Решение целых рациональных уравнений. Решение дробных рациональных уравнений. Понятие дробного рационального выражения

"Решение дробных рациональных уравнений"

Цели урока:

Обучающая:

формирование понятия дробных рационального уравнения; рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений; рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю; обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму; проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

мыслительных операций

критического мышления

Воспитывающая:

познавательного интереса

учебных задач

Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)

2. Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).

3. Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)

4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)

5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)

6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х2-4х-2х+8 = х2+3х+2х+6

х2-6х-х2-5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

D=1›0, х1=3, х2=4.

Ответ : 3;4.

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.


(х2-2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5)
(х2-2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0
х(х-5)(х2-2х-5-(х+5))=0			х2-2х-5-х-5=0
х(х-5)(х2-3х-10)=0
х=0 х-5=0 х2-3х-10=0
х1=0 х2=5 D=49

Ответ : 0;5;-2.			Ответ : 5;-2.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.

В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной

Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство

Сделать проверку

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.

х2-3х-10=0 , D=49 , х1=5 , х2=-2.

Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.

Если х=-2, то х(х-5)≠0.

Ответ : -2.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Перенести все в левую часть.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

4. Решить уравнение.

5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.

6. Записать ответ.

Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8»,2007: № 000(б, в,и); № 000(а, д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

ж) Ответ: 1;1,5.

5. Постановка домашнего задания.

2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

3. Решить в тетрадях № 000(а, г,д); № 000(г, з).

4. Попробовать решить № 000(а)(по желанию).

6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.

Работа выполняется на листочках.

Пример задания:

А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?

Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .

В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?

Г) Решить уравнение №7.

Критерии оценивания задания:

«5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания. «4» - 75%-89% «3» - 50%-74% «2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания. Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно; 2 – интересно, но не понятно; 3 – не интересно, но понятно; 4 – не интересно, не понятно.

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

«Рациональные уравнения с многочленами» - одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» - это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.

Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.

Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.

Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!

Смирнова Анастасия Юрьевна

Тип урока: урок изучения нового материала.

Форма организации учебной деятельности : фронтальная, индивидуальная.

Цель урока: познакомить с новым видом уравнений - дробными рациональными уравнениями, дать представление об алгоритме решения дробных рациональных уравнений.

Задачи урока.

Обучающая:

формирование понятия дробно рационального уравнения;
рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму.

Развивающая:

создать условия для формирования навыков применения полученных знаний;
способствовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету;
развитие у учащихся умения анализировать, сопоставлять и делать выводы;
развитие навыков взаимоконтроля и самоконтроля, внимания, памяти, устной и письменной речи, самостоятельности.

Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.

Учебник «Алгебра 8». Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского. Москва «Просвещение». 2010г.

На данную тему отводится пять часов. Данный урок является первым. Основное - изучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений и отработать этот алгоритм на упражнениях.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мне хотелось бы начать наш урок с четверостишия:
Что бы легче всем жилось,
Что б решалось, что б моглось,
Улыбнись, удачи всем,
Что бы не было проблем,
Улыбнулись друг другу, создали хорошее настроение и начали работу.

На доске написаны уравнения, посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (По формулам )
Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

х 2 -7х+12 = 0

D=1›0, х 1 =3, х 2 =4.

Ответ : 3;4.

Решение уравнений типа уравнения №7 мы рассмотрим на следующих уроках.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом - два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-6 - выражения с переменной .)
Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .)
Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Перенести все в левую часть.
Привести дроби к общему знаменателю.
Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Решить уравнение.
Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
Записать ответ.

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в); № 601(а,д). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 - посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 - посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

5. Постановка домашнего задания.

Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
Решить в тетрадях № 600(г,д); №601(г,з).

6. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами. Независимо от способа решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна с переменной в знаменателе.

Например:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\) \(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)

Пример не дробно-рациональных уравнений:

\(\frac{9x^2-1}{3}\) \(=0\)
\(\frac{x}{2}\) \(+8x^2=6\)

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

Выпишите и «решите» ОДЗ.

Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

Решите полученное уравнение.

Проверьте найденные корни с ОДЗ.

Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример . Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

Решение:

Ответ: \(3\).

Пример . Найдите корни дробно-рационального уравнения \(=0\)

Решение:

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\) \(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac{-7+3}{2}=-2\) \(x_2≠\frac{-7-3}{2}=-5\)		Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем \(x^2+7x+10\) на по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\) \(=0\)		Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) \(-\frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)}\) \(=0\)		Сокращаем дроби
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Раскрываем скобки
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Приводим подобные слагаемые
\(2x^2+9x-5=0\)		Находим корни уравнения
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac{1}{2}.\)		Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.