Приближенные методы решения уравнений. Приближенное решение алгебраических уравнений. Анализ полученных результатов
Цель: способствовать развитию навыка решать уравнения графическим способом с помощью электронных таблиц.
Ход урока:
Организационный момент (2 мин)
Актуализация знаний (8 мин)
2) Дайте определение электронной таблицы.
Адрес ячейки.
Ввод формул
Логические функции
Изучение нового материала (10 мин)
Практическая работа № 51 (20 мин)
Домашнее задание (2 мин)
Итоги урока (3 мин)
Тема :
Оборудование: компьютерный класс, проектор
Ход урока:
1) Применение электронных таблиц
Адрес ячейки.
Основные типы данных электронных таблиц.
Текст в электронных таблицах.
Ввод формул
Относительные, абсолютные и смешанные ссылки.
Какие категории встроенных функций вам известны?
Приведите примеры математических функций.
Логические функции
3. Изучение нового материала (10 мин)
Найдем в электронных таблицах корень уравнения x 3 – cos x = 0, используя метод подбора параметра. Ведем значения аргумента – 1,4 до 1,4 с шагом 0, 2
4. Практическая работа № 51 (20 мин)
2) С помощью электронной таблицы решить уравнение cos(x)=1/(x+1) на отрезке с точностью 1 графическим способом и используя метод подбора параметра.
5. Домашнее задание (2 мин)
Подготовить уравнения для решения графическим способом и методом подбора параметра.
Итоги урока (3 мин)
Тема : Приближенное решение уравнений методом подбора параметра.
Цель: способствовать развитию навыка решать уравнения, используя метод подбора параметра.
Оборудование: компьютерный класс, проектор
Ход урока:
1. Организационный момент (2 мин)
2. Актуализация знаний (8 мин)
1) Применение электронных таблиц
2) Дайте определение электронной таблицы.
Адрес ячейки.
Основные типы данных электронных таблиц.
Текст в электронных таблицах.
Ввод формул
Относительные, абсолютные и смешанные ссылки.
Какие категории встроенных функций вам известны?
Приведите примеры математических функций.
Логические функции
3. Практическая работа № 51 (30 мин)
1) Найти в электронных таблицах корень уравнения x 2 = cos x , используя метод подбора параметра. Ведем значения аргумента – 3 до 3 с шагом 0, 2
Решить уравнение sinx - 2x = 0, используя метод подбора параметра. Значения аргумента – -3 до 3 с шагом 0,5
на отрезке с точностью 1 графическим способом и используя метод подбора параметра.
5. Домашнее задание (2 мин)
Например:
Поставим задачу отыскать действительные корни данного уравнения.
А таковые точно есть! – из статей о графиках функций и уравнениях высшей математики вы хорошо знаете, что график функции-многочлена нечётной степени хотя бы один раз пересекает ось , следовательно, наше уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень. Один. Или два. Или три.
Сначала напрашивается проверить, наличие рациональных корней. Согласно соответствующей теореме , на это «звание» могут претендовать лишь числа 1, –1, 3, –3, и прямой подстановкой легко убедиться, что ни одно из них «не подходит». Таким образом, остаются иррациональные значения. Иррациональный корень (корни) многочлена 3-й степени можно найти точно (выразить через радикалы) с помощью так называемых формул Кардано , однако этот метод достаточно громоздок. А для многочленов 5-й и бОльших степеней общего аналитического метода не существует вовсе, и, кроме того, на практике встречается множество других уравнений, в которых точные значения действительных корней получить невозможно (хотя они существуют).
Однако в прикладных (например, инженерных) задачах более чем допустимо использовать приближённые значения, вычисленные с определённой точностью .
Зададим для нашего примера точность . Что это значит? Это значит, что нам нужно отыскать ТАКОЕ приближённое значение корня (корней) , в котором мы гарантированно ошибаемся, не более чем на 0,001 (одну тысячную) .
Совершенно понятно, что решение нельзя начинать «наобум» и поэтому на первом шаге корни отделяют
. Отделить корень – это значит найти достаточно малый (как правило, единичный) отрезок, которому этот корень принадлежит, и на котором нет других корней. Наиболее прост и доступен графический метод отделения корней
. Построим поточечно
график функции :
Из чертежа следует, что уравнение , судя по всему, имеет единственный действительный корень , принадлежащий отрезку . На концах данного промежутка функция принимает значения разных знаков: , и из факта непрерывности функции на отрезке
сразу виден элементарный способ уточнения корня: делим промежуток пополам и выбираем тот отрезок, на концах которого функция принимает разные знаки. В данном случае это, очевидно, отрезок . Делим полученный промежуток пополам и снова выбираем «разнознаковый» отрезок. И так далее. Подобные последовательные действия называют итерациями
. В данном случае их следует проводить до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности вычислений , и за приближённое значение корня следует выбрать середину последнего «разнознакового» отрезка.
Рассмотренная схема получила естественное название – метод половинного деления . И недостаток этого метода состоит в скорости. Медленно. Очень медленно. Слишком много итераций придётся совершить, прежде чем мы достигнем требуемой точности. С развитием вычислительной техники это, конечно, не проблема, но математика – на то и математика, чтобы искать наиболее рациональные пути решения.
И одним из более эффективных способов нахождения приближённого значения корня как раз и является метод касательных
. Краткая геометрическая суть метода состоит в следующем: сначала с помощью специального критерия (о котором чуть позже)
выбирается один из концов отрезка. Этот конец называют начальным
приближением корня, в нашем примере: . Теперь проводим касательную к графику функции в точке с абсциссой (синяя точка и фиолетовая касательная)
:
Данная касательная пересекла ось абсцисс в жёлтой точке, и обратите внимание, что на первом шаге мы уже почти «попали в корень»! Это будет первое
приближение корня . Далее опускаем жёлтый перпендикуляр к графику функции и «попадаем» в оранжевую точку. Через оранжевую точку снова проводим касательную, которая пересечёт ось ещё ближе к корню! И так далее. Нетрудно понять, что, используя метод касательных, мы приближаемся к цели семимильными шагами, и для достижения точности потребуется буквально несколько итераций.
Поскольку касательная определяется через производную функции , то этот урок попал в раздел «Производные» в качестве одного из её приложений. И, не вдаваясь в подробное теоретическое обоснование метода , я рассмотрю техническую сторону вопроса. На практике описанная выше задача встречается примерно в такой формулировке:
Пример 1
С помощью графического метода найти промежуток , на котором находится действительный корень уравнения . Пользуясь методом Ньютона, получить приближенное значение корня с точностью до 0,001
Перед вами «щадящая версия» задания, в которой сразу констатируется наличие единственного действительного корня.
Решение : на первом шаге следует отделить корень графически. Это можно сделать путём построения графика (см. иллюстрации выше) , но такой подход обладает рядом недостатков. Во-первых, не факт, что график прост (мы же заранее не знаем) , а программное обеспечение – оно далеко не всегда под рукой. И, во-вторых (следствие из 1-го) , с немалой вероятностью получится даже не схематичный чертёж, а грубый рисунок, что, разумеется, не есть хорошо.
Ну а зачем нам лишние трудности? Представим уравнение
в виде , АККУРАТНО построим графики и отметим на чертеже корень («иксовую» координату точки пересечения графиков)
:
Очевидное преимущество этого способа
состоит в том, что графики данных функций строятся от руки значительно точнее и намного быстрее. Кстати, заметьте, что прямая
пересекла кубическую параболу
в единственной точке, а значит, предложенное уравнение и в самом деле имеет только один действительный корень. Доверяйте, но проверяйте;-)
Итак, наш «клиент» принадлежит отрезку и «на глазок» примерно равен 0,65-0,7.
На втором шаге
нужно выбрать начальное приближение
корня. Обычно это один из концов отрезка. Начальное приближение должно удовлетворять следующему условию:
Найдём первую
и вторую
производные функции :
и проверим левый конец отрезка:
Таким образом, ноль «не подошёл».
Проверяем правый конец отрезка:
– всё хорошо! В качестве начального приближения выбираем .
На третьем шаге
нас ожидает дорога к корню. Каждое последующее приближение корня рассчитывается на основании предшествующих данных с помощью следующей рекуррентной
формулы:
Процесс завершается при выполнении условия , где – заранее заданная точность вычислений. В результате за приближённое значение корня принимается «энное» приближение: .
На очереди рутинные расчёты:
(округление обычно проводят до 5-6 знаков после запятой)
Поскольку полученное значение больше , то переходим к 1-му приближению корня:
Вычисляем:
, поэтому возникает потребность перейти ко 2-му приближению:
Заходим на следующий круг:
, таким образом, итерации закончены, и в качестве приближённого значения корня следует взять 2-е приближение, которое в соответствии с заданной точностью нужно округлить до одной тысячной:
На практике результаты вычислений удобно заносить в таблицу, при этом, чтобы несколько сократить запись, дробь часто обозначают через :
Сами же вычисления по возможности лучше провестив Экселе – это намного удобнее и быстрее:
Ответ : с точностью до 0,001
Напоминаю, что эта фраза подразумевает тот факт, что мы ошиблись в оценке истинного значения корня не более чем на 0,001. Сомневающиеся могут взять в руки микрокалькулятор и ещё раз подставить приближенное значение 0,674 в левую часть уравнения .
А теперь «просканируем» правый столбец таблицы сверху вниз и обратим внимание, что значения неуклонно убывают по модулю. Этот эффект называют сходимостью метода, которая позволяет нам вычислить корень со сколь угодно высокой точностью. Но сходимость имеет место далеко не всегда – она обеспечивается рядом условий , о которых я умолчал. В частности, отрезок, на котором изолируется корень, должен быть достаточно мал – в противном случае значения будут меняться беспорядочным образом, и мы не сможем завершить алгоритм.
Что делать в таких случаях? Проверить выполнение указанных условий (см. выше по ссылке) , и при необходимости уменьшить отрезок. Так, условно говоря, если бы в разобранном примере нам не подошёл промежуток , то следовало бы рассмотреть, например, отрезок . На практике мне такие случаи встречались , и этот приём реально помогает! То же самое нужно сделать, если оба конца «широкого» отрезка не удовлетворяют условию (т.е. ни один из них не годится на роль начального приближения) .
Но обычно всё работает, как часы, хотя и не без подводных камней:
Пример 2
Определить графически количество действительных корней уравнения , отделить эти корни и применяя способ Ньютона, найти приближенные значения корней с точностью
Условие задачи заметно ужесточилось: во-первых, в нём содержится толстый намёк на то, что уравнение имеет не единственный корень, во-вторых, повысилось требование к точности, и, в-третьих, с графиком функции совладать значительно труднее.
А поэтому решение
начинаем со спасительного трюка: представим уравнение в виде и изобразим графики :
Из чертежа следует, что наше уравнение имеет два действительных корня:
Алгоритм, как вы понимаете, нужно «провернуть» дважды. Но это ещё на самый тяжелый случай, бывает, исследовать приходится 3-4 корня.
1) С помощью критерия выясним, какой из концов отрезка выбрать в качестве начального приближения первого корня. Находим производные функции :
Тестируем левый конец отрезка:
– подошёл!
Таким образом, – начальное приближение.
Уточнение корня проведем методом Ньютона, используя рекуррентную формулу:
– до тех пор, пока дробь по модулю
не станет меньше требуемой точности:
И здесь слово «модуль» приобретает неиллюзорную важность, поскольку значения получаются отрицательными:
По этой же причине следует проявить повышенное внимание при переходе к каждому следующему приближению:
Несмотря на достаточно высокое требование к точности, процесс опять завершился на 2-м приближении: , следовательно:
С точностью до 0,0001
2) Найдем приближённое значение корня .
Проверяем на «вшивость» левый конец отрезка:
, следовательно, он не годится в качестве начального приближения.
Действительные корни уравнения f(x)=0 (как алгебраического, так и трансцендентного) можно приближенно найти графически или посредством отделения корней. Для графического решения уравнения f(x)=0 строят график функции у=f(x); абсциссы точек пересечения и точек касания графика с осью абсцисс являются корнями уравнения. Метод отделения корней состоит в том, что находят таких два числа a и b, при которых функция f(x), предполагаемая непрерывной, имеет различные знаки - в этом случае между а и b заключен, по крайней мере, один корень; если производная f"(x) сохраняет знак в интервале от а до b, значит, f(x) - монотонная функция, то этот корень единственный (рис. 1).
Рисунок 1.
Более совершенными приемами, позволяющими найти корень с любой точностью, являются следующие. Пусть найдены такие два значения аргумента х=а, x=b (а
По способу хорд: значение корня х 1 уравнения f(х) = 0 в интервале [а, b] в первом приближении находится по формуле
Затем выбирается тот из интервалов , , на концах которого значения f(x) имеют различные знаки и находится корень х 2 во втором приближении по той же формуле, но с заменой числа х 1 на х 2 , а числа b или а на x 1 (в зависимости от того, взят ли интервал или [х 1 , b]). Аналогично находятся последующие приближения (рис. 2).
Рисунок 2.
По способу касательных (или способу Ньютона) рассматривают тот из концов интервала [а, b], где f(x) и f""(х) имеют одинаковые знаки (рис. 3).
Рисунок 3.
В зависимости от того, выполняется ли это условие на конце х=а или на конце х=b, значение корня x 1 в первом приближении определяется по одной из формул
Затем рассматривается интервал (если была использована первая из указанных формул) или (если была использована вторая формула) и аналогичным путем находится значение корня x 2 по второму приближению и т. д.
Совместное применение способа хорд и способа касательных заключается в следующем. Устанавливают, на каком конце интервала [а, b] величины f(x) и f"(x) имеют одинаковые знаки. Для этого конца интервала применяют соответственно одну из формул способа касательных, получая значение x 1 . Применяя для одного из интервалов , формулу по способу хорд, получают значение x 2 . Затем таким же образом проводят вычисления для интервала и т. д.
Пример 1:
y=f(х)=х 3 +2х-6=0. Путем проб находим 1,4<х< 1,5. Определяем корень по способу хорд: a=1,4; f(a)=-0,456; b=1,5; f(b)=0,375.
Первое приближение:
Повторяем операцию, заменяя значения а, f(a) на x 1 =1,455; f(x 1)=-0,010.
Второе приближение:
Пример 2: x-1,5 cos x=0. Первое приближение находим с помощью табл. 1.35 : если задаться x 1 =0,92, то cos x 1 =0,60582 и 0,92≈1,5?0,61. Уточняем корень по способу касательных: y"=1+1,5 sin x; y""=1,5 cos x. По той же таблице имеем:
Окончательно
К приближенным приемам решения уравнений относится также способ итераций. Он состоит в том, что каким-либо способом уравнение приводится к виду x=φ(x). Найдя приближенно х 1 , подставляют найденное значение в правую часть уравнения и находят уточненные приближенные значения x 2 =φ(x 1), x 3 =φ(x 2) и т.д.; числа х 2 , х 3 , … приближаются к искомому корню (процесс сходится), если?φ?(х)?<1.
Отделение корнейПусть дано уравнение f(x)=0, (1)
где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a≤x≤b.
Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).
Число ξ называется корнем k-ой кратности, если при x= ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно
f(ξ) = f’(ξ) = … = f k -1 (ξ) = 0
Однократный корень называется простым.
Приближенное нахождение корней уравнения (1) обычно складывается из двух этапов:
1. Отделение корней, то есть установление интервалов [α i ,β i ], в которых содержится один корень уравнения (1).
2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.
Для отделения корней полезна след. теорема:
Теорема 1.
Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка , то есть f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0, то есть найдется хотя бы одно число , такое, что f(ξ)=0.
Корень заведомо единственный, если f ‘(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала .
Доказательство:
Пусть для определенности f(a)<0, f(b)>0. Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка ξ в интервале (ξ 1 , ξ 2) (a< ξ 1 < ξ< ξ 2 f(ξ 1)<0, f(ξ 2)>0. (2)
В силу непрерывности функции для каждого сколь угодно малого δ>0 всегда найдется число ε>0 такое, что при | ξ 1 - ξ 2 |<ε выполняется |f 1 – f 2 |<δ, где f i =f(ξ i); i=1,2. Из условия (3.2) и условия |f 1 – f 2 |<δ следует, что |f 1 |<δ и |f 2 |<δ. Поскольку f 1 <0, а f 2 >0 и f(x) непрерывна, то следовательно существует предел или f(ξ)=0 и таким образом, первая часть теоремы доказана.
Далее, если f ‘(x) сохраняет знак на то она будет монотонна, то есть для любых x 1
Рассмотрим графический или табличный способ отделения корней. В заданном интервале задается сетка a=x 1
Пример №1
. Определить корни уравнения f(x) = x 3 – 6x +2 = 0
Решение:
Составляем приблизительную схему.
x | -∞ | -3 | -1 | 0 | 1 | 3 | ∞ |
f(x) | - | - | + | + | - | + | + |
Для графического решения уравнения (3.3) удобно заменить (3.3) эквивалентным уравнением
f 1 (x) = f 2 (x) или x 3 = 6x-2, то есть
f(x 1) = x 3 ,
f 2 (x) = 6x-2.
То значение x=ξ, при которых f 1 (ξ) = f 2 (ξ) и будет являться корнем уравнения (3.3).
Пример №2
. x*lg(x)=1.
Решение:
,
ξ ≈ 2.5.
Итак, мы выделили интервалы, в которых содержится единственный корень. Рассмотрим теперь методы уточнения корней.
Прежде чем перейти к методам уточнения корней, дадим определение сходимости последовательности чисел (или сходимости итерационного процесса).
Определение 1.
Если выполняется неравенство
, (4)
то говорят, что последовательность {x k } линейно сходится к пределу ξ. Здесь α - коэффициент сходимости. Если α → 0, то имеем суперлинейную сходимость.
Определение 2.
Если существует такое r>1 (r=2,3,…), что , (5)
то последовательность {x k } имеет сходимость порядка r . Здесь c = const .
Максимум в (4) и (5) берется по всем последовательностям {x k }.
Пример №3 . Отделить корни уравнения f(x), используя графико-аналитический метод. Найти корни уравнения с заданной точностью методами бисекций, Ньютона или простых итераций. Выполнить проверку правильности найденных решений, вычислив невязки.