Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI

§ l48. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

До сих пор, говоря о суммах, мы всегда предполагали, что число слагаемых в этих суммах конечно (например, 2, 15, 1000 и т. д.). Но при решении некоторых задач (особенно высшей математики) приходится сталкиваться и с суммами бесконечного числа слагаемых

S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Что же представляют из себя такие суммы? По определению суммой бесконечного числа слагаемых a 1 , a 2 , ..., a n , ... называется предел суммы S n первых п чисел, когда п -> ∞ :

S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Предел (2), конечно, может существовать, а может и не существовать. Соответственно этому говорят, что сумма (1) существует или не существует.

Как же выяснить, существует ли сумма (1) в каждом конкретном случае? Общее решение этого вопроса выходит далеко за пределы нашей программы. Однако существует один важный частный случай, который нам предстоит сейчас рассмотреть. Речь будет идти о суммировании членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пусть a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ...- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это означает, что | q |< 1. Сумма первых п членов этой прогрессии равна

Из основных теорем о пределах переменных величин (см. § 136) получаем:

Но 1 = 1, a q n = 0. Поэтому

Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.

1) Сумма геометрической прогрессии 1, 1 / 3 , 1 / 9 , 1 / 27 , ... равна

а сумма геометрической прогрессии 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... равна

2) Простую периодическую дробь 0,454545 ... обратить в обыкновенную.

Для решения этой задачи представим данную дробь в виде бесконечной суммы:

Правая часть этого равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 45 / 100 , а знаменатель 1 / 100 . Поэтому

Описанным способом может быть получено и общее правило обращения простых периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38):

Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе - число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.

3) Смешанную периодическую дробь 0,58333 .... обратить в обыкновенную.

Представим данную дробь в виде бесконечной суммы:

В правой части этого равенства все слагаемые, начиная с 3 / 1000 , образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен 3 / 1000 , а знаменатель 1 / 10 . Поэтому

Описанным способом может быть получено и общее правило обращения смешанных периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38). Мы сознательно не приводим его здесь. Запоминать это громоздкое правило нет необходимости. Гораздо полезнее знать, что любую смешанную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и некоторого числа. А формулу

для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии нужно, конечно, помнить.

В качестве упражнения предлагаем вам, помимо приведенных ниже задач № 995-1000, еще раз обратиться к задаче № 301 § 38 .

Упражнения

995. Что называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

996. Найти суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий:

997. При каких значениях х прогрессия

является бесконечно убывающей? Найти сумму такой прогрессии.

998. В равносторонний треугольник со стороной а вписан посредством соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности.

а) сумму периметров всех этих треугольников;

б) сумму их площадей.

999. В квадрат со стороной а вписан путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким же образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.

1000. Составить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, такую, чтобы сумма ее равнялась 25 / 4 , а сумма квадратов ее членов равнялась 625 / 24 .

Некоторые задачи физики и математики могут быть решены с использованием свойств числовых рядов. Две самых простых числовых последовательности, которые изучаются в школах, это алгебраическая и геометрическая. В данной статье рассмотрим подробнее вопрос, как найти сумму бесконечной прогрессии геометрической убывающей.

Прогрессия геометрическая

Под этими словами понимают такой ряд действительных чисел, элементы a i которого удовлетворяют выражению:

Здесь i - номер элемента в ряду, r - постоянное число, которое называется знаменателем.

Это определение показывает, что, зная любой член прогрессии и его знаменатель, можно восстановить весь ряд чисел. Например, если известен 10-й элемент, то разделив его на r, получим 9-й элемент, затем, разделив еще раз, получим 8-й и так далее. Эти простые рассуждения позволяют записать выражение, которое справедливо для рассматриваемого ряда чисел:

Примером прогрессии со знаменателем 2 может быть такой ряд:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Если же знаменатель будет равен -2, тогда получается совершенно другой ряд:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Прогрессия геометрическая является гораздо более быстрой, чем алгебраическая, то есть ее члены быстро растут и быстро уменьшаются.

Сумма i членов прогрессии

Для решения практических задач часто приходиться вычислять сумму нескольких элементов рассматриваемой числовой последовательности. Для этого случая справедлива следующая формула:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Видно, что для вычисления суммы i членов необходимо знать всего два числа: a 1 и r, что является логичным, поскольку они однозначно определяют всю последовательность.

Убывающая последовательность и сумма ее членов

Теперь рассмотрим частный случай. Будем считать, что модуль знаменателя r не превышает единицы, то есть -1

Убывающую геометрическую прогрессию интересно рассмотреть, потому что бесконечная сумма ее членов стремится к конечному действительному числу.

Получим формулу суммы Это легко сделать, если выписать выражение для S i , приведенного в предыдущем пункте. Имеем:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Рассмотрим случай, когда i->∞. Поскольку модуль знаменателя меньше 1, то возведение его в бесконечную степень даст ноль. Это можно проверить на примере r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

В итоге сумма членов бесконечной геометрической прогрессии убывающей примет форму:

Эта формула часто используется на практике, например, для вычисления площадей фигур. Ее также применяют при решении парадокса Зенона Элейского с черепахой и Ахиллесом.

Очевидно, что рассмотрение суммы бесконечной прогрессии геометрической возрастающей (r>1), приведет к результату S ∞ = +∞.

Задача на нахождение первого члена прогрессии

Покажем, как следует применять приведенные выше формулы на примере решения задачи. Известно, что сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 11. При этом 7-й ее член в 6 раз меньше третьего члена. Чему равен первый элемент для этого числового ряда?

Для начала выпишем два выражения для определения 7-го и 3-го элементов. Получаем:

Разделив первое выражение на второе, и выражая знаменатель, имеем:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Поскольку отношение седьмого и третьего членов дано в условии задачи, можно его подставить и найти r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Мы рассчитали r с точностью пяти значащих цифр после запятой. Поскольку полученное значение меньше единицы, значит, прогрессия является убывающей, что оправдывает использование формулы для ее бесконечной суммы. Запишем выражение для первого члена через сумму S ∞ :

Подставляем в эту формулу известные значения и получаем ответ:

a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Знаменитый парадокс Зенона с быстрым Ахиллесом и медленной черепахой

Зенон Элейский - известный греческий философ, живший в V веке до н. э. До настоящего времени дошли ряд его апогей или парадоксов, в которых формулируется проблема бесконечно большого и бесконечно малого в математике.

Одним из известных парадоксов Зенона являются соревнования Ахиллеса и черепахи. Зенон полагал, что если Ахиллес предоставит некоторое преимущество черепахе в расстоянии, то он никогда не сможет ее догнать. Например, пусть Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползет животное, которое для примера находится на расстоянии 100 метров впереди него. Когда воин пробежит 100 метров, то черепаха отползет на 10. Пробежав вновь 10 метров, Ахиллес увидит, что черепаха отползла еще на 1 метр. Рассуждать так можно до бесконечности, расстояние будет между соревнующимися действительно уменьшаться, но черепаха будет всегда находиться впереди.

Привел Зенона к выводу, что движения не существует, и все окружающие перемещения объектов - это иллюзия. Конечно же, древнегреческий философ ошибался.

Решение парадокса кроется в том, что бесконечная сумма постоянно уменьшающихся отрезков, стремится к конечному числу. В приведенном выше случае для расстояния, которое пробежал Ахиллес, получим:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Применяя формулу суммы бесконечной прогрессии геометрической, получим:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 метров

Этот результат показывает, что Ахиллес догонит черепаху, когда она проползет всего 11,111 метров.

Древние греки не умели работать с бесконечными величинами в математике. Однако этот парадокс можно разрешить, если обратить внимание не на бесконечное число промежутков, которые должен преодолеть Ахиллес, а на конечное число шагов бегуна, необходимых для достижения цели.

Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда

Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.

Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом

Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам.

Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди

Который тоже расходится, но известно, что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2. Суммирование по Чезаро заключается в оперировании не частичными суммами ряда, а их арифметическими средними. Позволив себе порассуждать в вольном стиле, можно сказать, что то частичные суммы ряда Гранди осцилируют между 0 и 1, в зависимости от того какой член ряда является последним в сумме (+1 или -1), отсюда и значение 1/2, как арифметическое среднее двух возможных значений частичных сумм.

Другим интересным примером расходящегося ряда является знакопеременный ряд 1 - 2 + 3 - 4 +... , частичные суммы которого также осцилируют. Суммирование методом Абеля позволяет присвоить данному ряду конечное значение 1/4. Отметим, что метод Абеля является, своего рода, развитием метода суммирования по Чезаро, поэтому результат 1/4 несложно осмыслить с точки зрения интуиции.

Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.

Ни суммирование по Чезаро, ни метод Абеля, однако, не позволяют работать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +..., т. к. средние арифметические частичных сумм, равно как и средние арифметические средних арифметических, расходятся. Кроме того, если значения 1/2 или 1/4 ещё как-то можно принять и соотнести с соответствующими рядами, то -1/12 сложно связать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +..., представляющим собой бесконечную последовательность положительных целых чисел.

Существует несколько способов прийти к результату -1/12. В этой заметке я лишь кратко остановлюсь на одном из них, а именно регуляризации дзета-функцией . Введём дзета-функцию

Подставляя s = -1 , получим исходный числовой ряд 1+2+3+4+…. Проделаем над этой функцией ряд несложных математических действий

Где является эта-функцией Дирихле

При значении s = -1 эта-функция становится уже знакомым нам рядом 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -… «сумма» которого равна 1/4. Теперь мы можем легко решить уравнение

Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:

Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира .

Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией

Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии , где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.

Рассмотрим теперь вопрос о суммировании бесконечной геометрической прогрессии. Назовем частичной суммой данной бесконечной прогрессии сумму ее первых членов. Обозначим частичную сумму символом

Для каждой бесконечной прогрессии

можно составить (также бесконечную) последовательность ее частичных сумм

Пусть последовательность при неограниченном возрастании имеет предел

В этом случае число S, т. е. предел частичных сумм прогрессии, называют суммой бесконечной прогрессии. Мы докажем, что бесконечная убывающая геометрическая прогрессия всегда имеет сумму, и выведем формулу для этой суммы (можно также показать, что при бесконечная прогрессия не имеет суммы, не существует).

Запишем выражение частичной суммы как суммы членов прогрессии по формуле (91.1) и будем рассматривать предел частичной суммы при

Из теоремы п. 89 известно, что для убывающей прогрессии ; поэтому, применяя теорему о пределе разности, найдем

(здесь также использовано правило: постоянный множитель выносится за знак предела). Существование доказано, и одновременно получена формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Равенство (92.1) можно также писать в виде

Здесь может казаться парадоксальным, что сумме бесконечного множества слагаемых приписывается вполне определенное конечное значение.

Можно привести наглядную иллюстрацию в пояснение такого положения. Рассмотрим квадрат со стороной, равной единице (рис. 72). Разделим этот квадрат горизонтальной линией на две равные части и верхнюю часть приложим к нижней так, чтобы образовался прямоугольник со сторонами 2 и . После этого правую половину этого прямоугольника снова разделим горизонтальной линией пополам и верхнюю часть приложим к нижней (как показано на рис. 72). Продолжая этот процесс, мы все время преобразуем исходный квадрат с площадью, равной 1, в равновеликие фигуры (принимающие вид лестницы с утоньшающимися ступеньками).

При бесконечном продолжении этого процесса вся площадь квадрата разлагается в бесконечное чьсло слагаемых - площадей прямоугольников с основаниями, равными 1, и высотами Площади прямоугольников как раз образуют при этом бесконечную убывающую прогрессию ее сумма

т. е., как и следовало ожидать, равна площади квадрата.

Пример. Найти суммы следующих бесконечных прогрессий:

Решение, а) Замечаем, что у этой прогрессии Поэтому по формуле (92.2) находим

б) Здесь значит, по той же формуле (92.2) имеем

в) Находим, что у этой прогрессии Поэтому данная прогрессия не имеет суммы.

В п. 5 было показано применение формулы суммы членов бесконечно убывающей прогрессии к обращению периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Упражнения

1. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3/5, а сумма ее первых четырех членов равна 13/27. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

2. Найти четыре числа, образующие знакочередующуюся геометрическую прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560.

3. Показать, что если последовательность

образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, то и последовательность

при любом образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Сохранится ли это утверждение при

Вывести формулу для произведения членов геометрической прогрессии.

Дэвид Берман, Марианна Фрейбергер

Недавно обсуждался очень странный результат. Утверждается, что, когда вы сложите все натуральные числа

то сумма будет равна . Данная идея демонстрируется в видео Numberphile , где утверждается, что результат доказан, а также рассказывается, что он повсеместно используется в физике. Данная идея так поразила людей, что она даже попала в “Нью-Йорк Таймс’’ . Итак, что же все это значит?

Математика

Прежде всего, бесконечная сумма всех натуральных чисел не равна . Вы можете легко убедиться в этом, посчитав на калькуляторе частичные суммы

и так далее. становится все больше и больше с ростом , то есть с увеличением количества складываемых натуральных чисел. На самом деле, выбрав достаточно большим, вы можете сделать столь большой, как вам хочется. Например, при вы получите

А при вы получите

Поэтому математики говорят, что данный ряд расходится. Или, выражаясь более свободно, что сумма равна бесконечности.

Сриниваса Рамануджан

Так откуда же берется ? В действительности неправильный результат появился в работе знаменитого индийского математика Сринивасы Рамануджана в 1913 году. Но Рамануджан знал, что он делает, и у него была причина написать это. Он изучал так называемую дзета-функцию Эйлера. Чтобы понять, что это такое, рассмотрим сначала бесконечную сумму

Можно заметить, что эта сумма получается, когда вы складываете числа, обратные квадратам натуральных чисел:

Теперь эта сумма не расходятся. Если рассмотреть последовательность частичных сумм, как мы это делали выше,

то результаты, которые получаются, будут сколь угодно близкими к числу , но никогда его не превысят. Математики говорят, что ряд сходится к , или более свободно, что сумма ряда равна .

Теперь посмотрим, что произойдет, если вместо того, чтобы возводить натуральные числа в знаменателе в квадрат, возвести их в какую-нибудь другую степень ? Оказывается, что соответствующая сумма

сходится к конечному значению, если степень — число, большее . Для каждого title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь выдающегося математика XVII века Леонарда Эйлера.

До сих пор все хорошо. Но что произойдет, если рассмотреть числа, меньшие ? Например, что будет, если взять ? Давайте посмотрим.

Таким образом, мы получили нашу исходную сумму, которая, как мы знаем, расходится. То же самое верно для любых других значений меньше либо равных : сумма расходится.

Замечание. Продолжение дзета-функции Эйлера. Рассмотренная дзета-функция Эйлера определена для вещественных чисел , больших . Вещественные числа — это часть большего семейства чисел, называемых комплексными числами. И в то время как вещественные числа соответствуют всем точках числовой прямой, комплексные числа соответствуют всем точкам на плоскости, содержащей вещественную числовую прямую. Это плоскость называется комплексной плоскостью. Так же, как определяются функции, аргументами которых являются вещественные числа, можно определить функции, аргументами которых являются комплексные числа.

Одним удивительным фактом, относящимся к функциям комплексных переменных, является то, что если вы знаете значения функции на некотором множестве данных, то (с точностью до некоторых технических деталей) вы можете узнать значение функции в любой точке комплексной плоскости. Этот метод расширения области определения функции известен как аналитическое продолжение. Дзета-функция Эйлера определена для вещественных чисел, больших . Поскольку вещественные числа являются комплексными числами, мы можем рассматривать эту функцию как комплексную функцию, а затем использовать аналитическое продолжение для получения новой функции, определенной на всей плоскости, но согласованную с дзета-функцией Эйлера для вещественных чисел, больших . Это дзета-функция Римана.

Есть еще одна вещь, которую можно сделать. Используя мощную математику (комплексный анализ см. замечание), можно расширить область определения дзета-функции Эйлера так, чтобы для чисел меньше или равных эта функция принимала конечные значения. Другими словами, есть способ определения новой функции, назовем ее , так что для title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">

И для функция принимала бы определенные конечные значения. Этот метод называется аналитическим продолжением, и новая функция, которая при этом получается, называется дзета-функцией Римана в честь математика XVIII века Бернхарда Римана. (Создание этой новой функции, принимающей конечные значения для состоит в вычитании из расходящегося ряда другого расходящегося ряда, так что бесконечность, получающаяся из первой расходящейся суммы минус бесконечность, которую дает вторая расходящаяся сумма, равна чему-то конечному.)

Хорошо. Теперь у нас есть функция, которая для title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:

И если вы сделаете ошибку, считая, что для , то вы получите (неправильное) равенство

Это объясняет, почему Рамануджан записал данное таинственное выражение.

Хитрость

Итак, как же люди в видео “доказали’’, что сумма всех натуральных чисел равна ? На самом деле они этого не сделали. Смотреть данное видео — это как смотреть на фокусника и пытаться определить, когда кролика опускают в шляпу. Первый шаг “доказательства’’ пытается убедить вас в довольно глупой вещи, а именно в том, что бесконечная сумма

Видео долго не останавливается на этом и, кажется, подразумевает, что это очевидно. Но давайте посмотрим на это внимательнее, чтобы понять, имеет ли это смысл вообще. Пусть сумма равна конечному числу, назовем его . Прибавив к себе, получим бесконечную сумму

Но это всего лишь исходная сумма, откуда

Так как , то , что неверно. Таким образом, утверждение, что бесконечную сумму можно считать равной , не является правильным. На самом деле вы можете получить разные результаты, используя бесконечные суммы, которые расходятся. Это хитрость!

Физика

Но как этот любопытный неправильный результат попал в учебник физики, как показано в видео? Вот где все действительно становится интересным. Предположим, вы возьмете две проводящих металлических пластины и расположите их в вакууме так, чтобы они были параллельны друг другу. Согласно классической физике, не должно быть никакой силы, действующей между этими двумя пластинами.

Эффект Казимира

Но классическая физика не считается со странными эффектами, которые вы наблюдаете, когда смотрите на мир при очень малых масштабах. Чтобы их учесть, нужна квантовая физика, которая утверждает многие очень странные вещи. Одной из них является то, что вакуум не пуст, в нем кипит деятельность. Все время в нем появляются и исчезают так называемые виртуальные частицы. Эта деятельность дает так называемую нулевую энергию: наименьшая энергия, которую что-либо может иметь, никогда не равна нулю. Когда вы пытаетесь вычислить общую плотность энергии между двумя пластинами, используя математику или квантовую физику, вы получаете бесконечную сумму

Это бесконечная сумма является также тем, что вы получите, когда подставите значение в дзета-функцию Эйлера:

Это прискорбно, потому что данная сумма расходится (она делает это даже быстрее, чем ), что будет означать бесконечную плотность энергии. Это, очевидно, ерунда. Но что если вы нахально предположите, что бесконечная сумма равна дзета-функции Римана, а не дзета-функции Эйлера, при ? Ну, тогда вы получите конечную плотность энергии. Это означает, что должна быть сила притяжения между металлическими пластинами, что тоже кажется смешным, так как классическая физика предполагает, что не должно быть никаких сил.

Но вот сюрприз. Когда физики поставили эксперимент, они обнаружили, что сила действительно существует, и она соответствует плотности энергии, в точности равной !

Этот удивительный физический результат известен как эффект Казимира , названный в честь голландского физика Хендрика Казимира.

Найдите минутку, чтобы оценить это. Квантовая физика говорит, что плотность энергии должна быть равна

Это нонсенс, но эксперименты показывают, что если вы (ошибочно) считаете эту сумму равной значению дзета-функции при , вы получите правильный ответ. Так что, похоже, природа следует идеям Рамануджана. Она продлила дзета-функцию Эйлера, чтобы включить значения , которые меньше , искусно вычитая бесконечность, и так получилось конечное значение. Это замечательно!

Причина, по которой мы видим и в видео Numberphile, и в учебнике физики и , а не и в том, что когда вы представляете себе эффект Казимира происходящим в одном измерении (вдоль линии, а не в 3D), плотность энергии, которую вы считаете, равна , а не .

Так почему же люди из Numberphile пропагандируют этот странный “результат’’? Они, конечно, знают об аналитическом продолжении, которое делает функцию вполне определенной, но это слишком технические вещи для их видео. Зная аналитический метод продолжения, который делает окончательный результат разумным, скрывая его в заднем кармане, они ловко пошли вперед. При этом они получили более миллиона просмотров, и мир начал говорить о дзета-функции и математике. С этим их можно поздравить. Математика дзета-функции является фантастической, и то, что мы описали здесь — только начало длинного списка удивительных математических свойств. Когда мы популяризуем математику и физику, мы всегда должны делать выбор: что мы не рассказываем, а что объясняем. Где мы проводим эту черту, остается на нашей совести.