Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .

Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .

Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

x 1 , x 2 , … x n , …

с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .

Пример 1 . Числовая последовательность

1, 4, 9, … n 2 , …

задана с помощью формулы общего члена

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .

x 1 , x 2 , … x n , …

называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n

x n + 1 > x n

Пример 3 . Последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n , …

является возрастающей последовательностью .

Определение 2. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

x n + 1 < x n

Пример 4 . Последовательность

заданная формулой

является убывающей последовательностью .

Пример 5 . Числовая последовательность

1, - 1, 1, - 1, …

заданная формулой

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 4. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Определение 5. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Определение 6. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

m < x n < M

Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .

Пример 6 . Числовая последовательность

1, 4, 9, … n 2 , …

заданная формулой

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .

Пример 7 . Последовательность

заданная формулой

является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Последовательность - это набор элементов некоторого множества. Бесконечная последовательность - последовательность, которая задается функцией с областью определения N . В том случае, когда эта функция числовая, то бесконечной числовой последовательностью . Далее будем рассматривать числовые последовательности. Значение f (n ), которое соответствует натуральному числу n , называется n -м членом последовательности. Иногда вместо f (n ) используются обозначения a n , x n .

Примеры числовой последовательности:

f (n ) = 3n + 2, откуда f (1) = 5, f (2) = 8,..., f (100) = 302,... ;

f (n ) = 1 + (-1) n , откуда f (1) = 0, f (2) = 2,... или, в общем случае, f (2k - 1) = 0, f (2k ) = 2 (k ∈ N ).

Как функцию числовую последовательность можно задавать различными способами. Формула, которая задает числовую последовательность, называется формулой n -го (или общего) члена. С ее помощью можно получить значение любого элемента последовательности, подставив в формулу ее номер. Например: a n = 2 n .

Существует еще один способ задания числовой последовательности - рекуррентный. Он выражает любой член последовательности через предыдущие. Например: a n = 2(a n -1 + 3), a 1 = 2. Тогда a 2 = 10, a 3 = 26,...

Если последовательность имеет конечное количество членов, она называется конечной. Например, конечной является последовательность трехзначных чисел: 100, 101, ... , 999. Она состоит из 900 элементов.

Последовательность называется возрастающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n a n +1 .

Последовательность называется спадающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n > a n +1 .

Возрастающие и спадающие последовательности называются монотонными .

Например, последовательность заданная формулой a n = n /(n + 1), является монотонной, возрастающей, т.к. разница a n +1 - a n = (n + 1)/(n + 2) - n /(n + 1) = 1/(n + 1)(n + 2) > 0. То есть a n a n +1 . Последовательность с общим членом a n = 1 + (-1) n не является монотонной, т.к. a 1 a 2 , а a 2 > a 3 .

Последовательность называется ограниченной сверху M ∈ R , что a n ≤ M .

Последовательность называется ограниченной снизу , если существует такое число m ∈ R , что a n ≥ m .

Например, последовательность a n = n ограничена снизу, но не ограничена сверху. Последовательность a n = (-1) n n не ограничена ни сверху, ни снизу.

Последовательность называется ограниченной , если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Число a называется границей последовательности (a n ), если для любого ε > 0 существует натуральное число N , такое, что для всех n > N выполняется неравенство |a n - a | limn →∞ a n = a или a n → a .

Последовательность, которая имеет границу, называется сходящейся . Последовательность, которая не имеет границу, называется расходящейся .

Если lim n →∞ a n = 0, то последовательность (a n ) называется бесконечно малой.

Свойства пределов числовой последовательности:

1. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b , то lim n →∞ (a n + b n ) = a + b ;

2. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b , то lim n →∞ (a n b n ) = a b ;

3. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b ≠ 0, то lim n →∞ (a n /b n ) = a /b ;

4. lim n →∞ c a n = c lim n →∞ a n , где c ∈ R ;

5. Если lim n →∞ a n = lim n →∞ b n = a и a n ≤ c n ≤ b n , то lim n →∞ c n = a .

6. Если lim n →∞ a n = a , lim n →∞ b n = b и a n b n при n ∈ N , то a ≤ b .

Последовательность

Последовательность - это набор элементов некоторого множества:

• для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
• для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Последовательность по своей природе - отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

• временные ряды как числовой, так и не числовой природы;
• последовательности элементов метрического пространства
• последовательности элементов функционального пространства
• последовательности состояний систем управления и автоматов.

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Определение

Пусть задано некоторое множество элементов произвольной природы. | Всякое отображение множества натуральных чисел в заданное множество называется последовательностью (элементов множества ).

Образ натурального числа , а именно, элемент , называется -ым членом или элементом последовательности , а порядковый номер члена последовательности - её индексом.

Связанные определения

• Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Комментарии

• В математическом анализе важным понятием является предел числовой последовательности .

Обозначения

Последовательности вида

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

иногда используются фигурные скобки:

Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида

которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Последовательность" в других словарях:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. У И. В. Киреевского в статье «Девятнадцатый век» (1830) читаем: «От самого падения Римской империи до наших времен просвещение Европы представляется нам в постепенном развитии и в беспрерывной последовательности» (т. 1, с.… … История слов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, последовательности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к последовательный. Последовательность каких нибудь явлений. Последовательность в смене приливов и отливов. Последовательность в рассуждениях. Толковый словарь Ушакова.… … Толковый словарь Ушакова

Постоянство, преемственность, логичность; ряд, прогрессия, вывод, серия, вереница, череда, цепь, цепочка, каскад, эстафета; упорство, обоснованность, набор, методичность, расстановка, стройность, упорность, подпоследовательность, связь, очередь,… … Словарь синонимов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2,..., xn,... или коротко {xi} … Современная энциклопедия

Одно из основных понятий математики. Последовательность образуется элементами любой природы, занумерованными натуральными числами 1, 2, ..., n, ..., и записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xn} … Большой Энциклопедический словарь

Последовательность - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xi}. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. последовательный. 2. В математике: бесконечный упорядоченный набор чисел. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Англ. succession/sequence; нем. Konsequenz. 1. Порядок следования одного за другим. 2. Одно из основных понятий математики. 3. Качество правильного логического мышления, при к ром рассуждение свободно от внутренних противоречий по одному и тому… … Энциклопедия социологии

Последовательность - «функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений которой может состоять из элементов любой природы: чисел, точек, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами … Экономико-математический словарь

Книги

• Выстраиваем последовательность. Котята. 2-3 года , . Игра "Котята" . Выстраиваем последовательность. 1 уровень. Серия" Дошкольное образование" . Весёлые котята решили позагорать на пляже! Но никак не могут поделить места. Помоги им…

Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .

Таблица разрядов и классов чисел.

Функция a n =f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.

Числа a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, следовательно, a 1 — первый член последовательности;

a 2 - второй член последовательности;

a 3 - третий член последовательности;

a 4 - четвертый член последовательности и т.д.

Кратко числовую последовательность записывают так: a n =f (n) или {a n }.

Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.

Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.

Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.

2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: a n =f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: a k =2k-1.

3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {a n },

если a 1 =7; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .

Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {b n },

если b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;… .

Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.

Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .

Получаем: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Следовательно, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.

Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).

Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.

Числовую последовательность называют возрастающей , если ее члены возрастают (a n+1 >a n) и убывающей, если ее члены убывают (a n+1

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными .