Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей. Поверхности вращения. Начертательная геометрия

Поверхности вращения – поверхности, образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси (рис. 51, а). Направляющей поверхности вращения является окружность постоянного (цилиндр) или переменного радиуса (конус, сфера). Нормальное – перпендикулярное оси вращения сечение любой поверхности вращения, представляет собой окружность с центром на ее оси.

Рис. 51. Поверхность вращения: а – основные линии на поверхности вращения; б – представление поверхности вращения в виде сети

Направляющие называют также параллелями поверхности вращения. Плоскости параллелей перпендикулярны к оси поверхности. Наибольшую из параллелей называют экватором поверхности, наименьшую – горлом. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность – меридианами. Поверхность вращения можно представить параллелями или меридианами поверхности, а также сетью, состоящей из параллелей и меридианов (рис. 51, б).

Поверхность вращения называют закрытой, если меридиональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пересекающей ось поверхности в двух точках.

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой n-го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения, в общем случае, 2n–го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка.

В зависимости от вида образующей различают:

Торовые поверхности – поверхности, образованные вращением окружности или дуги окружности:

Рис. 52. Торовые поверхности: а – сфера; b – открытый тор (кольцо); c – закрытый тор; d – глобоид

Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, проходящей через ее центр (рис. 52, а).
Тор образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр (тор является поверхностью четвертого порядка). Различают открытый тор , образованный вращением окружности вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 52, б) и закрытый тор , образованный вращением окружности вокруг оси, которая пересекает образующую окружность или касается ее (рис. 52, в).
Глобоид образуется вращением окружности достаточно большого радиуса вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 52, г).

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси. Если за ось вращения принята большая ось эллипса, эллипсоид вращения называют вытянутым (рис. 53. а), если малая – сжатым или сфероидом (рис. 53, б). Земной шар, например, по форме близок к сфероиду

Рис. 53. Поверхности вращения: а – вытянутый эллипсоид; б – сфероид

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 54). Параболоиды вращения используются в качестве отражающей поверхности в прожекторах и фарах автомобилей для получения параллельного светового пучка.

Рис. 54. Параболоид вращения

Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы. Различают однополостный гиперболоид (рис. 55, а), образованный вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси, и двуполостный гиперболоид (рис. 55, б), образованный вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

В числе кривых поверхностей - линейчатых и нелинейчатых - имеются широко распространенные в практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую от вращения какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой - оси поверхности 1).

Поверхность вращения можно задать образующей и положением оси. На рис. 330 показана такая поверхность. Здесь образующей служит кривая ABC, осью - прямая OO 1 , расположенная в одной плоскости с ABC. Каждая точка образующей описывает окружность. Таким образом, плоскость, перпендикулярная к оси поверхности вращения, пересекает эту поверхность по окружности. Такие окружно

1) В процессе образования поверхности вращения ось неподвижна.

сти называются параллелями . Наибольшую из параллелей называют экватором , наименьшую - горлом поверхности 1).

Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной плоскостью . Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называется меридианом поверхности .

Можно назвать вершиной поверхности вращения точку пересечения меридиана этой поверхности с ее осью, если в пересечении не образуется прямой угол.

Если ось поверхности вращения параллельна пл. π 2 , то меридиан, лежащий в плоскости, параллельной пл. π 2 , называется главным меридианом . При таком положении главный меридиан проецируется на пл. тс 2 без искажения. Если ось поверхности вращения перпендикулярна к пл. π 1 то горизонтальная проекция поверхности имеет очерк в виде окружности. Наиболее целесообразным с точки зрения изображений является перпендикулярность оси поверхности вращения к пл. π 1 или к π 2 , или к π 3 .

Некоторые поверхности вращения представляют собой частные случаи поверхностей, рассмотренных в § 50. Таковы: 1) цилиндр вращения, 2) конус вращения, 3) гиперболоид вращения однополостный, 4) эллипсоид вращения, 5) параболоид вращения, 6) гиперболоид вращения двуполостный.

Для цилиндра и конуса вращения меридианы являются прямыми линиями - в первом случае параллельными оси и равноудаленными от нее, во втором случае пересекающими ось в одной и той же ее точке под одним и тем же углом к оси. Так как цилиндр и конус вращения - поверхности, бесконечно простирающиеся в направлении их образующих, то на изображениях обычно их ограничивают какими-либо линиями, например следами этих поверхностей на плоскостях проекций или какой-либо из параллелей. Известные из стереометрии прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус ограничены поверхностью вращения и плоскостями, перпендикулярными к ее оси. Меридианы такого цилиндра - прямоугольники, а конуса - треугольники.

