Статистика дарбина уотсона используется для линеаризации. Алгоритм выявления автокорреляции остатков по критерию Дарбина - Уотсона. С помощью пакетов прикладных программ Excel
Министерство образования и науки Республики Казахстан Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова
Факультет экономический
Кафедра информационных систем
Дисциплина: Эконометрика
На тему: Автокорреляция в остатках.
Критерий Дарбина-Уотсона
Выполнила: студентка 2 курса
050509-Финансы,08-501-45 группы
Бимурзина Бахытгуль
Проверил: Жуаспаев Т.А.
Костанай,2010 год
1.Критерий Дарбина-Уотсона.
2.Уравнение автокорреляции в остатках путем расчета критерия Дарбина-Уотсона.
1. Критерий Дарбина-Уотсона (или DW-критерий) - статистический критерий, используемый для нахождения автокорреляции остатков первого порядка регрессионной модели. Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по следующей формуле:
где ρ 1 - коэффициент автокорреляции первого порядка.
В случае отсутствия автокорреляции ошибок d = 2, при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной стремится к 4:
На практике применение критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k и уровня значимости α.
Если d d L , то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);
Если d > d U , то гипотеза не отвергается;
Если d L d d U , то нет достаточных оснований для принятия решений.
Когда расчетное значение d превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент d , а выражение (4 − d ).
Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами . В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.
Недостатки:
Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
Даёт достоверные результаты только для больших выборок ] .
Критерий h Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:
где n - число наблюдений в модели;
V - стандартная ошибка лаговой результативной переменной.
При увеличении объёма выборки распределение h -статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h -статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения.
Критерий Дарбина-Уотсона для панельных данных
Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина-Уотсона:
В отличие от критерия Дарбина-Уотсона для временных рядов в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности, для панелей с большим количеством индивидуумов.
2. Рассмотрим уравнение регрессии вида:
y t = a + ∑ b j ⋅ x jt + ε t
Для каждого момента (периода) времени t = 1,..., n значение компоненты εt
определяется из соотношения
ε t = y t − y t = y t − (a + ∑ b j ⋅ x jt).
Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками
МНК остатки εt должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Что свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.
Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами,
имеющими различную природу:
1) наличие ошибок измерения в значениях результативного признака;
2) модель может не включать фактор, окапывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факто-
ров могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель;
3) модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное
влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний;
4) неправильная спецификация функциональной формы модели. В этом
случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков,
а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.
Существуют два наиболее распространенных метода определения авто-
корреляции остатков.
Первый метод - это построение графика зависимости остатков от време-
ни и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.
Второй метод – использование критерия Дарбина - Уотсона и расчет
величины
∑ (ε t − ε t −1)2
Величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Практически во всех статистических ППП значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значения-
ми t- и F-критериев.
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как
∑ (ε t − ε 1)(ε t −1 − ε 2)
Между критерием Дарбина–Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет место следующее соотношение:
d ≈ 2 ⋅ (1 − r1ε).
Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и rε1 = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то rε1 = – 1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то rε1 = 0 и d = 2. Следовательно,
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина–Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина–Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков.
Если фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона попадает в зону
неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0.
y t = a + b ⋅ xt + ε t ;
Примем некоторые допущения относительно этого уравнения:
Пусть уt и хt не содержат тенденции, например, представляют собой отклонения выровненных по трендам значений от исходных уровней временных
Пусть оценки а и b параметров уравнения регрессии найдены обычным
Пусть критерий Дарбина – Уотсона показал наличие автокорреляции в
остатках первого порядка.
Основной подход к оценке параметров модели регрессии в случае, когда
имеет место автокорреляция остатков, заключается в следующем: исходная модель регрессии (6.1) с помощью замены переменных приводится к виду
y t′ = a ′ + b ⋅ x t′ + u t , где y t′ = y t − r1ε ⋅ y t −1 ; x t′ = x t − r1ε ⋅ x t −1 ;
u t = ε t − r1ε ⋅ ε t −1 ; a ′ = a (1 − r1ε).
Здесь rε1 – коэффициент автокорреляции первого порядка.
Поскольку ut, – случайная ошибка, то для оценки параметров преобразованного уравнения можно применять обычный МНК.
Итак, если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокор-
реляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК.
Его реализация разбивается на следующие этапы:
1. Перейти от исходных переменных уt и хt к переменным у’t и х’t по фор-
2. Применив обычный МНК к уравнению, определить оценки пара-
a = a ′ /(1 − r1ε).
Одним из методов расчета параметров уравнения авторегрессии является
метод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоит в том,
чтобы заменить переменную yt-1 из правой части модели, для которой нарушаются предпосылки МНК, на новую переменную ŷt-1, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок.
Искомая новая переменная, которая будет введена в модель вместо yt-1,
должна иметь два свойства.
Во-первых, она должна тесно коррелировать с yt-1, во-вторых, она не должна коррелировать с остатками ut.
Существует несколько способов получения такой инструментальной переменной.
1 способ. Поскольку в модели переменная yt зависит не только от yt-1, но и от xt, можно предположить, что имеет место зависимость yt-1 от xt-1, т. е.
y t −1 = d 0 + d 1 ⋅ x t −1 + u t .
Таким образом, переменную yt-1 можно выразить следующим образом:
y t −1 = y t −1 + u t , где
y t −1 = d 0 + d 1 ⋅ x t −1 .
Распределение этой величины приблизительно можно аппроксимировать
стандартизованным нормальным распределением. Поэтому для проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков можно либо сравнивать полученное фактическое значение критерия h с табличным, воспользовавшись таблицами
стандартизованного нормального распределения, либо действовать в соответствии со следующим правилом принятия решения.
1. Если h > 1,96, нуль–гипотеза об отсутствии положительной автокорреляции остатков отклоняется.
3. Если –1,96
Список использованной литературы:
1. Суслов В. И., Ибрагимов Н. М., Талышева Л. П., Цыплаков А.А. Эконометрия. - Новосибирск: СО РАН, 2005. - 744 с.
2. Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И.И.. - 2-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 576 с.
3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. - М.: Юнити-Дана, 2003-2004. - 311 с.
4. Ратникова Т.А. Введение в эконометрический анализ панельных данных (рус.) // Экономический журнал ВШЭ. - 2006. - № 3. - С. 492-519.
Рассматриваем уравнение регрессии вида:
где k - число независимых переменных модели регрессии.
Для каждого момента времени t = 1: n значение определяется по формуле
Изучая последовательность остатков как временной ряд в , можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки должны быть случайными (а). Однако при моделировании временных рядов иногда встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию (б и в) или циклические колебания (г). Это говорит о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предыдущих. В этом случае имеется автокорреляция остатков.
Причины автокорреляции остатков
Автокорреляция остатков может возникать по несколькими причинами:
Во-первых, иногда автокорреляция связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях Y.
Во-вторых, иногда причину следует искать в формулировке модели. В модель может быть не включен фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, но влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными . Зачастую этим фактором является фактор времени t.
Иногда, в качестве существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных , включенных в модель. Либо в модели не учтено несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или циклических колебаний.
Методы определения автокорреляции остатков
Первый метод - это построение графика зависимостей остатков от времени и визуальное определение наличия автокорреляции остатков.
Второй метод — расчет критерия Дарбина — Уотсона
Т.е. Критерий Дарбина — Уотсона определяется как отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к сумме квадратов остатков. Практически во всех задачах по эконометрике значение критерия Дарбина - Уотсона указывается наряду с коэффициентом корреляции, значениями критериев Фишера и Стьюдента
Коэффициент автокорреляции первого порядка определяется по формуле
Соотношение между критерием Дарбина - Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков (r1) первого порядка определяется зависимостью
Т.е. если в остатках существует полная положительная автокорреляция r1 = 1, а d = 0, Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то r1 = - 1, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r1 = 0, d = 2. Следовательно,
Алгоритм выявления автокорреляции остатков по критерию Дарбина - Уотсона
Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков . Альтернативные гипотеэы о наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Затем по таблицам определяются критические значения критерия Дарбина - Уотсона dL и du для заданного числа наблюдений и числа независимых переменных модели при уровня значимости а (обычно 0,95). По этим значениям промежуток разбивают на пять отрезков.
Если расчетное значение критерия Дарбина — Уотсона попадает в зону неопределенности , то подтверждается существование автокорреляции остатков и гипотезу отклоняют
Истинные значения отклонений Et,t = 1,2, ...,T неизвестны. Поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок et,t = 1,2, ...,T, полученных из эмпирического уравнениярегрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.
Обычно проверяется некоррелированность отклонений et,t = 1, 2, ... , T, являющаяся необходимым, но недостаточным условием независимости. Причем проверяется некоррелированность соседних величин et. Соседними обычно считаются соседние во времени (при рассмотрении временных рядов) или по возрастанию объясняющей переменной X (в случае перекрестной выборки) значения et. Для них несложно рассчитать коэффициент корреляции, называемый в этом случае коэффициентом автокорреляции первого порядка:
При этом учитывается, что математическое ожидание остатков M (et) = 0.
На практике для анализа коррелированности отклонений вместо коэффициента корреляции используют тесно связанную с ним
статистику Ларбина-Уотсона (DW) рассчитываемую по формуле1
Очевидно, что при больших T
Нетрудно заметить, что если et=et-1, то rete- 1=1 и DW=0 (положительная автокорреляция). Если et=-et-1, то re^t 1=-1 и DW=4 (отрицательная автокорреляция). Во всех других случаях 0 lt; DW lt; 4 . При случайном поведении отклонений rete- 1=0 и DW=2. Таким
образом, необходимым условием независимости случайных отклонений является близость к двойке значения статистики Дарбина- Уотсона. Тогда, если DW ~ 2, мы считаем отклонения от регрессии случайными (хотя они в действительности могут и не быть таковыми). Это означает, что построенная линейная регрессия, вероятно, отражает реальную зависимость. Скорее всего, не осталось неучтенных существенных факторов, влияющих на зависимую переменную. Какая-либо другая нелинейная формула не превосходит по статистическим характеристикам предложенную линейную модель. В этом случае, даже когда R2 невелико, вполне вероятно, что необъясненная дисперсия вызвана влиянием на зависимую переменную большого числа различных факторов, индивидуально слабо влияющих на исследуемую переменную, и может быть описана как случайная нормальная ошибка.
Возникает вопрос, какие значения DW можно считать статистически близкими к 2? Для ответа на этот вопрос разработаны специальные таблицы критических точек статистики Дарбина-Уотсона, позволяющие при данном числе наблюдений T (или в прежних обозначениях n), количестве объясняющих переменных m и заданном уровне значимости а определять границы приемлемости (критические точки) наблюдаемой статистики DW. Для заданных а,Т, m в таблице указываются два числа: di - нижняя граница и du - верхняя граница.
Общая схема критерия Дарбина-Уотсона следующая:
- По построенному эмпирическому уравнению регрессии
определяются значения отклонений et = У, - У, для каждого наблюдения t, t = 1,..., Т.
- По формуле (4.4) рассчитывается статистика DW.
- По таблице критических точек Дарбина-Уотсона определяются два числа di и du и осуществляют выводы по правилу:
(dі lt; DW lt; du) - вывод о наличии автокорреляции не определен, (ku lt; DW lt; 4 - du) - автокорреляция отсутствует, (4 - du lt; DW lt; 4 - di) - вывод о наличии автокорреляции не определен,
(4 - di lt; DW lt; 4) - существует отрицательная автокорреляция.
Не обращаясь к таблице критических точек Дарбина-Уотсона, можно пользоваться «грубым» правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1,5lt; DW lt; 2,5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям. При наличии автокорреляции остатков полученное уравнение регрессии обычно считается неудовлетворительным.
Отметим, что при использовании критерия Дарбина-Уотсона необходимо учитывать следующие ограничения:
- Критерий DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.
- Предполагается, что случайные отклонения Et определяются по итерационной схеме: Et = PEt-1 + vt, называемой авторегрессионной схемой первого порядка HR(1). Здесь vt - случайный член, для которого условия Гаусса-Маркова выполняются.
- Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях).
- Критерий Дарбина-Уотсона не применим для регрессионных моделей, содержащих в составе объясняющих переменных зависимую переменную с временным лагом в один период, т. е. для так называемых авторегрессионных моделей вида:
В этом случае имеется систематическая связь между одной из объясняющих переменных и одним из компонентов случайного члена. Не выполняется одна из основных предпосылок МНК - объясняющие переменные не должны быть случайными (не иметь случайной составляющей). Значение любой объясняющей переменной должно быть экзогенным (заданным вне модели), полностью определенным. В противном случае оценки будут смещенными даже при больших объемах выборок.
Для авторегрессионных моделей разработаны специальные тесты обнаружения автокорреляции, в частности h-статистика Дарби- на, которая определяется по формуле:
где р - оценка коэффициента р авторегрессии первого порядка?t = PCt-1 + vt (vt - случайный член), D(g) - выборочная дисперсия коэффициента Y при лаговой переменной yt-1, п - число наблюдений.
При большом объеме выборки h распределяется как ф(0,1), т. е. как нормальная переменная со средним значением 0 и дисперсией, равной 1 по нулевой гипотезе отсутствия автокорреляции. Следовательно, гипотеза отсутствия автокорреляции может быть отклонена при уровне значимости 5%, если абсолютное значение h больше, чем 1,96, и при уровне значимости 1%, если оно больше, чем 2,58, при применении двухстороннего критерия и большой выборке. В противном случае она не отклоняется.
Отметим, что обычно значение р рассчитывается по формуле:
р = 1- 0,5DW, а D(g) равна квадрату стандартной ошибки Sg
оценки g коэффициента Y. Поэтому h легко вычисляется на основе данных оцененной регрессии.
Основная проблема при использовании этого теста заключается в невозможности вычисления h при nD (g) gt; 1.
Пример 4.1. Пусть имеются следующие условные данные (X - объясняющая переменная, Y - зависимая переменная, табл. 4.1).
Таблица 4.1
Исходные данные (условные, ден. ед.)
t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
Y | 3 | 8 | 6 | 12 | 11 | 17 | 15 | 20 | 16 | 24 | 22 | 28 | 26 | 34 | 31 |
Линейное уравнение регрессии имеет вид: Y = 2,09 + 2,014X .
Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (табл. 4.2):
Критерий Дарбина-Уотсона (или DW-критерий) - статистический критерий, используемый для нахождения автокорреляции остатков первого порядка регрессионной модели. Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по следующей формуле:
где ρ 1 - коэффициент автокорреляции первого порядка.
В случае отсутствия автокорреляции ошибок d = 2, при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной стремится к 4:
На практике применение критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k и уровня значимости α.
Если d < d L , то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);
Если d > d U , то гипотеза не отвергается;
Если d L < d < d U , то нет достаточных оснований для принятия решений.
Когда расчетное значение d превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент d , а выражение (4 − d ).
Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.
Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
Даёт достоверные результаты только для больших выборок ] .
Критерий h Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:
где n - число наблюдений в модели;
V - стандартная ошибка лаговой результативной переменной.
При увеличении объёма выборки распределение h -статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h -статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения.
Критерий Дарбина-Уотсона для панельных данных
Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина-Уотсона:
В отличие от критерия Дарбина-Уотсона для временных рядов в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности, для панелей с большим количеством индивидуумов.
- Методы исключения автокорреляции (отклонений от тренда, последовательных разностей, включения фактора времени).
Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить воздействие фактора времени на формирование уравнений временного ряда. Основные методы делят на 2 группы:
Основанные на преобразовании уровней ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используем далее для анализа взаимосвязи изучаемых временных рядов. Эти методы предполагают устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. 1.Метод последовательных разностей. 2.Метод отклонения от трендов.
Основанные на изучении взаимосвязей исходных уровней временных рядов при исключении воздействия фактора времени на зависимую и независимые переменные модели: включение в модель регрессии фактора времени.
Этот метод достаточно прост: последовательно определяются знаки отклонений,t=1,2…T. Например,
(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),
Т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.
Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.
Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция.
Критерий Дарбина-Уотсона
Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина- Уотсона и расчет величины
Согласно (2.3.1) величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Значение критерия Дарбина - Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критериев.
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как
Между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет место следующее соотношение:
Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то = - 1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0 и d= 2. Следовательно, 0 Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по таблице (приложение А) определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости a. По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1-a) рассматривается на рис. 2.3. Рис. 2.3.1
Если фактическое значение критерия Дарбина - Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0. Пример 2.3.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках. Исходные данные, значения и результаты промежуточных расчетов представлены в табл. 2.3.1. Таблица 2.3.1 Расчет критерия Дарбина-Уотсона для модели зависимости потребления от дохода Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для этой модели составляет d = 4,1233/1,6624 = 2,48. Сформулируем гипотезы: Н0 - в остатках нет автокорреляции; Н1 - в остатках есть положительная автокорреляция; Н1* - в остатках есть отрицательная автокорреляция. Зададим уровень значимости a = 0,05. По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений n = 7 и числа независимых переменных модели k" = 1 критические dL = 0,700 и dU = 1,356. Получим следующие промежутки внутри интервала Рис. 2.3.2
Фактическое значение d = 2,48 попадает в промежуток от до 4 - . Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу H0 об отсутствии автокорреляции в остатках. Пример 2.3.2. В таблице 2.3.2. приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период, т.е. временной ряд спроса Таблица 2.3.2 Выявить на уровне значимости 0,05 наличие автокорреляции в остатках для временного ряда. Получили уравнение тренда: В таблице 2.3.3 приведены необходимые вычисления По формуле вычислили По таблице критических точек при n=15 , т.е. фактически найденное d=2.34 находится в пределах от до 4-(1.36 Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона. Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина - Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы. В-третьих, критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.