Для построения натуральной величины фигуры сечения (рис. 4) применен способ перемены плоскостей проекций. В качестве дополнительной плоскости принята плоскость H 1 , параллельная плоскостиР и перпендикулярная плоскостиV . Полученная проекция треугольника1 1 2 1 3 1 является натуральной величиной фигуры сечения.

Пирамида с вырезом

В качестве примера построения сечений многогранника несколькими плоскостями рассмотрим построение пирамиды с вырезом, который образован тремя плоскостями − P , R , иT (рис. 5).

Плоскость P , параллельная горизонтальной плоскости проекций, пересекает поверхность пирамиды по пятиугольнику 1-2-3-K-6 . На горизонтальной плоскости проекций стороны пятиугольника параллельны проекциям сторон основания пирамиды. Построив горизонтальную проекцию пятиугольника, отмечаем точки4 и5 .

Фронтально-проецирующая плоскостьR пересекает пирамиду по пятиугольнику 1-2-7-8-9 . Чтобы найти горизонтальные проекции точек8 и9 , проведем через них дополнительные образующиеSM иSN . Вначале на фронтальной проекции− s ′ m ′ иs ′ n ′, а затем на горизонтальной− sm иsn .

Фронтально-проецирующая плоскостьΤ пересекает пирамиду по пяти-

угольнику 5-4-8-9-10 .

Построив горизонтальную проекцию выреза, строим его профильную проекцию.

Построение проекций линии пересечения цилиндра плоскостью

При пересечении цилиндра вращения плоскостью, параллельной оси вращения, в сечении получается пара прямых (образующих, рис. 6). Если секущая плоскость перпендикулярна к оси вращения, в результате сечения получится окружность (рис. 7). В общем случае, когда секущая плоскость наклонена к оси вращения цилиндра, в сечении получается эллипс (рис. 8).

екциям − горизонтальной и фронтальной.

В общем случае построение линии пересечения поверхности плоскостью сводится к нахождению общих точек, принадлежащих одновременно секущей плоскости и поверхности.

Для нахождения этих точек применяют метод дополнительных секущих плоскостей:

1. Проводят дополнительную плоскость;

2. Строят линии пересечения дополнительной плоскости с поверхностью и дополнительной плоскости с заданной плоскостью;

3. Определяют точки пересечения полученных линий.

Дополнительные плоскости проводят таким образом, чтобы они пересекали поверхность по наиболее простым линиям.

Нахождение точек линии пересечения начинают с определения характерных (опорных) точек. К ним относятся:

1. Верхние и нижние точки;

2. Левая и правая точки;

3. Точки границы видимости;

4. Точки, характеризующие данную линию пересечения (для эллипса − точки большой и малой осей).

Для более точного построения линии пересечения необходимо построить еще и дополнительные (промежуточные) точки.

В рассматриваемом примере точки 1 и8 являются нижней и верхней точками. Для горизонтальной и фронтальной проекций точка1 будет левой точкой, точка8 − правой. Для профильной проекции точки4 и5 − точки границы видимости: точки, расположенные ниже точек4 и5 на профильной проекции будут видимыми, все остальные− нет.

Точки 2, 3 и6, 7 − дополнительные, которые определяются для большей точности построения. Профильная проекция фигуры сечения – эллипс, у которого малая ось− отрезок 1-8, большая− 4-5 .

Построение проекций линий пересечения конуса плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые линиями конических сечений.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его сечении получается пара прямых − образующих (треугольник) (рис. 10, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность (рис. 10, б). Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс, парабола или гипербола (рис. 10, в, г, д) в зависимости от величины угла наклона секущей плоскости.

Эллипс получается в том случае, когда угол β наклона секущей плоскости меньше угла наклонаα образующих конуса к его основанию(β < α) , то есть когда плоскость пересекает все образующие данного конуса (рис. 10, в).

Если углы α иβ равны, то есть секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, в сечении получается парабола (рис. 10, г).

Если секущая плоскость направлена под углом, который изменяется в пределах 90° β>α , то в сечении получается гипербола. В этом случае секу-

щая плоскость параллельна двум образующим конуса. Гипербола имеет две ветви, так как коническая поверхность двухполостная (рис. 10, д).

Пирамида. Усеченная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

S осн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

где p – периметр основания;

h а – апофема;

H – высота;

S полн

S бок

S осн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

(4)

где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p 1 , p 2 – периметры оснований;

h а – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС ). Угол наклона бокового ребра (например SB ) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD . Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB . Пусть длина отрезка BD равна 3а . Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO : Из находим:

Ответ:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3 .

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А 1 Е перпендикуляр из точки А 1 на плоскость нижнего основания, A 1 D – перпендикуляр из А 1 на АС . А 1 Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE .

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD . Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем

Введение. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Понятие многогранника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Свойства пирамиды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Усеченная пирамида. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . 8

2.3. Построение пирамиды и ее плоских сечений. . . .9

3. Призма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1. Изображение призмы и построение ее

сечений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Параллелепипед. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Некоторые свойства параллелепипеда. . . . . . . 16

5. Теорема Эйлера о многогранниках. . . . . . . . . . . . . . . 18

6. Подобие многогранников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. Правильные многогранники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1. Сводная таблица многогранников. . . . . . . . . . . 22

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Введение

Как-то Блез Паскаль сказал: «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее». С этой позиции попробуем рассмотреть стереометрию, являющуюся одним из разделов геометрии. Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве. Например, капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет и маленький теннисный шарик, и более крупные предметы - наша планета и многие другие космические объекты. А консервная банка - это цилиндр.

Стереометрия вокруг нас: в быту и в профессиональной деятельности. Мы, безусловно, не можем «увидеть» науку, но можем ежедневно лицезреть объемные тела в пространстве, которые она изучает. Разве не интересно рассматривать себя в зеркале со всех сторон? А ведь человеческая фигура - это тоже объемный предмет.

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, необходимо уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Назовем секущей плоскостью любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры. Секущая плоскость пересекает грани фигуры по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением фигуры. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

1. Понятие многогранника

Многогранник – геометрическое пространственное тело, ограниченное со всех сторон конечным числом плоских многоугольников. Гранями многогранника называются многоугольники, ограничивающие многогранник (грани - ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). Ребрами многогранника называются общие стороны смежных граней (ребра - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). Вершинами многогранника называются вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящимися в одной точке. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани (BN). Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани (плоскость BEN).

Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника его поверхности. Гранями выпуклого многогранника могут быть только выпуклые многоугольники (примером выпуклого многогранника может служить куб, рис. 1).

Если же грани многоугольника самопересекаются, то такой многогранник называется невыпуклым (рис. 2).

Сечением многогранника плоскостью называется часть этой плоскости, ограниченная линией пересечения поверхности многогранника с этой плоскостью.

.

2. Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого - произвольный многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину.

Основанием пирамиды называется многогранник, полученный в секущей плоскости (ABCDE). Боковыми гранями пирамиды называются треугольники ASB, BSC, … с общей вершиной S, которая называется вершиной пирамиды. Боковыми ребрами пирамиды называются ребра, по которым пересекаются боковые грани. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершин пирамиды на плоскость ее основания. Апофемой пирамиды называется высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды.

Пирамида называется правильной , если ее основание - правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника.

Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

Рассмотрим правильную пирамиду PA 1 A 2 …A n . Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро PA 1 – гипотенуза треугольника OPA 1 , в котором OP=h, OA 1 =R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно √(h 2 +R 2), поэтому PA 1 =PA 2 =…= PA n .

Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды PA 1 A 2 …A n равны друг другу, поэтому боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны друг другу, так как A 1 A 2 …A n – правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды .

Свойства пирамиды

Свойства поперечных сечений пирамиды.

1. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:

· боковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональ­ные отрезки;

· в сечении получится многоуголь­ник, подобный многоугольнику, лежащему в ос­новании;

· площади сечения и основания будут относиться друг к другу как квадраты их рас­стояний от вершины пирамиды:

S 1:S 2 =X 1 2:X 2 2

2. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.

Площадью боковой поверхности (или просто боковой поверхностью) пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности (или просто полная поверхность) пирамиды - сумма площади ее боковой поверхности и площади основания.

Свойства высоты пирамиды

1. Если боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды проходит в плоскости этой грани.

2. Если два смежных боковых ребра пирамиды равны, то основание высоты пирамиды находится на перпендикуляре, проведенном через середину той стороны основания, из концов которой исходят эти боковые ребра.

3. Если две смежные боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе угла, образованного теми сторонами основания, через которые проходят эти боковые грани.

4. Если боковое ребро пирамиды образует равные углы с двумя примыкающими к нему сторонами основания, то основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе угла, образованного этими сторонами основания.

5. Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно пересекающейся с ним стороне основания, то основание высоты пирамиды находится на перпендикуляре, восстановленном (в плоскости основания пирамиды) к этой стороне из точки ее пересечения с этим боковым ребром.

ПРИМЕЧАНИЕ : если пирамида обладает какими - либо двумя из этих особенностей, то можно однозначно указать точку, являющуюся основанием высоты пирамиды.

На рисунке изображен фрагмент правильной n – угольной пирамиды SABCD…, где SH – высота пирамиды; SK – апофема. Введем следующие обозначения: угол альфа (ά ) – угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания; бета (β)– угол между боковой гранью и плоскостью основания; угол игрек (γ) – угол между смежными боковыми ребрами; угол фи (φ) – угол между смежными боковыми гранями.

Если в правильной пирамиде известен один из этих углов, то можно найти остальные три. Шесть отношений приведены в таблице:

Объем пирамиды находится по формуле:

V=1/3S осн H,

где S осн – площадь основания, H – высота.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды выражается так:

S бок =1/2Ph,

где P – периметр основания, h – высота боковой грани

2.2. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, например пирамида ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Основаниями усеченной пирамиды называются параллельные грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD – нижнее основание, а A 1 B 1 C 1 D 1 – верхнее основание).

Высота усеченной пирамиды – отрезок прямой, перпендикулярный основаниям и заключенный между их плоскостями.

Усеченная пирамида правильная , если ее основания – правильные многоугольники, а прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

Апофемой усеченной пирамиды называют высоту ее боковой грани.

Боковой поверхностью усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Полная поверхность усеченной пирамиды равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Усеченная пирамида получается из пирамиды отсечением от нее верхней части плоскостью, параллельной основанию. Основания усеченной пирамиды - подобные многоугольники, боковые грани – трапеции.

Объем усеченной пирамиды находится по формуле:

V=1/3 H(S+√ SS 1 +S 1),

где S и S1 – площади оснований, а H – высота.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды выражается так:

S бок =1/2(P+P 1)h,

где P и P1 – периметры оснований, h – высота боковой грани (или апофема правильной усеченной пирамиды).

2.3. Построение пирамиды и ее плоских сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. а). В частности, также треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два не соседних боковых ребра пирамиды (рис. б).

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Если на грани, не параллельной следу g, известна какая - нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани - точка D на рисунке (в) . Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Пример.

Построить сечение плоскостью (MNP)

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

Треугольник MNP — искомое сечение.

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

Треугольник BKL — искомое сечение.

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

Правильная шестиугольная пирамида, пересеченная фронтально-проецирующей плоскостью а", показана на рисунке 189. Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным следом плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, которые являются точками пересечения плоскости а" с ребрами пирамиды. Действительный вид фигуры сечения в этом примере найдем способом перемены плоскостей проекций. Рисунок 189 Развертка боковой поверхности усеченной пирамиды с фигурой сечения и фигурой основания приведена на рисунке 190. Сначала строят развертку неусеченной пирамиды, все грани которой, имеющие форму треугольника, одинаковы. На плоскости намечают точку S0 (вершину пирамиды) и из нее, как из пенгра, проводят дугу окружности радиусом R, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительную длину ребра можно определить по профильнои проекции пирамиды, например отрезки 6 L или S В, так как эти ребра параллельны профильной плоскости и изображаются на ней действительной длиной. Датее по дуге окружности от любой точки, например Afr откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника - основания пирамиды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции (отрезок А"В"). Точки А^- Е0 соединяют прямыми с вершиной SQ. Затем от вершины S0 на этих прямых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости. На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух отрезков - S""5"" и S"2"". Действительные длины остальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к горизонтальной плоскости и проходящей через вершину S. Полученные точки /0, 30 и т. д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрих-пунктирной линией с двумя точками. Построение изометрической проекции усеченной пирамиды начинают с построения изометрической проекции основания пирамиды по размерам, взятым с горизонтальной проекции комплексного чертежа. Затем на плоскости основания но координатам точек 1-6" строят горизонтальную проекцию сечения (тонкие линии на основании пирами- ды, рисунок 191). Из вершины полученного шестиугольника проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы, например, отрезки А", К2, Ку и т. д. Полученные точки 1-6 соединяем, получаем фигуру сечения. Соединив точки 1-6 с вершинами шестиугольника, основания пирамиды, получим изометрическую проекцию усеченной пирамиды. Невидимые ребра изображают штриховыми линиями.