Треугольник (с точки зрения пространства Эвклида) – это такая геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащими на одной прямой. Три точки, которые образовали треугольник, называются его вершинами, а отрезки соединяющие вершины называются сторонами треугольника. Какие есть треугольники?

Равные треугольники

Существует три признака равенства треугольников. Какие треугольники называются равными? Это те, у которых:

• равны две стороны и угол между этими сторонами;
• равна одна сторона и два прилежащие к ней угла;
• равны все три стороны.

У прямоугольных треугольников существуют следующие признаки равенства:

• по острому углу и гипотенузе;
• по острому углу и катету;
• по двум катетам;
• по гипотенузе и катету.

Какие бывают треугольники

По числу равных сторон треугольник может быть:

• Равносторонним. Это треугольник с тремя равными сторонами. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60 градусов. Кроме этого, совпадают центры описанной и вписанной окружностей.
• Неравносторонним. Треугольник, не имеющий равных сторон.
• Равнобедренным. Это треугольник с двумя равными сторонами. Две одинаковые стороны – боковые, а третья сторона – основание. В таком треугольнике совпадают биссектриса, медиана и высота, если их опустить на основание.

По величине углов треугольник может быть:

1. Тупоугольным - когда один из углов имеет величину более 90 градусов, то есть когда он тупой.
2. Остроугольным – если все три угла в треугольнике острые, то есть они имеют величину менее 90 градусов.
3. Какой треугольник называется прямоугольным? Это такой, у которого есть один прямой угол равный 90 градусов. Катетами в нем будут назваться две стороны, которыми образован этот угол, а гипотенузой – противолежащая прямому углу сторона.

Основные свойства треугольников

1. Против меньшей стороны всегда лежит меньший угол, а больший угол всегда лежит против большей стороны.
2. Равные углы всегда лежат против равных сторон, а против разных сторон всегда лежат разные углы. В частности, в равностороннем треугольнике все углы имеют одинаковое значение.
3. В любом треугольнике сумма углов равняется 180 градусов.
4. Внешний угол можно получить, если у треугольника продолжить одну из его сторон. Величина внешнего угла будет равняться сумме не смежных с ним внутренних углов.
5. Сторона треугольника больше, чем разность его двух других сторон, но меньше, чем их сумма.

В пространственной геометрии Лобачевского сумма углов треугольника будет всегда меньше, чем 180 градусов. На сфере это значение больше 180 градусов. Разность между 180 градусов и суммой углов треугольника называется дефектом.

Начальный уровень

Треугольник. Исчерпывающий гид (2019)

На тему «Треугольник», пожалуй, можно было бы написать целую книжку. Но книжку целиком читать слишком долго, правда? Поэтому мы здесь рассмотрим только факты, которые касаются вообще любого треугольника, а всякие специальные темы, такие как , и т.д. выделены в отдельные темы - читай книжку по кусочкам. Ну вот, что же касается любого треугольника.

1. Сумма углов треугольника. Внешний угол.

Запомни твердо и не забывай. Доказывать мы это не будем (смотри следующие уровни теории).

Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке - это слово «внутренних».

Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника. А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают. У треугольника ещё бывают внешние углы . И самое главное следствие из того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна, касается как раз внешнего треугольника. Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника.

Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем) продолжаем.

Конечно, мы бы могли оставить сторону, а продолжить сторону. Вот так:

А вот про угол такого сказать ни в коем случае нельзя !

Так что не каждый угол снаружи треугольника имеет право называется внешним углом, а только тот, который образован одной стороной и продолжением другой стороны.

Так что же мы должны знать про внешний угол?

Смотри, на нашем рисунке это означает, что.

Как же это связано с суммой углов треугольника?

Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна

но - потому, что и - смежные.

Ну вот и получается: .

Видишь как просто?! Но очень важно . Так что запоминай:

Сумма внутренних углов треугольника равна, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

2. Неравенство треугольника

Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.

Это означает, что

Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?

Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?

А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей. И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж м по прямой». Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто - то из вас говорит неправду!»

Почему? Да потому что если от Коли до Пети м, а от Пети до Сергея м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше () метров - иначе и нарушается то самое неравенство треугольника. Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой () должен быть короче, чем путь с заходом в точку. (). Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт. Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:

Бывает ли треугольник со сторонами?

Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем: , значит, треугольника со сторонами и не бывает! А вот со сторонами - бывает, потому что

3. Равенство треугольников

Ну вот, а если не один, а два или больше треугольников. Как проверишь, равны ли они? Вообще-то по определению:

Но…это ужасно неудобное определение! Как, скажите на милость, накладывать два треугольника хотя бы даже в тетради?! Но на наше счастье есть признаки равенства треугольников , которые позволяют действовать умом, не подвергая риску тетрадки.

Да и к тому же, отбросив легкомысленные шуточки, открою тебе секрет: для математика слово «наложить треугольники» означает вовсе не вырезать их и наложить, а сказать много - много - много слов, которые будет доказывать, что два треугольника совпадут при наложении. Так что ни в коем случае нельзя в работе писать «я проверил - треугольники совпадают при наложении» - тебе это не засчитают, и будут правы, потому что никто не гарантирует, что ты при наложении не ошибся, скажем, на четверть миллиметра.

Итак, какие-то математики сказали кучу слов, мы за ними эти слова повторять не будем (разве что в последнем уровне теории), а будем активно пользоваться тремя признаками равенства треугольников.

В обиходе (математическом) приняты такие укороченные формулировки - их легче запомнить и применять.

1. Первый признак - по двум сторонам и углу между ними;
2. Второй признак - по двум углам и прилежащей стороне;
3. Третий признак - по трём сторонам.

ТРЕУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Основные понятия.

Основные свойства:

1. Сумма внутренних углов любого треугольника равна, т.е.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т.е.
   или
3. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины его третьей стороны, т.е.
4. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол, т.е.
   если, то, и наоборот,
   если, то.

Признаки равенства треугольников.

1. Первый признак - по двум сторонам и углу между ними.

2. Второй признак - по двум углам и прилежащей стороне.

3. Третий признак - по трём сторонам.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Треугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки -- его сторонами.

Виды треугольников

Треугольник называется равнобедренным, если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Треугольник называется остроугольным, если все три его угла - острые, то есть меньше 90°.

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов - тупой, то есть больше 90°.

Основные линии треугольника

Медиана

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектриса угла - это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

Высота

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника .

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы и соотношения

Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

две стороны и угол между ними;

два угла и прилежащая к ним сторона;

три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

гипотенуза и острый угол;

катет и противолежащий угол;

катет и прилежащий угол;

два катета ;

гипотенуза и катет .

Подобие треугольников

Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:

два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;

две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;

три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты , медианы , биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности :

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Формулы площади треугольника

Произвольный треугольник

a, b, c - стороны; - угол между сторонамиa и b ;- полупериметр;R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S - площадь; h a - высота, проведенная к стороне a .

Сегодня мы отправляемся в страну Геометрия, где познакомимся с различными видами треугольников.

Рассмотрите геометрические фигуры и найдите среди них «лишнюю» (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что фигуры № 1, 2, 3, 5 - четырехугольники. Каждая из них имеет свое название (рис. 2).

Рис. 2. Четырехугольники

Значит, «лишней» фигурой является треугольник (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника , отрезки - его сторонами . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Основными признаками треугольника являются три стороны и три угла. По величине угла треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Треугольник называется остроугольным, если все три угла его острые, то есть меньше 90° (рис. 4).

Рис. 4. Остроугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90° (рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, то есть больше 90° (рис. 6).

Рис. 6. Тупоугольный треугольник

По числу равных сторон треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны (рис. 7).

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Эти стороны называются боковыми , третья сторона - основанием . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренные треугольники бывают остроугольными и тупоугольными (рис. 8).

Рис. 8. Остроугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны (рис. 9).

Рис. 9. Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны . Равносторонние треугольники всегда остроугольные.

Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину (рис. 10).

Рис. 10. Разносторонний треугольник

Выполните задание. Распределите данные треугольники на три группы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

Сначала распределим по величине углов.

Остроугольные треугольники: № 1, № 3.

Прямоугольные треугольники: № 2, № 6.

Тупоугольные треугольники: № 4, № 5.

Эти же треугольники распределим на группы по числу равных сторон.

Разносторонние треугольники: № 4, № 6.

Равнобедренные треугольники: № 2, № 3, № 5.

Равносторонний треугольник: № 1.

Рассмотрите рисунки.

Подумайте, из какого куска проволоки сделали каждый треугольник (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию

Можно рассуждать так.