Для гиперболоида вращения меридианом является гипербола, причем, если осью вращения служит действительная ось гиперболы, то образуется двуполостный гиперболоид вращения; если же вращать гиперболу вокруг ее мнимой оси, то однополостный .

Однополостный гиперболоид вращения может быть образован также вращением прямой линии в случае, если образующая и ось вращения - скрещивающиеся прямые.

На рис. 331 показан однополостный гиперболоид вращения, образованный вращением прямой АВ вокруг указанной оси и ограниченный двумя параллелями; окружность, проведенная из центра 0 1 есть горло поверхности.

На однополостном гиперболоиде вращения можно нанести прямолинейные образующие в двух направлениях, например так, как показано на рис. 331, и с наклоном в обратную сторону, под тем же углом к оси.

Кроме прямых (пар) на этой поверхности могут быть еще гиперболы, параболы, эллипсы и окружности.

1) Точнее, экватором называют ту из параллелей, которая больше соседних с нею параллелей по обе стороны от нее, рассматриваемых до первого горла; горло - наименьшая из соседних параллелей до первого экватора. Отсюда поверхность вращения может иметь несколько экваторов и горл.

На рис. 331 справа показано построение фронтальной проекции однополостного гиперболоида вращения по его оси и образующей. Прежде всего найден радиус горла поверхности. Для этого проведен перпендикуляр О" 1 1" к горизонтальной проекции образующей. Этим определена горизонтальная проекция общего перпендикуляра к оси и образующей. Натуральная величина отрезка, выраженного проекциями O" 1 1" и О" 1 1", равна радиусу горла поверхности. Далее, путем поворота точки c проекциями 2",2";3",3";A",A" выведены в плоскость α,параллельную пл. π 2 , что

дает возможность провести очерковую линию фронтальной проекции гиперболоида. Горизонтальная его проекция представит собой три концентрические окружности.

Для параболоида вращения меридианом является парабола , ось которой служит осью поверхности.

Для эллипсоида вращения меридианом является эллипс . Поверхность может быть образована вращением эллипса вокруг его большой оси («вытянутый» эллипсоид вращения - рис. 332, слева) или вокруг его малой оси («сжатый» эллипсоид вращения - рис, 332, справа). Эллипсоид вращения - поверхность ограниченная; она может быть изображена полностью. Также полностью может быть изображена и сфера. Для сферы экватор и меридианы - равные между собой окружности.

Обратим еще раз внимание на то, что такие поверхности вращения, как цилиндр, конус и однополостный гиперболоид, являются линейчатыми, т. е. их можно

образовать вращением прямой линии 1). Но эллипсоид, параболоид и двуполостный гиперболоид образуются при вращении не прямой, а эллипса, параболы и гиперболы, причем ось вращения выбирается так, чтобы образующая кривая располагалась симметрично по отношению к этой оси. То же можно сказать и относительно однополостного гиперболоида вращения, если он образуется в результате вращения гиперболы вокруг ее мнимой оси.

Так как ось вращения выбирается совпадающей с осью симметрии эллипса, параболы, гиперболы, то эллипс и Гипербола образуют по две поверхности, так как у них по две оси симметрии, а парабола - одну поверхность, так как у нее одна ось симметрии, Следовательно, каждая из образуемых поверхностей получается только при вращении одним способом. Между тем сфера, которую можно рассматривать как эллипсоид при равных большой и малой осях образующего эллипса, переходящего при этом в окружность, может быть образована вращением более чем одним

способом: образующая окружность симметрична относительно каждого из ее диаметров.

При вращении окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, получается поверхность с названием тор 2). Так называют и тело, ограниченное тором - поверхностью.

Различают (рис. 333):

1) открытый тор, иначе круговое кольцо,

2) замкнутый,

3) самопересекающийся.

На рис. 333 они изображены в простейшем положении: ось тора перпендикулярна к плоскости проекций, в данном случае к пл. π 1 .

Образующей для открытого и замкнутого торов служит окружность, для самопересекающегося - дуга окружности. В открытый и замкнутый торы могут быть вписаны сферы. Тор можно рассматривать как поверхность, огибающую одинаковые сферы, центры которых находятся на окружности.

Тор имеет две системы круговых сечений: в плоскостях, перпендикулярных к его оси, и в плоскостях, проходящих через ось тора 3).

1) Закономерность в расположении прямолинейных образующих однополостного гиперболоида вращения применена в конструкции, известной под названием «башня Шухова». В. Г. Шухов (1853 - 1939) - один из выдающихся русских инженеров. «Башня Шухова» применяется в устройстве радиомачт, водонапорных башен и др.

2) Фр. tore (от torus (лат.) - выпуклость, узел) - кольцеобразный выступ на колонне.

3) Существует третья система круговых сечений открытого тора, которая в книге не рассматривается.

Поверхность, называемая тором, весьма часто встречается в машиностроении и архитектуре. На рис. 334 слева изображена деталь, поверхность вращения которой содержит самопересекающийся тор и открытый тор, а справа на том же рисунке показана схематически

поверхность перехода от одного цилиндрического свода к другому, имеющая форму замкнутого тора с осью ОО 1

Из поверхностей вращения упомянем еще катеноид 1). Эта поверхность образуется при полном обороте цепной линии 2) вокруг лежащей с ней в одной плоскости горизонтальной оси.

Положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения.

Но это не исключает возможности применять прямолинейные образующие в случае линейчатых поверхностей вращения, подобно тому, как это показано на рис. 314 для цилиндров и конусов общего вида.

На рис. 330 показано применение параллели для построения проекции точки, принадлежащей данной поверхности вращения. Если дана проекция М", то проводим фронтальную проекцию F"F" 1 параллели, а затем радиусом R = O" 1 F" проводим окружность - горизонтальную проекцию параллели - и на ней находим проекцию М". Если бы была задана проекция М", то следовало бы провести радиусом R = O" 1 F" окружность, по точке F" найти F" и провести F"F" 1 - фронтальную проекцию параллели, на которой должна быть проекция М". На рис, 332 показано построение проекций точки К, принадлежащей эллипсоиду вращения, а на рис. 335 - точки М, принадлежащей поверхности кругового кольца.

На рис. 335 справа показано нахождение проекций точек на сфере. По данной проекции А" точки А построена фронтальная проекция А"; по данной проекции В" найдена горизонтальная проекция В" точки В, удовлетворяющей дополнительному условию, что точка В невидима, если смотреть на пл. π 2 .

Точка С задана на экваторе: ее проекция С" находится на очерке горизонтальной проекции сферы, т. е. на горизонтальной проекции экватора. Точки К и М лежат на главном меридиане; они принадлежат параллелям, на которых находятся точки А и В. Точка D также находится на главном меридиане, причем она невидима, если смотреть на пл. π 1 .

Рассмотрим пример построения проекций точек, принадлежащих поверхности вращения. Пусть требуется привести точку А, вращая ее вокруг данной оси MN, на заданную поверхность вращения (рис. 336, а). Так как в данном случае ось поверхности вращения и ось вращения точки А перпендикулярны к плоскости проекций π 1 , то окружность вращения точки А проецируется на π 1 без искажения, равно как и та параллель поверхности вращения, которая получается при пересечении этой поверхности плоскостью вращения точки А. В этой плоскости расположен и центр вращения точки А - точка О (точка пересечения оси вращения MN с плоскостью вращения α). Остальное ясно из чертежа. В положении А 2 на поверхности точка окажется невидимой на пл. π 2 .

2) Catena (лат.) - цепь.

2) Цепная линия - кривая, форму которой принимает цепь, подвешенная в ее двух точках, или вообще тяжелая нерастяжимая нить, подвешенная за ее концы.

Положим, что будет поставлен вопрос о выборе оси вращения для того, чтобы далее точка А могла оказаться на заданной поверхности вращения, На с. 100 был рассмотрен аналогичный вопрос, но там требовалось выбрать ось, чтобы поворотом вокруг нее можно было ввести точку в плоскость, Тогда было установлено, что имеется зона, в которой нельзя брать оси, так как при повороте вокруг таких осей точка не соприкоснется с плоскостью. Эта зона определялась параболическим цилиндром, причем парабола возникла при рассмотрении взаимного положения вращаемой точки и прямой, на которой эта точка должна была бы оказаться, соприкоснувшись с плоскостью.

Теперь, очевидно, вопрос будет, решаться при рассмотрении взаимного положения точки А и окружности (параллели) на поверхности тела вращения,

Из рис. 336, а следует, что проекция О" центра вращения должна быть расположена так, чтобы R A не был меньше расстояния точки О" до ближайшей точки на проекции окружности радиуса r, Если же взять точку О" на равных расстояниях от А" и от проекции этой окружно

сти (например, в О" 1 или O" 2 ; см. рис, 336,6), то в ней уже можно установить ось вращения; окружность вращения точки А коснется окружности радиуса r, т, е, точка А соприкоснется с поверхностью вращения.

Где на чертеже лежат все точки, одинаково удаленные от точки А" и от окружности радиуса r? Они расположены на гиперболе (рис, 336,6), для которой точка А" служит одним из фокусов, точка О" 1 , в которой отрезок А"1" делится пополам, - одной из вершин. Если разделить отрезок А"З" пополам, то мы получим вторую вершину гиперболы (точка О" 3); второй фокус расположится в точке С", т. е. в центре окружности, полученной при пересечении поверхности тела вращения плоскостью α (рис. 336, а).

Из рассмотренного вытекает, что точки, расположенные на обеих ветвях гиперболы или между ними, могут быть выбраны каждая в качестве горизонтальной проекции оси вращения.

Может быть случай, когда точка находится внутри поверхности вращения. Следовательно, проводя через точку плоскость вращения, мы получим проекцию А" внутри проекции окружности радиуса r, по которой плоскость вращения точки А пересекает поверхность вращения (рис, 336, в). И на этот раз очевидно, что R A не должен быть меньше расстояния точки О" (т, е, проекции оси) до ближайшей точки проекции окружности радиуса r. Предельные положения проекций осей расположатся теперь как точки эллипса с фокусами в точках А" и С", с большой осью на прямой 1"З", с вершинами в точках O" 3 и O" 3 . Внутри этого эллипса не следует брать проекции осей; такие оси не дадут возможности ввести точку А в поверхность вращения,

Итак, вопрос, как выбрать ось вращения, чтобы, вращая вокруг нее точку, ввести эту точку в плоскость или в поверхность вращения, ось которой параллельна оси вращения, привел нас к эллипсу (рис. 336, в), -параболе (рис, 244), гиперболе (рис. 336,6) как геометрическим местам центров вращения.

При решении различных задач применяются те или иные поверхности в качестве геометрических мест точек или линий, отвечающих определенным условиям. Например, заданы пл. α и точка К вне этой плоскости; определить, как расположатся в пл. α точки, отстоящие от точки К на заданное расстояние r (расстояние r больше, чем расстояние точки К до пл. α). В данном случае решение связано с применением сферы как геометрического места точек, отстоящих от точки К на расстояние r, Плоскость α пересечет эту сферу по окружности, которая,и даст решение задачи.

Если бы требовалось построить в пл. α точки, отстоящие на расстояние r не от точки, а от некоторой прямой АВ, не лежащей в пл. α, то геометрическим местом таких точек в пространстве оказалась бы поверхность цилиндра вращения с осью АВ и радиусом r, а искомые в пл. α точки получились бы на линии пересечения этого цилиндра пл. α.

В дальнейшем на рис. 368 справа и 401 можно видеть примеры применения конических поверхностей вращения как геометрических мест прямых, проходящих через заданную точку.

Если в задаче поставлен вопрос о точках, равноотстоящих от заданных плоскости α и точки М, то в качестве геометрического места таких точек в пространстве следовало бы использовать параболоид вращения с фокусом параболы в точке М.

Применение тех или иных поверхностей в качестве геометрических мест, конечно, не исчерпывается приведенными примерами.

Вопросы к § 51

Что называется поверхностью вращения?
Чем можно задать поверхность вращения?
Что называется параллелями и меридианами на поверхностях вращения, экватором, горлом, главным меридианом?

1) Предлагаем читателю составить чертеж и выполнить решение этой и последующих задач.

Какая из осей гиперболы служит осью вращения для образования: а) однополостного, б) двуполостного гиперболоида вращения?
Можно ли образовать однополостный гиперболоид вращения при помощи прямой линии?
Какие поверхности вращения (кроме однополостного гиперболоида) являются линейчатыми?
Как образуется поверхность, называемая тором?
В каком случае для тора применяется название «круговое кольцо»?
Сколько систем круговых сечений имеет тор?
Как определяется положение точки на поверхности вращения?

- (греч., от hyperbole гипербола, и eidos сходство). Несомкнутая кривая поверхность 2 го порядка, происходящая от вращения гиперболы. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГИПЕРБОЛОИД греч., от hyperbole,… … Словарь иностранных слов русского языка

гиперболоид - а, м. hyperboloïde m. мат. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей. БАС 2. Гиперболоид инженера Гарина. Лекс. Ян. 1803: гиперболоида; САН 1847: гиперболои/д: БАС 1954: гиперболо/идный … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ГИПЕРБОЛОИД, гиперболоида, муж. (мат.). Поверхность, образуемая вращением гиперболы (в 1 знач.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Сущ., кол во синонимов: 2 коноид (4) поверхность (32) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Гиперболоид - Однополостный гиперболоид. ГИПЕРБОЛОИД (от гипербола и греческого eidos вид), поверхность, которая получается при вращении гиперболы вокруг одной из осей симметрии. В одном случае образуется двуполостный гиперболоид, в другом однополостный… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

гиперболоид - hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperboloid vok. Hyperboloid, m rus. гиперболоид, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas

- (мат.) Под этим названием известны два вида поверхностей второго порядка. 1) Однополый Г. Эта поверхность, отнесенная к осям симметрии, имеет уравнение x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Однополый Г. есть поверхность линейчатая и на ней лежат две системы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

М. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы [гипербола II] вокруг одной из её осей (в геометрии). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоида, гиперболоидов, гиперболоиду, гиперболоидам, гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоидом, гиперболоидами, гиперболоиде, гиперболоидах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов

Незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существуют два вида Г.: однополостный Г. идвуполостный Г. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение однополостного Г. имеет вид: а двуполостного вид: Числа а, b и с(и отрезки такой… … Математическая энциклопедия

Книги

, Алексей Толстой. В книгу вошли научно-фантастические романы А. Н. Толстого, созданные в 20-е годы прошлого века…
Гиперболоид инженера Гарина. Аэлита , Алексей Толстой. Роман "Гиперболоид инженера Гарина" и повесть "Аэлита" положили начало советской научно-фантастической литературе. Они отличаются тем, что темы фантастические даются в сочетании с…

вокруг той оси, которая ее пересекает (вокруг действительной оси).

Для того, чтобы перейти от уравнения линии (43) к уравнению поверхности вращения, заменимх на
, получим уравнение двуполостного гиперболоида вращения

В результате сжатия этой поверхности получается поверхность, задаваемая уравнением

. (44)

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида (44), называется двуполостным гиперболоидом. Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две несвязанные между собой части («полости») поверхности, в то время как при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывает всю поверхность (рис. 60).

Асимптотический конус для двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного (рис. 61).

Рассмотрим теперь пересечения двуполостного гиперболоида (44) с плоскостями, параллельными координатным.

Плоскость z = h при |h | < c пересекает поверхность (44) по мнимым эллипсам, при |h | > c по вещественным. Если а = b , то эти эллипсы являются окружностями, а гиперболоид – есть гиперболоид вращения. При |h | = c получаем

т. е. пару сопряженных прямых с одной вещественной точкой (0; 0; с ) (или (0; 0; –с ) соответственно).

Плоскости x = α и y = β пересекают гиперболоид (44) по гиперболам

и
.

8. эллиптический параболоид

При вращении параболы x 2 = 2pz вокруг ее оси симметрии получим поверхность с уравнением

x 2 + y 2 = 2pz ,

называемуюпараболоидом вращения . Сжатие к плоскости у = 0 переводит параболоид вращения в поверхность с уравнением

. (45)

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом.

Внешний вид эллиптического параболоида ясен из способа его построения. Он весь расположен по одну сторону от плоскости z = 0, в полупространстве z > 0 (рис. 62). Сечения плоскостями z = h , h > 0 имеют уравнение:

и являются эллипсами.

Сечения эллиптического параболоида (45) плоскостями у = 0 и х = 0 являются параболами

x 2 = 2a 2 z , y = 0; (46)

y 2 = 2b 2 z , x = 0. (47)

Эти параболы называют главными параболами эллиптического параболоида, при этом параболу (46) условно назовем неподвижной , а параболу (47) – подвижной .

Можно дать следующее очень наглядное построение эллиптического параболоида посредством скольжения одной параболы вдоль другой (система координат предполагается прямоугольной).

Возьмем сечение параболоида (45) плоскостью x = α, получим в этой плоскости, содержащей систему координат O 0 e 2 e 3 , где O 0 = (α, 0, 0), кривую, уравнение которой будет

, x = α

y 2 = 2b 2 (z – γ), x = α, (48)

где
.

Перейдем в плоскости x = α от системы координат O e 2 e 3 к системе координат O ′e 2 e 3 , где O ′ = (α, 0, γ) есть точка пересечения плоскости x = α с неподвижной параболой x 2 = 2a 2 z , y = 0.

Перенеся начало координат системы O 0 e 2 e 3 в точку O ′, произвели следующее преобразование координат:

y = y ′, z = z ′ + γ.

В результате этого преобразования уравнение (48) получает вид:

y ′ 2 = 2pz ′, x = α.

Кривая (48) – это та же «подвижная» парабола, но перенесенная параллельно себе в плоскость x = α. Этот перенос можно осуществить следующим образом. Вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе из точки О в точку O ′, а сама парабола при этом перемещается, как твердое тело, оставаясь все время в плоскости, параллельной плоскости yOz .

Этот результат можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Эллиптический параболоид есть поверхность, описываемая при движении одной («подвижной») параболы (47) вдоль другой, неподвижной (46), так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными самим себе, причем предполагается, что обе параболы (подвижная и неподвижная) обращены вогнутостью в одну и ту же сторону (а именно в положительную сторону оси Oz ).

Заметим, что эллиптический параболоид прямолинейных образующих не имеет. Действительно, прямая, параллельная плоскости xOy , может пересекать лишь сечение параболоида некоторой плоскостью z = h , а это сечение, как уже было отмечено, представляет собой эллипс. И значит, у прямой не более двух общих точек с параболоидом.

Если же прямая не параллельна плоскости xOy , то ее полупрямая лежит в полупространстве z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.

9. гиперболический параболоид

По аналогии с уравнением (45) можем записать уравнение

. (49)

Поверхность, которая имеет в некоторой системе координат уравнение вида (49) назовем гиперболическим параболоидом .

Исследуем внешний вид гиперболического параболоида с помощью сечений (рис. 63). Сечение плоскостью z = h представляет собой гиперболу, которая в этой плоскости имеет уравнение:

или
.

Для больших значений h полуоси гиперболы
и
велики и уменьшаются с уменьшениемh . При этом ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e 1 .

При h = 0 гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

,
.

Если h < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e 2 . Полуоси растут с увеличением |h |. Отношение полуосей для всех гипербол при одном знаке h одно и то же. Поэтому, если мы нарисуем все сечения гиперболического параболоида на одной и той же плоскости, то получим семейство всех гипербол, имеющих в качестве асимптот пару пересекающихся прямых с уравнениями

,
.

Сечения гиперболического параболоида с плоскостями у = 0 и х = 0 являются двумя «главными параболами»:

x 2 = 2a 2 z , y = 0 (50)

– неподвижная парабола, и

y 2 = –2b 2 z , x = 0 (51)

– подвижная парабола.

Эти параболы обращены вогнутостью в противоположные стороны: неподвижная – «вверх» (т.е. в положительном направлении оси Oz ), а подвижная – «вниз» (т.е. в отрицательном направлении оси Oz ). Сечение в плоскости x = α имеет в системе координат O 0 e 2 e 3 , где O 0 = (α, 0, 0), уравнение

, x = α

y 2 = –2b 2 (z – z 0), x = α, (52)

где
.

После перенесения начала координат в точку O ′ = (α, 0, z 0), уравнение (51) примет вид:

y ′ 2 = –2b 2 z ′, x = α,

где y = y ′, z = z ′ + z 0 . Последнее уравнение показывает, что кривая (52) – это та же подвижная парабола (51), только сдвинутая параллельно себе при скольжении ее вершины вдоль неподвижной параболы из точки О в O ′.

Отсюда вытекает следующее утверждение. Гиперболический параболоид, заданный (в прямоугольной системе координат) уравнением (49) есть поверхность, описываемая параболой y 2 = –2b 2 z , х = 0 при ее движении вдоль неподвижной параболы (50) так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными себе самим, при этом обе параболы вогнутостью все время обращены в противоположные стороны: неподвижная – вогнутостью «вверх», т. е. в положительном направлении оси Oz , а подвижная – «вниз».

Из этого построения видно, что гиперболический параболоид имеет вид седла.

Гиперболический параболоид, как и однополостной гиперболоид, имеет два семейства прямолинейных образующих (рис. 64). Через каждую точку гиперболического параболоида проходят две прямые, которые всеми точками лежат на этой плоскости.

Найдем уравнения прямолинейных образующих. Перепишем уравнение (49) в виде