); 2) радиус основания этих цилиндров есть переменная г; 3) полная поверхность S этих цилиндров есть некоторая функция S(r). Требования задачи: 1) найти функцию S(r); 2) найти такое значение г, при котором S(r) принимает наименьшее значение. Направленность анализа задачи на ее требования состоит еще ю и в том, что особое внимание необходимо уделить выяснению сущности требования задачи, четкому определению того, что нужно найти, сделать в задаче. Задача 6. Доказать, что мнооюество значений выражения &-И, c-fi ь+с л -т- ! т}- состоит из одного элемента. ь " с be Очевидное условие этой задачи: -I- т-- есть J о с ос выражение, зависящее от двух переменных бис. А в чем сущность требования задачи? Что значит дока зать, что множество значений заданного выражения состоит из одного, элемента? Очевидно, что это нужно так понимать: заданное выражение зависит от двух переменных бис, при этом область изменения этих переменных есть множество действительных чисел, за исключением числа 0 (ибо бис являются знаменателями дробей и, как таковые, не могут быть равны 0). Поэтому множество значений самого выражения бесконечное. А нам нужно доказать, что это множество состоит из одного элемента. Как это может быть? Это может быть лишь в том случае, если все значения заданного выражения равны между собой, а это значит, что все они равны одному и тому же числу (элементу множества). Итак, требование этой задачи состоит в том, чтобы доказать, что все значения заданного выражения равны какому-то определенному числу. Пока ограничимся приведенными примерами анализа задач. В дальнейшем мы будем все время встречаться с различными примерами анализа задач, ибо умение анализировать задачу, проникать в ее сущность - это главное в общем умении решения задач. Задание 2 Проанализируйте приведенные ниже задачи и укажите все условия и требования каждой из этих задач. 2.1. Открытый бак в форме прямоугольного параллелепипеда с квад ратным основанием должен вмещать V л жидкости. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала? 2.2. Доказать равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу. 2.3. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном на правлении движутся 2 точки. Одна делает полный оборот на 5 с скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту Определить скорости точек. 11 L4. Как устроены условия задачи? Для некоторых более сложных задач рассмотренный выше анализ (расчленение задачи на отдельные условия и требования) целесообразно продолжить. А именно установить, как устроены (из чего состоят) вычлененные условия. Задача 7. К двум окружностям, радиусы которых 4 см и 6 см, проведены внутренние общие касательные, оказавшиеся взаимно перпендикулярными. Вычислить расстояние между центрами окружностей. Эта задача содержит такие условия: 1) дана окружность центра Ои радиус которой равен 4 см (здесь слово «дано» означает, что эта окружность построена из произвольного центра Oi); 2) из некоторого другого центра Ог проведена окружность радиуса 6 см; 3) эти две окружности построены так, что к ним можно провести общие внутренние касательные; 4) общие внутренние касательные к этим двум окружностям взаимно перпендикулярны. Анализируя эти условия, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объектов и некоторой их характеристики. Так, объектом первого условия является окружность, а ее характеристикой: радиус этой окружности равен 4 см. Во втором условии объектом является также окружность с характеристикой: ее радиус равен б см. В третьем условии два объекта: указанные выше две окружности, а характеристикой является их взаимное расположение на плоскости: они расположены так, что к ним можно провести внутренние общие касательные. Наконец, четвертое условие содержит два объекта: общие внутренние касательные к окружностям, в качестве характеристики указано их отношение: они взаимно перпендикулярны. Итак, мы видим, что в каждом условии задачи имеется один или два (в некоторых случаях больше) объекта; если в условии один объект, то указывается его характеристика в виде некоторого свойства этого объекта; если же объектов два, то характеристикой служит некоторое отношение этих объектов. Довольно часто анализ задачи (ее расчленение на условия и требования, выделение в условиях объектов и их характеристик) сопряжен с большими трудностями. Приведем пример. Задача 8. Две окружности касаются в точке X и касаются одной и той же прямой соответственно в точках А и В. Какую фигуру образует множество всех точек X, если радиусы данных окружностей будут принимать всевозможные значения? 12 На первый взгляд кажется, что в задаче речь идет о двух окружностях. Но прочтите еще раз внимательно вопрос задачи: требуется установить, какую фигуру образуют точки X (точка X - переменная). Значит, речь идет о множествах окружностей и множестве точек их касания. Исходя из этого, задачу можно расчленить на такие условия: 1. Дано множество окружностей, каждая из которых касается данной прямой в данной на ней точке Л. Здесь объектом является множество окружностей, а их характеристикой - свойство каждой окружности этого множества: она касается данной прямой в точке А. 2. Дано множество окружностей, каждая из которых касается данной прямой (с той же стороны, что и первое множество окружностей) в данной точке В. Объект и характеристика этого условия аналогичны первому условию. 3. Из этих двух множеств образованы такие пары окружностей, причем первый элемент пары есть окружность первого множества, а второй элемент пары - окружность второго множества, которые взаимно касаются. Объектом этого условия является множество пар окружностей, а их характеристикой - отношение: окружности, входящие в пару, взаимно касаются. Заметим, что в это множество пар окружностей войдут не все окружности первого и второго множеств окружностей, а лишь те из них, которые удовлетворяют указанному отношению (взаимное касание). 4. X - есть точка, в которой взаимно касаются соответствующие окружности, входящие в образованные пары (по третьему условию). Объектом этого условия является точка X (переменная точка), а ее характеристикой - свойство: эта точка есть точка касания окружностей, входящих в пару. 5. Множество точек X есть некоторая геометрическая фигура. Объектом условия является множество точек X взаимного касания окружностей, входящих в пары, а характеристикой - искомое свойство этого множества как геометрической фигуры. Требование задачи состоит как раз в том, чтобы найти эту последнюю характеристику объекта пятого условия. Некоторые из вас могут усомниться: нужен ли такой анализ для решения задачи? Ведь обычно, решая задачи, мы, мол, не производим такой анализ. Но это вам только кажется, что вы, решая задачи, не производите такого анализа. Вы просто не 13 замечаете этого, ибо обычно такой анализ производится устно по ходу решения и притом этот анализ мы большей частью не осознаем. Но мы его производим, ибо без него решить задачу невозможно! Чтобы убедиться в этом, попробуйте решить какую-нибудь достаточно сложную задачу (лучше не очень знакомого вида) и, решая ее, все время старайтесь следить за своими мыслями, за своими безмолвными рассуждениями. Если вы внимательно будете фиксировать ход собственных мыслей, то убедитесь, что вы, по сути дела, производили такой же анализ, который мы рассмотрели выше. Но, конечно, вы не употребляли термины «условие», «требование», «объект», «характеристика» и т. д. Эти термины ввели для того, чтобы нам было легче с вами объясняться, чтобы, имея дело, например, с условием, каждый раз не объяснять, что это такое. Поэтому, если вы действительно хотите овладеть общими методами решения задач, то нужно научиться производить подробный их анализ. В дальнейшем вы сможете производить такой анализ устно, свернуто, не полностью, в той мере, в какой каждый из вас нуждается в нем, для того чтобы найти решение той или иной задачи. Задание 3 Произведите анализ приведенных ниже задач по следующей форме: № задачи Условия Объекты условия | Характеристики 3.1. Скорый поезд должен по расписанию пройти перегон АВ без остановок за 4 ч. Однако в 150 км от станции А он был задержан на 20 мин и, чтобы прибыть на станцию В по расписанию, должен был пройти оставшийся путь со скоростью, превышающей первоначальную на 15 км/ч. Найти длину перегона АВ. 3.2. Меньшие стороны двух подобных многоугольников 35 см и 21 см, а разность их периметров 40 см Определить периметр каждого многоугольника. 3.3. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из первого члена этой прогрессии вычесть 2, а остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа. 1.5. Схематическая запись задач Результаты предварительного анализа задач надо как-то зафиксировать, записать. Та словесная, описательная форма записи, которую мы использовали выше, конечно, малоудобна. Надо найти более удобную, более компактную и в то же время достаточ- 14 но наглядную форму записи результатов анализа задач. Такой формой является схематическая запись задачи. Заметим, что не для всякой задачи надо делать схематическую запись. Так, например, для задач по решению уравнений, неравенств, преобразований выражений анализ проводится обычно устно и никак не оформляется. Вообще для задач, которые записаны на символическом языке {с помощью общепринятых обозначений и символов), схематическая запись не нужна. Первой отличительной особенностью схематической записи задач является широкое использование в ней разного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей и т. д. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематической записи фиксируется лишь только то^ что необходимо для решения задачи; все другие подробности, имеющиеся в задаче, при схематической записи отбрасываются. На практике используется много разных видов схематической записи задач. Покажем на примерах. Задача 9. С одного участка собрали 1440 ц пшеницы, а с другого, площадь которого на 12 га меньше,-1080 ц. Найти площадь первого участка, если известно, что на первом участке собирали пшеницы с каждого гектара на 2 ц больше, чем на втором. Анализ задачи показывает, что в ней рассматривается сбор урожая пшеницы с двух участков, при этом этот сбор характеризуется тремя величинами: массой собранной пшеницы, площадью участка и урожаем с одного гектара. Исходя из этого, составим таблицу для схематической записи условий и требований задачи. Неизвестные величины, встречающиеся в задаче, запишем в таблице буквами, притом искомое обозначим буквой х: Участки Первый Второй Масса собранной пшеницы, ц 1440 1080 Урожай с 1 га, ц а + 2 а Площадь участка, га X х -12 В этой схематической записи выделены все условия, их объекты и характеристики. Указано и требование задачи: найти площадь первого участка. В то же время эта запись очень компактная, наглядная и полностью заменяет саму формулировку задачи. 15 Задача 10. Составить уравнение, корни которого были бы соответственно равны квадратам корней уравнения 2х2 - Ьх-\- + 1=0. Вычленим сначала требование задачи: составить уравнение. Какое уравнение нужно составить? В задаче сказано, что нужно составить уравнение, корни которого равны соответственно квадратам корней заданного уравнения, а последнее есть квадратное. Оно имеет два корня (каких - это в данном случае несущественно). Поэтому и искомое уравнение должно иметь два корня. Простейшее уравнение, имеющее два корня,- это квадратное. Следовательно, можно считать, что искомое уравнение - это квадратное. А что значит составить квадратное уравнение? Очевидно, что это значит найти его коэффициенты. Обозначим их буквами а, b и с, а переменную искомого уравнения буквой у, с тем чтобы отличить это уравнение от данного. Теперь мы можем сделать схематическую запись задачи в таком виде: Дано: 1) корни уравнения 2л:2 - 5л: +1 = 0 есть Х\ и Х2, 2) корни уравнения ay2-\-by-\-c=>0 есть у\ и #2, 3) У\=х\\ 4) у2=х\. Найти: а, й, с. Довольно часто удобно составлять схематическую запись не для всей задачи, а лишь для какой-либо ее части, чтобы более наглядно представлять описываемую в задаче ситуацию, а также чтобы в решении оперировать теми обозначениями, которые вводятся в этой частичной схематической записи. В этих случаях используются разного рода графические схемы. Приведем пример. Задача 11. От станции А по направлению к станции В отошел пассажирский поезд. Через 2 ч 30 мин от станции В по направлению к станции А отошел поезд «Стрела». Поезда встретились на станции С. После встречи пассажирский поезд шел 4 ч 30 мин, а поезд «Стрела» 3 ч 40 мин. Сколько времени потребовалось каждому из этих поездов на весь путь между станциями А и В? Предполагается, что скорость поездов постоянна на всем пути. Изобразим схему движения поездов (рис. 1). Пассажирский _ 2 ч 30мин, 1 1 ЗчАОмин ¦ " ^ с 4ч 30 мин _, ¦ . ^J „Стрела44 Рис. 1 16 Приведенная схема сама по себе не может полностью заменить задачу. Она лишь создает возможность опираться на нее, как на наглядный образ, при решении. Задание 4 Составьте для приведенных задач схематические записи (полные или частичные). 4.1. Одна мастерская должна была изготовить 420 деталей; другая за тот же срок 500 деталей. Первая выполнила свою работу на 4 дня раньше срока, а вторая на 7 дней. По скольку деталей в день изготовляла каждая мастерская, если вторая мастерская ежедневно изготовляла на 5 деталей больше? 4.2. Из Л в С вышел пешеход. Спустя 1 ч 24 мин в том же направлении из А выехал велосипедист и через 1 ч ему оставалось проехать 1 км, чтобы догнать пешехода, а еще через 1 ч велосипедисту оставалось проехать до С вдвое меньше расстояние, чем пройти пешеходу до С. Найти скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что расстояние АС равно 27 км. 4.3. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, 5 равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 1-. Найти эти числа. 1.6. Использование чертежей для схематической записи задач Для схематической записи геометрических и некоторых других задач полезно использовать чертеж той фигуры, которая рассматривается в задаче. При построении такого чертежа надо выполнять ряд требований. Укажем главные из них. 1. Чертеж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи (геометрической фигуры, или совокупности фигур, или какой-то части этих фигур) с обозначением с помощью букв и других знаков всех элементов фигуры и некоторых их характеристик. Если в тексте задачи указаны какие-либо обозначения фигуры или ее элементов, то эти обозначения должны быть и на чертеже; если же в задаче никаких обозначений нет, то следует воспользоваться общепринятыми обозначениями или придумать наиболее удобные. 2. Этот чертеж должен соответствовать задаче. Это означает, что если в задаче в качестве основного объекта назван, например, треугольник и при этом не указан его вид (прямоугольный, равносторонний и др.), то надо построить какой-либо разносторонний треугольник. Или если в задаче в качестве основного объекта названа трапеция и не указан ее вид, то не следует строить равнобедренную или прямоугольную трапецию и т. д. 3. При построении чертежа нет надобности выдерживать строго какой-либо определенный масштаб. Однако желательно соблюдать какие-то пропорции в построении отдельных элементов фигуры. Например, если по условию задачи сторона АВ треугольника ABC наибольшая, то это должно быть соблюдено на чертеже. Или если задана медиана треугольника, то соответствующий ей отрезок на чертеже должен проходить приблизительно через середину стороны треугольника и т. д. Точно так же надо соблюдать на чертеже такие отношения, как параллельность, перпендикулярность и другие, заданные в задаче. 4. При построении чертежей пространственных фигур необходимо соблюдать все правила черчения. Там, где это можно и целесообразно, лучше строить какие-либо плоскостные сечения этих фигур. Кроме чертежа, для схематической записи геометрических задач используется еще краткая запись всех условий и требований задачи. В этой краткой записи, пользуясь принятыми на чертеже обозначениями, записываются все характеристики и отношения, указанные в условиях задачи. Названия фигур или отдельных ее частей желательно заменять записью их определений. Например, вместо того чтобы писать: ABCD - трапеция, можно писать: AB\\CD. В краткой записи можно использовать, там, где это целесообразно, стандартные математические знаки (принадлежности элемента к множеству, параллельности, перпендикулярности и т. д.). Конечно, все приведенные рекомендации имеют не всеобщий характер, и при решении отдельных геометрических задач чертеж фигур и краткая запись условия могут производиться иначе. Рассмотрим на примерах, как строятся схематические записи геометрических задач с помощью чертежей. Задача 12. Диагональ трапеции перпендикулярна к ее основаниям; тупой угол, прилежащий к большему основанию, равен 120°, а боковая сторона, прилежащая к нему, равна 7 см; большее основание равно 12 см. Найти среднюю линию трапеции. Основным объектом этой задачи является трапеция. В этой трапеции одна из диагоналей перпендикулярна к ее основаниям. Если вы начнете чертить эту трапецию обычным способом, т. е. начиная с построения ее сторон, то обязательно ошибетесь (проверьте: попробуйте, не читая последующие строки, начертить заданную трапецию, начиная с построения ее оснований и боковых сторон). 18 Лучше начать с построения указан- D ной диагонали. Обратите внимание на то, что эта диагональ перпендикулярна к обеим основаниям трапеции. Это можно представить так: диагональ - это верти- А В кальный отрезок, от концов которого от- Рис 2 ходят два горизонтальных отрезка (основания трапеции), притом в разные стороны. Когда вы это построите, то тогда вам станет ясно, что углы трапеции у вершин, которые соединяет эта диагональ, должны быть оба тупыми. Действительно, в задаче дано, что угол при большем основании равен 120°. Это должен быть как раз тот угол, вершина которого есть один из концов построенной диагонали. Теперь уже построить заданную трапецию нетрудно. Обозначим ее вершины, заданный угол отметим дугой и проведем среднюю линию. Пользуясь принятыми на чертеже обозначениями, запишем все условия и требование задачи. Получаем такую схематическую запись задачи (рис. 2). Дано: 1) AB\\CD\ 2) АВ±АС, 3) AC±CD; 4) ?BAD = = 120°; 5) АВ = \2 см; 6) AD = 7 см; 7) AM = MD\ BN=NC. Найти: MN. Задача 13. На основании равнобедренного треугольника взята точка, делящая основание на два отрезка длиной 8 см и 12 см, и эта точка соединена с вершиной треугольника. В образовавшиеся два треугольника вписаны окружности. Найти расстояние между точками касания этих окружностей с проведенной прямой. Основным объектом задачи является равнобедренный треугольник. В нем заданы лишь два отрезка, на которые делит основание некоторая точка на нем. Поэтому мы можем построить произвольный равнобедренный треугольник. На его основании выберем точку, которая делит основание в отношении 8: 12 = = 2:3, и эту точку соединим с вершиной треугольника. В получившиеся два треугольника впишем окружности. Таким образом построение чертежа не вызывает особых трудностей. Несколько сложнее с краткой записью условий. Нужно записать, что построенные окружности вписаны в соответствующие треугольники. Но это как раз можно не делать, ибо сам чертеж наглядно показывает это условие. Нужно также записать, что точки К и Н (рис. 3) являются точками касания указанных окружностей с проведенной прямой. Это можно записать просто словами, но лучше использовать символику, рассматривая, напри- 19 мер, эти точки как общие части соответствующих окружностей и секущей прямой. В результате получаем такую схематическую запись задачи (рис. 3). Дано: 1) АС=ВС; 2) AD=8 см; 3) DS = 12 см; 4) /С и Н - точки касания CD и соответственно окружностей с центрами 0\ и Ог. Найти: КН. Приведем теперь примеры построения чертежей для схематических записей стереометрических задач. Задача 14. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, в которой параллельные стороны равны 12 см и 8 см, а неравные отрезки диагоналей образуют угол в 60°. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания. Двугранные углы, образованные боковыми гранями с основанием и прилежащие к параллельным сторонам трапеции, относятся как 1: 2. Определить объем пирамиды. Основной объект задачи - четырехугольная пирамида. Построение ее чертежа можно выполнить, например, так. Проводим произвольный отрезок АВ (удобнее горизонтальный) и через середину его - точку К - проводим примерно под углом в 30° прямую. Через произвольную точку N этой прямой проводим другую прямую, параллельную прямой АВ, и на ней откладываем по обе стороны точки N два равных отрезка NC и ND (несколько меньшие, чем половина отрезка АВ). Соединив С с В и D с Л, получаем основание пирамиды - трапецию ABCD. Проводим в ней диагонали и через точку О - точку пересечения этих диагоналей проводим высоту пирамиды - вертикальный отрезок ОМ. Соединив точку М со всеми вершинами основания, получаем полный чертеж заданной пирамиды (рис. 4). При краткой записи условий можно непосредственно записать заданное отношение двугранных углов, но можно сначала построить на чертеже линейные углы этих двугранных углов, записать отношение линейных углов. В первом случае получаем такую схематическую запись задачи (рис. 4). 20 Дано: 1) AB\\CD\ 2) AD = BC\ 3) Z.4OD = 60°;4) OM±(ABCD)1; 5) Z.(MAB; ABCD)2: /-{MCD\ ABCD) = 1:2. Найти: Vabcd- Во втором случае условие 5 можно записать так: Z. О КМ: Z. ONM=l: 2. Но тогда в самом решении нужно описать построение линейных углов заданных двугранных углов Рис 5 (через точку О проводим прямую KN перпендикулярно основаниям трапеции, тогда угол ОКМ будет линейным углом двугранного угла с ребром ЛВ, а угол ONM будет линейным углом двугранного угла с ребром CD). Последние утверждения, что углы ОКМ и ONM являются линейными углами соответствующих двугранных углов, необходимо обосновать, доказать. Задача 15. Определить отношение объема конуса к объему описанного около него шара, если образующая конуса составляет с его осью угол в 20°. Основной объект данной задачи есть конус с описанным около него шаром. Но для схематической записи задачи нет надобности чертить конус и описанный шар, достаточно построить сечение этих фигур. Удобнее построить сечение, проходящее через ось конуса. Это сечение плоскостью представляет собой равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса) с описанной вокруг него окружностью (сечение описанного шара). Схематическую запись задачи можно представить так (рис. 5). Дано: 1) ААВМ - осевое сечение конуса; АМ = ВМ\ MD±AB; ABMD = 20°; 2) (О; ОМ) - осевое сечение описанного шара. Найти: VK0H: Кшара. Задание 5 Для того чтобы проверить себя, все ли вы правильно поняли в изложении последнего пункта, ответьте на следующие вопросы. 5.1. Какое условие записано под номером 7 в схематической записи задачи 12? Как иначе можно записать это условие? 1 (ABCD) - плоскость ABCD. 2 Z. (MAB; ABCD) - двугранный угол, образованный гранями МАВ и ABCD. 21 5.2. Какое условие записано под номером 4 в схематической записи задачи 13? Как иначе можно было записать это условие? 5.3. Какое условие записано под номерами 1 и 2 в схематической записи задачи 14? 5.4. Прочитать словами запись условия под номером 5 в схематической записи задачи 14. Задание 6 Постройте схематические записи следующих задач. 6.1. В треугольнике сумма двух сторон равна 14 см, а третья сторона делится биссектрисой противоположного угла на отрезки 3 см и 4 см. Определить стороны треугольника. 6.2. Две окружности равных радиусов касаются внешним образом в точке /С; в одной из них проведена хорда /04, а в другой - хорда КВУ перпендикулярная первой. Определить отрезок АВ, если радиусы окружностей равны 15 см. 6.3. Определить объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если ее диагональ равна 18 см, а длины сторон оснований равны 14 см и 10 см. 6.4. В шар радиуса R вписаны два конуса с общим основанием; вершины конусов совпадают с противоположными концами диаметра шара. Шаровой сегмент, вмещающий меньший конус, имеет в осевом сечении дугу, равную 120°. Найди расстояние между центрами шаров, вписанных в эти конусы. Задание 7 По приведенным схематическим записям сформулируйте соответствующие им задачи. 7.1. (Рис. Дано: ¦6.) 1) ЛБ=12 см; 2) ВС=\0 см; 3) ЛС = 8 см; 4) Л? = 2 см; 5) Z.CEH=Z.ABC. Найти: ЕН и ВН. 7.2. I отряд - 75 % от II отряд - л: кг семя III отряд- 110% от Э Вместе - 85,5 кг. 7.3. (Рис. 7.) Дано: 1) АВСМ - правильная пирамида; 2) Z. (МС; ЛБС) =60°. Найти: Z. (АСМ;АВС). Рис. 7 22 7.4. По приведенной схематической записи сформулируйте соответствующую задачу. Скорость, км/ч а 50 70 Время, ч t t+l t-l Путь АВ, км X X х 1 1.7. Практические и математические задачи Задачи, которые вы решаете в школе, различаются в первую очередь характером своих объектов. В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других - все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т.д.). Первые задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называются практическими (житейскими, текстовыми, сюжетными); вторые, все объекты которых математические, называются математическими задачами. Из приведенных выше задач 4, 9 и 11 - практические задачи, а все остальные математические. Приведем еще один пример практической задачи. Задача 16. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найти расстояние между домом и столбом, если проволока не провисает. Объектами этой задачи являются вполне реальные предметы: проволока, столб, дом. Поэтому это практическая задача. Чтобы ее решить с помощью математики, надо построить соответствующую ей математическую задачу, которая получается путем отвлечения от конкретных особенностей реальных предметов и заменой их математическими объектами. В данном случае проволоку, столб и дом (точнее, стену дома) можно рассматривать как отрезки. Считая, что поверхность земли есть прямая, а отрезки, изображающие столб и дом, перпендикулярны к этой прямой, получаем такую математическую задачу. Задача 17. Отрезки длиной 8 м и 20 м перпендикулярны к прямой, соединяющей их концы, и расположены по одну сторону от этой прямой. Отрезок, соединяющий другие концы этих отрезков, имеет длину 15 м. Найти расстояние между отрезками. 23 Заметим, что в курсе математики решаются лишь такие практические задачи, которые сводимы к математическим. Решение же математических задач и сводимых к ним практических рассмотрим в следующей главе. Гл а в а II СУЩНОСТЬ И СТРУКТУРА РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В предыдущей главе вы познакомились с составными частями задачи, с тем, как следует производить анализ задач. Теперь нужно разобраться в том, что составляет сущность решения задач, какова структура процесса решения, в чем особенности отдельных этапов этого процесса. Только сделав это, можно перейти к основному вопросу этой книги: как искать решение задач? Итак, переходим к детальному рассмотрению вопросов о сущности и структуре решения задач. II. 1. Что значит решить математическую задачу? Задумайтесь над вопросом, который мы вынесли в заглавие данного пункта. Вы уже решали тысячи задач. А можете ли вы ответить на поставленный вопрос? Возможно, что вы так ответите: решить задачу - это значит найти ее ответ. Что ж, в какой-то степени это верно, но все дело в том, как понимать слово «найти». Вот кто-то, получив задачу, узнав каким- либо способом ее ответ (например, подсмотрев в ответы задачника), просто сообщает этот ответ. Он, конечно, нашел ответ. Но можно ли считать, что он решил задачу? Очевидно, что нет. Значит, решение задачи не просто состоит в том, чтобы найти ответ, а в чем-то ином. Чтобы разобраться в этом, придется внимательно приглядеться к процессу решения задач. Чтобы это легче было сделать, рассмотрим решения несложных задач и при этом будем выписывать эти решения самым подробным образом. Задача 18. Разложить на множители многочлен *3-24+6х2- 4*. Решение. На основе переместительного и сочетательного законов сложения данный многочлен можно представить в таком виде: 24 x3- 24 + 6x2-4x=(*3- 4*) + (6х2- 24). (1) Применим к каждому из выражений, стоящих в скобках в правой части равенства (1), правило вынесения общего множителя за скобки. Общим множителем для первого выражения х3-Ах является х, а для второго выражения 6х2-24 является число 6. Тогда получим: (х3-4х) + (6*2-24) =*(*2-4) + 6(*2- 4). (2) Теперь, рассматривая х2-4 как множитель, можно, используя то же правило вынесения общего-множителя за скобки, выражение, стоящее в правой части равенства (2), представить в таком виде: х{х2-4)+6(х2 - 4) = (х2-4) (* + 6). (3) Осталось к выражению, стоящему в первой скобке правой части (3), применить правило разложения на множители разности квадратов: (*2_4) {х + 6) = {х + 2) (*_2) (х+6). (4) Сравнивая теперь полученные равенства (1), (2), (3), (4) и замечая, что правая часть каждого из первых трех равенств одинакова с левой частью следующего за ним равенства, на основании свойства транзитивности равенств (если а = Ь и Ь = с, то и а = с) получаем, что левая часть первого равенства равна правой части последнего, т. е. х3-24 + 6х2-4х=(* + 2) (х - 2) (* + 6). Тем самым заданный многочлен разложен на множители и, следовательно, задача решена. Внимательно анализируя приведенное решение, замечаем, что оно состоит из отдельных шагов, при этом каждый шаг решения есть применение какого-либо общего положения математики (правила, тождества, закона, формулы) к отдельным условиям задачи или к полученным следствиям из этих условий. Приведенное решение задачи 18 можно представить в виде схемы. Заметим, что в этой схеме расчленение решения задачи на отдельные шаги произведено не до конца. Так, например, первый шаг можно было расчленить на несколько более элементарных шагов, в каждом из которых использовался лишь один из двух указанных законов сложения. Точно так же второй шаг можно было расчленить на два, в каждом из которых правило вынесения 25 Схема решения задачи 18 № шагов решения 1 2 3 4 5 Общие положения математики Переместительный и сочетательный законы сложения Правило вынесения общего множителя за скобки То же правило Правило разложения на множители разности квадратов Свойство транзитивности равенства Условия задачи или их следствия *3 --244-б*2 -4* (xz-4x) + (6^-24) х{х* - 4) + 6(*2-4) (*2_4) (* + 6) Все полученные равенства Результат 1 (х3 - 4*) +(б*2 - 24) *(** -4)+6(х* -4) (д»_4) <*+6) (* + 2)(*-2)(* + 6) *3 -24Ц-6*2 -4х = j =<х + 2)(*-2)(*+9 общего множителя за скобки применялось бы лишь к одному из двух рассматриваемых выражений. Это же относится и к последующим шагам. Больше того, такое расчленение можно было бы продолжить и дальше. Но мы это не делали и не будем делать в дальнейшем, ибо такое скрупулезное расчленение нужно для составления программы решения задачи электронно-вычислительной машиной, но не человеком, который обычно оперирует более крупными блоками. Рассмотрим решение еще одной задачи. Задача 19. Длины оснований трапеции равны 4 см и 10 см. Найти длины отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей. Сначала построим схематическую запись задачи (рис. 8). Дано: AB\\CD\ AM = MD\ BN=NC\ АВ = \0 см; CD = 4 см. Найти: М/С и NK. Решение. Как известно, средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. Значит, MN\\AB и MN\\CD. Диагональ АС делит трапецию на два треугольника. Рассмотрим каждый из них. В ААВС отрезок NK является средней линией, ибо NK как часть отрезка NM параллельна АВ, и точка N по условию есть середина стороны ВС. А средняя линия треугольника равна половине основания. Значит, KN=yAB, а так как АВ=Ю см, то KN=5 см. Аналогично, рассматривая AACD, мы Рис. 8 убеждаемся, что МК есть средняя линия 26 этого треугольника и поэтому MK=-z-CDi но CD = 4 см, следовательно, М/С=2 см. Итак, искомые длины отрезков найдены, задача решена. Приведенное решение можно представить в виде схемы. Схема решения задачи 19 Ко " шагов решения 1 2 3-4 J5-6 Общие положения! математики Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям Диагональ делит трапецию на два треугольника Отрезок, проходящий через середину стороны треугольника парал- 1 лельно другой стороне, является средней линией треугольника Средняя линия треугольника равна половине основания Условия задачи или их следствия MN - средняя линия трапеции ABCD ABCD - трапеция, АС - ее диагональ В А АВС точка N - середина ВС и NK\, (2;+оо). Получим промежуток (2; 3]. Это и будет ответ задачи. Заметим, что при выполнении первых трех шагов мы использовали правило решения линейных неравенств с одной неременной и правило приведения подобных слагаемых. При выполнении четвертого шага было использовано правило нахождения пересечения числовых промежутков (с помощью числовой прямой). Итак, мы видим, что правила для решения задач формулируются в математике обычно в свернутом виде (в форме словесного правила, формулы, тождества) и для того, чтобы использовать эти правила для решения какой-либо задачи, нужно уметь эти правила развертывать в программы - последовательности шагов решения. Сказанное еще в большей степени относится к некоторым определениям и теоремам, на основе которых можно составить правила решения задач соответствующих видов. Математические задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила (в любой форме) или 43 эти правила непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, назовем стандартными. При этом предполагается, что для выполнения отдельных шагов решения стандартных задач в1 курсе математики также имеются вполне определенные правила. В чем характерные особенности процесса решения стандартных задач? Чтобы выяснить это, рассмотрим несколько примеров решения таких задач. Задача 23. Выписать первые пять членов арифметической прогрессии, если ai = 10, d = 4. В самой задаче указан ее вид: это задача на нахождение членов арифметической прогрессии. Вспоминаем определение арифметической прогрессии: числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом (это число называется разностью прогрессии), называется арифметической прогрессией. На основе этого определения составляем программу решения задач указанного вида: 1) определить, какой (по номеру) член прогрессии предшествует искомому; 2) установить значение этого предшествующего члена; 3) найти разность прогрессии; 4) к значению предшествующего члена прибавить разность прогрессии; полученная сумма и будет искомым членом. В соответствии с этой программой решение данной задачи будет таким: нам нужно найти первые пять членов арифметической прогрессии, у которой а\ = 10 и d = 4. Значит, нам нужно найти а2, аз, а4 и as. Начнем, естественно, с а2. Предшествующим для него членом является а\. Его значение дано в задаче. Известно также и значение разности прогрессии. Поэтому a2 = ai+d=10 + 4 = 14. Аналогично найдем аз, а4 и аь. Получим: a3 = a2 + d=14+4 = 18, a4 = a3 + d=18+4 = 22, a5 = a4 + d = 22+4 = 26. Ответ: 10, 14, 18, 22, 26. Задача 24. Разложить на множители многочлен 4*2 -9* + 5. Так как многочлен, данный в задаче, является квадратным 44 трехчленом, то эта задача является задачей на разложение квадратного трехчлена на множители. На основе известного тождества ах2+ + ?==#(*-х\)(х -х?)у где Х\ и Х2- корни трехчлена, стоящего в левой части тождества, можно составить следующую программу решения задач указанного вида: 1) найти корни х\ и Х2 трехчлена ах2 + Ьх + с, т. е. решить уравнение ах2 + Ьх + с = 0; 2) образовать двучлены х-Х\ и х--Х2, где Х\ и Х2-корни данного трехчлена; 3) образовать произведение полученных двучленов и коэффициента а. Заметим, что для выполнения 1-го шага в курсе алгебры VII класса также имеется соответствующее правило, которое мы уже однажды приводили. Теперь в соответствии с этой программой решение задачи 24 будет таким: решаем уравнение 4а:2--9# + 5 = 0: ?) = 62-4ас=(-9)2~4.4.5=1>0, -6±VD_9zfcVT_9±l f 12, Значит, Ах2 - 9х+5 = 4 (х- 1) (х-1,25). Приведенные примеры показывают, что процесс решения стандартных задач имеет следующие особенности. 1. Анализ задач сводится к установлению (распознаванию) вида задач, к которому принадлежит заданная. 2. Поиск решения состоит в составлении на основе общего правила (формулы, тождества) или общего положения (определения, теоремы) программы - последовательности шагов решения задач данного вида (если, конечно, такая программа не рассматривалась в курсе математики). Естественно, что нет надобности эту программу формулировать в письменной форме, достаточно ее про себя наметить. 3. Само решение стандартной задачи состоит в применении этой общей программы к условиям данной задачи. Если некоторые шаги программы решения требуют для своего выполнения использования также каких-то программ, то в отношении их производятся те же операции (распознавание вида задачи, составление программы решения и осуществление решения на основе этой программы). Отсюда следует, что, для того чтобы легко решать стандартные 45 задачи (а они являются основными математическими задачами, ибо все другие в конечном итоге сводятся к ним), нужно: 1) помнить (держать в памяти) все изученные в курсе математики общие правила (формулы, тождества) и общие положения (определения и теоремы). Действительно, для того чтобы решить какую-либо стандартную задачу, нужно в первую очередь распознать ее вид, а для этого нужно хорошо помнить все изученные общие правила и положения, на основе которых решаются задачи соответствующих видов. Некоторые учащиеся рассуждают так: «Для чего помнить все эти теоремы, формулы... Ведь в случае нужды их можно найти в справочнике или учебнике». Это рассуждение ошибочно, ибо, конечно, в справочнике действительно можно найти позабытую формулу или теорему, но ведь, когда вам надо решить задачу, то не будете же вы перелистывать справочник в поисках подходящей формулы, тем более что для решения одной задачи зачастую нужно использовать не одну формулу, а несколько формул, тождеств и теорем. Представьте, во что превратится решение задачи, сколько времени оно займет. Ведь для того чтобы в справочнике найти нужную формулу, нужно знать, что искать, какую формулу или тождество вам необходимо найти. Как же вы это установите, если вы не помните все основные формулы, тождества и теоремы? Нет, основные формулы, тождества, определения и теоремы необходимо твердо помнить, с тем чтобы в любой нужный момент их использовать и чтобы иметь возможность выбрать для решения заданной задачи нужную формулу, теорему... Другое дело, что некоторые мало употребляемые формулы можно и не помнить наизусть. Конечно, с годами какие-то формулы, теоремы можно и позабыть, вот для таких случаев и существуют разного рода справочники. Советуем вам все изучаемые в школе определения, теоремы, формулы, тождества знать и твердо помнить: это чрезвычайно поможет вам в решении математических задач; 2) уметь развертывать свернутые общие правила, формулы, тождества, а также определения и теоремы в программы - последовательности шагов решения задач соответствующих видов. Этому умению нужно учиться на протяжении всех лет обучения в школе. Надо иметь в виду, что в школьном курсе математики обычно не даются готовые программы решения задач. Эти программы нужно самим извлечь из соответствующих правил, формул, тождеств, определений или теорем. Без этого умения вы не сможете решить многие простейшие стандартные задачи, а тем более нестандартные задачи, требующие применения нескольких 46 программ. Это умение довольно простое, и при некоторой настойчивости им можно быстро овладеть, нужна лишь постоянная тренировка, с тем чтобы развертывание общих правил в программы производить быстро, не задумываясь над этим, притом устно (в уме). Если вы будете твердо помнить все общие положения и правила школьного курса математики и будете уметь быстро развертывать их в программы решения соответствующих задач, то решение любых стандартных задач не будет представлять для вас никаких особых трудностей. Задание 9 Укажите, какие из нижеприведенных задач являются стандартными, и назовите вид задач, к которому относится каждая из стандартных задач, а также то общее правило или положение, на основе которого она может быть решена. 9.1. Построить график функции у=2х. 9.2. Построить график функции у=2х2+2х~2. 9.3. Разложить на множители многочлен 8а3 + 27с18. 9.4. Разложить на множители многочлен 2х3+3ах2- \\а2х - 6а3. 9.5. Первая цифра шестизначного числа 1. Если эту цифру переставить на последнее место, то получится число, большее первоначального в 3 раза. Найди это шестизначное число. 9.6. Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если ai = - 2, ?=3. Задание 10 Приведенные ниже общие правила разверните в программы- последовательности шагов решения задач соответствующего вида. 10.1. Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней. 2cn+d{n - 1) 10.2. Sn = ^ п" ю.з. vm=YnRZ- 10.4. Для того чтобы задать формулой функцию, обратную данной, нужно выразить переменную х через у и поменять обозначения: х на у и у на х. Задание 11 На основе нижеприведенных определений и теорем постройте программы решения соответствующего вида задач, указав название этого вида задач. 47 11.1. Определение: если все члены многочлена записать в стандартном виде и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида. 11.2. Теорема: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. 11.3. Определение: цифра а называется верной, если модуль погрешности данного приближения не превосходит единицы того разряда, в котором записана цифра а. И.4. Следствие: логарифмы чисел, отличающихся друг от друга только порядком, имеют одну и ту же мантиссу. И.4. Нестандартные задачи и их решение В определении стандартных задач, которое было дано в предыдущем пункте, в качестве основного признака этих задач указано наличие в курсе математики таких общих правил или положений, которые однозначно определяют программу решения этих задач и выполнение каждого шага этой программы. Отсюда понятно, что нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Рассмотрим примеры решения таких задач, с тем чтобы выяснить особенности процесса их решения. Задача 25. Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали пройти за 6 ч. Однако после 2 ч пути они уменьшили скорость на 0,5 км/ч и в результате опоздали на турбазу на 30 мин. С какой скоростью шли туристы первоначально? Решение. Эта задача является текстовой. Для подобных задач никакого общего правила, определяющего точную программу их решения, не существует. Однако это не значит, что вообще нет каких-то общих указаний для решения таких задач. Подробно сущность этих указаний мы рассмотрим в следующей главе. А пока лишь покажем, как эти указания практически используются. Обозначим искомую первоначальную скорость туристов через х км/ч. Тогда за 6 ч, за которые они рассчитывали пройти расстояние от реки до турбазы, они прошли бя км. Фактически этот путь они прошли следующим образом: 2 ч они шли с первоначальной скоростью, а затем еще 4,5 ч (ибо они опоздали на 0,5 ч к сроку) - с уменьшенной скоростью (х - 0,5) км/ч. Следовательно, они прошли 2х км и 4,5 (я -0,5) км, а всего 2х-\- +4,5 (# - 0,5) км, что равно расстоянию от реки до турбазы, т. е. 6х км. Получаем уравнение: 2*+4,5 (* - 0,5) =6*. 