Первый кусок проволоки разделен на три равные части, поэтому из него можно сделать равносторонний треугольник. На рисунке он изображен третьим.

Второй кусок проволоки разделен на три разные части, поэтому из него можно сделать разносторонний треугольник. На рисунке он изображен первым.

Третий кусок проволоки разделен на три части, где две части имеют одинаковую длину, значит, из него можно сделать равнобедренный треугольник. На рисунке он изображен вторым.

Сегодня на уроке мы познакомились с различными видами треугольников.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Закончите фразы.

а) Треугольником называется фигура, которая состоит из …, не лежащих на одной прямой, и …, попарно соединяющих эти точки.

б) Точки называются … , отрезки - его … . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника ….

в) По величине угла треугольники бывают … , … , … .

г) По числу равных сторон треугольники бывают … , … , … .

2. Начертите

а) прямоугольный треугольник;

б) остроугольный треугольник;

в) тупоугольный треугольник;

г) равносторонний треугольник;

д) разносторонний треугольник;

е) равнобедренный треугольник.

3. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Стандартные обозначения

Треугольник с вершинами A , B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны:

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

Треугольник имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Признаки равенства треугольников

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);
2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;
2. по двум катетам;
3. по катету и острому углу;
4. по гипотенузе и острому углу.

Некоторые точки в треугольнике - «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли . Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это - точки Аполлония . Точки и такие, что и называются точками Брокара .

Прямые

В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера .

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара . На ней лежат точки Аполлония. Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана. Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис . На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью , она перпендикулярна прямой Эйлера.

Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек перпендикулярны.

Треугольники

• Треугольник с вершинами в основаниях чевиан, проведённых через данную точку, называется чевианным треугольником этой точки.
• Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
• Треугольник в вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником . Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному.

Окружности

• Вписанная окружность - окружность , касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром .
• Описанная окружность - окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность также единственна.
• Вневписанная окружность - окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Таких окружностей в треугольнике три. Их радикальный центр - центр вписанной окружности срединного треугольника, называемый точкой Шпикера .

Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера . Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера. Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных. Точка касания вписанной окружности и окружности девяти точек называется точкой Фейербаха . Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, ортезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности - окружности Конвея . В любой треугольник можно вписать три окружности таким образом, что каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Такие окружности называются окружностями Мальфатти . Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна .

В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера . Отрезки, соединяющие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера . Она служит центром гомотетии , которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна , а отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей - в точке Нагеля .

Эллипсы, параболы и гиперболы

Вписанная коника (эллипс) и её перспектор

В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов , парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке.

Описанный эллипс Штейнера и чевианы, проходящие через его фокусы

В треугольник можно вписать эллипс, который касается сторон в серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника). Описанный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины параллельно сторонам, называется описанным эллипсом Штейнера . Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести треугольник в правильный, то его вписанный и описанный эллипс Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера.

Эллипс Брокара и его перспектор - точка Лемуана

Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара . Его перспектором служит точка Лемуана.

Свойства вписанной параболы

Парабола Киперта

Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта . Её перспектор - четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера .

Гипербола Киперта

Если описанная гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны). Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек.

Преобразования

Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек : центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники - в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением . Оно также переводит прямые в описанные коники. Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием . Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция - проективное преобразование , которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось - трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера - центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки ).

Кубики

Соотношения в треугольнике

Примечание: в данном разделе , , - это длины трёх сторон треугольника, и , , - это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном - равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики .

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема синусов

где R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ.

Теорема косинусов

Теорема тангенсов

Прочие соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для :

Решение треугольников

Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников» . При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы.

Площадь треугольника

Для площади справедливы неравенства:

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках , , .

Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим , где , , - проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

и аналогично

Площадь треугольника равна .

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона .

Теоремы о треугольниках

Теорема Дезарга : если два треугольника перспективны (прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников, пересекаются в одной точке), то их соответственные стороны пересекаются на одной прямой.

Теорема Сонда́ : если два треугольника перспективны и ортологичны (перпендикуляры, опущенные из вершин одного треугольника на стороны, противоположные соответственным вершинам треугольника, и наоборот), то оба центра ортологии (точки пересечения этих перпендикуляров) и центр перспективы лежат на одной прямой, перпендикулярной оси перспективы (прямой из теоремы Дезарга).