Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

«Способ моментов» применяется в рядах с равными интервалами на основе свойств средней арифметической. Средняя арифметическая исчисляется по формуле

где i – размер интервала;

m 1 – момент первого порядка (средняя арифметическая из новых упрощенных вариант
;
– новые упрощенные варианты;f – частота);

А – постоянное число (лучше всего взять его равным варианте, у которой наибольшая частота).

Определим среднее значение признака «способом моментов» на следующем примере.

Пример 5 . Имеются следующие данные о распределении магазинов облпотребсоюза по торговой площади (табл. 14).

Таблица 14

Следует определить среднюю площадь магазинов, применив «способ моментов».

Решение

Данные распределения магазинов по торговой площади представлены в виде интервального ряда распределения с равными интервалами (i = 20 м 2), следовательно, расчет средней площади магазина можно провести по формуле
, применив «способ моментов».

Первый и последний интервалы даны открытыми, т. е. не имеют границ нижней и верхней соответственно. Для определения среднего значения в них границы интервалов следует закрыть. Для первой группы с размером площади до 40 м 2 условно считаем, что интервал также равен 20 м 2 , затем вычитаем 20 м 2 из 40 м 2 и находим условную нижнюю границу первого интервала (20 – 40). Условную верхнюю границу последнего интервала определяем аналогично (100 – 120).

Расчеты следует проводить в табл. 15.

Таблица 15

Наибольшая частота f равна 40, следовательно, в качестве постоянной величины А принимаем 70.

Определяем момент первого порядка:
.

Среднее значение признака равно:

+ 70 = = 68 м 2 .

Следовательно, средняя площадь магазина составляет 68 м 2 .

5.3. Структурные средние

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды и медианы. Мода (Мо ) – наиболее часто повторяющееся значение признака. Медиана (Ме ) – величина признака, которая делит упорядоченный ряд на две равные по численности части.

Если расчет моды и медианы проводится в дискретном ряду, то он опирается на их понятия. В интервальном ряду распределения для расчета моды и медианы применяют следующие формулы.

Мода рассчитывается по формуле

где х Мо – нижнее значение модального интервала;

i Мо – размер модального интервала;

f Мо – частота модального интервала;

f Мо –1 – частота, предшествующая модальной частоте;

f Мо +1 – частота, последующая за модальной частотой.

Модальному интервалу соответствует наибольшая (модальная) частота. Медиана рассчитывается по формуле

,

где х Ме – нижнее значение медианного интервала;

i Ме – размер медианного интервала;

f – сумма частот;

S Ме –1 – сумма частот, предшествующих медианной частоте;

f Ме – медианная частота.

Медианному интервалу соответствует медианная частота. Таким интервалом будет интервал, сумма накопленных частот которого равна или превышает половину суммы всех частот.

Рассмотрим определение моды и медианы на следующих примерах.

Пример 6 . В результате статистического обследования области получены следующие данные по распределению семей по числу детей (табл. 16).

Таблица 16

Следует определить моду и медиану.

Решение

В дискретных рядах модой является варианта с наибольшей частотой. Наибольшая частота – 34, следовательно мода равна 2.

Для вычисления медианы определим сумму частот ряда (f = 100), затем рассчитаем полусумму
.

Так как сумма накопленных частот 5 + 32 + 34 = 71 превышает полусумму (71 > 50), то варианта, имеющая значение 2 и соответствующая этой накопленной сумме частот, и есть медиана.

Пример 7 . В результате статистического обследования получены следующие данные распределения продавцов магазинов облпотребсоюза по возрасту (табл. 17).

Таблица 17

Необходимо определить моду и медиану.

Решение

В интервальных рядах мода и медиана определяются по вышеприведенным формулам.

Сначала определим модальный интервал, он соответствует наибольшей частоте. Так как наибольшая частота равна 35 и является модальной, то интервал 30–40 является модальным интервалом. Затем подставим данные в следующую формулу:

Определим медианный интервал. Полусумма частот равна 50
. Накапливая частоты, определим интересующий интервал. Так как сумма накопленных частот 6 + 24 + 35 = 65 превышает полусумму (65 > 50), значит 35 является медианной частотой, а интервал 30–40 является медианным интервалом.

Затем подставим данные в формулу

Таким образом, мода равна 35,5 лет (больше всего продавцов в возрасте 35,5 лет), медиана – 35,7 лет (50 % продавцов достигли возраста 35,7 лет).

12.2. Метод моментов.

Метод моментов - самый «старый» и самый простой из регулярных методов оценивания параметров. Фактически он использовался еще в 19 веке. Согласно этому методу, оценки параметров так же выражаются через статистические моменты выборки, как параметры - через моменты генеральной совокупности. Более конкретно, пусть модель включает класс распределений с вектором параметрова =(a 1 , a 2 ,..., a m ), включающим m оцениваемых параметров. Эти параметры связаны с моментами (например, начальными) равенствами

где - какие-то функции,- моменты генеральной СВ. Тогда оценки параметров находятся по формулам

где (см. п. 6.3)

Статистический момент k -го порядка. Разумеется, можно выражать оцениваемые параметры через центральные моменты или, смешанно, через начальные и центральные.

Пример 1 . Класс распределений

с одним параметром . Выражение параметра через момент:=1/=1/m x , следовательно, оценка по методу моментов

.

Пример 2 . Тот же класс распределений с другим параметром:

Выражение параметра через момент: , следовательно, оценка по методу моментов

.

Пример 3 . Класс , - нормальное распределение с двумя оцениваемыми параметрами:имеет смысл математического ожидания,имеет смысл с. к. о. Выражения параметров через моменты:

следовательно, оценки по методу моментов

Пример 4 . Класс нормальных распределений с одним оцениваемым параметром(известно), имеющим смысл математического ожидания. Выражение параметра через момент:, оценка по методу моментов

.

Сравнивая с примером 3, видим, что известность или неизвестность не влияет на оценку математического ожидания по методу моментов.

Пример 5 . Класс нормальных распределений с одним параметром(m x известно), имеющим смысл с. к. о. Выражение параметра через момент: , оценка по методу моментов

.

Сравнивая с примером 3, видим, что оценка с. к. о. по методу моментов зависит от того, известно m x , или нет.

Свойства оценок по методу моментов (ММ-оценок) .

1) Метод прост, при его реализации как правило не возникает каких-либо математических проблем.

2) При довольно общих условиях ММ-оценки асимптотически нормальны, что облегчает построение интервальных оценок (см. п. 13) и испытание гипотез о параметрах распределений.

3) В общем случае ММ-оценки имеют смещение, порядок относительного смещения при больших n :

, с=с onst .

Часто (но не всегда) смещение этих оценок можно устранить с помощью простых поправок, т. е. образовать новые оценки (уже не ММ-оценки), не имеющие смещения (примеры устранения смещения приведены ниже).

4) Порядок дисперсии ММ-оценки при больших n :

5) ММ-оценки состоятельны.

6) Р. Фишер в 1921 г. показал, что ММ-оценки чаще всего не эффективны, и даже асимптотически не эффективны. Он рассмотрел большое число практически используемых распределений и показал, что нормальное распределение в этом смысле исключение: его ММ-оценки эффективны или асимптотически эффективны, а ММ-оценки параметров подавляющего большинства других распределений имеют эффективность и асимптотическую эффективность значительно меньшие единицы.

Смещение и эффективность ММ-оценок на примерах.

Пример 1 . Оценивание математического ожидания . Пусть единственным неизвестным параметром распределения является математическое ожидание m х . ММ-оценка этого параметра

.

Как неоднократно показано выше, эта оценка состоятельна и несмещенна. Ее эффективность зависит от класса распределений генеральной СВ, например, как показано выше, она эффективна для нормального, экспоненциального, биномиального, пуассоновского распределений.

Пример 2 . Оценивание дисперсии при известном математическом ожидании . Пусть единственным неизвестным параметром распределения является дисперсия D x , математическое ожидание m x известно, остальные параметры или отсутствуют, или известны. ММ-оценка дисперсии

ее математическое ожидание

следовательно, она несмещенная; ее эффективность зависит от класса распределений генеральной СВ.

Пример 3 . Одновременное оценивание математического ожидания и дисперсии . Пусть оценке подлежат m x , D x , остальные параметры отсутствуют или известны. ММ-оценки

Оценка несмещенная; покажем, что оценкасмещенная.

В соответствии с (6.3.4) можно записать:

,

Найдем каждый член в правой части по отдельности. Имеем:

,

Среди важнейших обобщающих характеристик, относительно которых чаще всего выдвигаются гипотезы, является средняя величина. С целью проверки гипотезы о равенстве средних в генеральной совокупности необходимо сформулировать нулевую гипотезу. При этом, как правило, исходят из того, что обе выборки взяты из нормально распределенной генеральной совокупности с математическим ожиданием, равным X и с дисперсией, равной с0 . Если это предположение верно, то х1 - х2 ~ х . Фактически же выборочные средние Х1 И Х2 не будут равны из-за случайности выборки. Поэтому нужно выяснить существенность различий между х1 х2 - находится ли их разница в пределах возможной случайной вариации или же она выходит за эти пределы. Тогда задача проверки гипотезы сводится к проверке существенности различия

Каждая выборочная средняя имеет свою ошибку /и:

Определив дисперсии и среднюю ошибку выборочных средних, можно вычислить фактическое значение И-критерия и сравнить его с критическим (табличным) значением при соответствующем уровне значимости и числе степеней свободы вариации (для выборок с численностью п > 30 используется и-критерий нормального распределения, а для выборок с численностью п < 30 - и-критерий Стьюдента).

Фактическое значение и-критерия определяется по формуле

Если выборочное значение критерия попадает в критическую область (їфакі> О, нулевая гипотеза о равенстве средних отклоняется; если же выборочное значение критерия попадает в область допустимых значений (Іфакг< їа), нулевая гипотеза принимается.

Нулевая гипотеза о равенстве средних в двух генеральных совокупностях может быть также проверена путем сравнения фактической средней разницы [єФа,.т = ~~2 ) с предельной случайной ошибкой при заданном уровне значимости (еа). Если фактическая разница между выборочными средними находится в пределах случайной ошибки (єфакт < еа), нулевая гипотеза принимается. Если же фактическая разница между средними выходит за пределы случайной ошибки (еф^т > еа), нулевая гипотеза отклоняется.

При решении конкретных задач по проверке статистических гипотез относительно средних необходимо учитывать следующие моменты: 1) схему формирования выборок (выборки независимые и зависимые); 2) равенство или неравенство объемов выборок; 3) равенство или неравенство дисперсий генеральных совокупностях.

Алгоритм проверки гипотезы относительно двух средних несколько меняется, если дисперсии по выборкам (512 и 522) существенно отличаются. В этом случае при определении числа степеней свободы вводится поправка:

Когда же при неравных дисперсиях по выборкам, неровными есть и их численности (п1 и п2), табличное значение г-критерия Стьюдента следует рассчитать по формуле

где и1 и и2 - табличные значения Г-критерия Стьюдента, которые берутся в соответствии с п1 - 1 и п2 - 1 степенями свободы.

Рассмотрим пример проверки статистической гипотезы о равенстве двух средних независимых выборок равной численности (п1=п2) и равными дисперсиями (СГ;2 =).

Да, есть данные по живой массы телят при рождении двух группах коров черно-пестрой породы (коровы одного возраста). Первая группа коров имела нормальную продолжительность лактации (305 дней), а вторая группа доилась в течение 320 дней. В каждую группу вошло по 5 коров. Данные наблюдения приведены в табл. 7.2.

Таблица 7.2. Живая масса телят при рождении по группам коров с разной продолжительностью лактации

Сопоставление живых масс телят по двух группах коров показывает, что более высокая живая масса телят наблюдается у коров И группы, которые имели нормальную продолжительность лактации. Однако, в связи с тем, что численность выборок небольшая (п = 5), не исключена возможность, что разногласия между живыми массами полученные в результате действия случайных причин.

Необходимо статистически оценить разницу между средними по двум группам коров.

По результатам проверки гипотезы сделать вывод о том, что разница между средними лежит в пределах случайных колебаний, или же эта разница настолько значительная, что не согласуется с нулевой гипотезой о случайном характере различий между средними.

Если будет доказано второе положение и отклонено первых, можно утверждать, что продолжительность лактации влияет на живую массу телят.

Условие задачи предполагает, что обе выборки взяты из нормально распределенной генеральной совокупности. Формирование групп случайное (независимое), поэтому должна оцениваться разница между средними.

Определим среднюю живую массу телят по двух группах коров:

Фактическая разница между средними составляет:

Существенность этой разницы должна быть оценена. Для этого необходимо проверить гипотезу о равенстве двух средних.

Рассмотрим подробно все этапы схемы проверки гипотезы. 1. Сформулируем нулевую Но и На альтернативную гипотезы:

2. Примем уровень значимости а = 0,05, гарантируя принятие гипотезы или отказа от нее с вероятностью ошибки только в 5 случаях из 100.

3. Наиболее мощным критерием для проверки такого рода гипотезы Н0 есть и-критерий Стьюдента.

4. Сформулируем правило принятия решения по результатам

проверки Н0. Поскольку по альтернативной гипотезой х1 может быть или меньше или больше х2 , то критическая область должна быть установлена с двух

сторон: и - ~иа и и - иа, или короче: иа.

Такая форма задания критерия называется двусторонней критической областью. Критическая область при а = 0,05 будет содержаться в пределах - все значения выше, чем верхняя 2,5% и ниже, чем 2,5% точки распределения и-критерия Стьюдента.

С учетом сказанного выводы по проверке Н0 можно сформулировать так: гипотеза Н0 отклонятся, если фактическое значение Г-критерия окажется

больше табличное значение, то есть если іфакт > иа. В противном случае Ка должна быть принята.

5. Чтобы проверить Н0 нужно определить фактическое значение Г-критерия Стьюдента и сравнить его с табличным значением.

Для определения фактического значения Г-критерия Стьюдента выполним следующие вычисления.

6. Вычислим по каждой выборке скорректированные на потерю степеней свободы вариации дисперсии. Для этого предварительно возведем в квадрат значения хц и х2і:

7. Рассчитаем квадраты средних ошибок по каждой выборке и обобщенную среднюю ошибку разности средних:

8. Рассчитаем фактическое значение Г-критерия Стьюдента:

9. Определим табличное значение критерия Г-Стьюдента, исходя из уровня значимости а = 0,05 и числа степеней свободы для двух выборок:

По таблице "Критические точки распределения Стьюдента" (доп. 3) найдем и при а = 0,05 и к = 8: і005 = 2,31.

10. Сравним фактическое и табличное значение-критерия Стьюдента:

Поскольку іфаккг < и^05 (выборочное значение критерия находится в области допустимых значений), нулевая гипотеза о равенстве средних генеральных совокупностях принимается.

Итак, влияние продолжительности лактации на живую массу телят при рождении оказывается недоведенним.

Однако следует обратить внимание на такой существенный момент: живая масса телят при рождении во всех наблюдениях опыта выше в первой группе коров, которые имеют нормальную продолжительность лактации. Поэтому вместо альтернативной гипотезы На х1 ф х2 может быть взята другая. Поскольку нет оснований считать, что при нормальной продолжительности лактации живая масса телят будет ниже, то очевидно, что более целесообразной формой альтернативной гипотезы есть: На: х1 > х2.

Тогда критическая область, что составляет 0,05 всей площади под кривой распределения, будет расположена только с одной (правой) стороны, так как отрицательные значения живых масс считаются несовместимыми с условиями задачи. В связи с этим табличное значение-критерия следует определять при удвоенном значении уровня значимости (т.е. при 2а; иа = 2 o 0,05 = 0,10). Критерий проверки гипотезы формулируется так: нулевая гипотеза отклоняется, если > і2а.

Такая форма задачи критической области называется односторонней. Односторонний критерий более чувствителен к ошибкам второго рода, но его применение допустимо лишь в случае, если доказана правомерность данной альтернативной гипотезы.

Установим по таблицам (прил. 3) табличное значение-критерия при а = 0,10 и к = 8, і0Д0 = 1,86.

Итак, при использовании одностороннего критерия нулевая гипотеза отклоняется, Т.е. критерий окажется в критической области (іфакг > і0д0; 2,14 > 1,86). Таким образом, живая масса телят при рождении в группе коров с нормальной продолжительностью лактации существенно выше. Этот вывод точный, чем полученный на основе двустороннего критерия, так как здесь использована дополнительная информация для обоснования правильности применения одностороннего критерия.

Такой же вывод получим и путем сравнения возможной предельной ошибки двух выборок еа с фактической разницей средних.

Вычислим возможную предельную ошибку разности средних по двум выборкам: є0до = Г010 o /А_2 = 1,86 o 1,87 = 3,48 кг и сравним ее с фактической разницей средних:

Сопоставляя предельную возможную ошибку с фактической разницей средних, можно сделать аналогичный вывод о том, что выдвинутая гипотеза о равенстве средних не согласуется с полученными результатами.

Проверку гипотезы для случая зависимых выборок с равными чисельностями и равными дисперсиями рассмотрим на таком примере.

Да, есть данные выборочного наблюдения по продуктивности коров-матерей и коров-дочерей (табл. 7.3).

Таблица 7.3. Продуктивность коров-матерей и коров-дочерей

Необходимо проверить статистическую гипотезу относительно средней разницы между парами взаимосвязанных наблюдений в генеральной совокупности.

Так как наблюдения двух выборок попарно взаимосвязаны (зависимые выборки), то необходимо сравнивать не разницу между средними, а среднее значение разностей между парами наблюдений (и). Рассмотрим все этапы процедуры проверки гипотезы. 1. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:

При такой альтернативе необходимо применить двусторонний критерий.

2. Уровень значимости примем равным а = 0,05.

3. Самым мощным критерием проверки Н0 есть и-критерий Стьюдента.

4. Вычислим среднюю разность

5. Рассчитаем скорректированную дисперсию средней разницы:

6. Определим среднюю ошибку средней разницы:

7. Вычислим фактическое значение-критерия Стьюдента:

8. Установим число степеней свободы, исходя из численности пар взаимосвязанных разниц:

9. Найдем табличное значение Г-критерия Стьюдента при к = 4 и а = 0,05; V. = 2,78 (прил. 3).

10. Сравним фактическое и табличное значение критерия:

Фактическое значение критерия выше табличное. Следовательно, величина средней разницы между надоями двух выборок существенная и нулевая гипотеза отклоняется.

Такие же выводы получим, сравнивая возможную предельную ошибку с фактической средней разницей:

Предельная ошибка показывает, что в результате случайного варьирования средняя разница может достигать 2,4 ц. Фактическая средняя разница выше:

Итак, по результатам исследования можно с высокой степенью вероятности утверждать, что различия в значениях средних удоев коров-матерей и коров-дочерей вероятны.

8.1. Понятие зависимых и независимых выборок.

Выбор критерия для проверки гипотезы

в первую очередь определяется тем, являются ли рассматриваемые выборки зависимыми или независимыми. Введем соответствующие определения.

Опр. Выборки называются независимыми , если процедура отбора единиц в первую выборку никак не связана с процедурой отбора единиц во вторую выборку.

Примером двух независимых выборок могут служить обсуждавшиеся выше выборки мужчин и женщин, работающих на одном предприятии (в одной отрасли и т.д.).

Заметим, что независимость двух выборок отнюдь не означает отсутствие требования определенного рода сходства этих выборок (их однородности). Так, изучая уровень дохода мужчин и женщин, мы вряд ли допустим такую ситуацию, когда мужчины отбираются из среды московских бизнесменов, а женщины – из аборигенов Австралии. Женщины тоже должны быть москвичками и, более того – «бизнесвуменшами». Но здесь мы говорим не о зависимости выборок, а о требовании однородности изучаемой совокупности объектов, которое должно удовлетворяться и при сборе, и при анализе социологических данных.

Опр. Выборки называются зависимыми, или парными, если каждая единица одной выборки «привязывается» к определенной единице второй выборки.

Последнее определение, вероятно, станет более ясным, если мы приведем пример зависимых выборок.

Предположим, что мы хотим выяснить, является ли социальный статус отца в среднем ниже социального статуса сына (полагаем, что мы можем измерить эту сложную и неоднозначно понимаемую социальную характеристику человека). Представляется очевидным, что в такой ситуации целессобразно отбрать пары респондентов (отец, сын) и считать, что каждый элемент первой выборки (один из отцов) «привязан» к определенному элементу второй выборки (своему сыну). Эти две выборки и будут называться зависимыми.

8.2. Проверка гипотезы для независимых выборок

Для независимых выборок выбор критерия зависит от того, знаем ли мы генеральные дисперсии s 1 2 и s 2 2 рассматриваемого признака для изучаемых выборок. Будем считать эту проблему решенной, полагая, что выборочные дисперсии совпадают с генеральными. В таком случае в качестве критерия выступает величина:

Прежде, чем переходить к обсуждению той ситуации, когда генеральные дисперсии (или хотя бы одна из них) нам неизвестны, заметим следующее.

Логика использования критерия (8.1) похожа на ту, которая была описана нами при рассмотрении критерия “Хи-квадрат” (7.2). Имеется лишь одно принципиальное отличие. Говоря о смысле критерия (7.2), мы рассматривали бесконечное количество выборок объема n, «черпающихся» из нашей генеральной совокупности. Здесь же, анализируя смысл критерия (8.1), мы переходим к рассмотрению бесконечного количества пар выборок объемом n 1 и n 2 . Для каждой пары и рассчитывается статистика вида (8.1). Совокупности получаемых значений таких статистик, в соответствии с нашими обозначениями, отвечает нормальное распределение (как мы условились, буква z используется для обозначения такого критерия, которому отвечает именно нормальное распределение).

Итак, если генеральные дисперсии нам неизвестны, то мы вынуждены вместо них пользоваться их выборочными оценками s 1 2 и s 2 2 . Однако при этом нормальное распределение должно замениться на распределение Стьюдента – z должно замениться на t (как это имело место в аналогичной ситуации при построения доверительного интервала для математического ожидания). Однако при достаточно больших объемах выборок (n 1 , n 2 ³ 30) , как мы уже знаем, распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным. Другими словами, при больших выборках мы можем продолжать пользоваться критерием:

Сложнее обстоит дело с такой ситуацией, когда и дисперсии неизвестны, и объем хотя бы одной выборки мал. Тогда вступает в силу еще один фактор. Вид критерия зависит от того, можем ли мы считать неизвестные нам дисперсии рассматриваемого признака в двух анализируемых выборках равными. Для выяснения этого надо проверить гипотезу:

H 0: s 1 2 = s 2 2 . (8.3)

Для проверки этой гипотезы используется критерий

О специфике использования этого критерия пойдет речь ниже, а сейчас продолжим обсуждать алгоритм выбора критерия, использующего для проверки гипотез о равенстве математических ожиданий.

Если гипотеза (8.3) отвергается, то интересующий нас критерий приобретает вид:

(8.5)

(т.е. отличается от критерия (8.2), использовавшегося при больших выборках, тем, что соответствующая статистика имеет не нормальное распределение, а распределение Стьюдента). Если гипотез (8.3) принимается, то вид используемого критерия меняется:

(8.6)

Подведем итог того, как выбирается критерий для проверки гипотезы о равенстве генеральных математических ожиданий на основе анализа двух независимых выборок.

известны

неизвестны

размер выборок большой

H 0: s 1 = s 2 отвергается

Принимается

8.3. Проверка гипотезы для зависимых выборок

Перейдем к рассмотрению зависимых выборок. Пусть последовательности чисел

X 1 , X 2 , … , X n ;

Y 1 , Y 2 , … , Y n –

это значения рассматриваемой случайной для элементов двух зависимых выборок. Введем обозначение:

D i = X i - Y i , i = 1, ... , n.

Для зависимых выборок критерий, позволяющий проверять гипотезу

выглядит следующим образом:

Заметим, что только что приведенное выражение для s D есть не что иное, как новое выражение для известной формулы, выражающей среднее квадратическое отклонение. В данном случае речь идет о среднем квадратическом отклонении величин D i . Подобная формула часто используется на практике как более простой (по сравнению с «лобовым» подсчетом суммы квадратов отклонений значений рассматриваемой величины от соответствующего среднего арифметического) способ расчета дисперсии.

Если сравнить приведенные формулы с теми, которые мы использовали при обсуждении принципов построения доверительного интервала, нетрудно заметить, что проверка гипотезы о равенстве средних для случая зависимых выборок по существу является проверкой равенства нулю математического ожидания величин D i . Величина

есть среднее квадратическое отклонение для D i . Поэтому значение только что описанного критерия t n -1 по существу равно величине D i , выраженной в долях среднего квадратического отклонения. Как мы говорили выше (при обсуждении способов построения доверительных интервалов), по такому показателю можно судить о вероятности рассматриваемого значения D i . Отличие состоит в том, что выше шла речь о простом среднем арифметическом, распределенном нормально, а здесь – о средних разностей, такие средние имеют распределение Стьюдента. Но рассуждения о взаимосвязи вероятности отклонения выборочного среднего арифметического от нуля (при математическом ожидании, равном нулю) с тем, сколько единиц s это отклонение составляет, остаются в силе.