48 Решив это уравнение, найдем: х=4,5. Значит, первоначальная скорость туристов равна 4,5 км/ч. Проанализируем процесс приведенного решения задачи 25. Сначала мы определили вид задачи («текстовая задача»), и, исходя из этого, возникла идея решения («составить уравнение»). Для этого, пользуясь весьма общими указаниями и образцами решения подобных задач, полученных в школьном курсе математики («надо обозначить одно из неизвестных буквой, например ху и выразить остальные неизвестные через х> затем составить равенство из полученных выражений»), мы составили уравнение. Заметим, что эти указания, которыми мы пользовались, не являются правилами, ибо в них ничего не сказано, какое из неизвестных обозначить через х, как выразить остальные неизвестные через х, как получить нужное равенство и т. д. Все это делается каждый раз по-своему, исходя из условий задачи и приобретенного опыта решения подобных задач. Полученное уравнение представляет собой уже стандартную задачу. Решив ее, мы тем самым решили и исходную нестандартную задачу. Таким образом, смысл процесса решения данной задачи состоит в том, что с помощью особого приема (составления уравнения) мы свели ее решение к решению эквивалентной стандартной задачи. Задача 26. При каких значениях переменной у сумма дробей У и равна их произведению? Решение. Находим сумму заданных дробей: У. 6 __ f/2+9f/-18 0-3~*~*/+3 ^2_9 " Теперь найдем произведение этих дробей: у 6 _ 6у у-Ъ" у+Ъ у2_9" Сравниваем полученные две дроби. Обнаруживаем, что знаменатели у них одинаковые, значит, их значения будут равны при тех значениях переменной у, при которых равны значения числителей, а значение общего знаменателя не равно нулю. Следовательно, нам нужно решить уравнение у2 + 9у-\8=6у (1) при условии У2~9Ф0. (2) 49 D N С Уравнение (1) имеет два корня 3 и - 6, из которых лишь второй удовлетворяет условию {2). Значит, получаем такой ответ: у--6. Как видим, процесс решения этой за- А М В дачи состоит в следующем: данную задачу Рис- 13 разбиваем на такие подзадачи: 1) нахождение суммы двух дробей; 2) нахождение произведения двух дробей; 3) решение квадратного уравнения; 4) проверка выполнения условия неравенства нулю выражения с переменной при некоторых значениях переменной. Решив эти четыре стандартные задачи, мы в конечном итоге решаем и исходную нестандартную задачу. Задача 27. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 12 см и 20 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Решение. Построим схематическую запись задачи (рис. 13). Дано: 1) AB\\CD; 2) AD = BC; 3) AC±BD; 4) АВ=20 см; 5) CD =12 см. Найти: STp. Площадь трапеции вычисляется по формуле где а и Ь - основания трапеции, а А - ее высота. Основания трапеции в задаче заданы; следовательно, задача сводится к нахождению высоты трапеции. Проведем высоту трапеции. В данном случае это удобно сделать так: проводим через точку О пересечения диагоналей трапеции MNA-AB. Тогда MN и есть искомая высота ft. Так как трапеция равнобедренная, то MN есть ось симметрии трапеции, и поэтому точки М и N-середины соответствующих оснований трапеции. Зная основания трапеции, находим, что АМ=Ю см, DN=6 см. Получаем также, что ААОМ = = ADON=45°. Рассматривая треугольники АМО и DON, получаем, что они прямоугольные и равнобедренные. Тогда ОМ=АМ = 10 см, ON= = DN=6 см. Следовательно, m 50 h=MN=MO + ON=lO+6=l6 см. Теперь по указанной выше формуле можно вычислить и площадь трапеции, найдем STp=256 см2. Процесс решения этой задачи состоит из следующих этапов: 1) задачу вычисления площади трапеции свели к задаче нахождения высоты трапеции; 2) задачу нахождения высоты трапеции разбили на две подзадачи: а) нахождение длины отрезка МО высоты MN\ б) нахождение длины отрезка ON той же высоты; 3) задачи 2 (а, б) свели к двум задачам: а) распознавание вида прямой MN по отношению к заданной трапеции; б) определение сторон МО и ON треугольников АОМ и DON; 4) в результате решения задачи 3 (а) установили, что MN есть ось симметрии трапеции. Это позволило найти AM и DN, а также углы АбМ и DON; 5) результаты решения задачи 4 и условие перпендикулярности диагоналей трапеции позволили установить, что треугольники АОМ и DON прямоугольные и равнобедренные; 6) следовательно, задача 3 (б) свелась к такой: найти катет прямоугольного равнобедренного треугольника, если известен другой катет. Решив задачу 6, возвратились к задаче 2, а затем к исходной задаче. Приведенные примеры показывают, что процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций: 1) сведение (путем преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче; 2) разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач. В зависимости от характера нестандартной задачи мы используем либо одну из этих операций, либо обе. При решении более сложных задач эти операции приходится использовать многократно. В математике нет каких-либо общих правил по применению указанных двух операций для решения нестандартных задач. Математика не занимается разработкой таких правил, но в школьном курсе математики на очень многих примерах вы могли наблюдать использование этих операций. Хотя, как мы сказали, общих правил для решения нестандартных задач нет (поэтому-то эти задачи и называются нестандартными) и нет каких-то точных правил использования операций по 51 сведению решения нестандартных задач к решению стандартных, однако многие выдающиеся математики и педагоги нашли ряд общих указаний-рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач. Эти указания обычно называют эвристическими правилами или, короче, эвристиками К В отличие от математических правил эвристики носят характер не обязательных рекомендаций, советов, следование которым может привести (а может и не привести) к решению задачи. Некоторые наиболее общие и часто используемые эвристические правила мы подробно рассмотрим в следующей главе, а более частные эвристики обсудим во второй части книги. Задание 12 Решите приведенные ниже задачи, проанализируйте эти решения и укажите, к каким стандартным задачам сводится или на какие стандартные задачи разбивается каждая из этих нестандартных задач. 12.1. Разложить на множители многочлен b3 + 2b2-\-2b + l. 12.2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 м. Если каждый катет увеличить на 3 м, то гипотенуза увеличится на 4 м. Найти катеты этого треугольника. 12.3. Построить треугольник по основанию, медиане и высоте, проведенным к этому основанию. Глава III ПОИСК ПЛАНА РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Вам предлагают решить какую-либо задачу или вы вдруг сами захотели это сделать. Разве вы знаете, какая она: стандартная или нестандартная? На основе каких общих правил и положений она может быть решена? С помощью каких приемов и операций она может быть сведена к хорошо знакомым задачам? Все это вы должны сами установить. Иными словами, чтобы решить задачу, надо найти план решения. Поиск плана решения составляет центральную часть всего процесса решения. Найдя план, его осуществление уже не составляет особого труда, оно требует лишь технических умений выполнения тех действий и операций, которые изучаются в курсе мате- 1 Слово «эвристика» греческого происхождения и означает «искусство нахождения истины». 52 матики. Конечно, предполагается, что такими техническими умениями вы обладаете. Однако начинать процесс решения задачи надо не непосредственно с поиска плана решения, а как было установлено в первой главе, начинать надо с глубокого и всестороннего анализа задачи и построения ее схематической записи, если это нужно. Но анализ задачи, построение ее схематической записи являются не самоцелью, а лишь средством для поиска плана решения. Анализ задачи и построение схематической записи должны проводиться направленно. Их цель - поиск плана решения задачи. При этом не нужно представлять себе, что план решения - это обязательно точный и полный перечень всех действий и операций, которые надо выполнить, чтобы решить данную задачу. Большей частью план - это лишь идея решения, его замысел, а точный и полный перечень действий возникает постепенно, уже в процессе осуществления найденной идеи, замысла решения. Может случиться, что найденная идея решения неточна, а иногда и просто неверна. Тогда приходится снова возвращаться к анализу задачи, искать другую идею решения или уточнять найденную прежде. Как же искать план решения задачи? Односложного и вполне определенного ответа на этот вопрос дать нельзя, ибо поиск плана решения задач является очень трудным и не поддающимся точному определению процессом. Однако, как мы уже говорили, можно дать ряд рекомендаций, советов для того, чтобы научиться производить поиск решения задач. Рассмотрению этих рекомендаций и посвящена данная глава. При этом мы очень настоятельно советуем вам понять, что поиску решения задач нельзя научить, а можно лишь самому научиться. И цель нашей книги не в том, чтобы вас научить, а в том, чтобы помочь вам самим научиться решать задачи (особенно поиску планов решения), привить математическую культуру. III.1. Распознавание вида задачи Когда приступаем к решению какой-либо задачи, то первое, что хочется, естественно, узнать,- это: что это за задача? Какого она вида, типа? Иными словами, нужно распознать вид данной задачи. Если мы сумеем это сделать, установим, к какому виду задач она принадлежит, то тем самым сделаем первый, очень важный шаг в поисках плана ее решения. Ведь, зная вид задачи, в боль- 53 шинстве случаев получаем и способ ее решения, ибо в курсе математики для многих видов задач имеются общие правила их решения. Как же распознать вид задачи? Для этого, очевидно, нужно знать основные виды математических задач и их признаки. Первым признаком, по котор

"51148"

Что сообщали турецкие СМИ о визите Эрдогана в Молдавию

Из Молдовы президент Турции Реджеп Тайип Эрдоган вернулся домой с высшей государственной наградой - орденом Республики, а также с орденом Гагауз ЕРИ - высшей наградой Гагаузии, автономной территории республики. Этот визит широко обсуждался в турецкой прессе.

Новостной портал Milliyet опубликовал статью по итогам визита президента с красноречивым заголовком «Где находится Молдова? Как добраться до Молдовы?».

«Визит президента Турции в Молдову принёс хорошие новости - теперь граждане наших двух стран смогут путешествовать без виз, имея при себе только удостоверение личности. В связи с этим у граждан Турции возникает много вопросов: где находится Молдова? Какие страны расположены рядом с ней? И если уж путешествовать, то как до неё добраться?» - говорится в статье.

Milliyet попытался ответить на эти вопросы, рассказав о географическом положении страны, о том, что рядом с Молдовой находятся более известные страны - Россия, Румыния и Украина, менее известная Белоруссия. Не забыли журналисты упомянуть и о проблеме Приднестровья.

Насчёт того, как добраться в эту страну, Milliyet советует выбирать воздушное сообщение, несмотря на то что в Молдове есть всего один аэропорт - в Кишинёве. «Существуют прямые рейсы в Молдову из Стамбула, Измира и Анкары. Можно, конечно, попытаться добраться до Молдовы на автомобиле, однако путешествие это займёт около 13 часов, к тому же нужно быть готовым к тому, что дороги в этой стране находятся в плохом состоянии», - предупреждает Milliyet.

Турецкое пресс-агентство Anadolu разместило интервью с послом Республики Молдовы в Турции Игорем Болбочану. Дипломат заявил, что «визит президента Эрдогана в Молдову является важным и историческим» и обратился к турецким бизнесменам. «Мы призываем турецких бизнесменов инвестировать в Молдову. Мы готовы помогать тем, кто хочет открыть отели, рестораны и развлекательные центры в нашей стране», - цитирует агентство Болбочану. Визового барьера между странами больше не будет, что упростит деловые поездки, отметил посол.

Также Anadolu рассказало своим читателям о том, что в Молдове проживает 160 тысяч тюркских гагаузов, которых Турция вот уже много лет поддерживает, вкладывая деньги в этот автономный регион.

Это же агентство посвятило ещё одну статью визиту Эрдогана в РМ, речь идёт о том, что Турция ожидает поддержки со стороны Молдовы в борьбе с террористической организацией FETO.

«В совместной борьбе с FETO турецкий народ ожидает от своих молдавских друзей поддержки без колебаний», - цитирует агентство слова Эрдогана на совместной пресс-конференции с Игорем Додоном в столице Молдовы Кишинёве.

Anadolu напоминает, что «FETO проник в вооружённые силы Турции, полицию, правовую систему и все государственные учреждения, однако Молдова также находится в опасности, ведь эта террористическая группа может проникнуть и туда».

Новостной портал Daily Sabah рассказал исключительно о визите Эрдогана в Гагаузию и о проблемах этого бедного региона, причём гагаузы в статье именуются не иначе как «турки-гагаузы».

«Мы будем оставаться друзьями Молдовы и турок-гагаузов во все времена, как хорошие, так и плохие. А Турция будет продолжать поддерживать гагаузский народ, чтобы они смогли жить по самым высоким стандартам на своей родине. Для этого в следующем году мы откроем великолепный образовательный комплекс в Комрате», - цитирует портал речь Эрдогана на встрече с гагаузами. Он также заявил, что «в регионе планируется открыть и консульство Турции».

Издание Hurriyet Daily News также рассказывало лишь о визите президента в Гагаузию и о проблеме автономии для её населения. Впрочем, проблемы больше нет, ведь «Реджеп Тайип Эрдоган передал жителям Гагаузии, что договорился с президентом Игорем Додоном о том, что регион получит полную автономию», сообщает издание.

«Игорь Додон поддержал заявления Эрдогана и сказал, что сделает всё возможное, чтобы статус автономии, гарантированный Молдовой гагаузскому региону, полностью соблюдался. Президент Турции пообещал и в будущем всячески поддерживать родных нам людей. И вся Турция со всеми её учреждениями готова предоставить Гагаузии необходимую поддержку во всех областях», - пишет Hurriyet Daily News .

Соб. корр. ФСК

Если Вы заметите ошибку в тексте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter, чтобы отослать информацию редактору.

Биография Лев Моисеевич Фридман (16 августа 1915, с. Любич, Черниговской области - 19 января 2005) - доктор психологических наук, специалист в области педагогической и математической психологии. Л. М. Фридман родился в семье рабочих. Рано оставшись без отца, он сначала поступил в ФЗУ, затем работал слесарем на 1 -й Картонажной фабрике в Ленинграде. В 1937 Л. М. Фридман с отличием окончил Ленинградский государственный педагогический институт, получил диплом учителя математики. С этого года началась его педагогическая деятельность в средних и высших учебных заведениях, прерываемая призывом в Советскую Армию и участием в боях на фронтах Великой Отечественной войны. Включившись в научно-исследовательскую работу в 1946, он успешно занялся проблемами методики преподавания математики, а с 1961 - проблемами психологии. Его кандидатская диссертация, защищенная в 1953, была посвящена структурному моделированию учебных задач в курсе арифметики, а докторская - разработке дидактических основ применения задач в обучении.

Биография Ученым и практикам широко известны его труды по проблемам обучения решению учебных задач на основе логикопсихологического анализа их структуры, воспитания у учащихся культуры поиска решения задач, формирования мотивации учебной деятельности, моделирования продуктивного мышления. Им опубликовано более 200 научных работ, в том числе 49 монографий, книг, учебников, учебно-методических пособий. Большое научное значение имеют и вызывают широкий интерес у специалистов и практиков его книги «Логико-психологический анализ учебных задач» , «Психолого-педагогические основы обучения математике» , «Психопедагогика» , «Психология детей и подростков» , «Теоретические основы обучения математике» , «Психологические основы поведения людей и народов» . Многие его работы переведены на английский, немецкий, китайский, испанский, болгарский, латышский, эстонский, литовский, молдавский языки.

Концепция Фридмана С точки зрения этого ученого, наиболее существенным в развитии детей является характер их деятельности в учебном процессе. Большинство ошибок и заблуждений учителей происходит потому, что они не осознают, не понимают главную цель обучения, подменяют ее другой, второстепенной. Бывает и так, что основная цель понимается учителем, но она лишь декларируется, представляется как некий идеал. В этом случае возникает глубокое противоречие между декларируемой целью и средствами ее осуществления. Необходимыми условиями научно обоснованной деятельности учителя являются уяснение им главной цели обучения, умение выстроить в соответствии с ней иерархию других целей, выбрать адекватные средства для их осуществления.

Концепция Фридмана Главной целью учебного процесса Л. М. Фридман считает воспитание всесторонне развитой и социально зрелой личности каждого школьника. Для реализации этой цели учебный процесс должен строиться в соответствии с рядом принципов.

Принципами являются: Самостоятельность учащихся в целеполагании и определении возможных направлений деятельности. Самоорганизация, влияющая на формирование навыков рационального учения. Сочетание индивидуальной учебной деятельности с коллективной. Ролевое участие, т. е. учащиеся должны выступать и в роли ответственного и в роли подчиненного. Идея создания ситуации успеха в обучении. (Положительный эмоциональный фон учебного процесса).

Принцип самостоятельности, принцип самоорганизации Принцип самостоятельности учащихся в учебном процессе предполагает его организацию таким образом, чтобы учащиеся принимали непосредственное участие в целеполагании своей деятельности, а цели обучения, задаваемые извне, становились бы их собственными, личными целями. В этом случае учащиеся чувствуют себя полноправными субъектами этого процесса, свободными в творческом достижении принятых ими целей деятельности, которая приобретает характер самодеятельности, становится их собственной потребностью. Принцип самостоятельности определяет мотивационно-потребностную сферу учения.

Принцип самостоятельности, принцип самоорганизации Принцип самоорганизации характеризует операционную сторону учебного процесса. Исходя из этого принципа, учитель не учит, а помогает учащимся учиться. Он обусловливает необходимость обучения учащихся умениям и навыкам рационального учения, самостоятельного выполнения не только учебно-тренировочных действий, но и творческой самостоятельной учебной деятельности.

Принцип развития, принцип коллективизма, принцип ролевого участия Принцип развития определяет ряд требований к организации учебного процесса: учитывать и опираться на возрастные и индивидуальные типологические особенности учащихся; развивать у них потребность в преодолении посильных трудностей, в овладении новыми способами действий, умениями, навыками; ориентироваться на зону ближайшего развития с учетом достигнутого уровня актуального развития; направлять учебный процесс на формирование социальной зрелости каждого ученика.

Принцип развития, принцип коллективизма, принцип ролевого участия Принцип коллективизма устанавливает, что центральной, ведущей формой организации учебного процесса является коллективная (групповая, парная) форма. Принцип ролевого участия предполагает равномерное и добровольное распределение ролей между учащимися класса. Один и тот же ученик должен выступить в роли и ответственного, и подчиненного.

Принцип ответственности и принцип психологического обеспечения Принцип ответственности участников учебного процесса важен с точки зрения развития социально зрелой личности. Принцип психологического обеспечения предполагает эмоциональное удовлетворение каждого ученика и тем самым развитие мотивации учения.

Принцип ответственности и принцип психологического обеспечения Важное место в концепции Л. М. Фридмана отводится контрольно-оценочной деятельности как учителя, так и учащихся. Для последних эта деятельность является заменой внешней контрольно-оценочной деятельности учителя. Она способствует развитию у учащихся произвольного и непроизвольного внимания, формированию у них привычки к самоконтролю и самооценке своих действий, своего поведения. Без нее невозможно формирование социально зрелой личности.

Принцип ответственности и принцип психологического обеспечения Л. М. Фридман формулирует требования, которым должна отвечать контрольно-оценочная деятельность. Он считает, что текущую, повседневную контрольно-оценочную деятельность должны выполнять сами учащиеся, начиная это делать еще в начальных классах. Участие учителя в ней может быть связано с обучением школьников рациональным методам и приемам этой деятельности, с формированием у них правильных и разумных эталонов контроля, нормативных критериев оценки, способов корректировки своей учебной работы, потребности и привычки самоконтроля и самооценки, с воспитанием произвольного внимания. С точки зрения изложенных требований существующая практика контроля и оценки знаний учащихся не соответствует им.

Принцип ответственности и принцип психологического обеспечения С точки зрения изложенных требований существующая практика контроля и оценки знаний учащихся не соответствует им.

На практике концепции развивающего обучения нашли отражение в дидактических системах В. Ф. Шаталова, С. Н. Лысенковой (учитель начальных классов Москвы), личностно-развивающего обучения И. С. Якиманской (психолог). Теория развивающего обучения определила общие подходы к такому виду обучения как объяснительноиллюстративное.

Для данного вида обучения характерно: 1. Классно-урочная форма. 2. Объяснение учебного материала учителем в сочетании с наглядностью. 3. Ведущая роль учителя на всех этапах учителя. Преимущества: Экономит время. Обеспечивает понимание сложного материала и управление данных процессом. Недостатки: Преподнесение готовых знаний и недостаточная активность учащегося.