Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

В жизни нам часто приходится иметь дело с величинами: расстояние, время, скорость движения, При решении таких задач мы исходим из того, что все тела двигаются с постоянной скоростью и по прямолинейному пути. Это далеко от реальности, но и при таком упрощении реальных условий можно получить вполне удобоваримые результаты, находя значение одной из этих величин по значениям двух других.

Задача 1. От Ленинграда до Таллинна 360 км, автобус проходит это расстояние за 6 ч . Найти скорость движения автобуса.

В этой задаче дано расстояние между городами 360 км, время движения автобуса 6 ч. Требуется найти скорость движения автобуса.

Решение. 360:60=60 (км в час).

Ответ. Скорость автобуса 60 км в час.

Составим и решим обратные задачи.

Задача 2. От Ленинграда до Таллинна 360 км. За какое время проходит автобус это расстояние, если он будет ехать со скоростью 60 км в час?

Решение. 360:60=6 (ч.)

Ответ. Время движения автобуса? ч.

Задача 3. Автобус, двигаясь со скоростью 60 км в час, проходит расстояние от Ленинграда до Таллинна за 6 ч. Найти расстояние от Ленинграда до Таллинна.

Решение. 60*?=360 (км).

Ответ. Расстояние от Ленинграда до Таллинна 360 км.

Если обозначить расстояние через , скорость через, время движения через,то зависимость между расстоянием, скоростью и временем движения можно записать формулами:

2.Задачи на встречное движение.

В жизни мы наблюдаем встречное движение. Если выйдем на улицы города, то увидим, как навстречу друг другу двигаются по тротуару пешеходы, по мостовой – троллейбусы, автобусы, трамваи, легковые и грузовые автомашины, велосипедисты, мотоциклисты. По рекам города ходят навстречу друг другу катера. По железной дороге мимо друг друга проносятся поезда, в небе пролетают самолеты.

Задачи, связанные со встречным движением, разнообразны. Прежде всего выясним, с какими величинами приходится иметь дело, когда происходит встречное движение, и какова зависимость между ними.

Пусть из пунктов А и В выходят одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один со скоростью 4 км в час, другой 5 км в час.

4 км в час 5 км в час

За час пешеходы вместе пройдут 4+5=9 (км). Расстояние между ними уменьшится на 9 км. Иначе говоря, они приблизятся друг к другу за час движения на 9 км. Расстояние, на которое приблизятся друг к другу два пешеходы за час, назовем скоростью их сближения. 9 км в час – скорость сближения пешеходов.

Если известна скорость сближения пешеходов, то нетрудно узнать, на сколько уменьшится расстояние между ними за 2 ч, 3 ч движения навстречу друг другу.9*2 = 18 (км) – на 18 км уменьшится расстояние между пешеходами за 2 ч.9*3 = 27 (км) - на 27 км уменьшится расстояние между пешеходами за 3 ч.

С каждым часом расстояние между пешеходами уменьшается. Наступит момент, когда они встретятся.

Пусть расстояние между А и В равно 36 км. Найдем, какое расстояние стало между пешеходами через 1 ч после их выхода из пунктов А и В через 2 ч, 3 ч, 4 ч.

Через 4 ч после выхода из пунктов А и В пешеходы встретятся.

Рассматривая встречное движение двух пешеходов, мы имели дело с такими величинами:

1). Расстояние между пунктами, из которых начинается одновременное движение;

2). Скорость сближения;

3). Время с момента начала движения до момента встречи (время движения).

Зная значение двух из этих трех величин, можно найти значение третьей величины.

В таблице записаны условия задач, которые можно составить о встречном движении двух пешеходов.

Выразим зависимость между этими величинами формулой. Обозначим через – расстояние междуи;– скорость сближения,– время с момента выхода до момента встречи.

В задачах на встречное движение чаще всего скорость сближения не дается, но ее легко можно найти по данным задачи.

Задача. Из двух пунктов А и В вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один со скоростью 4 км в час, другой – 5 км в час. Встретились они через 3 часа. Найти расстояние между пунктами А и В.

Графическая иллюстрация задачи:

4 км в час 5 км в час

через 3 часа

Чтобы найти расстояние между пунктами иможно скорость сближения умножить на время движения, скорость сближения равна сумме скоростей пешеходов.Формула решения: =(4+5)*3;=27.

Класс 4.

Учебно-методический комплект: "Школа-2100".

Тема урока: Встречное движение.

Форма проведения: мультимедиа игра "Морской бой".

Цели урока:

• Научить решать задачи на встречное движение и находить скорость сближения;
• Развивать речь, внимание, логическое мышление;
• Способствовать формированию информационной культуры у учащихся;
• Воспитывать интерес к математике.

Оборудование учителя:

• Мультимедийный проектор;
• Ноутбук;
• Экран;
• Мультимедийная презентация к уроку (Приложение 1);
• Магниты.

Оборудование учащихся:

• Учебник "Математика" Петерсон, 4 класс;
• Тетрадь;
• Сигнальные карточки (красная, жёлтая и зелёная);
• Линейка;
• Лист бумаги формата А4, фломастеры.

Ход урока

1. Орг.момент

На экране открывается слайд - название игры "Морской бой" с эффектом анимации "Цветовая волна" и игровое поле с четырьмя кораблями: слайд 3

Слайд сопровождается музыкой.

Дети заходят в класс, занимают свои места.

(Появляется следующий аналогичный слайд 4, но без анимации и звукового сопровождения.)

У. Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас будет необычный урок. Я предлагаю вам отправиться в морское путешествие и сыграть в математический морской бой. Кто знает правила этой игры?

Д. Играют обычно 2 человека. Они выставляют на игровом поле свои корабли. Выигрывает тот, кто первым уничтожает корабли противника.

У.Хорошо. Отличие математического "Морского боя" в том, что играть мы будем все вместе одной дружной командой. Мы выполним задания, написанные на кораблях. А нашим выигрышем станут новые знания, умения и хорошее настроение. Согласны?

2. Уст. счёт. Актуализация знаний

У. Мы отправляемся в путешествие на красивом теплоходе. До появления теплоходов люди ездили на пароходах. А знаете ли вы, когда в России был построен первый пароход? Чтобы ответить на этот вопрос, найдём устно значения трёх длинных выражений - по одному для каждого ряда. А, сложив три этих значения, мы узнаем год выпуска первого русского парохода и его название.

Учитель открывает слайд 5 "Устный счёт". Потом появляются изменения на слайде в следующем порядке:

Цепочка примеров для первого ряда,

Цепочка примеров для второго ряда,

Поочерёдное добавление ответов напротив каждого действия (окончательный ответ выделен жёлтым цветом),

Цепочка примеров для третьего ряда,

Поочерёдное добавление ответов напротив каждого действия (окончательный ответ выделен жёлтым цветом),

Каждый ребёнок объясняет устно по цепочке решение одного действия. Остальные сигнализируют красной и зелёной карточками, согласны они или нет.

Полностью посчитанные цепочки выглядят следующим образом:

84:6	14		130: 2	65		630:30	21
х7	98		+35	100		х 4	84
- 49	49		+180	280		-48	36
+15	64		: 40	7		: 18	2
: 16	4		х 60	420		х 450	900
х20	80		: 3	140		: 30	30
+23	103		-58	82		х14	420
х5	515		+718	800		+80	500

У. Сложите окончательные результаты трёх цепочек примеров.

(Появляется слайд 6 с надписью: 515 + 800 +500). Как это удобнее сделать?

• 500 + 515 = 1015
• 1015 + 800 = 1815

(Появляется надпись 515 + 800 +500 = 1815).

У. Итак, когда был построен первый русский пароход слайд 8?

Д. В 1815 году. (Слайд: "1815 г. - построен первый русский пароход "Елизавета". Дети читают.)

У. Молодцы. Вы отлично посчитали и уничтожили корабль, который назывался "Устный счёт". (Снова появляется слайд 8 с изображением игрового поля, и учитель с помощью эффекта пишущего карандаша зачёркивает корабль "Устный счёт").

3. Новая тема

У. Мы узнали что-то новое о пароходе, а навстречу нашему теплоходу плывёт другой теплоход. Как называется такое движение?

Д. Встречное движение.

У. Это и будет темой нашего урока. (Появляется слайд 9 со словами встречное и движение. Эти слова движутся навстречу друг другу и останавливаются рядом). Запишите в тетрадь дату и тему урока.

Как вы думаете, чему вы должны научиться сегодня на уроке?

Д. Решать задачи на встречное движение. (Появляется слайд 10, на котором обозначена цель урока.

А после него - слайд 11 "Работа с задачей".

4. Постановка проблемы

У. Итак, впереди теплоход. И именно о теплоходах говорится в задаче, которую нам предстоит решить.

(Слайд 12 с текстом задачи.)

Д. (1 ученик читает задачу вслух):

Из двух портов А и В, расстояние между которыми 164 км, вышли одновременно навстречу друг другу два теплохода. Скорость белого теплохода 18 км/ч, а скорость синего - 23 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа после выхода?

У. Давайте понаблюдаем на экране, как происходило движение этих теплоходов. (Появляется серия слайдов 13-17, сменяющихся автоматически и демонстрирующих встречное движение теплоходов и оставшееся между ними расстояние при помощи мигающей стрелки).

5. Поиск решения задачи

У. Обратимся к тексту задачи (Снова слайд 18 с текстом).

Что известно в задаче? Что нужно найти?

(Появляется слайд 19 "Поиск решения задачи").

У. Как изменится расстояние между теплоходами за 1 час? (Слайд 20 с изображением пройденного теплоходами расстояния за 1 час).

Д. Оно уменьшится.

У. На сколько?

Д. 23+18=41. На 41 км.

У. Как называется величина, показывающая, на сколько сблизятся теплоходы за 1 час?

Д. Скорость сближения. (Слайды 21, 22 с определением скорости сближения и с формулой её нахождения.)

У. Как найти оставшееся расстояние между теплоходами через 1 час? Вы поработаете в группах. На листах бумаги фломастером напишите крупно выражение для нахождения оставшегося расстояния. Слайд 23.

: Вывесите на доску результаты работы групп.

(После анализа предложенных решений на слайде добавляется правильное выражение:

164-(23+18)х1=123 км).

У. Как найти оставшееся расстояние через 2 часа? (Появляется слайд 24 с изображением пройденного теплоходами расстояния за 2 часа).

Д. 164-(23+18)х2=

У. Как найти оставшееся расстояние через 3 часа? (Появляется слайд 25 с изображением пройденного теплоходами расстояния за 3 часа).

Д. 164-(23+18)х3=

У. Сравните 3 полученных выражения. (Появляется слайд 26 с тремя выражениями, занесёнными в таблицу и с заданием: запишите формулу нахождения оставшегося расстояния d, где: S-первоначальное расстояние, V1 и V2-скорости объектов, t-время).

Д. d = S -Vсбл. х t. (Соответствующий слайд 27.)

У. Для того, чтобы усвоить, как образована эта формула, можно записать решение задачи по действиям. Комментирует запись решения 1 ряд.

23+18=41 (км/ч) скорость сближения.

41х3=123 (км) прошли теплоходы за 3 часа.

164-123=41 (км)

У. Кто прокомментирует запись решения выражением?

Д. 164-(23+18)х3=41 (км)

(Появляется слайд 28 с записью решения и дети проверяют свою запись).

У. Можно ли было решить задачу по-другому?

18х3=54 (км) прошёл белый теплоход.

23х3=69 (км) прошёл синий теплоход.

54+69=123 (км) прошли оба теплохода.

164-123=41 (км)

У. Запишите самостоятельно ответ задачи.

Проверьте. (Появляется слайд 30 с ответом.)

У. Подведём итог. Какую задачу мы научились сегодня решать?

Д. Задачу на встречное движение.

(Появляется слайд 31 с игровым полем "Морской бой". Учитель зачёркивает корабль "Задача").

6. Физминутка

(Слайд 32, 33 с движущимся человечком: Упражнение для ног)

7. Повторение

У. Ребята, люди каких профессий работают на теплоходе?

Д. Капитан, матросы, кок.

У. Кем из них вы хотели бы быть?

Д. Капитаном.

У. Чтобы быть капитаном, нужно очень хорошо знать географию, математику и отлично уметь считать. Откройте учебник стр. 92 № 10.

Д. (Читают задание вслух). Найди ошибки в решении примеров. Запиши и реши их правильно. (Появляется слайд 34 "Решение примеров").

У. Поработайте в парах. Найдите ошибку в записи первого примера и запишите его в тетрадь без ошибки. Появляется слайд с первым примером, слайд 35:

4001053
832974
4169089

После работы детей появляется слайд с исправленными в этом примере ошибкой слайд 36

4001053
832974
3168079

Аналогично проводится работа по второму и третьему примерам, слайд 37-41.

У. Молодцы! Подведём итог. Почему примеры иногда бывают решены с ошибками?

Д. Из-за невнимательности.

У. Верно. Вы были очень внимательны, и поэтому вам удалось сбить и этот корабль. (Появляется слайд 42 с игровым полем, на котором учитель зачёркивает корабль "Примеры").

8. Проверка результативности урока

У. Наш теплоход прибывает на конечную станцию, и пора проверить, насколько полезным было для вас наше игровое путешествие. (Появляется слайд 43 "Блиц-опрос").

Перед вами появится диаграмма с вопросом и тремя вариантами ответов, расположенными на красном, жёлтом и зелёном фоне. Вы должны показать сигнальной карточкой, какой ответ правильный. За каждую правильно поднятую карточку вы ставите себе в тетрадь один плюс. Сколько плюсов вы получите, такая оценка будет у вас за урок. (Поочерёдно появляются слайды с заданиями и с правильными ответами для каждого слайда).

1.Что такое скорость сближения?

Варианты ответов, слайд 44, 45:

Расстояние, на которое сближаются объекты.

2. Из двух станций выехали одновременно два катера (слайд 46, 47) и встретились через 2 часа. Найди расстояние между станциями, если скорость I -20 км/ч, а II - 30 км/ч..

(Варианты ответов: 90 км. 100 км, 110 км)

3. Как найти время движения? слайд 48, 49

(Варианты ответов:

t = S · v t = v: S t = S: v )

4. Что такое скорость удаления? слайд 50, 51

(Варианты ответов:

Расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.

Расстояние, на которое отдаляются объекты за единицу времени.

Расстояние, на которое отдаляются объекты.

5. Как найти оставшееся между объектами расстояние при встречном движении? слайд 52, 53

Варианты ответов:

d = S - Vсбл · t

d = t - Vсбл. · S

d = S - Vсбл.

Учитель зачёркивает корабль "Блиц-турнир", слайд 54

9. Итог урока

У. Молодцы! Поднимите руки, кто получил "5". (На слайде 55 с диаграммой учитель отмечает выделением количество человек, получивших "5").

Поднимите руки, кто получил "4". (На слайде с диаграммой учитель отмечает выделением количество человек, получивших "4").

Поднимите руки, кто получил "3". (На слайде с диаграммой учитель отмечает выделением количество человек, получивших "3").

Отлично! (Подводится итог первичного усвоения темы).

10. Рефлексия

У. Что нового вы сегодня узнали? Что было самым трудным на уроке? Самым важным? слайд 56

11. Дом. задание

У. Дома вы выполните задание по выбору:

• потренируетесь решать задачи на встречное движение из учебника, слайд 57 (№.2, с. 91)
• или составите свою задачу на нахождение оставшегося между объектами расстояния при встречном движении.

§ 1 Встречное движение

В этом уроке мы познакомимся с задачами на встречное движение.

При решении любой задачи на движение мы сталкиваемся с такими понятиями, как «скорость», «время» и «расстояние».

Скорость - это расстояние, которое преодолевает объект за единицу времени. Измеряется скорость в км/ч, м/сек и т.д. Обозначается латинской буквой ʋ.

Время - это время, за которое объект преодолевает определенное расстояние. Измеряется время в секундах, минутах, часах и т.д. Обозначается латинской буквой t.

Расстояние - это путь, который преодолевает объект за определенное время. Измеряется расстояние в километрах, метрах, дециметрах и т.д. Обозначается латинской буквой S.

В задачах на движение эти понятия взаимосвязаны. Так, чтобы найти скорость, необходимо расстояние разделить на время: ʋ = S: t. Чтобы найти время, надо расстояние разделить на скорость: t = S: ʋ. А чтобы найти расстояние, скорость умножают на время: S = ʋ · t.

Говоря о задачах на встречное движение, используют понятие «скорость сближения». Скорость сближения - это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени. Обозначается ʋсбл..

Чтобы найти скорость сближения при встречном движении, зная скорости объектов, надо найти сумму этих скоростей: ʋсбл. = ʋ1 + ʋ2. Чтобы найти скорость сближения, зная время и расстояние, необходимо расстояние разделить на время: ʋсбл. = S: t.

§ 2 Решение задач

Рассмотрим взаимосвязь понятий «скорость», «время» и «расстояние» при решении задач на встречное движение.

ЗАДАЧА 1. От двух станций, расстояние между которыми 564 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость одного из них - 63 км/час. Какова скорость второго, если поезда встретились через 4 часа?

Изобразим движение поездов на схеме:

скорость первого поезда обозначим буквой ʋ1 = 63 км/ч. Скорость второго поезда обозначим буквой ʋ2 = ? км/ч. Время в пути обозначим буквой t = 4 ч. Расстояние, которое прошли оба поезда, - буквой S = 564 км.

Поскольку, чтобы найти неизвестную скорость, необходимо знать время, а оно известно и равно 4 часам, и расстояние, прошедшее вторым поездом до встречи, которое не указано в условиях задачи, то необходимо найти это расстояние.. Из условия задачи нам известно все расстояние S = 564 км, скорость первого поезда ʋ1 = 63 км/ч и время t = 4 ч. Зная расстояние, которое прошел до встречи первый поезд, мы сможем узнать и расстояние, которое прошел второй поезд. S1 = ʋ1 · t = 63 · 4 = 252 км. Значит, S2 = S - S1 = 564 - 252 = 312 км. Найдя расстояние, которое прошел до встречи второй поезд, можем найти и скорость второго поезда. ʋ2 = S2: t = 312: 4 = 78 км/ч. Получили, что скорость второго поезда равна 78 км/ч.

Рассмотрим второй вариант.

Поскольку, чтобы найти неизвестную скорость, необходимо знать скорость первого поезда, из условий задачи она известна ʋ1 = 63 км/ч, и скорость сближения, которая не оговаривается условиями задачи, то надо найти скорость сближения, используя данные задачи, а именно расстояние S = 564 км и время встречи t = 4 часа. Чтобы найти скорость сближения поездов, можно расстояние разделить на время. ʋсбл. = S: t = 564: 4 = 141 км/ч. Теперь, зная скорость сближения, можем найти скорость второго поезда. ʋ2 = ʋсбл. - ʋ1 = 141 - 63 = 78 км/ч. Получили, что скорость второго поезда равна 78 км/ч.

ЗАДАЧА 2. Расстояние между двумя пристанями 90 км. От каждой из них одновременно навстречу друг другу вышли два теплохода. Сколько часов им понадобится, чтобы встретиться, если скорость первого составляет 20 км/час, а второго - 25 км/час?

Изобразим движение теплоходов на схеме.

Скорость первого теплохода обозначим буквой ʋ1 = 20 км/ч. Скорость второго теплохода обозначим буквой ʋ2 = 25 км/ч. Расстояние между пристанями обозначим буквой S = 90 км. Время - буквой t = ? часов.

Чтобы ответить на поставленный вопрос задачи, необходимо знать расстояние и скорость сближения, так как t = S: ʋсбл.. Поскольку расстояние нам известно из условия задачи, надо найти скорость сближения. ʋсбл. = ʋ1 + ʋ2 = 20 + 25 = 45 км/ч. Теперь, зная скорость сближения, можем найти неизвестное время. t = S: ʋсбл = 90: 45 = 2 ч. Получаем, что теплоходам понадобится 2 часа, чтобы встретиться.

ЗАДАЧА 3. Из поселка и города навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Один автобус до встречи проехал 100 км со скоростью 25 км/час. Сколько километров до встречи проехал второй автобус, если его скорость - 50 км/час?

Покажем движение автобусов на схеме.

Скорость первого автобуса обозначим буквой ʋ1 = 25 км /ч. Скорость второго автобуса обозначим буквой ʋ2 = 50 км/ч. Расстояние, которое до места встречи проехал первый автобус, обозначим буквой S1 = 100 км. Расстояние, которое проехал до встречи второй автобус - буквой S2 = ? км, а время - буквой t.

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо знать скорость второго автобуса и время, которое он был в пути до встречи, так как S2 = ʋ2 · t. Поскольку скорость второго автобуса известна из условия задачи, надо найти время. Если мы найдем время, которое был в пути первый автобус, то мы найдем и время, которое был в пути второй автобус, так как они выехали одновременно, а это значит, что до момента встречи автобусы были в пути одинаковое количество времени. Чтобы найти время, можно расстояние, которое проехал первый автобус, разделить на его скорость. t = S1: ʋ1 = 100: 25 = 4 часа. Теперь, зная время, можем найти расстояние, которое второй автобус проехал до момента встречи. S2 = ʋ2 · t = 50 · 4 = 200 км. Получили, что второй автобус проехал до встречи 200 км.

§ 3 Краткие итоги по теме урока

При решение задач на встречное движение следует помнить, что в задачах такого типа выполняются следующие условия:

1.Объекты начинают свое движение одновременно навстречу друг другу, т.е. находятся в пути до встречи одинаковое количество времени; время обозначается латинской буквой t = S: ʋсбл;

2.Расстояние S - это сумма расстояний двух объектов до встречи; S = S1 + S2 или S = ʋсбл· t;

3.Объекты сближаются с определенной скоростью - скоростью сближения, обозначающейся латинской буквой ʋсбл. = S: t или ʋсбл = ʋ1 + ʋ2, соответственно ʋ1 = S1: t и ʋ2 = S2: t.

Список использованной литературы:

1. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 2 / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 96 с.: ил.
2. Математика. 4 класс. Методические рекомендации к учебнику математики «Учусь учиться» для 4 класса / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 280 с.: ил.
3. Зак С.М. Все задания к учебнику математики для 4 класса Л.Г. Петерсон и комплекту самостоятельных и контрольных работ. ФГОС. – М.: ЮНВЕС, 2014.
4. CD-ROM. Математика. 4 класс. Сценарии уроков к учебнику к 2 части Петерсон Л.Г. – М.: Ювента, 2013.

Использованные изображения:

В задачах на движение обычно используются формулы, выражающие закон равномерного движения, т.е.

s = v · t.

При составлении уравнений в таких задачах удобно использовать геометрическую иллюстрацию процесса движения.

При движении по окружности удобно пользоваться понятием угловой скорости, т.е. угла, на который поворачивается вокруг центра движущийся объект за единицу времени. Бывает, что для усложнения задачи, ее условие формулируют в разных единицах измерения. В таких случаях для составления уравнений необходимо выразить все данные значения через одну и ту же единицу измерения.

Источником составления уравнений в задачах на движение служат следующие соображения:

1) Объекты, начавшие движение навстречу друг другу одновременно, движутся до момента встречи одинаковое время. Время, через которое они встретятся, находят по формуле

t = s/(v 1 + v 2) (*).

2) Если одно тело догоняет другое, то время, через которое первый догонит второго, вычисляется по формуле

t = s/(v 1 – v 2) (**).

3) Если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого расстояния удобно принять за общее неизвестное задачи.

4) Если при одновременном движении двух объектов по окружности из одной точки, один из них догоняет в первый раз другого, то разность пройденных ими к этому моменту расстояний равна длине окружности

5) Для времени новой встречи при движении в противоположных направлениях получим формулу (*), если в одном направлении – то формулу (**).

6) При движении по течению реки скорость объекта равна сумме скоростей в стоячей воде и скорости течения. При движении против течения скорость движения есть разность этих скоростей.

Аналитическое решение задач на движение

Задача 1.

Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу и через 3 часа 20 минут встретились. Сколько времени понадобилось каждому пешеходу, чтобы пройти все расстояние, если известно, что первый пришел в пункт, из которого вышел второй, на 5 часов позже, чем второй пришел в пункт, откуда вышел первый?

Решение.

В этой задаче нет никаких данных о пройденном расстоянии. Это является ее главной особенностью. В таких случаях будет удобно принять за единицу все расстояние, тогда скорость первого пешехода будет равна
v 1 = 1/x, а второго – v 2 = 1/y, где x часов – время в пути первого, а y – время в пути второго пешеходов.

Условия задачи позволяют составить систему уравнений:

{3⅓ · 1/x + 3⅓ · 1/y = 1,
{x – y = 5.

Решая эту систему, получим, что y = 5, x = 10.

Ответ: 10 часов и 5 часов.

Задача 2.

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Через 3 часа навстречу ему из пункта В выехал мотоциклист, со скоростью в 3 раза большей, чем скорость велосипедиста. Встреча велосипедиста и мотоциклиста происходит посередине, между пунктами А и В. В случае выезда мотоциклиста позже велосипедиста на 2 часа, их встреча произошла бы на 15 километров ближе а пункту А. Найти расстояние АВ.

Решение.

Сделаем иллюстрацию к задаче (рис. 1).

Пусть АВ = s км, v км/ч – скорость велосипедиста, 3v км/ч – скорость мотоциклиста.

t 1 = 0,5 s/v часов – время до встречи велосипедиста,

t 2 = 0,5 s/3v часов – время до встречи мотоциклиста.

По условию t 1 – t 2 = 3, значит 0,5 s/v – 0,5s / 3v = 3, откуда s = 9v.

Если бы мотоциклист выехал на 2 часа позже велосипедиста, то они встретились бы в точке F.

AF = 0,5s – 15, BF = 0,5s + 15.

Составим уравнение: (0,5s – 15)/v – (0,5s + 15)/3v = 2, откуда s – 60 = 6v.

Получим систему уравнений:

{s = 9v,
{s = 60 + 6v.

{v = 20,
{s = 180.

Ответ: v = 20 км/ч, s = 180 км.

Графический метод при решении задач на движение

Существует и графический метод решения заданий. Рассмотрим применение этого метода для решения задач на движение. Графическое изображение функций, описывающих условие задачи – зачастую очень удобный прием, который позволяет наглядно представить ситуацию задачи. Так же он позволяет составить новые уравнения или заменить алгебраическое решение задачи чисто геометрическим.

Задача 3.

Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Вслед за ним из пункта А выехал велосипедист, но с задержкой в 2 часа. Еще через 30 минут по направлению к пункту В выехал мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались в пункт В без остановок и равномерно. Через некоторое время после того, как выехал мотоциклист, оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода велосипедист прибыл в пункт В, если мотоциклист прибыл в пункт В на 1 час раньше пешехода?

Решение.

Для алгебраического решения требуется введение многих переменных и составления громоздкой системы. Графически ситуация, описанная в задаче, представлена на рисунке 2.

Используя подобие треугольников AOL и KOM, а так же треугольников AOP и KON можно составить пропорцию:

x = 4/5 ч = 48 минут.

Ответ: 48 минут.

Задача 4.

Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два посыльных. После встречи один из них был в пути еще 16 часов, а второй – 9 часов. Определить, сколько времени был в пути каждый посыльный.

Решение.

Пусть время движения до встречи каждого посыльного будет t. По условию задачи строим график (рис. 3).

Аналогично задаче 3, необходимо использовать подобие треугольников.

Значит, 12 + 16 = 28 (часов) – был в пути первый, 12 + 9 = 21 (час) – был в пути второй.

Ответ: 21 час и 28 часов.

Вот мы и разобрали основные методы решения задач на движение. В ЕГЭ они встречаются очень часто, поэтому обязательно практикуйтесь в решении данных задач.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на движение?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

ЗАДАЧИ НА ВСТРЕЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Самые простые задачи на встречное движение начинают решать уже в 4 классе. Решение таких задач обычно выполняется в 2 - 3 действия. Во всех задачах на встречное движение используется такое понятие как скорость сближения , т.е. общая скорость двух тел, с которой они движутся на встречу друг другу. Скорость сближения является ключевой величиной при решении задач на встречное движение.

Основной формулой при решении задач на встречное движение является всё та же формула, где расстояние выражено через скорость движения и время:

S = v · t

Особенностью применения данной формулы является то, что за скорость принимают скорость сближения двух тел, т.е. сумму их скоростей. Это скорость встречного движения, о которой мы и говорили. Таким образом, формулу для решения задач на встречное движение можно записать так:

S = v (сближения) · t

v (сближения) = v 1 + v 2

где v 1 - скорость 1-го тела, v 2 - скорость 2-го тела.

Примеры задач на встречное движение:

1) От двух пристаней, расстояние между которыми 90 км, одновременно вышли навстречу друг другу два теплохода. Первый теплоход шёл со скоростью 20 км/час, второй со скоростью 25 км/час. Через сколько часов они встретились?

2) Две ласточки летят со скоростью 23 м/сек. Через сколько секунд они встретятся, если расстояние между ними 920 м?

3) Два поезда вышли из двух городов одновременно навстречу друг другу. Один поезд шёл со скоростью 63 км/ч. С какой скоростью шёл второй поезд, если расстояние между городами 564 км? Встретились поезда через 4 часа.

4) От двух причалов, расстояние между которыми 90 км, одновременно вышли навстречу друг другу две лодки. Первая шла со скоростью 8 км/час, вторая - со скоростью 10 км/час. Через сколько часов лодки встретились?

5) Из посёлка и города выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 16 км/час, а мотоциклист со скоростью 54 км/час. Велосипедист проехал до встречи 48 км. Какое расстояние до встречи проехал мотоциклист?

