Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

На уроках алгебры в школе мы сталкиваемся с выражениями различного вида. По мере изучения нового материала записи выражений становятся все разнообразнее и сложнее. Например, познакомились со степенями – в составе выражений появились степени, изучили дроби – появились дробные выражения и т.д.

Для удобства описания материала, выражениям, состоящим из схожих элементов, дали определенные названия, чтобы выделить их из всего разнообразия выражений. В этой статье мы ознакомимся с ними, то есть, дадим обзор основных выражений, изучаемых на уроках алгебры в школе.

Навигация по странице.

Одночлены и многочлены

Начнем с выражений, имеющих название одночлены и многочлены . На момент написания этой статьи разговор про одночлены и многочлены начинается на уроках алгебры в 7 классе. Там даются следующие определения.

Определение.

Одночленами называются числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Определение.

Многочлены – это сумма одночленов.

Например, число 5 , переменная x , степень z 7 , произведения 5·x и 7·x·2·7·z 7 – это все одночлены. Если же взять сумму одночленов, например, 5+x или z 7 +7+7·x·2·7·z 7 , то получим многочлен.

Работа с одночленами и многочленами часто подразумевает выполнение действий с ними. Так на множестве одночленов определено умножение одночленов и возведение одночлена в степень , в том смысле, что в результате их выполнения получается одночлен.

На множестве многочленов определено сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Как определяются эти действия, и по каким правилам они выполняются, мы поговорим в статье действия с многочленами .

Если говорить про многочлены с единственной переменной, то при работе с ними значительную практическую значимость имеет деление многочлена на многочлен , а также часто такие многочлены приходится представлять в виде произведения, это действие имеет название разложение многочлена на множители .

Рациональные (алгебраические) дроби

В 8 классе начинается изучение выражений, содержащих деление на выражение с переменными. И первыми такими выражениями выступают рациональные дроби , которые некоторые авторы называют алгебраическими дробями .

Определение.

Рациональная (алгебраическая) дробь это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, в частности, одночлены и числа.

Приведем несколько примеров рациональных дробей: и . К слову, любая обыкновенная дробь является рациональной (алгебраической) дробью.

На множестве алгебраических дробей вводятся сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Как это делается объяснено в статье действия с алгебраическими дробями .

Часто приходится выполнять и преобразование алгебраических дробей , наиболее распространенными из них являются сокращение и приведение к новому знаменателю.

Рациональные выражения

Определение.

Выражения со степенями (степенные выражения) – это выражения, содержащие степени в своей записи.

Приведем несколько примеров выражений со степенями. Они могут не содержать переменных, например, 2 3 , . Также имеют место степенные выражения с переменными: и т.п.

Не помешает ознакомиться с тем, как выполняется преобразование выражений со степенями .

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Определение.

Выражения, содержащие логарифмы называют логарифмическими выражениями .

Примерами логарифмических выражений являются log 3 9+lne , log 2 (4·a·b) , .

Очень часто в выражениях встречаются одновременно и степени и логарифмы, что и понятно, так как по определению логарифм есть показатель степени. В результате естественно выглядят выражения подобного вида: .

В продолжение темы обращайтесь к материалу преобразование логарифмических выражений .

Дроби

В этом пункте мы рассмотрим выражения особого вида - дроби.

Дробь расширяет понятие . Дроби также имеют числитель и знаменатель, находящиеся соответственно сверху и снизу горизонтальной дробной черты (слева и справа наклонной дробной черты). Только в отличие от обыкновенных дробей, в числителе и знаменателе могут быть не только натуральные числа, но и любые другие числа, а также любые выражения.

Итак, дадим определение дроби.

Определение.

Дробь – это выражение, состоящее из разделенных дробной чертой числителя и знаменателя, которые представляют собой некоторые числовые или буквенные выражения или числа.

Данное определение позволяет привести примеры дробей.

Начнем с примеров дробей, числителями и знаменателями которых являются числа: 1/4 , , (−15)/(−2) . В числителе и знаменателе дроби могут быть и выражения, как числовые, так и буквенные. Вот примеры таких дробей: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , .

А вот выражения 2/5−3/7 , дробями не являются, хотя и содержат дроби в своих записях.

Выражения общего вида

В старших классах, особенно в задачах повышенной трудности и задачах группы С в ЕГЭ по математике, будут попадаться выражения сложного вида, содержащие в своей записи одновременно и корни, и степени, и логарифмы, и тригонометрические функции, и т.п. Например, или . Они по виду подходят под несколько типов перечисленных выше выражений. Но их обычно не относят ни к одному из них. Их считают выражениями общего вида , а при описании говорят просто выражение, не добавляя дополнительных уточнений.

Завершая статью, хочется сказать, что если данное выражение громоздкое, и если Вы не совсем уверены, к какому виду оно относится, то лучше назвать его просто выражением, чем назвать его таким выражением, каким оно не является.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Выражения, составленные из чисел, знаков действий и скобок, называются числовыми выражениями . Число, являющееся результатом выполнения всех действий в числовом выражении, называют значением числового выражения . О числовых выражениях, которые не имеют значения, говорят, что они не имеют смысла .

Для сравнения чисел используют знаки ,,,,,. При этом могут использоваться двойные неравенства вида
и т.п. Неравенства, в которых используются знакии, называютстрогими , в которых используют знаки и, –нестрогими .

Выражения, составленные из чисел, букв, знаков действий и скобок, называются буквенными выражениями или выражениями с переменной или с переменными . Множество значений переменной, при которых выражение с переменной имеет числовое значение (имеет смысл), называют областью допустимых значений переменной данного выражения.

Выражения с переменными используются для записи чисел определенного вида. Например, запись
означает любое трехзначное число, у которогосотен,десятков иединиц, т.е.
. С помощью буквенных выражений удобно записывать математические правила, законы, определения. Например,определение модуля (абсолютной величины) числа можно записать так:
.

Элементы статистики

Ряд чисел, полученных в результате статистического исследования, называется статистической выборкой или просто выборкой , а каждое число этого ряда – вариантой выборки . Количество чисел в ряду называют объемом выборки. Запись выборки, когда последующая варианта не меньше предыдущей, называется упорядоченным рядом данных (или вариационным рядом ).

Средним арифметическим выборки называется частное суммы всех вариант выборки и количества вариант (т.е. частное суммы всех вариант и объема выборки). Количество появлений одной и той же варианты в выборке называют частотой этой варианты. Варианта выборки, имеющая наибольшую частоту, называется модой выборки . Разность наибольшей и наименьшей вариант выборки называют размахом выборки . Если в упорядоченном ряду данных нечетное число вариант, то средняя по счету варианта называется медианой . Если в упорядоченном ряду четное число вариант, то среднее арифметическое двух средних по счету вариант называется медианой .

Подготовительный вариант

Найдем значение выражения х+5, если х=0, х=3, х=16, х=35

Рассуждаем так:

если х=0, то значение суммы равняется 5, так как 0+5=5

если х=3, то значение суммы равняется 8, так как 3+5=8

если х=16, то значение суммы равняется 21, так как 16+5=21

если х=35, то значение суммы равняется 40, так как 35+5=40

Какие еще значения может принимать х?

Х может быть равен 43 или 68. Вообще можно сказать, что х может принимать любые значения.

Как бы вы назвали букву, которая может принимать любые значения?

Можно назвать ее по-разному: изменчивая, переменчивая.

Правильный ответ: в математике ее называют переменной.

Обратите внимание: в математике переменная позволяет записывать несколько выражений одним.

Рассмотрим выражения. Что можно сказать о них?

Правильный ответ: уменьшаемые одинаковые, а вычитаемые меняются. Значит, можно записать так:

Рассмотрим выражения с переменной.

Что общего? Чем отличаются?

Правильный ответ: во всех выражениях одно действие, во всех выражениях имеется число 2. Отличия: разные действия, разные буквы обозначают переменную.

Какие значения может принимать переменная в этих выражениях?

В выражении 2+х, х может быть любым числом.

В выражении 2*y, у может быть любым числом.

В выражении 2-z, z может принимать только несколько значений: z=2, z=1, z=0.

Сегодня на уроке мы повторили отличия простой и составной задачи, вспомнили, как складывать и вычитать двузначные числа столбиком.

Найдем значение этих выражений, если х=5, у=3, z=2.

Рассуждаем так: подставим данные числа в выражения.

Если х=5, то 2+х=2+5=7

Если у=3, то 2*y=2*3=6

Если z=2, то 2-z=2-2=0

Прочитаем и сравним задачи.

1. У Тани 3 розы и 6 пионов. Сколько цветков у Тани?

2. У Тани 3 розы и 4 пиона. Сколько цветков у Тани?

3. У Тани 3 розы и 2 пиона. Сколько цветков у Тани?

Обратим внимание на то, что в задаче меняется количество цветков пионов. Заменим все три задачи одной задачей с переменной. Тогда задача будет звучать так: у Тани 3 розы и k пионов. Сколько цветков у Тани?

Чтобы узнать, сколько цветков у Тани, надо к 3 прибавить k.

Подставим значения в буквенное выражение.

если k=6 3+6=9 (цв.)

если k=4 3+4=7 (цв.)

если k=2 3+2=5 (цв.)

Важно отметить, что иногда в выражении бывают две переменные.

Тогда выражения могут выглядеть так:

Определим, какая переменная больше и на сколько.

Правильный ответ:

в первом равенстве сравниваем переменные b и а, а - результат сложения, поэтому a>b на 18;

во втором равенстве сравниваем переменные n и m, n - уменьшаемое, значит n>m на 4;

в третьем равенстве сравниваем переменные c и d, c - это слагаемое, d - значение суммы, значит d>c на 7;

в четвертом равенстве k-t =5 сравниваем уменьшаемое и вычитаемое, уменьшаемое больше, поэтому k>t на 5.

Сегодня на уроке мы учились составлять выражения с переменной, находили значения выражений при данном значении переменной.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Найди значение выражения 36 - а, если а = 15, а = 16, а = 20, а = 35.

2. Найди значение выражения 12 + х, если х = 10, х = 34, х = 48, х = 59

3. Сравни выражения с переменной и поставь знак сравнения. 36 + к …37 + к

4. Замени данные выражения одним общим с переменной.