Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Ответ: _________
2. Товар стоил 3200 р. Сколько стал стоить этот товар после снижения цены на 5%?
А. 3040 р. Б. 304 p. В. 1600 р. Г. 3100 p.
3. Учащиеся класса в среднем выполнили по 7,5 задания из предложенного теста. Максим выполнил 9 заданий. На сколько процентов его результат выше среднего?
Ответ: _________
4. Ряд состоит из натуральных чисел. Какая из следующих статистических характеристик не может выражаться дробным числом?
А. Среднее арифметическое
Б. Мода
В. Медиана
Г. Такой характеристики среди данных нет
5. Какое из уравнений не имеет корней?
A. x =x Б. x =6 В. x =0 Г. x =−5
6. На координатной прямой отмечены числа А и В (рис. 35). Сравните числа –А и В.

А. –А < В
Б. –А > В
В. –А = В
Г. Сравнить невозможно
7. Упростите выражение a (a – 2) – (a – 1)(а + 1).
Ответ: _________
8. Значения каких переменных надо знать, чтобы найти значение выражения (5а – 2b)(5а + 2b) – 4b (3а – b) + 6а (2b – 1)?
А. а и b Б. а В. b
Г. Значение выражения не зависит от значений переменных
9. Решите уравнение (x – 2)2 + 8x = (х – 1)(1 + х).
Ответ: _________
10. Решите систему уравнений { 3x−2y=5, 5x+6y=27.
Ответ: _________
11. За 3 ч езды на автомобиле и 4 ч езды на поезде туристы проехали 620 км, причем скорость поезда была на 10 км/ч больше скорости автомобиля. Каковы скорость поезда и скорость автомобиля?
Обозначив через x км/ч скорость автомобиля и через у км/ч скорость поезда, составили системы уравнений. Какая из них составлена правильно?
А. { 3x+4y=620, x−y=10 Б. { 3x+4y=620, y−x=10
В. { 4x+3y=620, x−y=10 Г. { 4x+3y=620, y−x=10
12. Какая из точек не принадлежит графику функции у = –0,6x + 1?
А. (3; –0,8) Б. (–3; 0,8) B. (2; –0,2) Г. (–2; 2,2)
13. В какой координатной четверти нет ни одной точки графика функции у = –0,6x + 1,5?
Ответ: _________
14. Задайте формулой линейную функцию, график которой пересекает ось х в точке (2; 0) и ось у в точке (0; 7).
Ответ: _________ Помогите

1. Найдите значение выражения a a−1 , если a = 0,25. Ответ: _________ 2. Товар стоил 3200 р. Сколько стал стоить этот товар после снижения цены на 5%?

А. 3040 р. Б. 304 p. В. 1600 р. Г. 3100 p. 3. Учащиеся класса в среднем выполнили по 7,5 задания из предложенного теста. Максим выполнил 9 заданий. На сколько процентов его результат выше среднего? Ответ: _________ 4. Ряд состоит из натуральных чисел. Какая из следующих статистических характеристик не может выражаться дробным числом? А. Среднее арифметическое Б. Мода В. Медиана Г. Такой характеристики среди данных нет 5. Какое из уравнений не имеет корней? A. x =x Б. x =6 В. x =0 Г. x =−5 6. На координатной прямой отмечены числа А и В (рис. 35). Сравните числа –А и В. А. –А < В Б. –А > В В. –А = В Г. Сравнить невозможно 7. Упростите выражение a (a – 2) – (a – 1)(а + 1). Ответ: _________ 8. Значения каких переменных надо знать, чтобы найти значение выражения (5а – 2b)(5а + 2b) – 4b (3а – b) + 6а (2b – 1)? А. а и b Б. а В. b Г. Значение выражения не зависит от значений переменных 9. Решите уравнение (x – 2)2 + 8x = (х – 1)(1 + х). Ответ: _________ 10. Решите систему уравнений { 3x−2y=5, 5x+6y=27. Ответ: _________ 11. За 3 ч езды на автомобиле и 4 ч езды на поезде туристы проехали 620 км, причем скорость поезда была на 10 км/ч больше скорости автомобиля. Каковы скорость поезда и скорость автомобиля? Обозначив через x км/ч скорость автомобиля и через у км/ч скорость поезда, составили системы уравнений. Какая из них составлена правильно? А. { 3x+4y=620, x−y=10 Б. { 3x+4y=620, y−x=10 В. { 4x+3y=620, x−y=10 Г. { 4x+3y=620, y−x=10 12. Какая из точек не принадлежит графику функции у = –0,6x + 1? А. (3; –0,8) Б. (–3; 0,8) B. (2; –0,2) Г. (–2; 2,2) 13. В какой координатной четверти нет ни одной точки графика функции у = –0,6x + 1,5? Ответ: _________ 14. Задайте формулой линейную функцию, график которой пересекает ось х в точке (2; 0) и ось у в точке (0; 7). Ответ: _________ Вариант 2 1. Найдите значение выражения x x−2 , если x = 2,25. Ответ: _________ 2. Товар стоил 1600 р. Сколько стал стоить товар после повышения цены на 5%? А. 1760 р. Б. 1700 р. В. 1605 р. Г. 1680 р. 3. За смену токари цеха обработали в среднем по 12,5 деталей. Петров обработал за эту смену 15 деталей. На сколько процентов его результат выше среднего? Ответ: ____________ 4. В ряду данных все числа целые. Какая из следующих характеристик не может выражаться дробным числом? А. Среднее арифметическое Б. Мода В. Медиана Г. Такой характеристики среди данных нет 5. Какое из уравнений не имеет корней? A. x =0 Б. x =7 В. x =−x Г. x =−6 6. На координатной прямой отмечены числа В и С (рис. 36). Сравните числа В и –С. А. В > –С Б. B < –С В. В = –С Г. Сравнить невозможно 7. Упростите выражение х (х – 6) – (х – 2)(х + 2). Ответ: ___________ 8. Значения каких переменных надо знать, чтобы найти значение выражения (3х – 4у)(3х + 4у) – 3х (3х – у) + 3у (1 – х)? А. x Б. у В. x и у Г. Значение выражения не зависит от значений переменных 9. Решите уравнение (х + 3)2 – х = (х – 2)(2 + x). Ответ: ___________ 10. Решите систему уравнений { 2x+5y=−1, 3x−2y=8. Ответ: ___________ 11. Масса 5 см3 железа и 10 см3 меди равна 122 г. Масса 4 см3 железа больше массы 2 см3 меди на 14,6 г. Каковы плотность железа и плотность меди? Обозначив через x г/см3 плотность железа и через у г/см3 плотность меди, составили системы уравнений. Какая из систем составлена правильно? А. { 5x+10y=122, 4x−2y=14,6 Б. { 5x+10y=122, 4y−2x=14,6 В. { 10x+5y=122, 4x−2y=14,6 Г. { 10x+5y=122, 4y−2x=14,6 12. Какая из точек не принадлежит графику функции у = –1,2x – 1,4? А. (–1; –0,2) Б. (–2; 1) В. (0; –1,4) Г. (–3; 2,2) 13. В какой координатной четверти нет ни одной точки графика функции у = 1,8x – 7,2? Ответ: ___________ 14. Задайте формулой линейную функцию, график которой пересекает ось x в точке (–4; 0) и ось у в точке (0; 3). Ответ: ____________ У МЕНЯ ЗАВТРА ИТОГОВАЯ ПОЖАЛУЙСТА

I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры. Найти значение выражения:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

Решение .

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV. Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Примеры.

a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Решение. Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Решение. Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.

Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.

Примеры. Упростите, используя сокращение дробей.

Решение. Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b ; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n . Получаем:

Алгебраические выражения применяют для составления формул.

Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: известная вам формула пути s=v·t (s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.

Страница 1 из 1 1

Вы, как родители, в процессе обучения своего ребенка, не раз столкнетесь с необходимостью помощи в решении домашних задач по математике, алгебре и геометрии. И одно из базовых умений, которое необходимо усвоить — как найти значение выражения. Многие заходят в тупик, ведь сколько лет прошло с того момента, как мы учились в 3-5 классах? Многое уже забылось, а что-то не училось. Сами правила математических действий - просты и вы легко их вспомните. Начнем с самых основ, что такое математическое выражение.

Определение выражения

Математическое выражение - совокупность чисел, знаков действий (=, +,-, *, /), скобок, переменных. Кратко - это формула, значение которой нужно будет найти. Такие формулы как раз встречаются в курсе математики еще со школы, а потом преследуют и студентов, которые выбрали для себя специальности, связанные с точными науками. Математические выражения разделяются на тригонометрические, алгебраические и так далее, не будем забегать в самые «дебри».

1. Делайте любые вычисления сначала на черновике, а после переписывайте в рабочую тетрадь. Таким образом вы избежите лишних перечеркиваний и грязи;
2. Пересчитайте общее количество математических действий, которые нужно будет выполнить в выражении. Обратите внимание, что согласно правилам, вначале выполняются действия в скобках, потом деление и умножение и в самом конце вычитание и сложение. Рекомендуем выделить все действия карандашом и поставить цифры над действиями в порядке очередности их выполнения. В этом случае и вам и ребенку будет легче сориентироваться;
3. Начинайте производить расчеты строго придерживаясь порядка выполнения действий. Пусть ребенок, если расчет простой, старается выполнять его в уме, если же это сложно, то ставьте карандашом цифру, соответствующую порядковому номеру выражения и выполняйте вычисление в письменном виде под формулой;
4. Как правило, найти значение простого выражения не составляет труда, если все расчеты выполнены в соответствии с правилами и правильным порядком. Большинство сталкиваются с проблемой именно на данном этапе нахождения значения выражения, потому будьте внимательны и не допускайте ошибок;
5. Запрещайте калькулятор. Сами математические формулы и задачи в жизни вашему ребенка может и не пригодятся, но не в этом цель изучения предмета. Главное - развитие логическое мышления. Если пользоваться калькуляторами, то смысл всего будет потерян;
6. Ваша задача как родителя - не решать за ребенка задачи, а помогать ему в этом, направлять. Пусть он сам производит все вычисления, а вы следите за тем, чтобы он не допускал ошибок, объясняйте, почему нужно делать так, а не иначе.
7. После того, как ответ на выражение найден, запишите его после знака «=»;
8. Откройте последнюю страницу учебника по математике. Обычно, там есть ответы под каждое упражнение в книге. Не мешает свериться, верно ли все посчитано.

Найти значение выражения - с одной стороны, простая процедура, главное вспомнить основные правила, которые мы проходили в школьном курсе математики. Однако, с другой стороны, когда вам нужно помочь малышу справиться с формулами и решением задач, вопрос осложняется. Ведь вы теперь не ученик, а учитель и на ваших плечах лежит воспитание будущего Эйнштейна.

Надеемся, что наша статья помогла вам найти ответ на вопрос, как найти значение выражения, и вы с легкостью раскусите любую формулу!

Итак, если числовое выражение составлено из чисел и знаков +, −, · и:, то по порядку слева направо нужно сначала выполнить умножение и деление, а затем – сложение и вычитание, что позволит найти искомое значение выражения.

Приведем решение примеров для пояснения.

Пример.

Вычислите значение выражения 14−2·15:6−3 .

Решение.

Чтобы найти значение выражения, нужно выполнить все указанные в нем действия в соответствии с принятым порядком выполнения этих действий. Вначале по порядку слева направо выполняем умножение и деление, получаем 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3 . Теперь также по порядку слева направо выполняем оставшиеся действия: 14−5−3=9−3=6 . Так мы нашли значение исходного выражения, оно равно 6 .

Ответ:

14−2·15:6−3=6 .

Пример.

Найдите значение выражения .

Решение.

В данном примере нам сначала нужно выполнить умножение 2·(−7) и деление с умножением в выражении . Вспомнив, как выполняется , находим 2·(−7)=−14 . А для выполнения действий в выражении сначала , после чего , и выполняем : .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: .

А как быть, когда под знаком корня находится числовое выражение? Чтобы получить значение такого корня, нужно сначала найти значение подкоренного выражения, придерживаясь принятого порядка выполнений действий. Например, .

В числовых выражениях корни следует воспринимать как некоторые числа, и корни целесообразно сразу заменить их значениями, после чего находить значение полученного выражения без корней, выполняя действия в принятой последовательности.

Пример.

Найдите значение выражения с корнями .

Решение.

Сначала найдем значение корня . Для этого, во-первых, вычислим значение подкоренного выражения, имеем −2·3−1+60:4=−6−1+15=8 . А во-вторых, находим значение корня .

Теперь вычислим значение второго корня из исходного выражения: .

Наконец, мы можем найти значение исходного выражения, заменив корни их значениями: .

Ответ:

Достаточно часто, чтобы стало возможно найти значение выражения с корнями, предварительно приходится проводить его преобразование. Покажем решение примера.

Пример.

Каково значение выражения .

Решение.

Мы не имеем возможности заменить корень из трех его точным значением, что не позволяет нам вычислить значение этого выражения описанным выше способом. Однако мы можем вычислить значение этого выражение, выполнив несложные преобразования. Применим формулу разности квадратов : . Учитывая , получаем . Таким образом, значение исходного выражения равно 1 .

Ответ:

.

Со степенями

Если основание и показатель степени являются числами, то их значение вычисляется по определению степени, например, 3 2 =3·3=9 или 8 −1 =1/8 . Встречаются также записи, когда основание и/или показатель степени являются некоторыми выражениями. В этих случаях нужно найти значение выражения в основании, значение выражения в показателе, после чего вычислить значение самой степени.

Пример.

Найдите значение выражения со степенями вида 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 .

Решение.

В исходном выражении две степени 2 3·4−10 и (1−1/2) 3,5−2·1/4 . Их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий.

Начнем со степени 2 3·4−10 . В ее показателе находится числовое выражение, вычислим его значение: 3·4−10=12−10=2 . Теперь можно найти значение самой степени: 2 3·4−10 =2 2 =4 .

В основании и показателе степени (1−1/2) 3,5−2·1/4 находятся выражения, вычисляем их значения, чтобы потом найти значение степени. Имеем (1−1/2) 3,5−2·1/4 =(1/2) 3 =1/8 .

Теперь возвращаемся к исходному выражению, заменяем в нем степени их значениями, и находим нужное нам значение выражения: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6 .

Ответ:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6 .

Стоит заметить, что более распространены случаи, когда целесообразно провести предварительное упрощение выражения со степенями на базе .

Пример.

Найдите значение выражения .

Решение.

Судя по показателям степеней, находящихся в данном выражении, точные значения степеней получить не удастся. Попробуем упростить исходное выражение, может быть это поможет найти его значение. Имеем

Ответ:

.

Степени в выражениях зачастую идут рука об руку с логарифмами, но о нахождении значений выражений с логарифмами мы поговорим в одном из .

Находим значение выражения с дробями

Числовые выражения в своей записи могут содержать дроби . Когда требуется найти значение подобного выражения, дроби, отличные от обыкновенных дробей, следует заменить их значениями перед выполнением остальных действий.

В числителе и знаменателе дробей (которые отличны от обыкновенных дробей) могут находиться как некоторые числа, так и выражения. Чтобы вычислить значение такой дроби нужно вычислить значение выражения в числителе, вычислить значение выражения в знаменателе, после чего вычислить значение самой дроби. Такой порядок объясняется тем, что дробь a/b , где a и b – некоторые выражения, по сути представляет собой частное вида (a):(b) , так как .

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите значение выражения с дробями .

Решение.

В исходном числовом выражении три дроби и . Чтобы найти значение исходного выражения, нам сначала нужно эти дроби, заменить их значениями. Сделаем это.

В числителе и знаменателе дроби находятся числа. Чтобы найти значение такой дроби, заменяем дробную черту знаком деления, и выполняем это действие: .

В числителе дроби находится выражение 7−2·3 , его значение найти легко: 7−2·3=7−6=1 . Таким образом, . Можно переходить к нахождению значения третьей дроби.

Третья дробь в числителе и знаменателе содержит числовые выражения, поэтому, сначала нужно вычислить их значения, а это позволит найти значение самой дроби. Имеем .

Осталось подставить найденные значения в исходное выражение, и выполнить оставшиеся действия: .

Ответ:

.

Часто при нахождении значений выражений с дробями приходится выполнять упрощение дробных выражений , базирующееся на выполнении действий с дробями и на сокращении дробей.

Пример.

Найдите значение выражения .

Решение.

Корень из пяти нацело не извлекается, поэтому для нахождения значения исходного выражения для начала упростим его. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби: . После этого исходное выражение примет вид . После вычитания дробей пропадут корни, что нам позволит найти значение изначально заданного выражения: .

Ответ:

.

С логарифмами

Если числовое выражение содержит , и если есть возможность избавиться от них, то это делается перед выполнением остальных действий. Например, при нахождении значения выражения log 2 4+2·3 , логарифм log 2 4 заменяется его значением 2 , после чего выполняются остальные действия в обычном порядке, то есть, log 2 4+2·3=2+2·3=2+6=8 .

Когда под знаком логарифма и/или в его основании находятся числовые выражения, то сначала находятся их значения, после чего вычисляется значение логарифма. Для примера рассмотрим выражение с логарифмом вида . В основании логарифма и под его знаком находятся числовые выражения, находим их значения: . Теперь находим логарифм, после чего завершаем вычисления: .

Если же логарифмы не вычисляются точно, то найти значение исходного выражения может помочь предварительное его упрощение с использованием . При этом нужно хорошо владеть материалом статьи преобразование логарифмических выражений .

Пример.

Найдите значение выражения с логарифмами .

Решение.

Начнем с вычисления log 2 (log 2 256) . Так как 256=2 8 , то log 2 256=8 , следовательно, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3 .

Логарифмы log 6 2 и log 6 3 можно сгруппировать. Сумма логарифмов log 6 2+log 6 3 равна логарифму произведения log 6 (2·3) , таким образом, log 6 2+log 6 3=log 6 (2·3)=log 6 6=1 .

Теперь разберемся с дробью . Для начала основание логарифма в знаменателе перепишем в виде обыкновенной дроби как 1/5 , после чего воспользуемся свойствами логарифмов, что позволит нам получить значение дроби:
.

Осталось лишь подставить полученные результаты в исходное выражение и закончить нахождение его значения:

Ответ:

Как найти значение тригонометрического выражения?

Когда числовое выражение содержит или и т.п., то их значения вычисляются перед выполнением остальных действий. Если под знаком тригонометрических функций стоят числовые выражения, то сначала вычисляются их значения, после чего находятся значения тригонометрических функций.

Пример.

Найдите значение выражения .

Решение.

Обратившись к статье , получаем и cosπ=−1 . Подставляем эти значения в исходное выражение, оно принимает вид . Чтобы найти его значение, сначала нужно выполнить возведение в степень, после чего закончить вычисления: .

Ответ:

.

Стоит отметить, что вычисление значений выражений с синусами, косинусами и т.п. зачастую требует предварительного преобразования тригонометрического выражения .

Пример.

Чему равно значение тригонометрического выражения .

Решение.

Преобразуем исходное выражение, используя , в данном случае нам потребуются формула косинуса двойного угла и формула косинуса суммы:

Проделанные преобразования помогли нам найти значение выражения.

Ответ:

.

Общий случай

В общем случае числовое выражение может содержать и корни, и степени, и дроби, и какие-либо функции, и скобки. Нахождение значений таких выражений состоит в выполнении следующих действий:

• сначала корни, степени, дроби и т.п. заменяются их значениями,
• дальше действия в скобках,
• и по порядку слева направо выполняется оставшиеся действия - умножение и деление, а за ними – сложение и вычитание.

Перечисленные действия выполняются до получения конечного результата.

Пример.

Найдите значение выражения .

Решение.

Вид данного выражения довольно сложен. В этом выражении мы видим дробь, корни, степени, синус и логарифм. Как же найти его значение?

Продвигаясь по записи слева на право, мы натыкаемся на дробь вида . Мы знаем, что при работе с дробями сложного вида, нам нужно отдельно вычислить значение числителя, отдельно – знаменателя, и, наконец, найти значение дроби.

В числителе мы имеем корень вида . Чтобы определить его значение, сначала надо вычислить значение подкоренного выражения . Здесь есть синус. Найти его значение мы сможем лишь после вычисления значения выражения . Это мы можем сделать: . Тогда , откуда и .

Со знаменателем все просто: .

Таким образом, .

После подстановки этого результата в исходное выражение, оно примет вид . В полученном выражении содержится степень . Чтобы найти ее значение, сначала придется найти значение показателя, имеем .

Итак, .

Ответ:

.

Если же нет возможности вычислить точные значения корней, степеней и т.п., то можно попробовать избавиться от них с помощью каких-либо преобразований, после чего вернуться к вычислению значения по указанной схеме.

Рациональные способы вычисления значений выражений

Вычисление значений числовых выражений требует последовательности и аккуратности. Да, необходимо придерживаться последовательности выполнения действий, записанной в предыдущих пунктах, но не нужно это делать слепо и механически. Этим мы хотим сказать, что часто можно рационализировать процесс нахождения значения выражения. Например, значительно ускорить и упростить нахождение значения выражения позволяют некоторые свойства действий с числами.

К примеру, мы знаем такое свойство умножения: если один из множителей в произведении равен нулю, то и значение произведения равно нулю. Используя это свойство, мы можем сразу сказать, что значение выражения 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)· (45·36−2·4+456:3·43) равно нулю. Если бы мы придерживались стандартного порядка выполнения действий, то сначала нам бы пришлось вычислять значения громоздких выражений в скобках, а это бы заняло массу времени, и в результате все равно получился бы нуль.

Также удобно пользоваться свойством вычитания равных чисел: если от числа отнять равное ему число, то в результате получится нуль. Это свойство можно рассматривать шире: разность двух одинаковых числовых выражений равна нулю. Например, не вычисляя значения выражений в скобках можно найти значение выражения (54·6−12·47362:3)−(54·6−12·47362:3) , оно равно нулю, так как исходное выражение представляет собой разность одинаковых выражений.

Рациональному вычислению значений выражений могут способствовать тождественные преобразования . Например, бывает полезна группировка слагаемых и множителей , не менее часто используется вынесение общего множителя за скобки . Так значение выражения 53·5+53·7−53·11+5 очень легко находится после вынесения множителя 53 за скобки: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58 . Непосредственное вычисление заняло бы намного больше времени.

В заключение этого пункта обратим внимание на рациональный подход к вычислению значений выражений с дробями – одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби сокращаются. Например, сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе дроби позволяет сразу найти ее значение, которое равно 1/2 .

Нахождение значения буквенного выражения и выражения с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных. То есть, речь идет о нахождении значения буквенного выражения для данных значений букв или о нахождении значения выражения с переменными для выбранных значений переменных.

Правило нахождения значения буквенного выражения или выражения с переменными для данных значений букв или выбранных значений переменных таково: в исходное выражение нужно подставить данные значения букв или переменных, и вычислить значение полученного числового выражения, оно и является искомым значением.

Пример.

Вычислите значение выражения 0,5·x−y при x=2,4 и y=5 .

Решение.

Чтобы найти требуемое значение выражения, сначала нужно подставить в исходное выражение данные значения переменных, после чего выполнить действия: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8 .

Ответ:

−3,8 .

В заключение отметим, что иногда выполнение преобразований буквенных выражений и выражений с переменными позволяет получить их значения, независимо от значений букв и переменных. Например, выражение x+3−x можно упростить, после чего оно примет вид 3 . Отсюда можно сделать вывод, что значение выражения x+3−x равно 3 для любых значений переменной x из ее области допустимых значений (ОДЗ) . Еще пример: значение выражения равно 1 для всех положительных значений x , так областью допустимых значений переменной x в исходном выражении является множество положительных чисел, и на этой области имеет место равенство .

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки " + " , " · " , " - " , " ÷ " , то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Пример 2. Значение числового выражения

Вычислим: 0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 .

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом - умножение.

0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) = 0 , 5 · 0 , 7 = 0 , 35 .

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2 , 5 = 1 + 2 · 6 = 13 .

В нахождении значений выражений со скобками главное - соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 .

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 , 2 + 0 , 05 = 2 , 25 = 1 , 5 .

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 + 3 · 1 , 5 = 6 , 5

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3 + 1 3 - 1 - 1

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Таким образом:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 .

Начинаем вычислять по порядку.

2 3 · 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0 , 5 3 = 16 · 1 8 = 2 .

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6

2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6 = 2 - 2 5 · 2 2 · 5 - 2 + 3 2 = 2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3 , 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 · 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1 , 6 - 3 · 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Исходное выражение принимает вид:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Вычислим значение этого выражения:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log 2 4 + 2 · 4 можно сразу вместо log 2 4 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10 .

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Имеем:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

По свойству логарифмов:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 · 3) = log 6 6 = 1 .

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ .

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

sin - 5 π 2 = - 1

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3 .

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 .

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

1. Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
2. Выполняются действия в скобках.
3. Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала - умножение и деление, затем - сложение и вычитание.

Разберем пример.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Теперь можно узнать значение синуса:

sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2 .

Со знаменателем дроби все проще:

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

С учетом этого, запишем все выражение:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Окончательный результат:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27 .

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс - использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями - сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.

Например, возьмем выражение 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 . Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 1 3 .

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Пример 15. Значение выражения с переменными

Вычислить значение выражения 0 , 5 x - y при заданных x = 2 , 4 и y = 5 .

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0 , 5 x - y = 0 , 5 · 2 , 4 - 5 = 1 , 2 - 5 = - 3 , 8 .

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х + 3 - х, очевидно, имеет значение 3 , и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.

Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter