Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Изучая свойства геометрических фигур, мы доказали ряд теорем. При этом мы опирались, как правило, на доказанные ранее теоремы. А на чём основаны доказательства самых первых теорем геометрии? Ответ на этот вопрос такой: некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами .

Некоторые аксиомы были сформулированы ещё в первой главе (хотя они и не назывались там аксиомами). Например, аксиомой является утверждение о том, что

Многие другие аксиомы, хотя и не были выделены особо, но фактически использовались в наших рассуждениях. Так, сравнение двух отрезков мы проводили с помощью наложения одного отрезка на другой. Возможность такого наложения вытекает из следующей аксиомы:

Сравнение двух углов основано на аналогичной аксиоме:

Все эти аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений. Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Полный список аксиом планиметрии, принятых в нашем курсе геометрии, мы приводим в конце учебника.

Такой подход к построению геометрии, когда сначала формулируются исходные положения - аксиомы, а затем на их основе путём логических рассуждений доказываются другие утверждения, зародился ещё в глубокой древности и был изложен в знаменитом сочинении «Начала» древнегреческого учёного Евклида. Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами ) и сейчас используются в курсах геометрии, а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией . В следующем пункте мы познакомимся с одной из самых известных аксиом геометрии.

Аксиома параллельных прямых

Рассмотрим произвольную прямую а и точку М, не лежащую на ней (рис. 110, а). Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а. Для этого проведём через точку М две прямые: сначала прямую с перпендикулярно к прямой а, а затем прямую b перпендикулярно к прямой с (рис. 110, (б). Так как прямые а и b перпендикулярны к прямой с, то они параллельны.

Рис. 110

Итак, через точку М проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает следующий вопрос: можно ли через точку М провести ещё одну прямую, параллельную прямой а?

Нам представляется, что если прямую b «повернуть» даже на очень малый угол вокруг точки М, то она пересечёт прямую а (прямая b" на рисунке 110,6). Иными словами, нам кажется, что через точку М нельзя провести другую прямую (отличную от b), параллельную прямой а. А можно ли это утверждение доказать?

Этот вопрос имеет большую историю. В «Началах» Евклида содержится постулат (пятый постулат Евклида), из которого следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Многие математики, начиная с древних времён, предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т. е. вывести его из других аксиом. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными. И лишь в прошлом веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой.

Огромную роль в решении этого непростого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856).

Итак, в качестве ещё одного из исходных положений мы принимаем аксиому параллельных прямых .

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями . Например, утверждения 1 и 2 (см. с. 35) являются следствиями из теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.

Действительно, пусть прямые а и b параллельны и прямая с пересекает прямую а в точке М (рис. 111, а). Докажем, что прямая с пересекает и прямую b. Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой b (рис. 111, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b.

Рис. 111

Действительно, пусть прямые а и Ь параллельны прямой с (рис. 112, а). Докажем, что а || b. Допустим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке М (рис. 112,6). Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b), параллельные прямой с.

Рис. 112

Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение неверно, а значит, прямые а и b параллельны.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Во всякой теореме различают две части: условие и заключение . Условие теоремы - это то, что дано, а заключение - то, что требуется доказать.

Рассмотрим, например, теорему, выражающую признак параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

В этой теореме условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны» (это дано), а заключением - вторая часть: «прямые параллельны» (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной , называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы. Докажем теоремы, обратные трём теоремам п. 25.

Теорема

Доказательство

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей MN. Докажем, что накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны (рис. 113).

Рис. 113

Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 2, так, чтобы ∠PMN и ∠2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому МР || b. Мы получили, что через точку М проходят две прямые (прямые а и МР), параллельные прямой Ь. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и ∠1 = ∠2. Теорема доказана.

Замечание

При доказательстве этой теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного .

Мы предположили, что при пересечении параллельных прямых а и b секущей MN накрест лежащие углы 1 и 2 не равны, т. е. предположили противоположное тому, что нужно доказать. Исходя из этого предположения, путём рассуждений мы пришли к противоречию с аксиомой параллельных прямых. Это означает, что наше предположение неверно и, следовательно, ∠1 = ∠2.

Такой способ рассуждений часто используется в математике. Мы им пользовались и ранее, например в п. 12 при доказательстве того, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Этим же методом мы пользовались в п. 28 при доказательстве следствий 1 0 и 2 0 из аксиомы параллельных прямых.

Следствие

Действительно, пусть а || b, с ⊥ a, т. е. ∠1 = 90° (рис. 114). Прямая с пересекает прямую а, поэтому она пересекает также прямую b. При пересечении параллельных прямых а и Ь секущей с образуются равные накрест лежащие углы: ∠1=∠2. Так как ∠1 = 90°, то и ∠2 = 90°, т. е. с ⊥ b, что и требовалось доказать.

Рис. 114

Теорема

Доказательство

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (см. рис. 102). Так как а || b, то накрест лежащие углы 1 и 3 равны.

Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠3 следует, что ∠1 = ∠2. Теорема доказана.

Теорема

Доказательство

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с (см. рис. 102). Докажем, например, что ∠1 + ∠4 = 180°. Так как а || b, то соответственные углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 4 смежные, поэтому ∠2 + ∠4 = 180°. Из равенств ∠1 = ∠2 и ∠2 + ∠4 = 180° следует, что ∠1 + ∠4 = 180°. Теорема доказана.

Замечание

Если доказана некоторая теорема, то отсюда ещё не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда верно. Приведём простой пример. Мы знаем, что если углы вертикальные, то они равны. Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные», конечно же, неверно.

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Докажем теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Теорема

Доказательство

Пусть ∠AOB и ∠A 1 O 1 B 1 - данные углы и ОА || О 1 А 1 , ОВ || О 1 В 1 . Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А 1 О 1 В 1 - развёрнутый (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB - неразвёрнутый угол. Возможные случаи расположения углов АОВ и А 1 О 1 В 1 изображены на рисунке 115, а и б. Прямая О 1 В 1 пересекает прямую О 1 А 1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. Параллельные прямые ОВ и О 1 В 1 пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образованных при пересечении прямых О 1 В 1 и ОА (угол 1 на рисунке 115), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Параллельные прямые ОА и О 1 А 1 пересечены секущей О 1 М, поэтому либо ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (рис. 115, а), либо ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (рис. 115, б). Из равенства ∠1 = ∠AOB и последних двух равенств следует, что либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (см. рис. 115, а), либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (см. рис. 115, б). Теорема доказана.

Рис. 115

Докажем теперь теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Теорема

Доказательство

Пусть ∠AOB и ∠A 1 O 1 B 1 - данные углы, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Если угол АОВ развёрнутый или прямой, то и угол А 1 О 1 В 1 развёрнутый или прямой (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB < 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).

Возможны два случая (рис. 116).

1 0 . ∠AOB < 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.

2 0 . ∠AOB > 90° (см. рис. 116, б). Проведём луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ. Угол АОС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А 1 О 1 В 1 . Следовательно, либо.∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, либо ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . В первом случае ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , во втором случае ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Теорема доказана.

Задачи

196. Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?

197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.

198. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?

199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.

200. На рисунке 117 AD || p и PQ || ВС. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.

Рис. 117

201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.

202. На рисунке 118 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?

Рис. 118

203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если:

а) один из углов равен 150°;
б) один из углов на 70° больше другого.

204. Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО = ОD.

205. По данным рисунка 119 найдите ∠1.

Рис. 119

206. ∠ABC = 70°, a ABCD = 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть:

а) параллельными;
б) пересекающимися?

207. Ответьте на вопросы задачи 206, если ∠АВС = 65°, а ∠BCD= 105°.

208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.

209. На рисунке 120 а || b, с || d, ∠4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3.

Рис. 120

210. Два тела Р 1 и Р 2 подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А и В (рис. 121). Третье тело Р 3 подвешено к той же нити в точке С и уравновешивает тела Р 1 и Р 2 . (При этом АР 1 || ВР 2 || СР 3 .) Докажите, что ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .

Рис. 121

211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

212. Прямые, содержащие высоты АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В - тупой, ∠C = 20°. Найдите угол АHВ.

Ответы к задачам

196. Одну прямую.

197. Три или четыре.

201. 105°, 105°.

203. б) Четыре угла по 55°, четыре других угла по 125°.

206. а) Да; б) да.

207. а) Нет; б) да.

208. 115° и 65°.

209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.

210. Указание. Рассмотреть продолжение луча СР 3 .

§ 1 Аксиома параллельных прямых

Выясним, какие утверждения называются аксиомами, приведем примеры аксиом, сформулируем аксиому параллельных прямых и рассмотрим некоторые её следствия.

При изучении геометрических фигур и их свойств возникает необходимость в доказательстве различных утверждений - теорем. При их доказательстве часто опираются на ранее доказанные теоремы. Возникает вопрос: а на чем основаны доказательства самых первых теорем? В геометрии приняты некоторые исходные положения, на их основе и доказываются далее теоремы. Такие исходные положения называются аксиомами. Аксиома принимается без доказательств. Слово аксиома происходит от греческого слова «аксиос», что означает «ценный, достойный».

С некоторыми аксиомами мы уже знакомы. Например, аксиомой является утверждение: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

При сравнении двух отрезков и двух углов мы накладывали один отрезок на другой, а угол накладывали на другой угол. Возможность такого наложения вытекает из следующих аксиом:

·на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один;

·от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Геометрия - древняя наука. Почти два тысячелетия геометрия изучалась по знаменитому сочинению «Начала» древнегреческого ученого Евклида. Евклид сначала формулировал исходные положения - постулаты, а затем на их основе путем логических рассуждений доказывал другие утверждения. Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией. В рукописях ученого есть утверждение, называемое пятым постулатом, вокруг которого очень долгое время разгорались споры. Многие математики предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т.е. вывести его из других аксиом, но каждый раз доказательства были неполными или заходили в тупик. Лишь в XIX веке было окончательно выяснено, что пятый постулат не может быть доказан на основе остальных аксиом Евклида, и сам является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856). Итак, пятый постулат - аксиома параллельных прямых.

Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

§ 2 Cледствия из аксиомы параллельных прямых

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано: прямые а и b параллельны, прямая с пересекает прямую а в точке А.

Доказать: прямая с пересекает прямую b.

Доказательство: если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку А проходили бы две прямые а и с, параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Значит, прямая с пересекает прямую b.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: прямые а и b параллельны прямой с. (а||с, b||с)

Доказать: прямая а параллельна прямой b.

Доказательство: допустим, что прямые а и b не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке А. Тогда через точку А проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Но по аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельна данной. Значит, наше предположение неверно, следовательно, прямые а и b параллельны.

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю).
3. Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Использованные изображения:

Видеоурок «Аксиома параллельных прямых» предполагает детальное рассмотрение важной аксиомы геометрии - аксиомы параллельных прямых, ее особенностей, следствий из данной аксиомы, широко применяющихся в практике решения геометрических задач. Задача данного видеоурока - облегчить запоминание аксиомы и ее следствий, сформировать представление о ее особенностях, применении при решении задач.

Подача материала в форме видеоурока открывает новые возможности для учителя. Подача ученикам стандартного блока учебного материала автоматизируется. При этом улучшается качество подачи материала, так как он обогащен наглядным представлением, анимационными эффектами, приближающими построения к реальным, проводимым на доске. Исторические сведения подаются с рисунками и фото, вызывая интерес к изучаемой теме. Видео также освобождает учителя для углубления индивидуальной работы во время обучения.

Сначала на данном видео демонстрируется название темы. Рассмотрение аксиомы начинается с построения ее модели. На экране изображены прямая а, лежащая вне ее точка М. Далее описывается доказательство утверждения, что через заданную точку М можно построить прямую, параллельную данной. Проводится перпендикулярно прямой а прямая с, затем перпендикулярно прямой с в точке М проводится прямая b. Основываясь на утверждении, о параллельности двух прямых, перпендикулярных третьей, отмечаем, что прямая b параллельна исходной прямой а. Учитывая это, указываем, что в точке М проведена прямая, параллельная данной. Однако необходимо еще проверить, есть ли возможность провести через М иную параллельную прямую. На экране показано, что любой поворот прямой b в точке М приведет к построению прямой, которая пересечет прямую а. Однако возможно ли доказать невозможность проведения другой прямой?

Вопрос доказательства невозможности проведения иной прямой, параллельной данной, имеет давнюю историю. Ученикам предлагается небольшой экскурс в историю вопроса. Отмечается, что в труде Евклида «Начала» данное утверждение приведено в виде пятого постулата. Попытки ученых доказать утверждение не привели к успеху. На протяжении многих веков математиков интересовала эта задача. Однако только в прошлом веке окончательно было доказано, что данное утверждение недоказуемо в евклидовой геометрии. Оно является аксиомой. Ученикам представляется один из знаменитых математиков, вложивших значительный вклад в математическую науку - Николай Иванович Лобачевский. Именно он сыграл важную роль в окончательном решении вопроса. Поэтому утверждение, рассматриваемое на данном уроке, является аксиомой, лежащей в фундаменте науки наряду с другими аксиомами.

Далее предлагается рассмотреть следствия из данной аксиомы. Для этого необходимо уточнить понятие «следствия». На экране отображается определение следствий как утверждений, выводящихся непосредственно из теорем или аксиом. Данное определение может быть предложено ученикам для записи в тетрадь. Понятие следствий демонстрируется на примере, который уже рассматривался в видеоуроке 18 «Свойства равнобедренного треугольника». На экране выведена теорема о свойствах равнобедренного треугольника. Напоминается, что после доказательства данной теоремы рассматривались не менее важные следствия из нее. Так, если основная теорема утверждала, что биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой, то следствия имели близкое содержание, утверждая, что и высота равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой, а также медиана равнобедренного треугольника является одновременно биссектрисой и высотой.

Уточнив понятие следствий, рассматриваются непосредственно следствия, выходящие из данной аксиомы параллельности прямых. На экране отображается текст первого следствия аксиомы, утверждающий, что пересечение прямой одной из параллельных прямых означает пересечение ею и второй параллельной прямой. На рисунке под текстом следствия изображается прямая b и параллельная ей прямая а. Вторая прямая пересекает прямую с в точке М, принадлежащей прямой а. Приводится доказательство утверждения, что прямая с пересечет также прямую b. Доказательство производится от противного, используя аксиому о параллельных прямых. Если предположить, что прямая с не пересекает b, это означает, что через данную точку можно провести еще одну прямую, параллельную указанной. Но это невозможно, учитывая аксиому параллельных прямых. Следовательно, с пересекает также прямую b. Следствие доказано.

Далее рассматривается второе следствие из данной аксиомы. На экране отображается текст следствия, утверждающего, что если две прямые являются параллельными третьей, то можно утверждать о параллельности их между собой. На рисунке, демонстрирующем данное утверждение, построены прямые а, b, с. При этом прямая с как параллельная обеим прямым, выделена синим цветом. Предлагается доказать данное утверждение. В ходе доказательства допускается, что параллельные прямой с прямые а, b не являются параллельными между собой. Это означает, что они имеют точку пересечения. Это означает, что проходящие через точку М, обе прямые параллельны данной, что вступает в противоречие с аксиомой параллельных прямых. Данное следствие верно.

Видеоурок «Аксиома параллельных прямых» может облегчить учителю задачу объяснить ученикам особенности аксиомы, доказательства ее следствий, облегчить запоминание материала школьниками на обычном уроке. Также данный видеоматериал может быть использован при дистанционном обучении, быть рекомендованным для самостоятельного изучения.

Немецкий физик Альберт Эйнштейн с помощью математических методов разработал теорию относительности, совершив переворот в физике ХХ в.

Считается, что основы современной математики заложены Эвклидом в его 13-томном труде «Элементы» около 300 г. до н. э. В отличие от предшественников, Евклид объясняет здесь геометрию не с помощью бесчисленных чертежей, но чисто логически. Вначале он описывает целый ряд фактов, которые он считает истинными и непреложными. Эти факты называются постулатами. Один из таких постулатов Евклида, например, гласит: «Из каждой точки можно провести одну прямую к любой другой точке». Затем, исходя из этих постулатов, он выводит все остальное. Тем самым Евклид впервые продемонстрировал современное математическое мышление: исходя из определенных предположений, однажды сделанных и не подвергавшихся больше пересмотру, доказал множество других утверждений.

Столетиями шли споры по поводу пятого постулата Евклида, так называемой аксиомы о параллельных прямых: через любую точку Р, лежащую вне прямой g, можно провести только одну прямую, которая не пересечет g. Такую прямую называют параллельной к прямой g, проходящей через точку Р. Многие ученые стремились не просто принять это положение, а вывести его из первых четырех. Но это оказалось невозможным. Математики стали создавать геометрию, которая основывалась на первых четырех аксиомах Евклида и отвергала пятую. То, что вначале выглядело математической игрой, в начале XX в. оказалось востребованным. Альберт Эйнштейн увидел в этих моделях геометрии основу для своей общей теории относительности.