Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Система «Галактика ЕАМ» предназначена для автоматизированного управления производственными фондами предприятия. В основу системы «Галактика ЕАМ» заложены принципы современных методологий и стратегий обслуживания оборудования для эффективного их применения при ведении бизнеса.

Применение передовых методологий и стратегий в программах ТОиР увеличивает эффективность использования производственных активов. Обеспечить работоспособность оборудования с минимальными затратами – это всегда актуальная задача, решение которой обеспечит поддержание конкурентоспособности предприятия.

Создание программы ТОиР оборудования осуществляется на основе принятия решений по следующим показателям:

• Организация ремонтного обеспечения производства;
• Оценка эффективности ремонтного обеспечения производства;
• Выбор стратегии ремонтов и технического обслуживания оборудования.

Организация ремонтного обеспечения производства определяет структуру ремонтной службы (РС) предприятия, что оказывает непосредственное влияние на эффективность программы ТОиР.

Классические способы организации РС характеризуются диапазоном моделей от децентрализованной к централизованной, которые отличаются способом управления ресурсами в рамках единой структуры на предприятии:

Децентрализованная РС – это распределение ресурсов РС между производственными подразделениями предприятия.

Централизованная РС – это структура предприятия, которая выполняет весь объём ремонтных работ и отвечает за работоспособность оборудования производственных и вспомогательных цехов.

Смешанная РС – это способ построения РС на основе широкого диапазона промежуточных моделей, которые отличаются различной степенью централизации.

Наиболее эффективной является централизованная модель ТОиР. Также эффективно использовать программы ТОиР, построенные на основе альтернативных способов организации РС.

Альтернативные способы организации РС направлены на привлечение внешних ресурсов для выполнения ремонтов оборудования. Альтернативные способы исполнения работ по ТОиР разделяют на подрядный и сервисный:

Совместное использование классических и альтернативных способов организации ремонтов позволяет обеспечить бо́льшую результативность ТОиР.

Под стратегией ТОиР понимается принятая на предприятии последовательность действий, которая приводит к достижению намеченных целей благодаря координированию и распределению имеющихся ресурсов. По сути, стратегия ТОиР – это определенные правила обслуживания оборудования, соблюдение которых позволяет добиться оптимальной работоспособности оборудования.

Рассмотрим известные стратегии ТОиР:

Run-to-Failure (RTF) Стратегия использования до отказа - это когда ремонтные работы будут выполняться только в случае достижения критического состояния оборудования, при котором оно уже не может выполнять заданные функции, то есть теряет работоспособность. Необходимо отметить, что такой подход к эксплуатации оборудования может привести к аварийным ситуациям, серьезным поломкам с длительным устранением, а также к излишним расходам на ликвидацию последствий и потерям от остановки производства. Формирование резерва материальных ресурсов - не самое лучшее решение, т.к. замораживает оборотные средства. Объём такого резерва часто бывает завышен (например, это касается отраслей с уникальным единичным оборудованием).

Planned Preventive Maintenance (PPM) Стратегия планово-предупредительных ремонтов или ремонтов по регламенту – это технология предупредительного технического обслуживания и ремонтов исходя из статистических сведений о сроках службы оборудования. Наибольшее распространение стратегия ППР получила при плановой экономике. Эта стратегия более приемлема, чем предыдущая, так как позволяет устранить некоторые недостатки подхода к использованию оборудования до отказа. Благодаря систематическому проведению техобслуживания и ремонта и своевременной замене подвижных деталей и запчастей достигается более качественная и длительная эксплуатация оборудования. Но при этом надо отметить, что в стратегии ППР есть свой недостаток – нередко ремонтируются фактически исправные объекты, а также производится обязательная замена деталей независимо от их оставшегося ресурса. В результате этого эксплуатационные затраты становятся неоправданно высоки. К недостаткам ППР относятся также уменьшение оставшегося ресурса оборудования и возросшие риски отказа при введении в эксплуатацию отремонтированного оборудования. Стратегией ППР и сегодня пользуются на многих предприятиях, прежде всего для обслуживания ключевых стратегических объектов, остановка которых может причинить вред окружающей среде, жизни и здоровью людей.

Condition-Based Maintenance (CBM) Стратегия планирования ремонтов исходя из технического состояния (ТС) - это технология обслуживания и ремонта с применением диагностической аппаратуры для мониторинга ТС оборудования в режиме реального времени. При использовании этой стратегии благодаря постоянному мониторингу ТС риск аварийного отказа или серьезного ухудшения работоспособности оборудования минимизируется. Слоган этой стратегии можно сформулировать так: "Оборудование нужно остановить для ремонта за минуту до его предполагаемой поломки". Такой подход к планированию ремонтов уменьшает расходы на ТОиР, сводит к минимуму число непредвиденных отказов, снижает объем простоев агрегатов во время сборочно-монтажных работ. Стратегия ремонтов по ТС призвана нивелировать недостатки предварявшей ее стратегии ППР, то есть снизить количество необязательных ремонтных вмешательств и максимально использовать ресурс оборудования. Стоит оговорить, что стратегия ТОиР по ТС оборудования хороша для краткосрочного планирования ремонтов и не подходит для построения адекватных долгосрочных планов. Средства технической диагностики позволяют предупредить отказ оборудования за два-три месяца до его предполагаемого выхода из строя.

Predictive maintenance (РМ) Прогнозная или проактивная стратегия – это более продвинутый подход к ТОиР, совмещающий преимущества планирования ТОиР по ТС с преимуществами ППР. Суть проактивной стратегии - снизить скорость развития или совсем устранить неисправности, выявленные при мониторинге технического состояния оборудования.

В проактивной стратегии ТОиР ключевым моментом является оценка ТС оборудования, которая может выполняться путем: визуального осмотра, мониторинга технических параметров, контроля температур, акустической и вибрационной диагностики, различных методов обследования (магнитный, радиоволновой, ультразвуковой и проч.).

Решение о ремонте принимается, если неудовлетворительное состояние одного элемента (запчасти) оборудования начинает негативно влиять на состояние других элементов.

Применение проактивной стратегии увеличивает срок службы станков и агрегатов, исключает вторичные повреждения в связи с первичной поломкой (путем немедленной реакции на первичную поломку), сокращает общие затраты на ТОиР, снижает риск аварийного отказа оборудования, повышает коэффициент исправности оборудования.

Reliability Centered Maintenance (RCM) Стратегия обслуживания, ориентированного на надежность – планирование мероприятий, обеспечивающих бесперебойное выполнение функций любого объекта в текущих эксплуатационных условиях. На основании RCM строятся наиболее эффективные планы ТОиР, так как данная методология объединяет разработки и сильные стороны предыдущих стратегий, одновременно обеспечивая стабильность в работоспособности производственных активов с минимальными затратами на их ТОиР.

В основу методологии RCM заложены следующие цели: увеличение степени безопасности людей и окружающей среды, повышение экономической эффективности использования производственных фондов, увеличение срока службы оборудования (плюс растет его производительность), уменьшение числа отказов оборудования, качественное информационное обеспечение процессов принятия решений.

Risk-based maintenance (RBM) Стратегия обслуживания на основании оценки рисков – определяются наиболее эффективные мероприятия, обеспечивающие безопасность и надёжность оборудования (снижение рисков) с минимизацией сопутствующих затрат. Эта стратегия характеризуется оцениванием вероятности отказов. Степень важности оборудования и вероятность его выхода из строя – вот два показателя, определяющих уровень риска при эксплуатации оборудования. Исходя из уровня риска, назначаются сроки и объёмы ТОиР, расставляются приоритеты выполнения ремонтных работ. В результате таких действий повышается надёжность и безопасность производственных активов, понижаются сопутствующие затраты.

Стратегия обслуживания на основании оценки рисков приближена к концепции бережливого производства и направлена на минимизацию потерь от: непродуктивной работы оборудования, простоев, ненужных перемещений обслуживающего персонала, недостатков обеспечения ресурсами, повторных переделок ремонтных работ, нерационального использования ресурсов, неэффективного управления информацией.

