Приближенное вычисление функции с помощью рядов. §6. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Использование степенных рядов в приближенных вычислениях
На данном уроке мы рассмотрим первую, наиболее простую задачу, для решения которой потребуются самые элементарные знания о рядах, таблица разложений функций в степенные ряды и микрокалькулятор. Как вариант, пойдёт Эксель (если умеете управляться с его функциями). Вычислительные задачи требуют повышенной концентрации внимания, поэтому к изучению статьи рекомендую подойти в хорошей физической форме и со свежей головой:
Существует 2 типа рассматриваемой задачи, с которыми мы на самом деле уже сталкивались ранее, в частности при вычислении интеграла по формуле трапеций и методом Симпсона . Тип первый:
Пример 1
Используя разложение функции в ряд, вычислить число , ограничившись 5 членами разложения. Результат округлить до 0,001. Провести вычисления на калькуляторе и найти абсолютную погрешность вычислений.
Решение
: прежде всего, выбираем подходящее табличное разложение функции
. Очевидно, что в нашем случае необходимо взять следующий ряд:
, который сходится при любом значении «икс».
Кратко повторим, что такое сходимость функционального ряда : чем больше слагаемых мы рассмотрим, тем точнее функция-многочлен будет приближать функцию . Действительно, график параболы совсем не напоминает экспоненту и график кубической функции тоже далёк от идеала, но если взять 50-100 членов ряда, то картина в корне поменяется. И, наконец, график бесконечного многочлена совпадёт с графиком экспоненциальной функции .
Примечание : в теории даже есть такой подход и определение: функция – это сумма функционального ряда .
В условии прямо сказано, что нужно просуммировать 5 первых членов ряда, причём, результат следует округлить до 0,001. И поэтому проблем здесь никаких:
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора:
Абсолютная погрешность вычислений:
– ну что же, вполне и вполне неплохо. Но бывает лучше.
Ответ :
Теперь рассмотрим нескольку другую разновидность задания:
Пример 2
Используя разложение функции в ряд, вычислить приближённо с точностью до 0,001.
! Примечание : иногда аргумент бывает выражен в градусах, в таких случаях его необходимо перевести в радианы .
Давайте вспомним смысл выражения «с точностью до 0,001». Оно обозначает, что наш ответ должен отличаться от истины не более чем на 0,001.
Решение
: используя табличное разложение
, запишем несколько членов соответствующего ряда, при этом округление лучше проводить с «запасом» – до 5-6 знаков после запятой:
Сколько членов ряда следует просуммировать для достижения требуемой точности? Для сходящихся знакочередующихся рядов справедлив следующий критерий :члены следует суммировать до тех пор, пока они по модулю больше заданной точности. Первый же меньший вместе со всем «хвостом» подлежит утилизации. В данном примере таковым является 4-й член: , поэтому:
– с округлением финального результата до требуемой точности.
Ответ : с точностью до 0,001
Наверное, все понимают, почему она гарантирована: здесь к отрицательному 4-му члену прибавляется мЕньшее по модулю число , затем из результата вычитается ещё более малое число – и так далее до бесконечности. Образно говоря, конструкция напоминает маятник с затухающими колебаниями, где – самый большой размах в отрицательную сторону, «затмевающий» собой все остальные движения.
Очевидно, что для сходящихся положительных рядов (ближайший пример – Пример 1) рассмотренный критерий некорректен. Условно говоря, если 0,00034 < 0,001, то сумма «хвоста» может запросто превзойти 0,001 (т.к. ВСЕ члены ряда положительны) . И к этому вопросу я ещё вернусь позже:
Пример 3
Пример 4
Вычислить приближённо, используя первые два члена соответствующего разложения. Оценить абсолютную погрешность вычислений.
Это примеры для самостоятельного решения. Разумеется, выгодно сразу же найти чтобы эффективно контролировать ход решения.
И возникает вопрос: зачем заниматься такими нелепыми вещами, если есть калькуляторы, расчётные программы? Отчасти я дал ответ на уроке Приближенные вычисления с помощью дифференциала . Не так уж и давно калькулятор был большой редкостью, не говоря о такой роскоши, как клавиши с надписями и т.д. В гостевой книге сайта одна из посетительниц поделилась воспоминаниями, как все расчёты своего диплома проводила с помощью математических таблиц и логарифмической линейки. А такой инструментарий наряду с механическими счётами сегодня займут место разве что в музее истории математики.
Резюме таково – мы решаем устаревшую задачу. Насущный же практический смысл состоит в том, что её нужно решить =) Ну, может ещё по информатике будет полезно кому – приближенная сумма с наперёд заданной точностью элементарно алгоритмизируется циклом. Правда, какой-нибудь Паскаль довольно быстро сломается, поскольку факториал растёт семимильными шагами.
Кроме того, есть ещё одно очень важное и актуальное приложение, имеющее прикладное значение, но этот секрет будет раскрыт по ходу урока;-) Выдвигайте гипотезы, если догадаетесь – респект.
Также не следует упускать из внимания область сходимости предлагаемых рядов, разложения синуса, косинуса и экспоненты – да, сходятся при любом «икс», но разобранные примеры не должны усыплять бдительность! Простейшая иллюстрация – арктангенс и его разложение . Если попытаться вычислить, скажем, значение , то легко заметить неограниченный рост (по модулю) членов ряда, который не приведёт нас к какому бы то ни было конечному , и тем более приближённому значению. А всё потому, что не входит в область сходимости данного разложения.
Разберём более трудные задания:
Пример 5
Вычислить с точностью до 0,01
Решение : щёлкаем по клавишам калькулятора: . И думаем, как выполнить приближённые вычисления с помощью ряда. В ситуациях с корнем дело сводится к биномиальному разложению с гарантированным интервалом сходимости .
Пытаемся представить наш радикал в виде :
И всё бы было хорошо, но только значение не входит в область сходимости рассматриваемого биномиального ряда, то есть конструкция не годится для вычислений – произойдёт такой же несчастный случай, как с рассмотренным выше .
Как быть? Ещё раз смотрим на значение и замечаем, что оно близко к «тройке». В самом деле: . Используя замечательного соседа, проводим следующее типовое преобразование: под корнем выделяем число 27, искусственно выносим его за скобки и далее выносим из-под корня:
Вот теперь всё тип-топ: число принадлежит интервалу сходимости . Но в качестве «побочного эффекта» возникает необходимость поправить точность вычислений. Ведь когда мы подсчитаем члены разложения , то будем обязаны домножить каждое число на «тройку». И по этой причине изначально требуемую точность 0,01 нужно устрожить в три раза: .
Итак, используем ряд , в котором . Не забываем проверить по таблице разложений
, не подпадает ли наш пример под какой-нибудь частный случай биномиального разложения. Нет. А, значит, придётся работать ручками:
Тут для достижения необходимой точности (заметьте, что члены начали знакочередоваться!) хватило трёх слагаемых, и четвёртого монстра считать не было смысла. Но «про запас» всегда стараемся расписать побольше членов ряда. Если поленитесь и не хватит слагаемых – будете заново переписывать всё задание.
Ответ : с точностью до 0,001
Да, вычисления, конечно, не подарочные, но что поделать….
Более простая вариация на ту же тему для самостоятельного решения:
Пример 6
Вычислить , ограничившись первыми тремя членами ряда. Результат округлить до 3 знаков после запятой.
Образец оформления задачи в конце урока. И не забываем вновь обратиться к вычислительной технике: .
Что студент с нетерпением ждёт изо дня в день? Логарифмы:
Пример 7
Вычислить с точностью до 0,001
Решение : сначала, как всегда, узнаем ответ: .
Очевидно, что здесь нужно использовать разложение
И это действительно возможно, т.к. значение входит в область сходимости данного ряда.
Считаем:
Стоп. Что-то здесь не так. Сойтись-то ряд сойдётся, но такими темпами вычисления могут затянуться до скончания века. И научный тык в неравенство подсказал, что этот конец наступит после счастливого номера .
Таким образом, ряд сходится довольно медленно и пригоден для вычислений разве что и других логарифмов, аргумент которых достаточно близок к единице.
В целях значительного ускорения процесса несложно вывести следующее разложение:
с областью сходимости
Приятная вещь состоит в том, что всякое положительное число (кроме единицы) можно представить в виде . Преобразуем аргумент логарифма в обыкновенную дробь: и решим следующее уравнение:
Проверка:
«Заряжаем»:
И теперь у нас обнаружилась другая проблемка – ряд-то, оказывается, положительный
, и поэтому здесь нельзя указать и отбросить весь «хвост». Вдруг он в своей сумме окажется больше, чем 0,001? В этой связи используем более хитрый метод оценки. Сохранив «на всякий случай» подозрительно большой 3-й член, рассмотрим остаток ряда:
Числа 9, 11, 13, … в знаменателях меняем
на 7 – тем самым только увеличивая
члены, а значит, и всю сумму остатка:
По-научному, это называется подбором мажорантного
сходящегося ряда (в данном случае – геом. прогрессии), сумму которого легко отыскать (или которая известна). И план оказался не только выполнен, но и перевыполнен! Отбрасывая все члены ряда, начиная с 4-го, будет гарантирована точность 0,00002! Впрочем, по условию результат всё равно нужно округлить до трёх знаков после запятой:
Ответ : с точностью до 0,001
Ну и осталось с чувством голубого морального удовлетворения свериться с более точным значением .
…А может быть, было проще вычислить сумму 12 членов медленно сходящегося ряда? =) Впрочем, в следующем задании такой возможности уже не будет в принципе:
Пример 8
Вычислить с точностью до 0,001
– по той причине, что значение не входит в область сходимости ряда .
Дерзайте!
Статья начиналась с приближённого вычисления числа «е», и закончим мы её другой знаменитой константой:
Приближённое вычисление числа с помощью ряда
О «пи» исписаны километры бумаги и сказаны миллионы слов, поэтому я не буду загружать вас историей, теорией и гипотезами, если интересно (а это и на самом деле интересно), обратитесь, например, к Википедии. Данное число обладает бесконечным количеством знаков после запятой: , и теория рядов предоставляет один из эффективных способов нахождения этих цифр.
Рассмотрим задачу разложения некоторой функции в степенной ряд.
Пусть задана функция, имеющая на некотором отрезке производные всех порядков, тогда она разлагается на этом отрезке в ряд вида
который называется рядом Тейлора. Здесь-- заданное число.
Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться к породившей ее функции только при тех значениях, при которых остаток ряда стремиться к нулю:
.
Остаток ряда Тейлора записывается в форме Лагранжа следующим образом:
,
где заключено междуи.
Если
,
то получаем частный случай ряда Тейлора,
который называетсярядом Маклорена:
Рассмотрим ряды Маклорена для некоторых элементарных функций.
данный ряд называется биномиальным,
поскольку при натуральном
из
него получается бином Ньютона.
Подчеркнем, что степенные ряды для
функций
сходятся к соответствующим функциям
при
,
а степенные ряды для функций
и
сходятся лишь при
.
Задача №1.
.
Решение. В качестве исходной формулы возьмем разложение в ряд Маклорена
функции
:
.
Заменим на:
Ответ:
Задача №2.
Написать разложение в
степенной ряд функции
.
Решение. Запишем биномиальный ряд
и сделаем в нем замену
:
По условию
,
подставим это значение в предыдущую
формулу:
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. Рассмотрим применение рядов Тейлора для приближенного вычисления значений функций, значений определенных интегралов и приближенного решения дифференциальных уравнений.
Задача №3.
Вычислить
Решение . Для любогоимеет место формула:
.
При получим
Оценим погрешность вычислений с помощью остаточного члена в форме Лагранжа:
.
,
где лежит междуи.
При имеем
,
где
.
Учитывая, что
,
получим
.
При
При
Таким образом, для достижения требуемой
точности достаточно взять
(или
более):
.
Каждое слагаемое вычислим с одним дополнительным знаком после запятой, чтобы к нашей ошибке не добавлялись ошибки от округления:
Ответ: с точностью 0,0001
.
Задача №4.
Вычислить
приближенно с точностью 0,0001.
Решение.
Для вычисления
будем использовать биномиальный ряд,
который сходится только при
,
поэтому сначала преобразуем данный
корень:
.
В биномиальном ряде положим
:
Данный знакочередующийся числовой ряд
является рядом Лейбница. Чтобы определить,
сколько взять первых членов ряда для
вычисления
с
точностью 0,0001, вычислим последовательно
несколько первых членов ряда:
Согласно свойству ряда Лейбница, если
оставить первые три слагаемые, то ошибка
искомого приближенного значения корня
будет меньше
:
следовательно,
Ответ: с точностью 0,0001
от некоторой функции
,
первообразная которой не вычисляется
в элементарных функциях. Следовательно,
формулу Ньютона-Лейбница применить не
удается. Если
разложима в степенной ряд на отрезке
,
принадлежащем области сходимости ряда,
то интеграл может быть вычислен
приближенно. Иногда приближенного
вычисления бывает достаточно и при
наличии первообразной функции. Для
решения такой задачи используются
ряды Тейлора. Рассмотрим примеры.
Задача №5.
с точностью 0,01.
Решение. Заметим, что этот широко используемый интеграл не выражается в элементарных функциях.
В ряде Маклорена для функции
сделаем
замену
:
Теперь воспользуемся теоремой о том,
что степенной ряд можно почленно
интегрировать по любому отрезку,
принадлежащему интервалу сходимости.
Данный ряд сходится на всей числовой
прямой, следовательно, его можно
интегрировать по любому отрезку, в том
числе по отрезку
:
Мы получили числовой ряд, который равен значению определенного интеграла.
Оценим погрешность вычислений. Данный ряд – это ряд Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда. Поэтому, вычисляя по порядку члены ряда, первым отбросим тот, который окажется по модулю меньше заданной точности:
,
.
Тогда 024=0,743.
Ответ:
0,743.
Задача №6.
Вычислить определенный
интеграл
с точностью 0,001.
Решение.
Вычислить этот интеграл
по формуле Ньютона-Лейбница нельзя,
поскольку первообразная функции
не выражается в элементарных функциях.
Используем для решения задачи степенной
ряд. Запишем разложение в ряд Маклорена
функции
:
.
Сделаем в этой формуле замену
:
Данный ряд можно почленно проинтегрировать
по отрезку
:
Таким образом, вычисляемый определенный интеграл равен сумме знакочередующегося числового ряда, который удовлетворяет условиям признака Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит модуля первого из отброшенных членов ряда.
,
.
Поэтому для достижения заданной точности необходимо оставить первые 3 слагаемые.
Ответ:
.
Задача №7.
. Вычислить определенный
интеграл
с точностью 0,001.
Решение.
Распишем ряд Маклорена для
функции
.
.
Поделим левую и правую часть формулы на :
.
Полученный степенной ряд можно
почленно проинтегрировать по отрезку
.
Получившийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому отбрасываем первым слагаемое, которое меньше объявленной точности:
,
.
Ответ:
.
Рассмотрим еще одно приложение степенных рядов, к приближенному решению дифференциальных уравнений. Решение дифференциального уравнения не всегда можно выразить в элементарных функциях. Интегралы многих дифференциальных уравнений могут быть представлены в виде степенного ряда, сходящегося в некотором интервале значений независимой переменной. В таком случае ряд, являющийся решением дифференциального уравнения можно найти с помощью рядов Тейлора.
Пусть необходимо найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями, т.е. решить задачу Коши.
Проиллюстрируем решение на примере.
Задача №8.
Найти первые пять членов
разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения
.
Решение. Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде ряда
Мы выбрали разложение в ряд Маклорена,
поскольку в условии задачи нам даны
значения искомой функции и ее первой
производной в точке
.
Для того, чтобы найти приближенное
значение функции
,
нам необходимо знать значения ее второй,
третьей и четвертой производных в точке
.
Значения самой функции и первой
производной в нуле даны по условию.
Значение второй производной при
найдем из дифференциального уравнения,
подставив начальные условия:
.
Для нахождения третьей производной продифференцируем данное дифференциальное уравнение:
.
При этом необходимо учесть, что -- это функция, а-- независимая переменная:
Теперь можно вычислить значение третьей
производной в точке
:
Аналогично вычислим значение четвертой производной:
, или
Подставив в найденное равенство значения
Осталось подставить вычисленные в заданной точке значения производных в ряд Маклорена:
Ответ:
.
Задача №9.
Найти первые четыре члена
разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего начальным условиям
.
Решение.
Начальные условия заданы
в точке
,
поэтому решение будем искать в виде
ряда Тейлора:
Значения самой функции и ее первой
производной даны в условии задачи.
Вторую производную в точке
найдем
из дифференциального уравнения:
Вычислим третью производную, продифференцировав дифференциальное уравнение:
или
.
Тогда значение третьей производной равно
Осталось записать искомый ряд.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ с некоторой наперёд заданной точностью $\varepsilon$. Если непосредственное нахождение первообразной подынтегральной функции $f(x)$ чересчур громоздко, или же интеграл $\int f(x)dx$ вообще не берётся, то в этих случаях можно использовать функциональные ряды. В частности, применяются ряды Маклорена, с помощью которых получают разложение в степенной ряд подынтегральной функции $f(x)$. Именно поэтому в работе нам будет нужен документ с рядами Маклорена .
Степенные ряды, которые мы и станем использовать, сходятся равномерно, поэтому их можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости. Схема решения подобных задач на вычисление интегралов с помощью рядов проста:
- Разложить подынтегральную функцию в функциональный ряд (обычно в ряд Маклорена).
- Произвести почленное интегрирование членов записанного в первом пункте функционального ряда.
- Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью $\varepsilon$.
Задачи на вычисление интегралов с помощью рядов популярны у составителей типовых расчётов по высшей математике. Поэтому в данной теме мы разберём пять примеров, в каждом из которых требуется вычислить определенный интеграл с точностью $\varepsilon$.
Пример №1
Вычислить $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx$ с точностью до $\varepsilon=10^{-3}$.
Сразу отметим, что интеграл $\int e^{-x^2}dx$ не берётся, т.е. первообразная подынтегральной функции не выражается через конечную комбинацию элементарных функций. Иными словами, стандартными способами (подстановка, интегрирование по частям и т.д.) первообразную функции $e^{-x^2}$ найти не удастся.
Для таких задач есть два варианта оформления, поэтому рассмотрим их отдельно. Условно их можно назвать "развёрнутый" и "сокращённый" варианты.
Развёрнутый вариант оформления
ряд Маклорена :
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\ldots$$
$$e^{-x^2}=1-x^2+\frac{\left(-x^2\right)^2}{2}+\frac{\left(-x^2\right)^3}{6}+\ldots=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots$$
Интегрируем полученное разложение на отрезке $\left$:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left(1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots\right)dx=\\ =\left.\left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\ldots\right)\right|_{0}^{1/2}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}-\frac{1}{42\cdot{2^7}}+\ldots$$
Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Это значит, что если для вычисления приближенного значения заданного интеграла взять $k$ членов полученного ряда, то погрешность не превысит модуля $(k+1)$-го члена ряда.
Согласно условию, точность $\varepsilon=10^{-3}$. Так как $\frac{1}{42\cdot{2^7}}=\frac{1}{5376}<10^{-3}$, то для достижения требуемой точности достаточно ограничиться первыми тремя членами знакочередующегося ряда:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}=\frac{443}{960}.$$
Погрешность полученного равенства не превышает $\frac{1}{5376}$.
Однако суммировать обычные дроби - дело утомительное, поэтому чаще всего расчёты ведут в десятичных дробях:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}\approx{0{,}5}-0{,}0417+0{,}0031\approx{0{,}461}.$$
Разумеется, в этом случае нужно учитывать погрешность округления. Первое слагаемое (т.е. $0{,}5$) было рассчитано точно, поэтому никакой погрешности округления там нет. Второе и третье слагаемые брались с округлением до четвёртого знака после запятой, посему погрешность округления для каждого из них не превысит $0,0001$. Итоговая погрешность округления не превысит $0+0{,}0001+0{,}0001=0{,}0002$.
Следовательно, суммарная погрешность равенства $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx{0{,}461}$ не превысит $0{,}0002+\frac{1}{5376}<10^{-3}$, т.е. значение интеграла вычислено с требуемой точностью.
Сокращённый вариант оформления
Запишем разложение функции $e^x$ в ряд Маклорена :
$$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$
Данное разложение верно при всех $x\in{R}$. Подставим $-x^2$ вместо $x$:
$$e^{-x^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{n!}$$
Интегрируем полученный ряд на отрезке $\left$:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{n!}dx= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}x^{2n}dx=\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left.\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right|_{0}^{1/2}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}}{n!\cdot(2n+1)}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\cdot(2n+1)\cdot{2^{2n+1}}}$$
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\cdot(2n+1)\cdot{2^{2n+1}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{24}+\frac{1}{320}-\frac{1}{5376}+\ldots$$
Все рассуждения, что были сделаны относительно погрешностей в развёрнутом варианте оформления остаются в силе, т.е. $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}\approx{0{,}461}$.
Чем сокращённый вариант записи лучше развёрнутого?
Во-первых, нам не нужно угадывать, сколько членов ряда взять в изначальном разложении, чтобы вычислить определенный интеграл с заданной точностью. Например, мы записали в самом начале решения:
$$e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots$$
Однако почему мы решили, что нужно взять именно четыре члена ряда? А вдруг нужно взять два члена ряда или пять, или сто? Если бы только шестой член ряда оказался меньше чем $\varepsilon$, - что тогда? А тогда пришлось бы возвращаться в самое начало решения, добавлять ещё пару членов ряда и интегрировать их. А если и этого не хватит, то проделать эту процедуру ещё раз.
Сокращённый вид записи таким недостатком не страдает. Мы получаем числовой ряд, записанный в общем виде, поэтому можем брать столько его членов, сколько потребуется.
Исходя из вышеперечисленных причин, я предпочитаю именно сокращённый способ записи. В дальнейнем все решения в этой теме будут оформлены в сокращённой форме.
Ответ : $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx{0{,}461}$.
Пример №2
Вычислить определённый интеграл $\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx$ с точностью до $\varepsilon=10^{-3}$, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и проинтегрировав почленно.
Начнём с разложения подынтегральной функции $\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}$ в ряд Маклорена. Запишем разложение функции $\cos{x}$ в ряд Маклорена :
$$\cos{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{(2n)!}$$
Данное разложение верно при всех $x\in{R}$. Подставим вместо $x$ дробь $\frac{5x}{3}$:
$$\cos{\frac{5x}{3}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{\left(\frac{5x}{3}\right)}^{2n}}{(2n)!}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}.$$
Теперь разложим $1-\cos\frac{5x}{3}$:
$$ 1-\cos\frac{5x}{3}=1-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}} $$
Забирая из суммы $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}$ первый член, получим: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}$. Следовательно:
$$ 1-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=1-\left(1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\right)=\\ =-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. $$
Последнее, что остаётся - это разделить на $x$:
$$ \frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}=\frac{1}{x}\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. $$
Интегрируем данное разложение на отрезке $\left$:
$$ \int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}dx= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}}{x}^{2n-1}dx=\\ =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\cdot\left.\frac{x^{2n}}{2n}\right|_{0}^{1/5}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{{2n}\cdot 3^{2n}\cdot{(2n)!}} $$
Получили знакочередующийся ряд. Запишем несколько первых членов этого ряда (до тех пор, пока записанный член не станет меньше $\varepsilon$):
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{{2n}\cdot 3^{2n}\cdot{(2n)!}}=\frac{1}{36}-\frac{1}{7776}+\ldots$$
Так как $\frac{1}{7776}<\varepsilon$, то для вычисления интеграла с точностью $\varepsilon$ достаточно первого члена полученного числового ряда:
$$\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx\approx\frac{1}{36}\approx{0{,}028}.$$
Ответ : $\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx\approx{0{,}028}$.
Продолжение темы вычисления интегралов с помощью рядов Маклорена продолжим во
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
1. Приближенное вычисление значений функций
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:
Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х , принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:
Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x ). Для этого применяют следующие приемы:
Пример 1 . Пользуясь разложением в ряд sinx , вычислить sin20 o с точностью до 0,0001.
Решение
.
Чтобы можно было пользоваться формулой
(2), необходимо выразить значение аргумента
в радианной мере. Получаем
.
Подставляя это значение в формулу,
получаем
Полученный
ряд является знакочередующимся и
удовлетворяет условиям Лейбница. Так
как
,
то этот и все последующие члены ряда
можно отбросить, ограничиваясь первыми
двумя членами. Таким образом,
Пример
2
. Вычислить
с точностью до 0,01.
Решение
.
Воспользуемся разложением
,
где(см. пример 5 в предыдущей теме):
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
.
Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем
.
Пример
3
. Вычислить
с точностью до 0,0001.
Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.
так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
2. Приближенное вычисление определенных интегралов
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Пример
4
: Вычислить
интеграл
с точностью до 0,00001.
Решение
.
Соответствующий неопределенный интеграл
не может быть выражен в элементарных
функциях, т.е. представляет собой
«неберущийся интеграл». Применить
формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя.
Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.
Пример 5 . Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
Следовательно,
.
Лекция 57
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Всякая функция,
бесконечно дифференцируемая в интервале
,
т.е.
,
может быть разложена в этом интервале
в сходящийся к ней бесконечный степеннойряд Тейлора
,
если в этом интервале
выполняется условие
,
где
- остаточный член формулы Тейлора,.
При
получаем так называемыйряд Маклорена
:.
Если в некотором
интервале, содержащем точку
,
при любомвыполняется неравенство
,
где
-
положительная постоянная, то
и функция
разложима в ряд Тейлора.
Приведем разложения в ряд Тейлора следующих функций:
1)
2)
7)
8) биномиальный ряд:
Это последнее разложение применимо в следующих случаях:
при
если
при
если
при
если
.
В общем случае разложение функций в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. На практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (1-8) или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Иногда при разложении полезно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды сходятся к соответствующим функциям.
1.Разложить по
степеням разности
функцию
.
Решение. Для
того, чтобы воспользоваться формулой
Тейлора при
,
найдем:
и т.д.
Следовательно,
2.Разложить
в ряд по степеням
.
Решение.
Воспользуемся равенством
.
Правую часть этого равенства можно
рассматривать как сумму бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
с первым членом
и знаменателем
.
Отсюда получаем
Так как
,
то
3. Разложить в
ряд Маклорена функцию
Решение. Разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей:
Поскольку
то
Так как ряд
сходится при
,
а ряд
сходится
при
,
то ряд
сходится
к данной функции при
.
4.Разложить в
степенной ряд функцию
.
Решение. Найдем
значения функции и ее производных при
Так как
,
то при фиксированномимеет место неравенство
при любом.
Следовательно, функция может быть
представлена в виде суммы ряда Тейлора:
.
В данном случае
Это разложение
можно получить и иначе: достаточно в
разложении
заменитьна
.
5. Разложить в
степенной ряд функцию
.
Решение. В разложении
заменяем
на
,
получаем
6. Разложить
в ряд по степеням
.
Решение. В разложении
заменяем
на
,
получаем
7. Разложить в
степенной ряд функцию
.
Решение. Заметим,
что
.Рассмотрим
ряд
Данный ряд сходится
при
,
значит, его можно почленно интегрировать
на любом отрезке
.
Следовательно,
,
т.е получили ряд, сходящийся к данной
функции при
8. Разложить по
степеням
многочлен
9. Разложить по
степеням
функцию
и найти область сходимости полученного
ряда.
Ответ:
10. Разложить по
степеням
функцию
и найти область сходимости этого ряда.
11. Разложить по
степеням
функцию
.
Найти область сходимости этого ряда.
Ответ
Разложить в ряд
Маклорена функцию
.
Указать область сходимости полученного
ряда к этой функции.
12.
.
Ответ:
13.
Ответ:
.
14.
. Ответ:
.
15.
. Ответ:
16.
Ответ:
.
17.
. Ответ:
.
18.
Ответ:
19.
.Ответ:
.
6.16. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях
Вычисление
значений функции
. Пусть дан степенной
ряд функции
.
Задача вычисления значения этой функции
заключается в отыскании суммы ряда при
заданном значении аргумента. Ограничиваясь
определенным числом членов ряда, находим
значение функции с точностью, которую
можно установить путем оценивания
остатка числового ряда либо остаточного
члена
формул Тейлора или Маклорена. Если
данный ряд знакопостоянный, то ряд,
составленный из отброшенных членов,
сравнивают с бесконечно убывающей
геометрической прогрессией. В случае
знакочередующегося ряда используется
оценка
,
где
-
первый из отброшенных членов ряда.
Пример 1. Вычислить с точностью до 0,0001 значение ln1,1.
Решение.
Для вычисления приближённых значений функции с заданной точностью удобно пользоваться рядами в том случае, когда соответствующий ряд является знакочередующимся; для знакочередующегося сходящегося ряда легко оценить погрешность приближённого значения суммы – она меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.
Возьмём ряд для функции ln(1+x):
Который сходится к ln(1+x) в интервале (-1,1], и, полагая, x=0,1 , получим ряд для вычисления ln1,1 с любой точностью.
Абсолютное значение четвёртого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления приближённого значения ln1,1 с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трёх первых членов ряда
.
Точность: 0,001.
В прикладных задачах важна оценка погрешности приближения.
Определение: Точность вычисления не превышает первого из отброшенных элементов ряда.
1.Оценить погрешность приближенного равенства
Решение.
Погрешность этого приближенного
равенства определяется суммой членов,
следующих после
в разложении:
,
Заменив каждый
из сомножителей
,…
меньшей величиной
,
получим неравенство
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим:
,
т.е.
2.Вычислить
с точностью до 0,00001.
Решение. Используя разложение в ряд, получаем
Определим число так, чтобы погрешность приближенного равенства
не превышала
0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности,
данной в предыдущем примере. Полагаем
,
тогда:
т.е.
.
Путем подбора
определим, при каком значении
будет выполняться неравенство
.
Пусть
,
тогда
,
т.е.
.
Пусть
,
тогда
,
т.е.
.
Принимаем
..
Вычисляем каждое
слагаемое с точностью до 0,000001, для того
чтобы при суммировании не получить
погрешность, превышающую 0,00001. Окончательно
получаем
.
3. Вычислить
с точностью до 0,00001.
Решение. Имеем
Получен
знакочередующийся ряд, удовлетворяющий
условиям сходимости признака Лейбница,
поэтому допускаемая погрешность по
абсолютной величине должна быть меньше
первого из отброшенных членов ряда.
Нетрудно видеть, что
,
поэтому первый из отброшенных членов
равен
и
.
Вычисляем сумму и получаем
.
4. Пользуясь
разложением
в ряд, вычислить
с точностью до 0,0001 .
Решение. .
Достаточно взять три члена ряда, так как Тогда
5. Вычислить
с точностью до 0,0001.
в ряд, полагая
.
Имеем
Четвертый и
следующие за ним члены отбрасываем, так
как четвертый член меньше 0,0001. Итак
6. Вычислить
с точностью до 0,001.
Решение. Так
как
является ближайшим к числу 130 кубом
целого числа, то целесообразно число
130 представить в виде суммы двух слагаемых:
.
Тогда
Четвертый член
меньше
,
поэтому его и следующие за ним члены
можно отбросить. Итак,,
т.е.
.
7. Вычислить
с
точностью до 0,0001.
Решение.
Воспользуемся разложением
в ряд:
или
,
откуда
Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.
8.
.
Ответ: 3,017.
9.
Ответ: 0,340.
10.
.
Ответ: 0,84147.
11.
.
Ответ: 1,3956.
12.
,
.
Ответ: 1,140.
13.
Ответ: 0,302.
14.
Ответ: 0,464.
15.
Ответ: 1,0986.
16.
,
Ответ: 0,999.
17.
Ответ: 0,3679.
Вычисление интегралов . Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.
18. Вычислить
с
точностью
Решение. Воспользуемся разложением . Заменив в немна, получим ряд.
Данный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,
поскольку уже
третий член полученного знакочередующегося
ряда меньше
19. Найти интеграл
в
виде степенного ряда и указать область
его сходимости.
Решение. Воспользуемся разложением , получим ряд для подынтегральной функции
Он сходится на всей числовой прямой, и, следовательно, его можно почленно интегрировать:
Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой.
Используя
разложение подынтегральной функции в
степенной ряд, вычислить указанный
определенный интеграл с точностью до
.
20.
.
Ответ: 0,070.
21.
.
Ответ: 0,223.
22.
.
Ответ: 0,162.
23.
.
Ответ: 0,480.
24.
.
Ответ: 0,054.
25.
.
Ответ: 0,484.
26.
.
Ответ: 0,487.
27.
.
Ответ: 0,156.
28.
.
Ответ: 0,059.
29.
Ответ: 0,103.
Приближенное решение дифференциальных уравнений .
В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.
При решении
задачи Коши
,
используется ряд Тейлора
,
где,
а остальные производные
находятся
путем последовательного дифференцирования
уравнения
и подстановки начальных данных в
выражения для этих производных.
Решение задачи
Коши
для
дифференциального уравнения можно
также искать в виде разложения в степенной
ряд
с неопределенными
коэффициентами
.
30. Найти пять
первых членов разложения в степенной
ряд решения
,
если
.
Решение. Из
данного уравнения находим, что
.
Дифференцируем исходное уравнение:
и т.д. Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора, получаем