Книга: В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин «Основы теории колебаний. Основы теории колебаний
Понятие о колебаниях. Рассмотрим некоторую систему, т. е. совокупность объектов, взаимодействующих между собой и с окружающей средой по некоторому закону. Это может быть как механическая система материальных точек, абсолютно твердых тел, упругие и вообще деформируемые тела и т. п., так и электрическая, биологическая и смешанная (например, электромеханическая) системы. Пусть состояние системы в каждый момент времени описывается некоторым набором параметров. Задача теории состоит в том, чтобы предсказать эволюцию системы во времени, если задано начальное состояние системы и внешнее воздействие на нее.
Возьмем один из числовых параметров системы, обозначив его через и. Это может быть скалярная величина, одна из компонент вектора или тензора и т. п. Рассмотрим изменение этого параметра на некотором отрезке времени, например, при Это изменение может быть монотонным, немонотонным, существенно немонотонным (рис. 1). Наибольший интерес представляет последний случай.
Процесс изменения параметра, который характеризуется многократным поочередным возрастанием и убыванием параметра во времени, называется колебательным процессом или просто колебаниями, а соответствующий параметр называется колеблющейся величиной.
Невозможно установить четкую границу, отделяющую колебательные процессы от неколебательных. Например, в экономике процесс такого типа, как на рис. 1,б, может быть отнесен к колебательным процессам. Можно сформулировать более общее определение колебательного процесса: параметр совершает на заданном отрезке времени колебания относительно параметра (и наоборот), если разность на этом отрезке многократно изменяет знак (рис. 1,г). Например, можно говорить о колебательном изменении угла вращения диска относительно равномерного вращения с постоянной угловой скоростью
Если все или наиболее существенные параметры системы - колеблющиеся величины, то говорят, что система испытывает колебания. Система, способная при определенных условиях совершать колебания, называется колебательной системой. Строго говоря, под это определение подходит любая система, так как для любой системы можно выбрать такое воздействие, при котором она будет совершать колебательное движение. Поэтому обычно используют более узкое определение: система называется колебательной, если она способна совершать колебания при отсутствии внешних воздействий (только за счет первоначально накопленной энергии).
Место колебательных процессов в науке и технике. Большинство наблюдаемых в природе и технике процессов являются колебательными. К колебательным процессам относятся самые разнообразные явления: от ритмов головного мозга и биения сердца до колебаний звезд, туманностей и других космических объектов; от колебаний атомов или молекул в твердом теле до климатических изменений на Земле, от вибраций звучащей струны до землетрясений. Все акустические явления и явления, связанные с распространением электромагнитных волн, также сопровождаются колебательными процессами.
Рис. I. Изменение параметра : а - монотонное; б - немонотонное; в - существенно немонотонное; г - относительное изменение параметров
В данном томе будут рассмотрены в основном механические системы. Колебательные процессы, происходящие в этих системах, называются механическими колебаниями. В технике, особенно в машиностроении, широко применяют также термин вибрация. Он является почти синонимом терминов механические колебания или колебания механической системы. Термином вибрация чаще всего пользуются там, где колебания имеют относительно малую амплитуду и не слишком низкую частоту (например, едва ли можно принять термин вибрация, говоря о колебаниях маятника часов или о раскачивании качелей).
Прикладная теория колебаний и вибротехника. Совокупность методов и средств для измерения величин, характеризующих колебания, называется виброметрией. Совокупность методов и средств для уменьшения вредного воздействия вибрации на человека, приборы и механизмы называется виброзащитой. Совокупность технологических приемов, основанных на целенаправленном использовании вибрации, называется виброобработкой, а использование вибрации для перемещения материалов, изделий и т. п. называется вибротранспортировкой. Для обеспечения способности объектов выполнять свои функции и сохранять параметры в пределах установленных норм, а также сохранять прочность в условиях вибрации необходимы расчеты на виброустойчивость и вибропрочность или, в более общей постановке, на вибронадежность. Задачей виброиспытаний является изучение виброустойчивости, вибропрочности и эффективности объектов в условиях вибраций, а также изучение эффективности виброзащиты; задачей вибродиагностики - изучение состояния объекта на основе анализа эксплуатационных или искусственно возбуждаемых вибраций.
Книга знакомит читателя с общими свойствами колебательных процессов, происходящих в радиотехнических, оптических и других системах, а также с различными качественными и количественными методами их изучения. Значительное внимание уделено рассмотрению параметрических, автоколебательных и других нелинейных колебательных систем.
Изучение описанных в книге колебательных систем и процессов в них приведено известными методами теории колебаний без подробного изложения и обоснования самих методов. Главное внимание уделено выяснению принципиальных особенностей изучаемых колебательных моделей реальных систем с использованием наиболее адекватных методов анализа.
Свободные колебания в контуре с нелинейной индуктивностью.
Рассмотрим теперь другой пример электрической нелинейной консервативной системы, а именно - контур с индуктивностью, зависящей от протекающего по нему тока. Этот случай не имеет наглядного и простого нерелятивистского механического аналога, так как зависимость самоиндукции от тока эквивалентна для механики случаю зависимости массы от скорости.
С электрическими системами подобного типа мы встречаемся тогда, когда в индуктивностях используются сердечники из ферромагнитного материала. В таких случаях для каждого данного сердечника можно получить зависимость между намагничивающим нолем и потоком магнитной индукции. Кривая, изображающая эту зависимость, называется кривой намагничения. Если пренебречь явлением гистерезиса, то примерный ее ход можно представить графиком, изображенным на рис. 1.13. Так как величина поля Н пропорциональна току, текущему в катушке, то по оси абсцисс можно прямо в соответствующем масштабе откладывать ток.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Основы теории колебаний, Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н., 1978 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
- Начала теоретической физики, Механика, теория поля, элементы квантовой механики, Медведев Б.В., 2007
- Курс физики, Ершов А.П., Федотович Г.В., Харитонов В.Г., Прууэл Э.Р., Медведев Д.А.
- Техническая термодинамика с основами теплопередачи и гидравлики, Лашутина Н.Г., Макашова О.В., Медведев Р.М., 1988
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ им. Х. М.БЕРБЕКОВА
ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ, ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ,
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ
Для студентов механических специальностей вузов
Нальчик 2003
Рецензенты:
– доктор физико-математических наук, профессор, директор НИИ прикладной математики и автоматизации РАН, засл. деятель науки РФ, академик АМАН.
Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой Прикладной математики Кабардино-Балкарской государственной сельскохозяйственной академии.
Культербаев теории колебаний. Основы теории, задачи для домашних заданий, примеры решений.
Учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки дипломированных специалистов 657800 - Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств, 655800 Пищевая инженерия. –Нальчик: Издательство КБГУ им. , 20с.
В книге изложены основы теории колебаний линейных механических систем, а также приведены задачи для домашних заданий с примерами их решения. Содержание теории и задания ориентированы на студентов механических специальностей.
Рассматриваются как дискретные, так и распределённые системы. Количество несовпадающих вариантов для домашних заданий позволяет использовать их для большого потока обучаемых.
Издание может быть полезно также для преподавателей, аспирантов и специалистов различных областей науки и техники, проявляющих интерес к приложениям теории колебаний.
© Кабардино-Балкарский государственный университет им.
Предисловие
Книга написана на основе курса, читаемого автором на инженерно-техническом факультете Кабардино-Балкарского госуниверситета студентам механических специальностей.
Механизмы и конструкции современной техники зачастую работают при сложных динамических режимах нагружения, поэтому постоянный интерес к теории колебаний поддерживается запросами практики. Теория колебаний и её приложения имеют обширную библиографию , включающую немалое количество учебников и учебных пособий . Часть из них приведена в списке литературы в конце данного учебного пособия. Почти вся существующая учебная литература предназначена для читателей, изучающих данный курс в большом объёме и специализирующихся в направлениях инженерной деятельности, так или иначе, существенно связанных с динамикой конструкций. Между тем в настоящее время все инженеры механических специальностей испытывают потребность в овладении теорией колебаний на достаточно серьёзном уровне. Попытка удовлетворить таким требованиям приводит к введению в образовательные программы многих вузов небольших по объёму специальных курсов. Данное учебное пособие призвано удовлетворить именно таким запросам, и содержит основы теории, задачи для домашних заданий и примеры по их решению. Этим обоснованы ограниченный объём учебника, выбор его содержания и название: «Основы теории колебаний». Действительно, в учебнике излагаются лишь основные вопросы и методы дисциплины. Заинтересованный читатель может воспользоваться известными научными монографиями и учебными пособиями, приведёнными в конце данного издания, для углублённого изучения теории и её многочисленных приложений.
Книга рассчитана на читателя, имеющего подготовку в объёме обычных втузовских курсов высшей математики, теоретической механики и сопротивления материалов.
В изучении такого курса существенный объём занимает выполнение домашних заданий в виде курсовых, контрольных, расчётно-проектировочных, расчётно-графических и других работ, требующих достаточно большого времени. Существующие задачники и пособия по решению задач не предназначены для указанных целей. Кроме того, имеется явная целесообразность в совмещении в одном издании теории и домашних заданий, объединённых общим содержанием, тематической направленностью и дополняющих друг друга.
При выполнении и оформлении домашних заданий студент сталкивается с множеством вопросов, которые не излагаются или недостаточно поясняются в теоретической части дисциплины; у него возникают трудности изложения хода решения задачи, способов аргументирования принимаемых решений, структурирования и оформления записей.
Испытывают затруднения и преподаватели, но уже организационного характера. Им приходится часто пересматривать объёмы, содержание и структуру домашних заданий, составлять многочисленные варианты задач, обеспечивать своевременную выдачу несовпадающих заданий в массовом порядке, проводить многочисленные консультации, разъяснения и т. д.
Данное пособие предназначено, в том числе, для уменьшения и исключения трудностей и сложностей перечисленного характера в условиях массового обучения. Оно содержит две задачи, по своей тематике охватывающие наиболее важные и базовые вопросы курса:
1. Колебания систем с одной степенью свободы.
2. Колебания систем с двумя степенями свободы.
Эти задачи по своему объёму и содержанию могут стать расчётно-проектировочными работами для студентов очных, очно-заочных форм обучения или контрольными работами для студентов заочной формы обучения.
Для удобства читателей в книге использована автономная нумерация формул (уравнений) и рисунков внутри каждого параграфа с помощью обычного десятичного числа в скобках. Ссылка внутри текущего параграфа делается простым указанием такого номера. При необходимости ссылки на формулу предыдущих параграфов, указывается номер параграфа и далее через точку – номер самой формулы. Так, например, обозначение (3.2.4) соответствует формуле (4) в параграфе 3.2 данной главы. Ссылка на формулу предыдущих глав делается так же, но с указанием на первом месте номера главы и точки.
Книга является попыткой удовлетворить запросам профессиональной подготовки студентов определённых направлений. Автор отдаёт себе отчёт в том, что она, по-видимому, не будет свободна от недостатков, и поэтому примет с благодарностью возможную критику и замечания читателей для улучшения последующих изданий.
Книга может оказаться полезной также специалистам, интересующимся приложениями теории колебаний в различных областях физики, техники, строительства и других областей знаний и производственной деятельности.
Глава I
ВВЕДЕНИЕ
1.Предмет теории колебаний
Некоторая система перемещается в пространстве так, что её состояние в каждый момент времени t описывается некоторым набором параметров: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" height="23 src=">.gif" width="48" height="24"> и внешние воздействия . И далее задача состоит в том, чтобы предсказать дальнейшую эволюцию системы во времени: (рис. 1).
 |
Пусть одной из изменяющихся характеристик системы будет , . Могут быть различные характерные разновидности его изменения во времени: монотонный (рис. 2), немонотонный (рис. 3), существенно немонотонный (рис.4).
Процесс изменения параметра, который характеризуется многократным поочередным возрастанием и убыванием параметра во времени, называется колебательным процессом или просто колебаниями. Колебания широко распространены в природе, технике и человеческой деятельности: ритмы головного мозга, колебания маятника, биение сердца, колебания звезд, колебания атомов и молекул, колебания силы тока в электрической цепи, колебания температуры воздуха, колебания цен на продукты питания, вибрация звука, вибрация струны музыкального инструмента.
Предметом изучения данного курса являются механические колебания, т. е. колебания в механических системах.
2. Классификация колебательных систем
Пусть u (х , t) – вектор состояния системы, f (х , t) – вектор воздействий на систему со стороны окружающей среды (рис. 1). Динамика системы описывается операторным уравнением
Lu
(х
, t) = f
(х
, t), (1)
где оператор L задаётся уравнениями колебаний и дополнительными условиями (граничными, начальными). В таком уравнении u и f могут быть и скалярными величинами.
Наиболее простая классификация колебательных систем может быть произведена по их числу степеней свободы . Число степеней свободы – это количество независимых числовых параметров, однозначно определяющих конфигурацию системы в любой момент времени t. По этому признаку колебательные системы можно относить к одному из трёх классов:
1)Системы с одной степенью свободы .
2)Системы с конечным числом степеней свободы . Они часто называются также дискретными системами .
3)Системы с бесконечным несчётным числом степеней свободы (континуальные, распределённые системы).
 |
На рис. 2 приведён ряд иллюстрирующих примеров по каждому их классов. Для каждой схемы в кружочках указано число степеней свободы. На последней схеме представлена распределённая система в виде упругой деформируемой балки. Для описания её конфигурации требуется функция u(x, t), т. е. бесконечное множество значений u.
Каждому классу колебательных систем соответствует своя математическая модель. Например, система с одной степенью свободы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, системы с конечным числом степеней свободы – системой обыкновенных дифференциальных уравнений, распределённые системы – дифференциальными уравнениями в частных производных.
В зависимости от типа оператора L в модели (1) колебательные системы делятся на линейные и нелинейные . Система считается линейной , если соответствующий ей оператор является линейной, т. е. удовлетворяет условию
https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" width="20 height=24" height="24">.jpg" width="569" height="97">
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции
(принцип независимости действия сил). Суть его на примере (рис..gif" width="36" height="24 src="> состоит в следующем..gif" width="39" height="24 src=">..gif" width="88" height="24">.
 |
Стационарные и нестационарные системы. У стационарных систем на рассматриваемом отрезке времени , свойства во времени не изменяются. В противном случае системы называется нестационарными. Следующие два рисунка наглядно демонстрируют колебания в таких системах. На рис. 4 показаны колебания в стационарной системе при установившемся режиме, на рис. 5 - колебания в нестационарной системе.
Процессы в стационарных системах описываются дифференциальными уравнениями с коэффициентами, постоянными во времени, в нестационарных системах – с переменными коэффициентами.
Автономные и неавтономные системы. В автономных системах внешние воздействия отсутствуют. Колебательные процессы в них могут происходить лишь за счёт внутренних источников энергии или же за счёт энергии, сообщённой системе в начальный момент времени. В операторном уравнении (1) тогда правая часть не зависит от времени, т. е. f (x , t) = f (x ). Остальные системы являются неавтономными.
Консервативные и неконсервативные системы. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg" align="left hspace=12" width="144" height="55">Свободные колебания. Свободные колебания совершаются при отсутствии переменного внешнего воздействия, без притока энергии извне. Такие колебания могут происходить лишь в автономных системах (рис. 1).
Вынужденные колебания.
Такие колебания имеют место в неавтономных системах, и их источниками являются переменные внешние воздействия (рис. 2).
Параметрические колебания. Параметры колебательной системы могут изменяться во времени, и это может стать источником колебаний. Такие колебания называются параметрическими. Верхняя точка подвеса физического маятника (рис..gif" width="28" height="23 src=">, что служит причиной возникновения поперечных параметрических колебаний (рис. 5).
Автоколебания
(самовозбуждающиеся колебания). У таких колебаний источники имеют неколебательную природу, и при этом сами источники включены в колебательную систему. На рис. 6 показана масса на пружине, лежащая на движущейся ленте. На неё действуют две силы: сила трения и упругая сила натяжения пружины, и они меняются во времени. Первая зависит от разности скоростей ленты и массы, вторая от величины и знака деформации пружины, поэтому масса находится под воздействием равнодействующей силы, направленной то влево, то вправо и совершает колебания.
Во втором примере (рис. 7) левый конец пружины перемещается вправо с постоянной скоростью v, вследствие чего пружина перемещает груз по неподвижной поверхности. Образуется ситуация, подобная описанной для предыдущего случая, и груз начинает колебаться.
4. Кинематика периодических колебательных процессов
Пусть процесс характеризуется одной скалярной переменной , являющейся, например, перемещением. Тогда - скорость, - ускорение..gif" width="11 height=17" height="17"> выполняется условие
,
то колебания называются периодическими
(рис. 1). При этом наименьшее из таких чисел называется периодом колебаний
. Единицей измерения периода колебаний является, чаще всего, секунда, обозначаемая с или сек. Употребляются ещё единицы измерения в минутах, часах и т. д. Другой, также важной характеристикой периодического колебательного процесса является частота колебаний
определяющая количество полных циклов колебаний за 1 единицу времени (например, в секунду). Такая частота измеряется в или герцах (Гц), так что означает 5 полных циклов колебаний за одну секунду. В математических выкладках теории колебаний более удобной оказывается угловая частота
,
измеряемая в https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 height=24" height="24">.
Наиболее простыми из периодических колебаний, но чрезвычайно важными для построения теоретической базы теории колебаний являются гармонические (синусоидальные) колебания, изменяющиеся по закону
https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" width="17" height="17 src="> – амплитуда, - фаза колебаний, - начальная фаза..gif" width="196" height="24">,
а затем и ускорение
Вместо (1) часто пользуются альтернативной записью
https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width="80" height="21 src=">. Описания (1) и (2) могут быть представлены и в виде
Между константами в формулах (1), (2), (3) существуют легко доказуемые соотношения
Использование методов и представлений теории функций комплексных переменных во многом упрощает описание колебаний. Центральное место в таком случае занимает формула Эйлера
.
Здесь https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" height="28">. (4)
Формулы (1) и (2) содержатся в (4). Например, синусоидальные колебания (1) можно представлять как мнимую составляющую (4)
а (2) - в виде вещественной составляющей
Полигармонические колебания. Сумма двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами будет гармоническим колебанием с той же частотой
Слагаемые могли быть и с неодинаковыми частотами
Тогда сумма (5) будет периодической функцией с периодом , лишь в том случае, если , , где и – целые числа, причём несократимая дробь, рациональное число. Вообще же, если два и более гармонических колебаний имеют частоты с соотношениями в виде рациональных дробей, то их суммы являются периодическими, но не гармоническими колебаниями. Такие колебания называются полигармоническими .
Если периодические колебания не гармонические, то всё же их зачастую выгодно представлять в виде суммы гармонических колебаний с помощью ряда Фурье
Здесь https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif" width="15" height="19"> – номер гармоники, характеризует среднее значение отклонений, https://pandia.ru/text/78/502/images/image077_14.gif" width="139 height=24" height="24"> – первая, основная гармоника, (https://pandia.ru/text/78/502/images/image080_11.gif" width="207" height="24"> образует частотный спектр колебаний.
П р и м е ч а н и е. Теоретическим обоснованием возможности представления функции колебательного процесса рядом Фурье служит теорема Дирихле для периодической функции:
Если функция задана на сегменте и является на нём кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной, то её ряд Фурье сходится во всех точках сегмента https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif" width="28" height="23 src="> – сумма тригонометрического ряда Фурье функции f(t), то во всех точках непрерывности этой функции
а во всех точках разрыва
.
Кроме того,
.
Очевидно, что реальные колебательные процессы удовлетворяют условиям теоремы Дирихле.
В частотном спектре каждой частоте соответствует амплитуда Аk и начальная фаза https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif" width="125" height="33">, 
.
Они образуют амплитудный спектр https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" width="35" height="24">. Наглядное представление об амплитудном спектре даёт рис. 2.
Определение спектра частот и коэффициентов Фурье называется спектральным анализом
. Из теории рядов Фурье известны формулы
|
Книга знакомит читателя с общими свойствами колебательных процессов, происходящих в радиотехнических, оптических, механических и других системах, а также с различными качественными и количественными методами их изучения. Значительное внимание уделено рассмотрению параметрических, автоколебательных и других нелинейных колебательных систем. Изучение описанных в книге колебательных систем и процессов в них приведено известными методами теории колебаний без подробного изложения и обоснования самих методов. Главное внимание уделено выяснению принципиальных особенностей изучаемых колебательных процессов на основе рассмотрения физически обоснованных моделей реальных систем с использованием наиболее адекватных методов анализа. Издательство: "Наука" (1978) Формат: 60x90/16, 392 стр.
на Озоне |
Другие книги схожей тематики:
| Автор | Книга | Описание | Год | Цена | Тип книги |
|---|---|---|---|---|---|
| В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин | Книга знакомит читателя с общими свойствами колебательных процессов, происходящих в радиотехнических, оптических, механических и других системах, а также с различными качественными и количественными… - Наука, (формат: 60x90/16, 392 стр.) | 1978 | 220 | бумажная книга | |
| Я. Г. Пановко | В настоящей монографии изложены основы общей теории упругих колебаний и ударных явлений, возникающих при работе машин. Особое внимание уделяется выявлению физической природы рассматриваемых процессов… - Либроком, (формат: 60x90/16, 274 стр.) | 2015 | 396 | бумажная книга | |
| Пановко Я.Г. | Основы прикладной теории колебаний и удара | В настоящей монографии изложены основы общей теории упругих колебаний и ударных явлений, возникающих при работе машин. Особое внимание уделяется выявлению физической природы рассматриваемых процессов… - URSS, (формат: 84x108/32, 318 стр.) - | 2015 | 507 | бумажная книга |
| Я. Г. Пановко | Основы прикладной теории колебаний и удара | В настоящей монографии изложены основы общей теории упругих колебаний и ударных явлений, возникающих при работе машин. Особое внимание уделяется выявлению физической природы рассматриваемых процессов… - Либроком, (формат: 84x108/32, 318 стр.) | 2015 | 636 | бумажная книга |
| Скубов Д.Ю. | Книга заслуживает внимания как новое инженерное и математическое учебное пособие по современной и активно развивающейся науке - теории нелинейных колебаний, в основе которой лежат математические и… - Лань, - | 2013 | 1007 | бумажная книга | |
| Д. Ю. Скубов | Основы теории нелинейных колебаний. Учебное пособие | Учебники для вузов. Специальная литература | 2013 | 1041 | бумажная книга |
| Д. Ю. Скубов | Основы теории нелинейных колебаний. Учебное пособие | Книга заслуживает внимания как новое инженерное и математическое учебное пособие по современной и активно развивающейся науке - теории нелинейных колебаний, в основе которой лежат математические и… - Лань, (формат: 84x108/32, 318 стр.) Лазерная техника и технология | 2013 | 1210 | бумажная книга |
| Скубов Д. | Основы теории нелинейных колебаний. Учебное пособие | Книга заслуживает внимания как новое инженерное и математическое учебное пособие по современной и активно развивающейся науке - теории нелинейных колебаний, в основе которой лежат математические и… - Лань Спб, (формат: Твердая бумажная, 320 стр.) | 2013 | 1007 | бумажная книга |
| Межлум Сумбатян | Монография посвящена основам теории дифракции в приложении к задачам механики и акустики. Приведены необходимые сведения из математического анализа и теории волновых процессов. Рассмотрены задачи… - Издательская фирма"Физико-математическая литература", (формат: 84x108/32, 318 стр.) электронная книга | 2013 | 688 | электронная книга | |
| Сумбатян М.А. | Основы теории дифракции с приложениями в механике и акустике | Монография посвящена основам теории дифракции в приложении к задачам механики и акустики. Изложены необходимые сведения из математического анализа и теории волновых процессов. Рассмотрены задачи… - Физматлит, (формат: 84x108/32, 318 стр.) - | 2013 | 758 | бумажная книга |
| Сумбатян М.А., Скалия А. | Основы теории дифракции с приложениями в механике и акустике | Монография посвящена основам теории дифракции в приложении к задачам механики и акустики. Изложены необходимые сведения из математического анализа и теории волновых процессов. Рассмотрены задачи… - Физматлит, (формат: 84x108/32, 318 стр.) | 2013 | 951 | бумажная книга |
| Рыков Сергей Петрович | Основы теории неупругого сопротивления в пневматических шинах с приложениями | Рассматриваются вопросы моделирования внутреннего неупругого сопротивления в пневматических шинах, показаны результаты теоретических исследований колебаний рессорной подвески, дается расчет колебаний… - Лань, (формат: 84x108/32, 318 стр.) | 2017 | 2893 | бумажная книга |
| Рыков С.П. | Рассматриваются вопросы моделирования внутреннего неупругого сопротивления в пневматических шинах, показаны результаты теоретических исследований колебаний рессорной подвески, дается расчет колебаний… - Лань, (формат: 84x108/32, 318 стр.) - | 2017 | 1692 | бумажная книга | |
| Рыков С. | Основы теории неупругого сопротивления в пневматических шинах с приложениями. Монография | Рассматриваются вопросы моделирования внутреннего неупругого сопротивления в пневматических шинах, показаны результаты теоретических исследований колебаний рессорной подвески, дается расчет колебаний… - Лань Спб, (формат: Твердая глянцевая, 440 стр.) | 2017 | 1801 | бумажная книга |
| Рыков С.П. | Основы теории неупругого сопротивления в пневматических шинах с приложениями. Монография | Рассматриваются вопросы моделирования внутреннего неупругого сопротивления в пневматических шинах, показаны результаты теоретических исследований колебаний рессорной подвески, дается расчет колебаний… - Лань, (формат: Твердая глянцевая, 440 стр.) Физическая энциклопедия
Устройство, предназначенное для усиления электрических (электромагнитных) колебаний в системах многоканальной связи, радиоприёмной, радиопередающей, измерительной и др. аппаратуре. Такое усиление представляет собой процесс управления… … Большая советская энциклопедия Генерация и усиление эл. магн. колебаний за счёт работы, совершаемой внеш. источниками при периодич. изменении во времени реактивных параметров колебат. системы (ёмкости С и индуктивности L). П. г. и у. э. к. основаны на явлении параметрического… … Физическая энциклопедия Альтернативными теориями гравитации принято называть теории гравитации, существующие как альтернативы общей теории относительности (ОТО) или существенно (количественно или принципиально) модифицирующие ее. К альтернативным теориям гравитации… … Википедия Явление раскачки колебаний при периодич. изменении параметров тех элементов колебат. системы, в к рых сосредоточивается энергия колебаний (реактивные или энергоёмкие параметры). П. р. возможен в колебат. системах различной физ. природы. Напр., в… … Физическая энциклопедия - (франц. resonance, от лат. resono звучу в ответ, откликаюсь), относительно большой селективный (избирательный) отклик колебательной системы (осциллятора) на периодич. воздействие с частотой, близкой к частоте её собств. колебаний. При Р.… … Физическая энциклопедия Электрич. цепь, содержащая катушку индуктивности L, конденсатор С и сопротивление R, в к рой могут возбуждаться электрич. колебания. Если в нек рый момент времени зарядить конденсатор до напряжения V0, то его разряд (при малом R) носит колебат.… … Физическая энциклопедия Лаборант по ультразвуковой технике 3-й разряд - Характеристика работ. Расчет, изготовление, согласование и испытание ультразвуковых преобразователей. Установление оптимальных параметров ультразвуковых колебаний по технологическому и физическому эффекту обработки. Ведение методической… … Единый тарифно-квалификационный справочник работ и профессий рабочих Явление, при к ром автоколебательная система с двумя и более степенями свободы совершает колебания на одной из двух (или нескольких) частот, для каждой из к рых выполнены условия самовозбуждения; причём установление того или иного колебания… … Физическая энциклопедия Энергетич. соотношения, характеризующие взаимодействие колебаний или волн в нелинейных системах с сосредоточенными или распределёнными параметрами. Эти соотношения в совокупности с законами сохранения энергии и импульса определяют характер… … Физическая энциклопедия |
Министерство образования Российской Федерации
Ухтинский государственный технический университет
В.К. Хегай, Д.Н. Левитский,
О.Н. Харин, А.С. Попов
Основы теории колебаний
механических систем
Учебное пособие
Допущено учебно-методическим объединением вузов
по высшему нефтегазовому образованию в качестве учебного
пособия для студентов нефтегазовых вузов, обучающихся
по специальности 090800, 170200, 553600
УДК 534.01
Х-35
Основы теории колебаний механических систем / В.К. Хегай,
Д.Н. Левитский, О.Н. Харин, А.С. Попов. – Ухта: УГТУ, 2002. – 108 с.
ISBN 5-88179-285-8
В учебном пособии рассмотрены основы теории колебаний механических систем, которые опираются на общий курс теоретической механики. Особое внимание уделено применению уравнений Лагранжа второго
ряда. Пособие состоит из шести глав, каждая из которых посвящена определенному типу колебаний. Одна глава посвящена основам теории устойчивости движения и равновесия механических систем.
Для лучшего освоения теоретического материала, в пособии, приведено
большое количество примеров и задач из различных областей техники.
Учебное пособие предназначено для студентов механических специальностей, изучающих курс теоретической механики в полном объеме,
может быть также полезным и для студентов других специальностей.
Рецензенты: кафедра теоретической механики Санкт-Петербургской
государственной лесотехнической академии (зав. кафедрой д. т. н., профессор Ю.А. Добрынин); начальник комплексного отдела бурения «СеверНИПИГаз» к. т. н., доцент Ю.М. Гержберг.
© Ухтинский государственный технический университет, 2002
©Хегай В.К., Левитский Д.Н., Харин О.Н., Попов А.С., 2002
ISBN 5-88179-285-8
3
Оглавление
Предисловие..................................................................................................................... 4
Глава I. Краткие сведения из аналитической механики........................................ 5
1.1 Потенциальная энергия системы............................................................................... 5
1.2. Кинетическая энергия системы................................................................................ 6
1.3. Диссипативная функция............................................................................................ 8
1.4. Уравнение Лангранжа................................................................................................ 9
1.5. Примеры на составление уравнений Лангранжа второго рода............................. 11
Глава II. Устойчивость движения и равновесия консервативных систем......... 20
2.1. Введение...................................................................................................................... 20
2.2. Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра............................................................. 21
2.3. Уравнение возмущенного движения........................................................................ 23
2.4. Теорема Ляпунова об устойчивости движения....................................................... 26
2.5. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия
консервативной системы.................................................................................................. 29
2.6. Устойчивость равновесия консервативной системы с одной
степенью свободы............................................................................................................. 30
2.7. Примеры на устойчивость равновесия консервативной системы......................... 31
Глава III. Свободные колебания системы с одной степенью свободы................. 39
3.1. Свободные колебания консервативной системы
с одной степенью свободы............................................................................................... 39
3.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы при наличии
сил сопротивления, пропорциональных скорости......................................................... 42
3.3. Примеры на свободные колебания системы с одной степенью свободы............. 46
Глава IV. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы........... 59
4.1. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
в случае периодической возмущающей силы................................................................ 59
4.2. Явление резонанса...................................................................................................... 63
4.3. Явление биения.......................................................................................................... 66
4.4. Коэффициент динамичности..................................................................................... 68
4.5. Примеры на вынужденные колебания системы
с одной степенью свободы............................................................................................... 70
Глава V. Свободные колебания системы с двумя степенями свободы................ 78
5.1. Дифференциальные уравнения свободных колебаний системы с двумя
степенями свободы и их общее решение........................................................................ 78
5.2. Собственные формы.................................................................................................. 80
5.3. Примеры на свободное колебание системы с двумя степенями свободы............ 81
Глава VI. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы........ 93
6.1. Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний системы и их
общее решение................................................................................................................... 93
6.2. Динамический гаситель колебаний.......................................................................... 95
6.3. Примеры на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы..... 98
Библиографический список.......................................................................................... 107
4
Предисловие
На современном этапе развития высшей школы в практику преподавания всё шире вводятся проблемные и исследовательские формы обучения.
Динамические процессы в машинах и механизмах имеют определяющее значение как для расчёта на стадии проектирования новых конструкций, так и для определения технологических режимов в процессе эксплуатации. Трудно назвать такую область техники, в которой не были бы
актуальными проблемы изучения упругих колебаний и устойчивости равновесия и движения механических систем. Они представляют особую
важность для инженеров-механиков, работающих в области машиностроения, транспорта и других областях техники.
В пособии рассмотрены некоторые отдельные вопросы из теории
колебаний и устойчивости механических систем. Теоретические сведения
пояснены примерами.
Основное назначение настоящего методического пособия − увязать
область приложений теоретической и аналитической механики с задачами
специальных кафедр, осуществляющих подготовку инженеров-механиков.
5
Глава I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
I.I. Потенциальная энергия системы
Потенциальная энергия системы с s степенями свободы, являясь
энергией положения, зависит только от обобщённых координат
П = П (q1 , q2 ,....., qs) ,
где q j
(j = 1, 2,K , s) – обобщённые координаты системы.
Рассматривая малые отклонения системы от положения устойчивого
равновесия, обобщённые координаты qj можно рассматривать как величины первого порядка малости. Считая, что положение равновесия системы
соответствует началу отсчёта обобщённых координат, разложим выражение потенциальной энергии П в ряд Маклорена по степеням qj
∂П
1 S S ∂2 П
П = П (Ο) + ∑ (
)0 q j + ∑∑ (
)0 qi q j + K .
∂
q
2
∂
q
∂
q
j =1
i =1 j =1
j
i
j
S
Имея в виду, что потенциальная энергия определяется с точностью
до некоторой аддитивной постоянной, потенциальную энергию в положении равновесия можно принять равной нулю
П (0) = 0.
В случае консервативных сил обобщённые силы определяются формулой
∂П
∂q j
(j = 1, 2,K , s) .
Так как при равновесии системы сил
(j = 1, 2,K , s) ,
То условия равновесия консервативной системы сил имеют вид
⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂q j
⎞
⎟⎟ = 0
⎠0
(j = 1, 2,K , s) ,
⎛ ∂П
∑⎜
j =1 ⎜ ∂q
⎝ j
⎞
⎟⎟ q j = 0 .
⎠0
Следовательно,
s
6
Тогда равенство (1.2.) с точностью до членов второго порядка малости принимает вид
1 S S ⎛ ∂2 П
П = ∑∑⎜
2 i =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j
⎞
⎟⎟ qi q j .
⎠0
Обозначим
⎛ ∂2 П
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q j
⎞
⎟⎟ = cij = c ji ,
⎠0
Где cij - обобщённые коэффициенты жёсткости.
Окончательно выражение потенциальной энергии имеет вид
1 S S
П = ∑∑cij qi q j .
2 i =1 j =1
Из (1.9.) видно, что потенциальная энергия системы является однородной квадратичной функцией обобщённых координат.
1.2. Кинетическая энергия системы
Кинетическая энергия системы, состоящей из n материальных точек,
равна
1 n
T = ∑mk vk2 ,
2 k =1
Где mk и vк − масса и скорость k -ой точки системы.
При переходе к обобщённым координатам будем иметь в виду, что
_
(k = 1, 2,..., n) ,
R k (q1 , q2 ,..., qs)
Где r k – радиус-вектор k -ой точки системы.
−
Воспользуемся тождеством vk2 = v k ⋅ v k и заменим вектор скорости
−
V k его значением
_
∂r k
∂q1
∂r k
∂q2
∂r k
∂qs
Тогда выражение для кинетической энергии (1.10) примет вид
7
2
2
2
1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S) ,(1.13)
2
⎛ _
∂ rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k =1
⎝
n
⎛ _
∂ rk
Ass = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k =1
⎝
n
⎞
⎛ _
n
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k =1
⎠
⎝
⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠
_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ mk k ⋅ k ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_
As −1,s = ∑ mk
k =1
∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS
Разлагая каждый из этих коэффициентов в ряд Маклорена по степеням обобщённых координат, получаем
⎛ ∂Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
S
⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0
(i = j = 1, 2,..., s) .
Индекс 0 соответствует значениям функций в положении равновесия. Так как рассматриваются малые отклонения системы от положения
равновесия, то в равенстве (1.14) ограничимся только первыми постоянными членами
(i = j = 1, 2,..., s) .
Aij = (Aij)0 = aij
Тогда выражение для кинетической энергии (1.13) примет вид
2
2
⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠
Или в общем виде
1 S
T= ∑
2 i=1
Постоянные aij – обобщённые коэффициенты инерции.
Из (1.16) видно, что кинетическая энергия системы Т – oднородная
квадратичная функция обобщённых скоростей.
8
1.3. Диссипативная функция
В реальных условиях свободные колебания системы затухают, так
как на её точки действуют силы сопротивления. При наличии сил сопротивления происходит рассеивание механической энергии.
−
Допустим, что силы сопротивления R k (k = 1, 2,..., n) , действующие
на точки системы, пропорциональны их скоростям
_
R k = − µk v k
(k = 1, 2,..., n) ,
Где µ k – коэффициент пропорциональности.
Обобщённые силы сопротивления для голономной системы определяем по формулам
n
Q j R = ∑ Rk
k =1
∂ rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂q j
∂q j
k =1
n
(j = 1, 2,..., s) .
Так как
_
∂ rk
∂ rk
∂ rk
q1 +
q 2 + ... +
qS ,
∂q1
∂q2
∂qS
∂ rk
.
∂q j
Имея в виду (1.18), обобщённые силы сопротивления (1.17) перепишем в виде
n
Q = −∑ µκ vκ
R
j
(j = 1, 2,..., s) .
Введём диссипативную функцию, которая определяется формулой
n
Тогда обобщённые силы сопротивления определяем по формулам
(j = 1, 2,..., s) .
Диссипативную функцию по аналогии с кинетической энергией системы можно представить в виде однородной квадратичной функции
обобщённых скоростей
1 S S
Φ = ∑∑ вij q i q j ,
2 i =1 j =1
Где вij – обобщенные коэффициенты диссипации.
1.4. Уравнение Лагранжа второго рода
Положение голономной системы, имеющей s степеней свободы, определяется s обобщёнными координатами qj (j = 1, 2,..., s) .
Для вывода уравнений Лагранжа второго рода воспользуемся общим
уравнением динамики
S
Q иj)δ q j = 0 ,
Где Qj – обобщённая сила активных сил, соответствующая j-ой обобщённой координате;
Q uj – обобщённая сила сил инерции, соответствующая j-ой обобщённой координате;
δ q j – приращение j -ой обобщённой координаты.
Имея в виду, что все δ q j (j = 1, 2,..., s) между собой независимы,
равенство (1.23) будет справедливо лишь в случае, когда каждый из коэффициентов при δ q j в отдельности будет равен нулю, т.е.
Q j + Qиj = 0 (j = 1, 2,..., s)
или
(j = 1, 2,..., s) .
Выразим Q uj через кинетическую энергию системы.
По определению обобщённой силы , имеем
Q иj = ∑ Φ k
k =1
∂ rk
d vk ∂ r k
= − ∑ mk
⋅
1
=
k
∂q j
dt ∂q j
n
(j = 1, 2,K , s) ,
D vk
где Φ k = − mk a k = − mk
– сила инерции к -ой точки системы.
dt
_
⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_
⎞ _
⎛ _
⎟ − vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝
⎞
⎟,
⎟
⎠
R k = r k (q1 , q2 ,..., qs) ,
_
D rk ∂ rk
∂ rk
∂ rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs ,
dt
∂q1
∂q2
∂q s
_
⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q j
⎝
_
_
⎞
∂
d
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠
Подставляя значения (1.27) и (1.28) в равенство (1.26), находим
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
∂ vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_
_
⎞ _
⎛
∂ vk2
∂
v
d
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝
⎞
2
⎟ − ∂ vk .
⎟⎟ 2∂q j
⎠
С учётом равенства (1.29) выражение (1.25) перепишем в виде
⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
и
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k =1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
n
∂
−
∂q j
⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝
⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k =1
j
⎝
n
⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠
⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k =1
⎠
n
11
Здесь учтено, что сумма производных равна производной от суммы,
n m v2
а ∑ k k = T – кинетическая энергия системы.
k =1
2
Имея в виду равенства (1.24), окончательно находим
⎛
d ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝ j
⎞
⎟ − ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂q j
⎠
(j = 1, 2,K , s) .
Уравнения (1.30) называются уравнениями Лагранжа второго рода.
Число этих уравнений равно числу степеней свободы.
Если силы, действующие на точки системы, имеют потенциал, то
для обобщённых сил справедлива формула
∂П
∂q j
(j = 1, 2,K , s) ,
Где П – потенциальная энергия системы.
Таким образом, для консервативной системы уравнения Лагранжа
