Примеры:

\(\sqrt{16}=2\), так как \(2^4=16\)
\(\sqrt{-\frac{1}{125}}\) \(=\) \(-\frac{1}{5}\) ,так как \((-\frac{1}{5})^3\) \(=\) \(-\frac{1}{125}\)

Как вычислить корень n-ой степени?

Чтобы вычислить корень \(n\)-ой степени, надо задать себе вопрос: какое число в \(n\)-ой степени, даст под корнем?

Например . Вычислите корень \(n\)-ой степени: а)\(\sqrt{16}\); б) \(\sqrt{-64}\); в) \(\sqrt{0,00001}\); г)\(\sqrt{8000}\); д) \(\sqrt{\frac{1}{81}}\).

а) Какое число в \(4\)-ой степени, даст \(16\)? Очевидно, \(2\). Поэтому:

б) Какое число в \(3\)-ей степени, даст \(-64\)?

\(\sqrt{-64}=-4\)

в) Какое число в \(5\)-ой степени, даст \(0,00001\)?

\(\sqrt{0,00001}=0,1\)

г) Какое число в \(3\)-ей степени, даст \(8000\)?

\(\sqrt{8000}=20\)

д) Какое число в \(4\)-ой степени, даст \(\frac{1}{81}\)?

\(\sqrt{\frac{1}{81}}=\frac{1}{3}\)

Мы рассмотрели самые простые примеры с корнем \(n\)-ой степени. Для решения более сложных задач с корнями \(n\)-ой степени – жизненно необходимо знать их .

Пример. Вычислите:

Корень n-ой степени и квадратный корень связаны?

В любом случае, любой корень любой степени - это просто число, пусть и записанное в непривычном вам виде.

Особенность корня n-ой степени

Корень \(n\)-ой степени с нечетными \(n\) может извлекаться из любого числа, даже отрицательного (см. примеры в начале). Но если \(n\) - четное (\(\sqrt{a}\), \(\sqrt{a}\),\(\sqrt{a}\)…), то такой корень извлекается только если \(a ≥ 0\) (кстати, у квадратного корня так же). Это связано с тем, что извлечение корня – действие, обратное возведению в степень.

А возведение в четную степень делает даже отрицательное число положительным. Действительно, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Поэтому мы не можем получить под корнем четной степени отрицательного числа. А значит, и извлечь такой корень из отрицательного числа – не можем.

Нечетная же степень таких ограничений не имеет – отрицательное число, возведенное в нечетную степень останется отрицательным: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=-32\). Поэтому под корнем нечетной степени можно получить отрицательное число. А значит и извлечь его из отрицательного числа – тоже можно.

Видеоурок 2: Свойства корня степени n > 1

Лекция: Корень степени n > 1 и его свойства

Корень

Предположим, Вы имеете уравнение вида:

Решением данного уравнения будет х 1 = 2 и х 2 = (-2). В качестве ответа подходят оба решения, поскольку числа с равными модулями при возведении в четную степень дают одинаковый результат.

Это был простой пример, однако, что мы можем сделать в том случае, если, например,

Давайте попробуем построить график функции y=x 2 . Её графиком является парабола:

На графике необходимо найти точки, которым соответствует значение у = 3. Данными точками является:

Это означает, что данное значение нельзя назвать целым числом, но можно представить в виде корня квадратного.

Любой корень - это иррациональное число . К иррациональным числам относятся корни, непериодические бесконечные дроби.

Квадратный корень - это неотрицательное число "а", подкоренное выражение которого равно данному числу "а" в квадрате.

Например,

То есть в результате мы получим только положительное значение. Однако в качестве решения квадратного уравнения вида

Решением будет х 1 = 4, х 2 = (-4).

Свойства квадратного корня

1. Какое бы значение не принимала величина x, данное выражение верно в любом случае:

2. Сравнение чисел, содержащих квадратный корень. Чтобы сравнить данные числа, необходимо и одно, и второе число внести под знак корня. То число будет больше, чье подкоренное выражение больше.

Вносим число 2 под знак корня

А теперь давайте внесем число 4 под знак корня. В результате этого получим

И только теперь два полученных выражения можно сравнить:

3. Вынесение множителя из под корня.

Если подкоренное выражение может разложиться на два множителя, один из которых можно вынести из под знака корня, то необходимо пользоваться данным правилом.

4. Существует свойство, обратное данному - внесение множителя под корень. Этим свойством мы заведомо воспользовались во втором свойстве.

Начальный уровень

Корень и его свойства. Подробная теория с примерами (2019)

Давай попробуем разобраться, что это за понятие такое «корень» и «с чем его едят». Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

К примеру, перед нами уравнение. Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом? Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: и (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)! Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ.

Дадим определение арифметическому квадратному корню.

А почему же число должно быть обязательно неотрицательным? Например, чему равен. Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: , а не. Может, ? Опять же, проверяем: . Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать - потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!
Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако самые внимательные уже наверняка заметили, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ». Кто-то из вас скажет, что в самом начале мы разбирали пример, подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом, ответ было и, а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»! Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа. К примеру, не равносильно выражению.

Из следует, что, то есть или. (Читай тему « »)

А из следует, что.

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше квадратное уравнение подходит как, так и.

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат .

А теперь попробуй решить такое уравнение. Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит? Начнем с самого начала - с нуля: - не подходит, двигаемся дальше - меньше трех, тоже отметаем, а что если. Проверим: - тоже не подходит, т.к. это больше трех. С отрицательными числами получится такая же история. И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал? Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между и, а также между и. Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше? Давай построим график функции и отметим на нем решения.

Давай попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из, делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что. Такое число никогда не кончается. Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. и уже сами по себе ответы. Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: . Таким образом, . Так чему же здесь равно искомое расстояние? Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что. Корень из двух приблизительно равен, но, как мы заметили раньше, -уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от до, а также уметь их распознать. К примеру, необходимо знать, что в квадрате равно, а также, наоборот, что - это в квадрате.

Уловил, что такое квадратный корень? Тогда порешай несколько примеров.

Примеры.

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

Ответы:

Кубический корень

Ну что же, с понятием квадратного корня вроде разобрались, теперь постараемся разобраться, что такое кубический корень и в чем их отличие.

Кубический корень из некоторого числа - это число, куб которого равен. Заметили, тут все гораздо проще? Здесь нет никаких ограничений на возможные значения как значения под знаком кубического корня, так и извлекаемого числа. То есть кубический корень можно извлечь из любого числа: .

Уловили, что такое кубический корень и как его извлекать? Тогда вперед решать примеры.

Примеры.

Ответы:

Корень - ой степени

Ну что ж, мы разобрались с понятиями квадратного и кубического корня. Теперь обобщим полученные знания понятием корень -ой степени .

Корень -ой степени из числа — это число, -ая степень которого равна, т.е.

равносильно.

Если - чётно , то:

• при отрицательном , выражение не имеет смысла (корни четной -ой степени из отрицательных чисел извлечь нельзя !);
• при неотрицательном () выражение имеет один неотрицательный корень.

Если - нечётно, то выражение имеет единственный корень при любом.

Не пугайтесь, тут действуют такие же принципы, что и с квадратными и кубическими корнями. То есть принципы, которые мы применяли при рассмотрении квадратных корней, распространяем на все корни четной -ой степени.

А те свойства, которые применяли для кубического корня, распространяются на корни нечетной -ой степени.

Ну что, стало понятней? Давайте разбираться на примерах:

Тут все более ли менее понятно: сначала смотрим - ага, степень - четная, под корнем число положительное, значит наша задача - найти такое число, четвертая степень которого даст нам. Ну, есть предположения? Может, ? Точно, !

Так, степень равна - нечетная, под корнем число отрицательное. Наша задача - найти такое число, при возведении которого в степень получается. Сразу заметить корень довольно затруднительно. Однако можно сразу сузить область поиска, правда? Во-первых, определенно искомое число отрицательно, а во-вторых, можно заметить, что - нечетное, а значит и искомое число - нечетное. Попробуй подобрать корень. Конечно же, и можно смело отметать. Может, ?

Да, это то, что мы искали! Заметь, что для упрощения расчета мы воспользовались свойствами степеней: .

Основные свойства корней

Понятно? Если нет, то рассмотрев примеры, все должно встать на свои места.

Умножение корней

Как умножать корни? На этот вопрос помогает ответить самое простое и базовое свойство:

Начнем с простенького:

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда - вот вам такие примеры:

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка - корень квадратный из!

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак корня четной степени мы можем только положительные числа .

Посмотрим, где это еще может пригодиться. Например, в задаче требуют сравнить два числа:

Что больше:

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня? Тогда вперед:

Ну и, зная, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень! Т.е. если, значит, . Отсюда твердо делаем вывод, что. И никто не убедит нас в обратном!

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Вот, к примеру, такое выражение:

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

С этим вроде все ясно, а вот как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логики, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда вот такой пример:

Это подводные камни, о них всегда стоит помнить . Это фактически и есть отражение на примерах свойства:

Понятно? Закрепляй на примерах:

Ага, видим, корень в четной степени, отрицательное число под корнем тоже в четной степени. Ну и то же получается? А вот что:

Вот и все! Теперь вот такие примеры:

Уловил? Тогда вперед решать примеры.

Примеры.

Ответы.

Если получил ответы, то можно со спокойной душой двигаться дальше. Если нет, то давай разберемся в этих примерах:

Посмотрим на два других свойства корней:

Эти свойства обязательно надо разбирать в примерах. Ну что, займемся этим?

Разобрался? Давай закрепим.

Примеры.

Ответы.

КОРНИ И ИХ СВОЙСТВА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения: и. Это числа, квадрат которых равен.

Рассмотрим уравнение. Решим его графически. Нарисуем график функции и линию на уровне. Точки пересечения этих линий и будут решениями. Видим, что и у этого уравнения два решения - одно положительное, другое отрицательное:

Но в данном случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен. При выражение не определено, т.к. нет такого числа, квадрат которого равен отрицательному числу.

Корень из квадрата: .

Например, . А из следует, что или.

Еще раз обращаю внимание, это очень важно: Квадратный корень - это всегда неотрицательное число: !

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен. Кубический корень определен для всех. Его можно извлечь из любого числа: . Как видим, он может принимать и отрицательные значения.

Корень -ой степени из числа — это число, -я степень которого равна, т.е.

Если — чётно, тогда:

• если, то корень -ой степени из a не определен.
• если, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем -ой степени из и обозначается.

Если - нечётно, тогда уравнение имеет единственный корень при любом.

Ты заметил, что слева сверху от знака корня мы пишем его степень? Но только не для квадратного корня! Если видишь корень без степени, значит он квадратный (степени).

Примеры.

Основные свойства корней

КОРНИ И ИХ СВОЙСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен

Свойства корней:

Приведены основные свойства степенной функции, включая формулы и свойства корней. Представлены производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел степенной функции.

Определение

Определение
Степенная функция с показателем степени p - это функция f(x) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого, f(0) = 0 p = 0 при p > 0 .

Для натуральных значений показателя , степенная функция есть произведение n чисел, равных x :
.
Она определена для всех действительных .

Для положительных рациональных значений показателя , степенная функция есть произведение n корней степени m из числа x :
.
Для нечетных m , она определена для всех действительных x . Для четных m , степенная функция определена для неотрицательных .

Для отрицательных , степенная функция определяется по формуле:
.
Поэтому она не определена в точке .

Для иррациональных значений показателя p , степенная функция определяется по формуле:
,
где a - произвольное положительное число, не равное единице: .
При , она определена для .
При , степенная функция определена для .

Непрерывность . Степенная функция непрерывна на своей области определения.

Свойства и формулы степенной функции при x ≥ 0

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции при неотрицательных значениях аргумента x . Как указано выше, при некоторых значениях показателя p , степенная функция определена и для отрицательных значений x . В этом случае, ее свойства можно получить из свойств при , используя четность или нечетность. Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице « ».

Степенная функция, y = x p , с показателем p имеет следующие свойства:
(1.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(1.2) имеет множество значений
при ,
при ;
(1.3) строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказательство свойств приводится на странице «Степенная функция (доказательство непрерывности и свойств) »

Корни - определение, формулы, свойства

Определение
Корень из числа x степени n - это число , возведение которого в степень n дает x :
.
Здесь n = 2, 3, 4, ... - натуральное число, большее единицы.

Также можно сказать, что корень из числа x степени n - это корень (то есть решение) уравнения
.
Заметим, что функция является обратной к функции .

Квадратный корень из числа x - это корень степени 2: .

Кубический корень из числа x - это корень степени 3: .

Четная степень

Для четных степеней n = 2 m , корень определен при x ≥ 0 . Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x :
.
Для квадратного корня:
.

Здесь важен порядок, в котором выполняются операции - то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.

Нечетная степень

Для нечетных степеней , корень определен для всех x :
;
.

Свойства и формулы корней

Корень из x является степенной функцией:
.
При x ≥ 0 имеют место следующие формулы:
;
;
, ;
.

Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных . Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.

Частные значения

Корень 0 равен 0: .
Корень 1 равен 1: .
Квадратный корень 0 равен 0: .
Квадратный корень 1 равен 1: .

Пример. Корень из корней

Рассмотрим пример квадратного корня из корней:
.
Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы:
.
Теперь преобразуем исходный корень:
.
Итак,
.

y = x p при различных значениях показателя p .

Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x . Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x , приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики »

Обратная функция

Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p .

Если , то .

Производная степенной функции

Производная n-го порядка:
;

Вывод формул > > >

Интеграл от степенной функции

P ≠ - 1 ;
.

Разложение в степенной ряд

При - 1 < x < 1 имеет место следующее разложение:

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z :
f(z) = z t .
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Комплексное число t представим в виде действительной и мнимой частей:
t = p + i q .
Имеем:

Далее учтем, что аргумент φ определен не однозначно:
,

Рассмотрим случай, когда q = 0 , то есть показатель степени - действительное число, t = p . Тогда
.

Если p - целое, то и kp - целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:
.
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z , имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p - иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, ... , то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p - рациональное, то его можно представить в виде:
, где m, n - целые, не содержащие общих делителей. Тогда
.
Первые n величин, при k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 , дают n различных значений kp :
.
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k 0 + n имеем:
.
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2 π , имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k мы получаем те же значения z p , что и для k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 .

Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.

В частности, корень степени n имеет n значений. В качестве примера рассмотрим корень n - й степени действительного положительного числа z = x . В этом случае φ 0 = 0 , z = r = |z| = x , .
.
Так, для квадратного корня, n = 2 ,
.
Для четных k, (- 1 ) k = 1 . Для нечетных k, (- 1 ) k = - 1 .
То есть квадратный корень имеет два значения: + и - .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.