Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

не постигаемое разумом, мышлением, невыразимое в логических понятиях. Понятием “И.” Маркс в “Капитале” обозначает превращенный характер преходящих форм, в к-рых проявляются при определенных социальных условиях глубинные сущностные связи в экономике, культуре и т. п. В иррационализме И.- это особые противоразумные силы, лежащие в основе человеческого духа и даже самого бытия.

Отличное определение

Неполное определение ↓

иррациональное

ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ (от лат. irrationalis - неразумный) - явления и феномены, которые не могут быть рационально познаны или по своей сущности (например, «Бог» или «ничто» в Средние века, «бессознательное» в психоанализе, «подлинная реальность» в эзотерических учениях), или потому, что в данной системе познания выступают как предельные его условия (Разум у Аристотеля, априорные понятия и вещи в себе у Канта, усмотрение сущностей в феноменологии и т. п.). Как правило, к иррациональным представлениям исследователь выходит именно в рамках рационального познания. Например, Иоанн Скот Эриугена, живший в 9 в., фиксируя одно из таких противоречий, пишет: «Неужели высшая, простая и Божественная природа принимает какие-либо акциденции? - Прочь такую мысль! - Неужели она не сообщает какому-либо предмету акциденции: -... И это аксиома. - Стало быть, высшая причина и высшее начало всех вещей, которое есть Бог, не может ни действовать, ни испытывать действие. - Это умозаключение загнало меня в тупик. Если я объявлю его ложным, то сам разум, пожалуй, осмеет меня... Если же я признаю его верным, сколь острым стрелам Священного писания я себя подставляю?» (Цит. по: Неретина С.С. Верующий разум. Архангельск, 1995. С. 235). Иррациональные явления, на это указал Кант, вполне могут быть помыслены, но структура их неизвестна. В одном случае потому, что сами эти явления задаются как непознаваемые или вообще, или частично, напр., Бог или бессознательное. В другом - потому, что исследователь вводит сущности, исходя из которых он объясняет все остальное. Одновременно он обнаруживает, что эти сущности при реализуемом им подходе и ограничениях сами в данной системе взглядов объяснены и поняты до конца не могут быть. В третьем случае потому, что интересующее исследователя явление задается в иррациональной плоскости, как напр., «подлинная реальность» эзотериков; поскольку она постигается на основе мистических или сугубо интуитивных форм познания, рационалисту здесь делать нечего. И., подобно рациональному, полагается исследователем как объект или реальность для своих, в данном случае иррациональных построений. Напр., вводя Разум как живое деятельностное божественное существо, сущность которого есть «мысль о мысли», Аристотель замыкает свою систему философских взглядов и одновременно обосновывает их, подразумевая, что, подобно тому как разум мыслит и созерцает сам себя, Аристотель мыслит и созерцает мышление как таковое. Понять, что такое И., можно лишь в связке «рационализм - иррационализм». В.М. Розин

Отличное определение

Неполное определение ↓

Приветствуем вас, дорогие наши коллеги и читатели! Сегодня мы предлагаем не менее важную тему о двух различных способах действия человека и две его разные реакции на изменения в окружающей среде - это рациональность (J) и иррациональность (Р).

Рациональный человек - оценивает окружающий мир собственноручно созданной мыслью, меняется его мнение - меняется оценка; поведение зависит не от ситуации, а от заранее составленного плана.

Иррациональный человек - поводит себя так, что все зависит от ситуации. Меняются условия - меняется их оценка.

Действия рациональных - последовательны и планомерны, иррациональных - гибкие и импульсивные.

Иррациональный человек принимает и оценивает ситуацию, гибко меняет поведение, непринужденно импульсивно приспосабливается к меняющимся обстоятельствам. Трудно принимает решения, откладывает их, считая, что ситуация разрешится сама и время все расставит на свои места. Не спешит с выводами: чтобы прийти к чему-то, необходимо вызреть и ощутить внутренний толчок - «пора». Его кредо - лабильность и гибкость. Спокойно и легко идет на взаимные уступки.

Действует по ситуации, экспромтом, а не обременяет себя планами. Склонен к поиску альтернатив и разнообразных подходов, выбирает лучший. Справляется с внезапными и критическими ситуациями. Может держать несколько ситуаций под контролем. На данный момент выбирает самую действенную, оптимальную, а при необходимости быстро перестраивается.

К делам заранее не готовится. Может медлить с делами, откладывать их до последней минуты. Возлагается на свое вдохновение, умение импровизировать или на счастливый случай. Доверяет ощущениям. Все действия зависят от настроения. Отвлечение в процессе работы и переключение с одного вида деятельности на другой стимулирует работоспособность. Рассказывает не последовательно, отвлекается на ассоциации.

Обязательство неукоснительно придерживаться плана тревожит его. Эмоции импульсивны, ими трудно управлять. Чувство является причиной поступков. Поэтому не может действовать, пока не охватило какое-то чувство. Ест когда захочет, и то, что на данный момент хочется, понемногу, чтобы только утолить голод, 4 - 6 раз в день.

Стимулом для плодотворной жизни есть все то, что может принести новые впечатления и разнообразие. Экстремальные ситуации вдохновляют. Жизненный стиль отличается гибкостью и непредсказуемостью.

Рациональный человек консервативен, жизненный стиль характеризуется планомерностью и размереностью.

Подчиняет все собственной определенной последовательности, раскладывает «по-полках». Рациональный человек идет своим путем, в другом убедить трудно. В каждой ситуации действует по схеме и плану. Заблаговременно готовит свой план, продуманно и последовательно работает по нему.

Новую работу начинает только после завершения предыдущей, иначе это выбивает из колеи. Придерживается принципов, правил, норм. Стоит на своем, не уступает свои позиции, стремится быть хозяином положения. Следует формальностям, соблюдает порядок, пунктуальность, аккуратность, точность.

Рациональный человек придерживается распорядка на работе и дома, нервничает, когда отвлекают, потому раздражает все случайное, неожиданное, и любая незапланированная смена может вызвать бурную реакцию. Незнакомое равноценное противному.

Если условия и обстоятельства меняются и необходимо перестроиться, напрягается, прикладывая много усилий. Поэтому часто бывает так, что обстоятельства уже изменились, а человек продолжает думать и действовать в соответствии с предварительно установленного плана, что приводит его впоследствии в тупик. Это можно назвать своеобразным "застреванием".

Реагирует на эмоцию эмоцией, на поступок - поступком, причем сразу, без колебаний, на основе жизненного опыта. Кажется более суровым, решительным, эмоции резкие и холодные. Чувство является не причиной поступка, а следствием: после правильного поступка улучшается самочувствие, после неправильного - ухудшается.

Поэтому рациональный человек свои поступки тщательно обдумывает. Приступает к действиям, когда нужно создать какое-то состояние или самочувствие. Ест редко, может и 2 раза в день, но съедает много, пока не почувствует, что давит под горло.

Иррациональное поведение присуще многим личностям. Что это за черта характера? Почему люди позволяют себе такое поведение? лишь разрешение, личное позволение себе не обращать внимания на обстоятельства при принятии решений, не обдумывать их последствия?

Основное понятие

Иррационально - это с философской точки зрения по-особому нравоучающе, отрицающе человеческое начало, в противоположность здравому функционированию разума в постижении мира. Оно допускает существование областей мировоззрения, непонятных для разума, но совершенно допустимых из-за таких качеств, как интуиция, чувство, вера. Поэтому оно характеризует особый характер действительности. Его тенденции в той или иной мере изучали такие философы, как Шопенгауэр, Ницше, Дельтой, Бергсон.

Характеристика нерационального

Иррационально - это образ поведения, присущего свободным людям, которые могут позволить себе не думать о последствиях. Этот способ действия представляет собой которое подразумевает невозможность понимания действительности научными способами. Как объясняют представители этого учения, реальность и ее отдельные производные, такие как жизнь и психологические процессы, не поддаются общепринятым законам. Подобное состояние может быть подвластно только лишь избранным, к примеру, гениям искусства либо некоему сверхчеловеку. По тезисам этого учения, иррациональный человек - это тот индивид, который, нарушая все ранее утвержденные законы, с помощью субъективного мышления способен понять основные законы бытия.

Влияние алогичного поведения на научные исследования

Иррационально - это не по-научному или без логического подхода. Философские учения в этой области подразделяются на такие сферы, как интуиция, психология, созерцание чего-то сверхреального, а также появление у человека необъяснимых, но субъективных переживаний. Все эти факты послужили причиной повторного и более глубокого рассмотрения данного явления. В первую очередь исследователями человеческой психологии, которая в свое время была обделена пристальным и доскональным изучением.

Многие ранние опыты были не приняты за недоказанностью явного проявления иррационального поведения у сотрудников не только научных центров, но и у представителей рационального мышления. Но многие серьезные теоретические проблемы, возникавшие в дальнейшем, заставили ученых в области человека вновь вернуться к изучению алогичной деятельности человека.

Непостижимые действия

Иррациональное поведение - это действие, нацеленное на получение результата без заранее обдуманных поступков и оценки. Такое поведение не имеет предварительно осмысленных возможных вариантов развития ситуации, вопроса или задачи. Обычно оно связанно со спонтанным проявлением чувств, эмоций, которые раздражают либо, наоборот, резко успокаивают мысли, возникающие вследствие душевного порыва.

Обычно такие люди способны видеть действительность за пределами ее логического объяснения и с преимуществом одних доводов другим. Они ориентируются на поступки без заранее подготовленных алгоритмов действий, получивших название "жизненные инструкции". Чаще всего такое поведение основано на вере самого человека в хороший результат выполняемой работы, при полном практическом непонимании, каким же все-таки образом был достигнут требуемый результат. Иногда у людей находится только одно объяснение - благосклонность судьбы.

Зачастую можно заметить, что иррациональное мышление спасает человека от губительной критики собственных действий и поступков. Оно выводит на первый план ту мысль, что индивид уже сталкивался с такой проблемой и в очередной раз решил ее с помощью приобретенного опыта. Хотя проблема возникла впервые, а ее решение было спонтанно и не осознано. Это объясняется тем, что человек ищет ответы в своем подсознании на чувствительном, а также интуитивном уровне, и уже в процессе решения поставленной задачи справляется с ней.

Иррациональное мышление мешает или помогает жить?

Взрослея с каждым днем, человек мыслит все более и более стереотипно. Иррациональное выражение - это речь ребенка. Только малыш может себе позволить мыслить в подобном русле, опираясь на знания, заложенные в него еще с детства, а затем все время подкрепляемые, и добавленные новые, полученные позже.

В размышлениях и полученных выводах, как и во всех остальных глобальных законах этого мира, действует правило сохранения энергии. Мыслить по стереотипной схеме зачастую бывает выгодно: тратится меньше сил и необходимого времени. И хорошо, если полученные знания в детстве правильные, тогда человек решает поставленную задачу верным путем. Но если знания иррациональные, тогда человеку повезло в меньшей мере. Основные факторы, почему такие мысли препятствуют правильному мышлению:

• они спонтанны;
• уводят человека от основной его деятельности;
• зачастую срабатывают в ненужных ситуациях;
• являются причиной появления тревоги и раздражительности.

Чем быстрее человек избавится от алогичности в своем мышлении и поступках, тем скорее в его жизни перестанут происходить отрицательные события, психика укрепится, а функциональная деятельность улучшится. Иррационально - это неправильно для человека здравомыслящего.

Иррациональность как качество личности – склонность к поведению, которое не может быть постигнуто и объяснено разумом, которое явно не подчиняется законам логики, что оценивается как «сверхразумное», «противоразумное».

Когда Мастер заметил, что вера посетителя слишком иррациональна, тот напыщенно ответил: — Я потому и верую, что моя вера иррациональна. — А может, лучше сказать: я верую, потому что я сам иррационален?

— Дорогой, а правда, что любовь — чувство иррациональное? — Правда. — Тогда скажи мне что-нибудь такое, совсем-совсем иррациональное… — Ммм… Нууу… А, вот! Корень из минус единицы, деленный на ноль.

Действительно, любовь и милость иррациональна. Любви, нежности, ласке, милости не требуется рациональности:

К императору Наполеону пришла мать одного солдата, осужденного на смерть, и просила о помиловании. - Он осужден по справедливости, - сурово сказал император. - Я пришла просить не справедливости, а милости. - Ваш сын не заслужил милости. - Государь, - тихо сказала мать, - милость не заслуживается, её оказывают. Поэтому я и прошу о помиловании. Эти слова глубоко тронули сердце Наполеона, и преступник был прощён.

Милость выше справедливости. Справедливость рациональна и условна. В отличие от справедливости - способности по-божески, беспристрастно следовать правде, истине в своих поступках и мнениях; действовать на законных и честных основаниях, милость иррациональна. Милость зависит исключительно от творящего милость. Милость – это то, что иррационально, основано, как в случае с Наполеоном, на прихоти, капризе. Справедливость, рациональность попадают под юрисдикцию закона. А иррациональное, что это такое? Это отсутствие соображений, заботы о законе. Это иррационально. Иррациональное не поддается расчету, регуляции, закону. Оно не следует законам логики и не может быть постигнуто разумом.

Иррациональный человек ведёт себя, с точки зрения рациональности, неразумно, его поведение ориентировано на достижение целей без тщательной предварительной оценки сложившейся ситуации и существующих возможностей. Иррациональность подразумевает по большей части необдуманное проявление (мысль, идею, чувство, решение, поступок) человека, основанное на чувственном или интуитивном порыве.

Иррациональный человек в большинстве случаев воспринимает окружающую действительность и моделирует решения вне логического обоснования преимуществ одних решений по отношению к возможным другим решениям и не ориентируется в своей деятельности на заранее разработанный алгоритм действий (инструкцию). Чаще всего иррациональное поведение держится на вере человека в позитивном результате при практически полном непонимании, какими именно средствами и методами желаемый результат будет достигаться.

Принцип иррациональности защищает человека от разрушительной критики собственных мотивов, когда он избегает тщательного предварительного и осознанного моделирования своих действий и поступков, включая оценку перспектив, основанную на существующем опыте. Иррациональное поведение использует ресурсы подсознания, находя нужные ответы и решения спонтанно и непроизвольно уже в процессе активной деятельности.

Иррациональные анекдоты.

Сидит мужик на беpегу Hила и pыбу ловит. Жаpа жуткая, духота, пекло, да еще и pыба не ловится… Час сидит мужик, два сидит, а pыба все не ловится. Вдpуг всплывает кpокодил (К) и так у мужика (М) участливо спpашивает: (К) — Что, жаpко? (М) — Угу… (К) — Душно? (М) — Угу… (К) — (с надеждой…) Может, тогда искупнешься?

Лежат две курицы в магазине на прилавке, одна наша (русская) другая импортная (американская): Импортная на нашу смотрит и говорит: — Вот посмотри на меня, я хоть вся на ГМО, но такая жирненькая лежу, в такой красивой упаковке, хорошо общипанная, а ты такая худая, не общипанная, синяя. А наша ей в ответ: — Зато я своей смертью умерла!!!

Иррациональность – Непостижимое поведение. Психолог Виктория Колосова пишет: «Иррациональное поведение — это действие, нацеленное на получение результата без заранее обдуманных поступков и оценки. Такое поведение не имеет предварительно осмысленных возможных вариантов развития ситуации, вопроса или задачи. Обычно оно связанно со спонтанным проявлением чувств, эмоций, которые раздражают либо, наоборот, резко успокаивают мысли, возникающие вследствие душевного порыва. Обычно такие люди способны видеть действительность за пределами ее логического объяснения и с преимуществом одних доводов другим. Они ориентируются на поступки без заранее подготовленных алгоритмов действий, получивших название «жизненные инструкции». Чаще всего такое поведение основано на вере самого человека в хороший результат выполняемой работы, при полном практическом непонимании, каким же все-таки образом был достигнут требуемый результат. Иногда у людей находится только одно объяснение — благосклонность судьбы.

В размышлениях и полученных выводах, как и во всех остальных глобальных законах этого мира, действует правило сохранения энергии. Мыслить по стереотипной схеме зачастую бывает выгодно: тратится меньше сил и необходимого времени. И хорошо, если полученные знания в детстве правильные, тогда человек решает поставленную задачу верным путем. Но если знания иррациональные, тогда человеку повезло в меньшей мере. Основные факторы, почему такие мысли препятствуют правильному мышлению: они спонтанны; уводят человека от основной его деятельности; зачастую срабатывают в ненужных ситуациях; являются причиной появления тревоги и раздражительности. Чем быстрее человек избавится от алогичности в своем мышлении и поступках, тем скорее в его жизни перестанут происходить отрицательные события, психика укрепится, а функциональная деятельность улучшится. Иррационально — это неправильно для человека здравомыслящего».

Вот яркий образец иррационального поведения:

В приемной женщина. На вид лет 45. Не модель, отнюдь. Юбка сатиновая, кофта вязаная. На ногах стоптанные туфли. В руках сумка из того же материала в том же состоянии. — Здравствуйте. Проконсультируйте меня, пожалуйста. Я хочу провести генетическую экспертизу отцовства своего ребенка. — А что, у вас есть сомнения? Сколько лет ребенку? — 15 лет, дочка.

Интересное кино… То есть 15 лет у дамы сомнений не было в том кто отец ребенка. А тут обуяло ее. Хотя чего только в жизни не случается. Может война какая, пропал отец при распаде СССР, еще чего… А тут объявился. Ну и хочет с чадом воссоединиться. Однако странно. Кольцо обручальное у дамы имеется. — Вы хотите подтвердить отцовство для мужа? — Нет. Я хочу установить отцовство и подать в суд на алименты к биологическому отцу. За все 15 лет. — Хм… А в свидетельстве о рождении отцом записан ваш муж? — Ну да… — А он знает о ваших сомнениях? — Ну нет… — Ваш муж отказывается содержать ребенка? — Нет, что вы, он ее очень любит! — То есть при живом муже, который юридически признает себя отцом вашего ребенка и не отказывается от своих обязанностей, вы хотите доказать что биологический отец вашей дочери другой мужчина? — Ну да… — Я так понимаю, у биологического отца резко улучшилось материальное положение? — Эта.. ну.. ну да. Он фирму открыл, машины ремонтирует. Джип купил, дом построил, женился. Так что ж теперь, эта лохудра все получит, а мне значит ничего? — А вы знаете, что если вы докажете, что биологическим отцом вашего ребенка является другой человек, то ваш муж может в свою очередь подать в суд на вас о взыскании средств, потраченных им на содержание чужого ребенка? — Ой… А что, может? Ой, извините, я пойду… Суетливо убегает из комнаты, дверь качается на сквозняке…

Иррациональный анекдот:

Идет по Лондону мужик с сапогом на голове. Его останавливается полицейский: — Почему вы с сапогом на голове, сэр?! — Я всегда по средам гуляю с сапогом на голове! — Хорошо, но сегодня четверг! — Боже, тогда я выгляжу как дурак!!!

Петр Ковалев 2015 год

Материал этой статьи представляет собой начальную информацию про иррациональные числа . Сначала мы дадим определение иррациональных чисел и разъясним его. Дальше приведем примеры иррациональных чисел. Наконец, рассмотрим некоторые подходы к выяснению, является ли заданное число иррациональным или нет.

Навигация по странице.

Определение и примеры иррациональных чисел

При изучении десятичных дробей мы отдельно рассмотрели бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби возникают при десятичном измерении длин отрезков, несоизмеримых с единичным отрезком. Также мы отметили, что бесконечные непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби (смотрите перевод обыкновенных дробей в десятичные и обратно), следовательно, эти числа не являются рациональными числами , они представляют так называемые иррациональные числа.

Так мы подошли к определению иррациональных чисел .

Определение.

Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами .

Озвученное определение позволяет привести примеры иррациональных чисел . Например, бесконечная непериодическая десятичная дробь 4,10110011100011110000… (количество единиц и нулей каждый раз увеличивается на одну) является иррациональным числом. Приведем еще пример иррационального числа: −22,353335333335… (число троек, разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается на две).

Следует отметить, что иррациональные числа достаточно редко встречаются именно в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Обычно они встречаются в виде , и т.п., а также в виде специально введенных букв. Самыми известными примерами иррациональных чисел в такой записи являются арифметический квадратный корень из двух , число «пи» π=3,141592… , число e=2,718281… и золотое число .

Иррациональные числа также можно определить через действительные числа , которые объединяют рациональные и иррациональные числа.

Определение.

Иррациональные числа – это действительные числа, не являющиеся рациональными.

Является ли данное число иррациональным?

Когда число задано не в виде десятичной дроби, а в виде некоторого , корня, логарифма и т.п., то ответить на вопрос, является ли оно иррациональным, во многих случаях достаточно сложно.

Несомненно, при ответе на поставленный вопрос очень полезно знать, какие числа не являются иррациональными. Из определения иррациональных чисел следует, что иррациональными числами не являются рациональные числа. Таким образом, иррациональными числами НЕ являются:

• конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Также не является иррациональным числом любая композиция рациональных чисел, связанных знаками арифметических операций (+, −, ·, :). Это объясняется тем, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел является рациональным числом. Например, значения выражений и являются рациональными числами. Здесь же заметим, что если в подобных выражениях среди рациональных чисел содержится одно единственное иррациональное число, то значение всего выражения будет иррациональным числом. Например, в выражении число - иррациональное, а остальные числа рациональные, следовательно - иррациональное число. Если бы было рациональным числом, то из этого следовала бы рациональность числа , а оно не является рациональным.

Если же выражение, которым задано число, содержит несколько иррациональных чисел, знаки корня, логарифмы, тригонометрические функции, числа π , e и т.п., то требуется проводить доказательство иррациональности или рациональности заданного числа в каждом конкретном случае. Однако существует ряд уже полученных результатов, которыми можно пользоваться. Перечислим основные из них.

Доказано, что корень степени k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k-ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень задает иррациональное число. Например, числа и - иррациональные, так как не существует целого числа, квадрат которого равен 7 , и не существует целого числа, возведение которого в пятую степень дает число 15 . А числа и не являются иррациональными, так как и .

Что касается логарифмов, то доказать их иррациональность иногда удается методом от противного. Для примера докажем, что log 2 3 является иррациональным числом.

Допустим, что log 2 3 рациональное число, а не иррациональное, то есть его можно представить в виде обыкновенной дроби m/n . и позволяют записать следующую цепочку равенств: . Последнее равенство невозможно, так как в его левой части нечетное число , а в правой части – четное. Так мы пришли к противоречию, значит, наше предположение оказалось неверным, и этим доказано, что log 2 3 - иррациональное число.

Заметим, что lna при любом положительном и отличном от единицы рациональном a является иррациональным числом. Например, и - иррациональные числа.

Также доказано, что число e a при любом отличном от нуля рациональном a является иррациональным, и что число π z при любом отличном от нуля целом z является иррациональным. К примеру, числа - иррациональные.

Иррациональными числами также являются тригонометрические функции sin , cos , tg и ctg при любом рациональном и отличном от нуля значении аргумента. Например, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , являются иррациональными числами.

Существуют и другие доказанные результаты, на мы ограничимся уже перечисленными. Следует также сказать, что при доказательстве озвученных выше результатов применяется теория, связанная с алгебраическими числами и трансцендентными числами .

В заключение отметим, что не стоит делать поспешных выводов относительно иррациональности заданных чисел. К примеру, кажется очевидным, что иррациональное число в иррациональной степени есть иррациональное число. Однако это не всегда так. В качестве подтверждения озвученного факта приведем степень . Известно, что - иррациональное число, а также доказано, что - иррациональное число, но - рациональное число. Также можно привести примеры иррациональных чисел, сумма, разность, произведение и частное которых есть рациональные числа. Более того, рациональность или иррациональность чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e и многих других до сих пор не доказана.

Список литературы.

• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.