Overall Equipment Effectiveness (OEE) Стратегия общей эффективности использования оборудования - предусматривает совокупный анализ ряда показателей (KPI), характеризующих разные составляющие процесса работы оборудования. Анализ этих показателей (таких как простои, замедление работы, ухудшение качества и др.) помогает контролировать и увеличивать эффективность эксплуатации оборудования.

Стратегия OEE позволит обнаружить и затем бороться с потерями и причинами неэффективности работы. Анализ может показать помимо простоев по причине поломки еще и потери, вызванные, например, некачественной настройкой оборудования, снижением его производительности или ожиданием прихода материалов. В конце концов, можно отслеживать, как существующая производительность одного объекта производственных фондов влияет на эффективность всего производства.

Данные OEE могут быть основанием для принятия стратегических решений по капвложениям: можем ли мы улучшить производительность с использованием имеющегося оборудования или же целесообразнее закупить новое.

Аппроксима́ция , или приближе́ние - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности, приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

В переносном смысле употребляется в философии как метод приближения , указание на приблизительный, неокончательный характер. Например, в таком смысле термин «аппроксимация» активно употреблялся Сёреном Кьеркегором (1813-1855) в «Заключительном ненаучном послесловии…»

Если функция будет использована только для интерполяции, то достаточно аппроксимировать точки полиномом, скажем, пятой степени:

Намного сложней обстоит дело в случае, если приведенные выше натурные данные служат опорными точками для выявления закона изменения с известными граничными условиями. Например:и. Тут уже качество результата зависит от профессионализма исследователя. В данном случае наиболее приемлемым окажется закон:

Для оптимального подбора параметров уравнений обычно используют метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares , OLS ) - математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функцией. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Если некоторая физическая величина зависит от другой величины, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x . В результате измерений получается ряд значений:

x 1 , x 2 , ..., x i , ... , x n ;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. 2 была наименьшей.

На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда

y = kx или y = a + bx.

Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением n = a + b/λ 2 , то на графике строят зависимость n от λ -2 .

Рассмотрим зависимость y = kx (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ – сумму квадратов отклонений наших точек от прямой

.

Величина φ всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум

или (19)

Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k равна при этом

, (20) где – n число измерений.

Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле y = a + bx (прямая, не проходящая через начало координат).

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений x i , y i найти наилучшие значения a и b.

Снова составим квадратичную форму φ , равную сумме квадратов отклонений точек x i , y i от прямой

и найдем значения a и b , при которых φ имеет минимум

;

.

Совместное решение этих уравнений дает

(21)

Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны

(23)

. (24)

При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (19)–(24). Формы этих таблиц приведены в рассматриваемых ниже примерах.

Пример 1. Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения ε = M/J (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях момента M измерялось угловое ускорение ε некоторого тела. Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 5 .

Таблица 5

По формуле (19) определяем:

.

Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (20)

0.005775 кг -1 · м -2 .

По формуле (18) имеем

S J = (2.996 · 0.005775)/0.3337 = 0.05185 кг · м 2 .

Задавшись надежностью P = 0.95 , по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 5, находим t = 2.78 и определяем абсолютную ошибку ΔJ = 2.78 · 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 кг · м 2 .

Результаты запишем в виде:

J = (3.0 ± 0.2) кг · м 2 ;

Пример 2. Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

Свободный член определяет сопротивление R 0 при температуре 0° C , а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R 0 .

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 6 ).

Таблица 6

По формулам (21), (22) определяем

R 0 = ¯R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 · 85.83333 = 1.1735 Ом .

Найдем ошибку в определении α. Так как , то по формуле (18) имеем:

.

Пользуясь формулами (23), (24) имеем

;

0.014126 Ом .

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6, находим t = 2.57 и определяем абсолютную ошибку Δα = 2.57 · 0.000132 = 0.000338 град -1 .

α = (23 ± 4) · 10 -4 град -1 при P = 0.95.

Пример 3. Требуется определить радиус кривизны линзы по кольцам Ньютона. Измерялись радиусы колец Ньютона r m и определялись номера этих колец m. Радиусы колец Ньютона связаны с радиусом кривизны линзы R и номером кольца уравнением

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

где d 0 – толщина зазора между линзой и плоскопараллельной пластинкой (или деформация линзы),

λ – длина волны падающего света.

λ = (600 ± 6) нм; r 2 m = y; m = x; λR = b; -2d 0 R = a,

тогда уравнение примет вид y = a + bx .

Результаты измерений и вычислений занесены в таблицу 7 .

Таблица 7

Рассчитываем:

1. a и b по формулам (21), (22).

a = ¯ r 2 - b¯m = (0.208548333 - 0.0594957 · 3.5) = 0.0003133 мм 2 .

2. Рассчитаем среднеквадратичные ошибки для величин b и a по формулам (23), (24)

3. При надежности P = 0.95 по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6 находим t = 2.57 и определям абсолютные ошибки

Δb = 2.57 · 0.000211179 = 6·10 -4 мм 2 ;

Δa = 2.57 · 0.000822424 = 3· 10 -3 мм 2 .

4. Записываем результаты

b = (595 ± 6)·10 -4 мм 2 при Р = 0.95;

a = (0.3 ± 3)·10 -3 мм 2 при Р = 0.95;

Из полученных результатов опыта следует, что в пределах ошибки этого опыта прямая r 2 m = ƒ(m) проходит через начало координат, т.к. если ошибка значения какого-либо параметра окажется сравнимой или превысит значение параметра, то это означает, что скорей всего, настоящее значение этого параметра равно нулю.

В условиях данного эксперимента величина a не представляет интереса. Поэтому мы ею больше заниматься не будем.

5. Подсчитаем радиус кривизны линзы:

R = b / λ = 594.5 / 6 = 99.1 мм .

6. Так как для длины волны дана систематическая ошибка, подсчитаем и для R систематическую ошибку по формуле (16), взяв в качестве систематической ошибки величины b ее случайную ошибку Δb.

Записываем окончательный результат R = (99 ± 2) мм ε ≈ 3% при P = 0.95.

Аппроксимация опытных данных – это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента). В настоящее время существует два способа определения аналитической функции:

С помощью построения интерполяционного многочлена n-степени, который проходит непосредственно через все точки заданного массива данных. В данном случае аппроксимирующая функция представляется в виде: интерполяционного многочлена в форме Лагранжа или интерполяционного многочлена в форме Ньютона.

С помощью построения аппроксимирующего многочлена n-степени, который проходит в ближайшей близости от точек из заданного массива данных. Таким образом, аппроксимирующая функция сглаживает все случайные помехи (или погрешности), которые могут возникать при выполнении эксперимента: измеряемые значения в ходе опыта зависят от случайных факторов, которые колеблются по своим собственным случайным законам (погрешности измерений или приборов, неточность или ошибки опыта). В данном случае аппроксимирующая функция определяется по методу наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (в англоязычной литературе Ordinary Least Squares, OLS) - математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных. Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.

Аппроксимирующая кривая, построенная по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов используется:

Для решения переопределенных систем уравнений, когда количество уравнений превышает количество неизвестных;

Для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений;

Для аппроксимации точечных значений некоторой аппроксимирующей функцией.

Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов определяется из условия минимума суммы квадратов отклонений расчетной аппроксимирующей функции от заданного массива экспериментальных данных. Данный критерий метода наименьших квадратов записывается в виде следующего выражения:

Значения расчетной аппроксимирующей функции в узловых точках ,

Заданный массив экспериментальных данных в узловых точках .

Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.

В зависимости от условий задачи аппроксимирующая функция представляет собой многочлен степени m

Степень аппроксимирующей функции не зависит от числа узловых точек, но ее размерность должна быть всегда меньше размерности (количества точек) заданного массива экспериментальных данных.

∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией (линейная регрессия).

∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой (квадратичная аппроксимация).

∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой (кубическая аппроксимация).

В общем случае, когда требуется построить аппроксимирующий многочлен степени m для заданных табличных значений, условие минимума суммы квадратов отклонений по всем узловым точкам переписывается в следующем виде:

- неизвестные коэффициенты аппроксимирующего многочлена степени m;

Количество заданных табличных значений.

Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным . В результате получим следующую систему уравнений:

Преобразуем полученную линейную систему уравнений: раскроем скобки и перенесем свободные слагаемые в правую часть выражения. В результате полученная система линейных алгебраических выражений будет записываться в следующем виде:

Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана в матричном виде:

В результате была получена система линейных уравнений размерностью m+1, которая состоит из m+1 неизвестных. Данная система может быть решена с помощью любого метода решения линейных алгебраических уравнений (например, методом Гаусса). В результате решения будут найдены неизвестные параметры аппроксимирующей функции, обеспечивающие минимальную сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от исходных данных, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных все коэффициенты изменят свои значения, так как они полностью определяются исходными данными.

Аппроксимация исходных данных линейной зависимостью

(линейная регрессия)

В качестве примера, рассмотрим методику определения аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости. В соответствии с методом наименьших квадратов условие минимума суммы квадратов отклонений записывается в следующем виде:

Координаты узловых точек таблицы;

Неизвестные коэффициенты аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости.

Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным. В результате получаем следующую систему уравнений:

Преобразуем полученную линейную систему уравнений.

Решаем полученную систему линейных уравнений. Коэффициенты аппроксимирующей функции в аналитическом виде определяются следующим образом (метод Крамера):

Данные коэффициенты обеспечивают построение линейной аппроксимирующей функции в соответствии с критерием минимизации суммы квадратов аппроксимирующей функции от заданных табличных значений (экспериментальные данные).

Алгоритм реализации метода наименьших квадратов

1. Начальные данные:

Задан массив экспериментальных данных с количеством измерений N

Задана степень аппроксимирующего многочлена (m)

2. Алгоритм вычисления:

2.1. Определяются коэффициенты для построения системы уравнений размерностью

Коэффициенты системы уравнений (левая часть уравнения)

- индекс номера столбца квадратной матрицы системы уравнений

Свободные члены системы линейных уравнений (правая часть уравнения)

- индекс номера строки квадратной матрицы системы уравнений

2.2. Формирование системы линейных уравнений размерностью .

2.3. Решение системы линейных уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующего многочлена степени m.

2.4.Определение суммы квадратов отклонений аппроксимирующего многочлена от исходных значений по всем узловым точкам

Найденное значение суммы квадратов отклонений является минимально-возможным.

Аппроксимация с помощью других функций

Следует отметить, что при аппроксимации исходных данных в соответствии с методом наименьших квадратов в качестве аппроксимирующей функции иногда используют логарифмическую функцию, экспоненциальную функцию и степенную функцию.

Логарифмическая аппроксимация

Рассмотрим случай, когда аппроксимирующая функция задана логарифмической функцией вида:

Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение.

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, многопараметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.

Целью данной курсовой работы является изучение теоретических основ аппроксимации табулированной функции методом наименьших квадратов, и, применяя теоретические знания, нахождение аппроксимирующих полиномов. Нахождение аппроксимирующих полиномов в рамках данной курсовой работы следует путем написания программы на языке Pascal, реализующую разработанный алгоритм нахождения коэффициентов аппроксимирующего полинома, а также решить эту же задачу средствами MathCad.

В данной курсовой работе программа на языке Pascal разработана в оболочке PascalABC версия 1.0 beta. Решение задачи в среде MathCad производили в Mathcad версия 14.0.0.163.

Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо выполнить следующее:

1. Разработать алгоритм нахождения коэффициентов трёх аппроксимирующих полиномов (многочленов) вида

для степени полиномов n=2, 4, 5.

2. Построить блок-схему алгоритма.

3. Создать программу на языке Pascal, реализующую разработанный алгоритм.

5. Построить графики 3-х полученных приближающих функций в одной системе координат. На графике должны содержаться и исходные точки (х i , y i ) .

6. Решить задачу средствами MathCAD.

Результаты решения задачи с помощью созданной программы на языке Pascal и в среде MathCAD нужно представить в виде построенных с помощью найденных коэффициентов трёх полиномов; таблицы, содержащей полученные с помощью найденных полиномов значения функции в точках хi и среднеквадратичных отклонений.

Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых