Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Делимость - способность одного числа делиться на другое.

Пусть a и b – натуральные числа и a больше или равно b. Говорят, что a нацело делится на b, если существует натуральное число c, при умножении которого на b получается a

I. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ.

1) ДЕЛИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

ЗАДАЧА. Делится ли произведение 369 * 555 на 37?

Число 555 делится на 37, т.к. 37 * 15 = 555, ТОГДА 369 * 555 = 369 (15 * 37) = (369 * 15) 37, т.е. число 369 * 555 делится на 37.

СВОЙСТВО I (признак делимости произведения).

Если одно из двух (или более чисел) делится на некоторое число, то и произведение этих чисел делится на это число.

СВОЙСТВО II. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то и первое число делится на третье.

УПРАЖНЕНИЕ.

Не выполняя вычислений, укажите произведения, значения которых делятся на 5:

28 *25; 73 * 50; 34 * 12; 33 * 25; 36 * 7; 94 * 18; 13 * 45 * 8; 5 * 7 * 11.

Свойство II позволяет сделать два вывода:

1) Если число a делится на число b, то число a делится на каждый делитель числа b.

2) Если число a не делится хотя бы на один делитель числа b, то число a не делится на число b.

ПРИМЕРЫ.

1) Если число 612 делится на 12, то оно делится на любой из делителей этого числа: 1; 2; 3; 4; 6; 12.

2) Если число 725 не делится на 3, то оно не будет делиться ни на одно число, кратное 3: 6; 9; 12; 15; 18; 21 и т.д.

3) Нечетное число не имеет четных делителей.

На вопрос, как разделить произведение на число, отвечает следующее правило.

ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЧИСЛО. Чтобы разделить произведение двух или нескольких чисел на заданное число, нужно на это число разделить только один множитель, а остальные оставить без изменения и затем выполнить умножение.

НАПРИМЕР:

1) (125*450):25 = (125:25)*450 = 5*450 = 2250;

2) (24*5*17):12 = (24:12)*5*17 = 2*5*17 = 170.

УПРАЖНЕНИЕ.

Раздели на 9 произведения:

28*9*35; 18*752*8000; 76*512*360; 155*810*34; 4500*7*398; 83*63000*98.

2) ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ И РАЗНОСТИ.

ЗАДАЧА. Разделить число 7248 на 12.

Число 7200 делится на 12, потому что 7200 = 12*600; 48 тоже делится на 12, потому что 48 = 12*4. Из этого следует, что 7248 делится на 12, потому что на основании распределительного закона умножения можно записать:

7248 = 7200 + 48 = 12*600 + 12*4 = 12*(600 + 4) = 12*604.

Значит, 7248: 12 = 7200: 12 + 48: 12 = 600 + 4 = 604.

ЗАДАЧА. Разделить на 7 число 1323.

Рассуждая аналогично предыдущим рассуждениям, получаем:

1323 = 1400 – 77 = 7*200 – 7*11 = 7*(200 -11) = 7* 189.

Значит, 1323: 7 = 1400:7 – 77:7 = 200 – 11 = 189.
2) ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ НА ЧИСЛО (РАЗНОСТИ НА ЧИСЛО).
Приведенные решения позволяют сделать несколько выводов.

СВОЙСТВО I (признак делимости суммы). Если каждое слагаемое суммы делится на заданное число, то и вся сумма делится на это число.

СВОЙСТВО II (признак делимости разности). Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на заданное число, то и разность делится на это число.

ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ СУММЫ НА ЧИСЛО. Чтобы сумму двух или нескольких слагаемых разделить на заданное число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ РАЗНОСТИ НА ЧИСЛО. Чтобы разность разделить на заданное число, нужно на это число разделить и уменьшаемое, и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

ЗАМЕЧАНИЕ.Если более одного слагаемого суммы не делятся на заданное число, то сумма может делиться и не делиться на это число.

УПРАЖНЕНИЕ.

Укажите выражения, которые кратны 7:

28+35; 44+12; 25+35*2; 14+23; 7*15+42; 12*63+8*19.

Для закрепления материала решить следующие задания.

1) Объясните, почему следующие произведения делятся на 12:

12*48; 12*120; 120*51; 24*17; 11*36; 13*48.

2) Не вычисляя произведения, установите, делится ли оно на заданное число:

а) 508*12 на 3;

б) 85*3719 на 5;

в) 2510*74 на 37;

г) 45*26*36 на 15;

д) 210*29 на 3 и на 29;

е)3800*44*18 на 11, 100 и 9?

3)Подберите три значения x так, чтобы произведение: а) 3x делилось на 5;

б) 12x делилось на 7; в) 9x делилось на 6;

г) 8x делилось на 14.

4)Представляя число в виде суммы, докажите, что:

а) 123123 делится на 123;

б)111333 делится на 111.

2.Задания для самостоятельного решения.
Задание 1. Используя свойства делимости и данные о делимости на число к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.

Решение.

Задание 2. Придумайте по два примера на каждое свойство делимости.
Задание 3. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.

А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.

Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.

В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.

Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.

Решение.

А) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.

Б) Ложное. Пример: 6  10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.

В) Ложное. Пример: 6  10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.

Г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.

1. 
   Простые и составные числа (7ч.)

6 = 2 3, 9 = 3 3, 30 = 2 15 = 3 10,

в то время как другие, например,

не могут быть разложены на множители подобным образом. Давайте вспомним, что вообще, когда число

c = a b (1.1)

является произведением двух чисел a и b , то мы называем а и b множителями или делителями числа с . Каждое число имеет тривиальное разложение на множители

с = 1 с = с 1. (1.2)

Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с .

Любое число с > 1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным . Если число с имеет только тривиальное разложение на множители (1.2), то оно называется простым . Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:

Теорема 1.1. Любое целое число с> 1 является, либо простым, либо имеет простой множитель.

Доказательство. Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р . Тогда р – простое число, так как если бы р – было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель.

Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какойлибо его нетривиальный делитель?

Первое, что может прийти в голову, – это попытаться разделить данное число с на все числа, меньшие его. Но надо признать, что этот способ мало удовлетворителен. Согласно теореме 2.1.1 достаточно делить на все простые числа, меньшие √с . Но мы можем значительно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители (1.1) оба множителя а и b не могут быть больше, чем c , так как в противном случае мы получили бы

ab > √с √с ,

что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа, не превосходящие – √с.

Пример 1. Если с = 91, то √с = 9….; проверив простые числа 2, 3, 5, 7, находим, что 91 =7 13.

Пример 2. Если с =1973, то находим, что √с = 44…. Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с , то это число является простым.

Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть очень трудоемким. Однако здесь, как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы. Довольно просто запрограммировать на ЭВМ деление данного числа с на все целые числа до √с и печатание тех из них, которые не имеют остатка, т. е. тех, которые делят с .

Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел, т. е. использование простых чисел уже найденных другими. За последние 200 лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной из них является таблица Д. X. Лемера, содержащая все простые числа до 10 000 000.

Система задач 3.1.

1. Какие из следующих чисел являются простыми: а) год вашего рождения; б) текущий год; в) номер вашего дома.

2. Найдите простое число, следующее за простым числом 1973.

3. Заметим, что числа от 90 до 96 включительно являются семью последовательными составными числами; найдите девять последовательных составных чисел.

4. Биографическая миниатюра. Д. X. Лемер.

Свойство делимости. «Делимость суммы и произведения на данное число. Задачи повышенной трудности».
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Технологии: здоровьесбережения, развитие исследовательских умений, развивающего обучения, проблемного обучения, самодиагностики и самокоррекции результатов.
Элементы содержания: Верные рассуждения, справедливое утверждение, признак делимости произведения, признак делимости суммы.
Виды деятельности: математический диктант, работа у доски и в тетрадях, фронтальная работа с классом.
Планируемые результаты (УУД):
Уметь: – доказать и применять при решении, что если хотя бы один из множителей не делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число;
– доказать и применять при решении, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число;
– вступать в речевое общение, участвовать в диалоге;
– правильно оформлять работу, отражать в письменной форме свои решения, выступать с решением проблемы.

Ход урока.
Проверочный диктант.
Записать формулу чисел кратных: а) 17; б) 41.
Записать формулу чисел, которые при делении на 17 дают остаток 3; при делении на 41 – остаток 3.
Указать два разных признака, характеризующих данное множество 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96.
Найти общие кратные чисел 5 и 4.
По какому признаку составлены формулы
а) 15n + 13; б) 4n +3; в)17k + 8?
Комментарий учителя. Тетради собираются на проверку, а решения комментируются.

Выполнение упражнений на делимость суммы и произведения
(Устно). Делится ли сумма на 3:
а) 450 + 160;
б) 150 +225;
в) 28422 + 22050;
Формулируется вывод:
Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.
Если каждое слагаемое, кроме одного делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.

2. Истинно ли утверждение: если сумма делится на 3, то и каждое слагаемое делится на 3?
3. Делится ли на 3 произведение:
а) 6
·23
·75;
б) 6
·23
·14;
в) 37
·121
·19?
Формулируется вывод: Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.
3. Используя свойства делимости и данные о делимости на число к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.
1 число
2 число
3 число
Сумма
Произведение

Решение.
1 число
2 число
3 число
Сумма
Произведение

д
д
д
д
д

н
д
д
н
д

д
н
д
н
д

д
д
н
н
д

н
н
д
Может делиться,
K°может не делиться
д

н
д
н
Может делиться,
может не делиться
д

д
н
н
Может делиться,
может не делиться
д

н
н
н
Может делиться,
может не делиться
н

Практикум
Все упражнения решаются с записью на доске.
Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 – 332; в) 2512·127.
Решение.
а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4;
б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 – 332 делится на 4;
в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.
Составьте формулу чисел, при которых выражение:
а) 25 + х делится на 25;
б) 78 + х делится на 78.
3. При каких значениях переменной произведение:
а) 7
· а делится на 7,
б) 17
· b делится на b.
4. В кафе завезли 4 коробки мороженного. Может ли быть так, что мы должны заплатить за это 224 руб.?

Творческие задания
Доказать, что при всех натуральных значениях переменной выражение:
а) 56
· (а+b) делится на 14;
б) 144 а + 12b делится на 12;
в) 100 а – 40а делится на 30.
2. Укажите какие-нибудь пять делителей числа, равного произведению: 32 ·24 ·21.
3. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.
а) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.
б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.
в) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.
г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.
Решение.
а) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.
б) Ложное. Пример: 6 (10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.
в) Ложное. Пример: 6 (10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.
г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.

5. Подведение итогов
Повторение свойств делимости произведения, суммы и разности чисел. Постановка домашнего задания. Комментирование оценок.

13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115

kђЗаголовок 115

Приложенные файлы

Тема урока: Делимость суммы и произведения.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний.

Цели урока:

1. Предметные: Расширить знания учащихся о простейших элементах теории делимости натуральных чисел; показать способы использования в вычислениях свойства делимости суммы и произведения натуральных чисел.

2. Метапредметные: развитие умений учащегося проводить несложные доказательные рассуждения в ходе исследования; развитие умений учащихся организовывать сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать индивидуально, в группах, аргументировать и отстаивать свое мнение.

3. Личностные: Способствовать развитию коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками при групповой работе; содействовать формированию устойчивого интереса к предмету; развивать личностные качества: ответственность, целеустремленность.

приёмы и методы:

Рефлективные приёмы;

Приёмы создания ситуации успеха и индивидуального выбора;

Методы самодиагностики;

Частично-поисковый метод;

Работа с учебником.

Формы работы учащихся:

Индивидуальная

Работа в парах

Фронтальная.

Планируемые результаты:

Учащиеся узнают свойства делимости суммы и произведения;

Приобретение навыков у учащихся к использованию в вычислениях свойств делимости суммы и произведения.

Применяемые образовательные технологии:

Системно-деятельностный подход;

Технология проблемного обучения.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

Здравствуйте, товарищи кадеты.

Ребята, сегодня наш урок мне хотелось бы начать с немного смешного, но на мой взгляд, очень поучительного фрагмента мультипликационного фильма моего детства «Вовка в тридевятом царстве»

Посмотрите, пожалуйста, его очень внимательно. (Просмотр и обсуждение фрагмента мультфильма).

На что рассчитывал Вовка в начале? (Что работу за него выполнят «Двое из ларца»)

Что из этого вышло?(Они все перепутали, и Вовке все равно пришлось делать все самому)

А почему Вовка остался голодный?

Благодаря чему он смог сделать корыто для старухи?

Как вы думаете, сможет Вовка построить избу? Почему вы в этом уверены?

Я с вами абсолютно согласна. Никто за вас не выполнит вашу работу, а от ее качества будет зависеть результат. Если захотеть, то научиться можно всему.

Сегодня у нас урок открытия новых знаний. И я желаю вам успехов в их поиске, в этом вам обязательно помогут накопленные вами хоть небольшие но все же очень важные знания!

2. Актуализация знаний и пробное учебное действие.

А) устный счет(лесенка)

Чтобы вам работалось на протяжении всего урока легко, давайте выполним небольшую разминку для мозга.

У вас на парте в файле с заданиями есть карточки, на которых изображена лесенка. (Слайд 1) Найдите их. (по вариантам). Подпишите. Вам необходимо будет за 2 минуты подняться по ступенькам лестницы как можно выше, записывая на каждой ступени результат вычисления.

Время вышло, заканчиваете. Обменяйтесь карточками.

Проверьте результат друг друга по образцу на слайде (Слайд 2)

Если задание выполнено полностью и без ошибок, поставьте «пятерку»

Верните карточки.

Поднимите руку, у кого «Пятерка». Молодцы!

А кто допустил ошибки, задумайтесь почему?

Есть только две причины, назовите мне их сами. (невнимательность, незнание таб. Умножения)

Это еще раз говорит о том, что нужно быть более внимательными, а у кого возникли проблемы с таблицей умножения, повторите дома ее еще раз.

Б) Теперь нам предстоит вспомнить некоторые понятия, которые будем использовать на нашем уроке. Предлагаю для этого разгадать кроссворд. Он находится у вас в файлах. Работаем в парах. Даю вам 3 минуты.

Как называется результат умножения?

Как называются числа, которые складывают?

Как называется число, на которое делят?

Как называются числа, которые умножают?

Как называется результат сложения?

Как называется число, у которого больше двух делителей?

Как называется число, у которого два делителя?

Проверьте свои ответы. (Слайд 3)

На какие вопросы вы не смогли ответить?

Давайте мы еще раз повторим определения этих понятий.

Какое определение можно дать понятию по вертикали?

А сейчас откройте тетради и поставьте на полях «!» на против задания, с которым вы дома справились легко и быстро, а «?», если задание вызвало затруднение, к этим заданиям мы вернемся на следующем уроке.

Запишите число и классная работа.

Выполните следующее задание: (Слайд 4)

В) 1. Выясните является ли число 4 делителем произведения: (3мин)

2. Выясните является ли число 3 делителем суммы:

3. Выявление причины затруднения.

Что вы можете сказать о произведениях?

О суммах?

Как вы это выяснили?

Может кто-то использовал другой способ, и смог ответить на вопрос, не выполняя вычислений? (нет)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Так какую цель мы с вами поставим перед собой сегодня на уроке?

(научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число) (Слайд 5)

Тема нашего урока: «Свойства делимости произведения и суммы» (Слайд 6)

Эти свойства вам предстоит сформулировать самостоятельно, и доказать, что они работают на практике.

Физкультминутка.

Потрудились – отдохнем,

Встанем, глубоко вздохнем.

Руки в стороны, вперед,

Влево, вправо поворот.

Три наклона, прямо встать.

Руки вниз и вверх поднять.

Руки плавно опустили,

Всем улыбки подарили.

Объединитесь в группы по 4 человека.

Не забывайте о правилах работы в группе.

Ответьте письменно на вопросы, находящиеся на ваших карточках и сделайте вывод.

Все справились с заданием?

Какую закономерность вы увидели для суммы, какой вывод вы можете сделать?(1 и 2 группы)

Сформулируйте свойство делимости суммы.

Хорошо, какая закономерность прослеживается для произведения? (3 и 4 группы)

Сформулируйте свойство делимости произведения.

5. Реализация построенного проекта

А теперь вернемся к заданию на слайде и проверим верны ли наши предположения. (да)

Итак, мы с вами сформулировали свойства делимости суммы и произведения. Проверим правильность сформулированных нами свойств. Откройте учебник на стр.102.

Ну что вы были правы?(да)

6. Первичное закрепление.

Нам осталось только научиться использовать свойства делимости суммы и произведения.

Учебник (стр.104):

№ 350,357-устно

№ 358(в,г)-доска и тетрадь

№ 359,360(а,б)- дополнительно

Хорошо, молодцы.

А теперь еще раз повторим свойства делимости, которые вы сегодня сами открыли, расскажите их друг другу.

7. Рефлексия деятельности на уроке.

Наш урок подходит к концу, давайте подведем итоги.

Какую цель вы перед собой ставили? (научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число)

Как вы считаете, достигли вы цели?(Да)

А теперь возьмите в файле карточки для самооценки, подпишите их и оцените свою деятельность на уроке.

8.Домашнее задание:

№ 356(а), 358(а,б), 360(в,г)

Ребята, вы сегодня все без исключения очень плодотворно потрудились, спасибо вам за вашу работу.

Закончить урок я хочу словами вьетнамской народной пословицы: «Узнать можно лишь тогда, когда учишься; дойти можно лишь тогда, когда идешь». Не забывайте об этом.

Кто получил оценки за устный счет, принесите дневники. А кто выполнил дополнительное задание, подойдите ко мне с тетрадями.

• Если каждое из натуральных чисел a1, a2, ... , an b , то их сумма a1 + a 2 + ... + an делится на это число.

• Если в сумме одно слагаемое не делится на число b , а все остальные слагаемые делятся на число b , то вся сумма на число b не делится.

• Если числа a1 и a2 делятся на b и a1 ≥ a2 , то их разность a1 – a 2 делится на b .

• Если в произведении a·b множитель a делится на натуральное число m , а множитель b делится на натуральное число n , то a·b делится на m·n .

• Если произведение a·c делится на произведение b·c , причем c – натуральное число, то и a делится на b .

Задача 19. Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 - 332; в) 2512·127.

Решение . а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4; б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 - 332 делится на 4; в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.

Задача 20. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел n и n + 1 делится на 2.

Решение. n·(n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

1) n делится на 2, т.е. n = 2k . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: 2 k·(2k + 1) . Это произведение делится на 2, так как первый множитель в нем делится на 2;

2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: (2 k + 1)·(2k + 2) . Это произведение делится на 2, так как второй множитель делится на 2.

Задача 21. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2 делится на 3.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: 3 k·(3k + 1)·(3k + 2) . Это произведение делится на 3, так как первый множитель в нем делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 1)·(3k + 2)·(3k + 3) . Это произведение делится на 3, т.к. третий множитель делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 2)·(3k + 3)·(3k + 4) . Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель в нем делится на 3.

На основании задач 20 и 21 можно сформулировать утверждение, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Задача 22. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3 делится на 4.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) делится на 4 надо рассмотреть четыре возможности:

1) n делится на 4, т.е. n = 4k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: 4k·(4k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3) . Это произведение делится на 4, так как первый множитель в нем делится на 4;

2) n при делении на 4 дает в остатке 1, т.е. n = 4k + 1 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3)·(4k + 4) . Это произведение делится на 4, так как последний множитель делится на 4;

3) n при делении на 4 дает в остатке 2, т.е. n = 4k + 2 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 2)·(4k + 3)·(4 k+ 4)·(4k + 5) . Это произведение делится на 4, так как третий множитель делится на 4;

4) n при делении на 4 дает в остатке 3, т.е. n= 4k + 3 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 3)·(4k + 4)·(4k + 5)·(4k + 6) . Это произведение делится на 4, так как второй множитель делится на 4.

Поскольку произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) содержит произведение двух, трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 2 и на 3.

Задача 23. Доказать, что при любом натуральном значении n .

Решение . Преобразуем данное выражение: (2 n - 1)3 - (2n - 1)= = (2n - 1)·(4n2 - 4n + 1 - 1) = 4n·(n - 1)·(2n - 1) . Это произведение делится на 4. Кроме того, произведение двух последовательных натуральных чисел n·(n - 1) делится на 2. Таким образом, произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) делится на 8. Осталось показать, что это произведение делится на 3. Для этого рассмотрим три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·3 k·(3k - 1)·(6k - 1)

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 1)·3k·(6k + 1) . Это произведение делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2 . Тогда произведение 4 n·(n - 1) ·(2 n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 2)·(3k + 2 -1) · (6 k + 4 - 1)= 4 ·(3 k + 2) ·(3 k +1) ·(6 k+3). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель в нем делится на 3.

Так как 8 и 3 - взаимно , то , т.е. на 24, что и требовалось доказать.

Задача 24. Доказать, что разность любого трехзначного числа и трехзначного, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке делится на 9.

Решение. Представим любое трехзначное число в виде . Нам надо доказать, что . Преобразуем выражение

Упражнения для самостоятельной работы

1. Доказать, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

2. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 + 5n делится на 6.

3. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 - n делится на 24.

4. Доказать, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

5. Доказать, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.