Числовые неравенства. Числовые неравенства и их свойства. Формулы основных неравенств
С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними.
Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Числовые неравенства: определение, примеры
При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи. Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки ≠ , < , > , ≤ , ≥ . Дадим определение.
Определение 1
Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.
Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид 1 < 5 , 5 + 7 > 3 . После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2 < 0 .
Свойства числовых неравенств
Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше».
Определение 2
- число a больше b , когда разность a - b – положительное число;
- число a меньше b , когда разность a - b – отрицательное число;
- число a равно b , когда разность a - b равняется нулю.
Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что
Определение 3
- a больше или равно b , когда a - b является неотрицательным числом;
- a меньше или равно b , когда a - b является неположительным числом.
Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств.
Основные свойства
Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков < и > характерно при свойствах:
Определение 4
- антирефлексивности , которое говорит о том, что любое число a из неравенств a < a и a > a считается неверным. Известно, что для любого a имеет место быть равенство a − a = 0 , отсюда получаем, что а = а. Значит, a < a и a > a неверно. Например, 3 < 3 и - 4 14 15 > - 4 14 15 являются неверными.
- ассиметричности . Когда числа a и b являются такими, что a < b , то b > a , и если a > b , то b < a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b > a . Аналогичным образом доказывается и вторая его часть.
Пример 1
Например, при заданном неравенстве 5 < 11 имеем, что 11 > 5 , значит его числовое неравенство − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишется в виде − 1 , 3 < − 0 , 27 .
Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами.
Определение 5
- транзитивности . Когда числа a , b , c соответствуют условию a < b и b < c , тогда a < c , и если a > b и b > c , тогда a > c .
Доказательство 1
Первое утверждение можно доказать. Условие a < b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.
Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности.
Пример 2
Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств − 1 < 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 > 1 8 и 1 8 > 1 32 следует, что 1 2 > 1 32 .
Числовые неравенства, которые записываются с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как a ≤ a и a ≥ a могут иметь случай равенства а = а. им присуща ассиметричность и транзитивность.
Определение 6
Неравенства, имеющие в записи знаки ≤ и ≥ , имеют свойства:
- рефлексивности a ≥ a и a ≤ a считаются верными неравенствами;
- антисимметричности, когда a ≤ b , тогда b ≥ a , и если a ≥ b , тогда b ≤ a .
- транзитивности, когда a ≤ b и b ≤ c , тогда a ≤ c , а также, если a ≥ b и b ≥ c , то тогда a ≥ c .
Доказательство производится аналогичным образом.
Другие важные свойства числовых неравенств
Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств.
Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если a < b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:
- если a > b , то a + c > b + c ;
- если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
- если a ≥ b , то a + c ≥ b + c .
Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования.
Определение 7
Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a < b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .
Доказательство 2
Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию a < b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.
Пример 3
К примеру, если обе части неравенства 7 > 3 увеличиваем на 15 , тогда получаем, что 7 + 15 > 3 + 15 . Это равно 22 > 18 .
Определение 8
Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c , получим верное неравенство. Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для a и b неравенство выполняется, когда a < b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c > b · c .
Доказательство 3
Когда имеется случай c > 0 , необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что a · c − b · c = (a − b) · c . Из условия a < b , то a − b < 0 , а c > 0 , тогда произведение (a − b) · c будет отрицательным. Отсюда следует, что a · c − b · c < 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.
При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть 1 c . Рассмотрим пример свойства на определенных числах.
Пример 4
Разрешено обе части неравенства 4 < 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .
Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств:
- Следствие 1. При смене знаков частей числового неравенства меняется сам знак неравенства на противоположный, как a < b , как − a > − b . Это соответствует правилу умножения обеих частей на - 1 . Оно применимо для перехода. Например, − 6 < − 2 , то 6 > 2 .
- Следствие 2. При замене обратными числами частей числового неравенства на противоположный, меняется и его знак, причем неравенство останется верным. Отсюда имеем, что a и b являются положительными числами, a < b , 1 a > 1 b .
При делении обеих частей неравенства a < b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 > 3 2 имеем, что 1 5 < 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a > 1 b может получиться неверным.
Пример 5
Например, − 2 < 3 , однако, - 1 2 > 1 3 являются неверным равенством.
Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей.
Определение 9
Когда числа a , b , c , d справедливы для неравенств a < b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
Доказательство 4
Докажем, что (a + c) − (b + d) является отрицательным числом, тогда получим, что a + c < b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.
Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n справедливы неравенства a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Пример 6
Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака − 5 < − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.
Определение 10
Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a < b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.
Доказательство 5
Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства a < b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .
Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n являются положительные числами, где a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n < b 1 · b 2 · … · b n .
Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам.
Пример 7
К примеру, неравенство 1 < 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.
Следствие: Почленное умножение неравенств a < b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .
Свойства числовых неравенств
Рассмотрим ниже приведенную свойства числовых неравенств.
- a < a , a > a - неверные неравенства,
a ≤ a , a ≥ a - верные неравенства. - Если a < b , то b > a - антисимметричность.
- Если a < b и b < c то a < c - транзитивность.
- Если a < b и c - любоое число, то a + b < b + c .
- Если a < b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
Если a < b и c - отрицательное число, то a · c > b · c .
Следствие 1: если a < b , то - a > - b .
Следствие 2: если a и b - положительные числа и a < b , то 1 a > 1 b .
- Если a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
- Если a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n - положительные числа и a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .
Cледствие 1: если a < b , a и b - положительные числа, то a n < b n .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
1) Основное понятие неравенства
2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.
3) Графическое решение неравенств второй степени
4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
5) Решение рациональных неравенств методом интервалов
6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
1. Основное понятие неравенства
Неравенство — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида
a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n * b ,
где a 1 ,..., a n , b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥,
· алгебраические
· трансцендентные
Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.
Неравенство - алгебраическое, второй степени.
Неравенство - трансцендентное.
2. Основные свойства числовых неравенств . Неравенства содержащие переменную
1) Графиком квадратичной функции y = ах 2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0 , и вниз, если а (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а). При этом возможны три случая:
2) Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а
y = ах 2 +bх + с a>0 D>0 y = ах 2 +bх + с a D >0,
Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах 2 + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a ах 2 + х + с
y = ах 2 +bх + с a>0 D = 0 y = ах 2 +bх + с a D =0,
3) Если d0 и ниже ее при a
y = ах 2 +bх + с a>0 D 0 y = ах 2 +bх + с a D0,
4) Решить неравенство графическим способом
1. Пусть f(x) = 3х 2 -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) ;
2. Найдем нули функции.
f(x) при х .
Ответ f(x) при х .
Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,
D=-4 Нет нулей.
4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными
1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.
2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)
3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:
Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.
4) Пример. Решить систему неравенств:
Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .
Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.
5. Решение рациональных неравенств методом интервалов
В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а ): точка х=α делит числовую ось на две части — справа от точки α двучлен (х‑α)>0 , а слева от точки α (х-α) .
Пусть требуется решить неравенство (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 , где α 1 , α 2 ...α n-1 , α n — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α 1 , α 2 ...α n-1 , α n ; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α n , ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где - многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.
Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.
2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.
Решение неравенств методом интервалов
Решение . Область допустимых значений определяется системой неравенств:
Для функции f(x) = - 20. Находим f(x) :
откуда x = 29 и x = 13.
f (30) = - 20 = 0,3 > 0,
f (5) = - 1 - 20 = - 10
Ответ: ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Числовые неравенства и их свойства
В презентации подробно изложены содержание тем ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА и СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ, приведены примеры на доказательство числовых неравенств. (Алгебра 8 класс, автор Макарычев Ю.Н.)
Просмотр содержимого документа
«Числовые неравенства и их свойства»
Числовые неравенства
и их свойства
учитель математики МОУ «Упшинская ООШ»
Оршанского района Республики Марий Эл
(К учебнику Ю.А.Макарычева Алгебра 8
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img1.jpg)
Числовые неравенства
Результат сравнения двух и более чисел записывают в виде неравенств, используя знаки , , =
Сравнение чисел мы осуществляем, пользуясь различными правилами (способами). Удобно иметь обобщенный способ сравнения, который охватывает все случаи.
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img2.jpg)
Определение:
Число а больше числа b, если разность ( a – b) – положительное число.
Число а меньше числа b, если разность ( a – b) – отрицательное число.
Число а равно числу b, если разность ( a – b) – равна нулю
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img3.jpg)
Обобщенный способ сравнения чисел
Пример 1.
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img4.jpg)
Применение обобщенного способа сравнения чисел для доказательства неравенств
Пример 2. Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел.
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img5.jpg)
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img6.jpg)
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img7.jpg)
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img8.jpg)
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img9.jpg)
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img10.jpg)
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img11.jpg)
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/02/22/s_58adeb94a6962/img12.jpg)
Р = 3а
Умножим на 3 обе части каждого из неравенств
54,2 ∙ 3 а ∙ 3
162,6
Применение свойств числовых неравенств