6) Два мальчика одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 200 м. Они встретились через 20 с. Первый бежал со скоростью 5 м/сек. С какой скоростью бежал второй мальчик?

7) С двух станций вышли одновременно два грузовых поезда и встретились через 5 часов. Один поезд проходил в час 29 км, а другой - 35 км. Какое расстояние между этими станциями?

8) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали 2 автобуса. Скорость первого автобуса 25 км/час, скорость второго - 50 км/час. Первый автобус прошёл до встречи 100 км. Сколько километров прошёл до встречи второй автобус?

9) Расстояние между двумя городами 81 км. Из них одновременно выехали два велосипедиста друг другу навстречу. Один велосипедист проезжает в час на 3 км больше другого. На каком расстоянии от городов они встретились, если встреча произошла через 3 часа после выезда?

10) Два всадника выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км. Всадники встретились через 4 ч. Найдите скорость первого всадника, если скорость второго - 13 км/час.

11) От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отошли катер и лодка. До встречи катер прошёл 48 км, а лодка - 24 км. Скорость лодки - 8 км/час. Найдите скорость катера.

12) От двух пристаней одновременно отошли навстречу друг другу два катера, которые встретились через 3 ч. Скорость одного катера - 15 км/час, скорость второго катера - 18 км/час. Найдите расстояние между пристанями.

13) Из двух городов выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста. Один мотоциклист двигался со скоростью 80 км/час. Он проехал до встречи 320 км. Какое расстояние до встречи проехал второй мотоциклист, если он двигался со скоростью 65 км/час?

14) От двух пристаней отошли одновременно навстречу друг другу катер и лодка и встретились чере 3 ч. Скорость лодки - 15 км/час, скорость катера - в 4 раза больше. Найдите расстояние между пристанями.

15) С двух аэродромов одновременно вылетели навстречу друг другу два самолёта и встретились через 3 ч. Скорость одного самолёта 600 км в час, а второго самолёта - 900 км/час. Найдите расстояние между аэродромами.

16) Из двух городов, расстояние между которыми 840 км, вышли одновременно навстречу друг другу 2 поезда. Скорость первого поезда - 100 км/час, второго - на 10 км/час больше. Через сколько часов поезда встретятся?

17) От двух пристаней отошли одновременно навстречу друг другу катер и лодка. Они встретились через 5 часов. Скорость лодки - 12 км/час, а скорость катера - в 5 раз больше. Найдите расстояние между пристанями.

18) От одной пристани отплыл в 11 часов ночи пароход, проходивший по 15 км/час, а от другой пристани навстречу ему в 3 часа следующего утра вышел другой пароход, проходивший по 17 км/час. Через сколько часов после отплытия второго парохода они встретятся, если между пристанями 380 км?

19) Два туриста, расстояние между которыми 140 км, выехали навстречу друг другу один после другого через 3 часа. Через сколько часов после отъезда первого они встретятся, если первый проезжал 10 км/час, а второй 12 км/час?

20) От двух пристаней навстречу друг другу одновременно вышли теплоход и катер. Теплоход шёл со скоростью 33 км/час, а катер - 25 км/час. Через 3 часа они встретились. Чему равно расстояние между пристанями?

21) Из двух деревень одновременно навстречу друг другу вышли девочка, которая двигалась со скоростью 3 км/час, и мальчик, который двигался в 2 раза быстрее, чем девочка. Встреча произошла через 4 часа. Какое расстояние между деревнями?

22) Два поезда идут навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми 385 км. Первый вышел раньше на 2 часа и движется со скоростью 53 км/час. Через 3 часа после выхода второго поезда они встретились. Какова скорость второго поезда?

23) Из двух городов, расстояние между которыми 484 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного поезда 45 км/час. Определите скорость другого поезда, если поезда встретились через 4 часа.

24) Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились пассажирский и товарный поезда. Они встретились через 12 часов. Какое расстояние между городами, если известно, что скорость пассажирского поезда - 75 км/час, товарного - 35 км/час?

25) Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Один шёл со скоростью 42 км/час, а другой - 52 км/час. Через 6 часов поезда встретились. Найдите расстояние между городами.

26) Расстояние по реке между двумя городами 275 км. Из этих городов одновременно навстречу друг другу вышли пароход и баржа. Пароход шёл со скоростью 28 км/час. Найдите скорость баржи, если известно, что её встреча с пароходом произошла через 5 часов после выхода.

27) Из двух городов, расстояние между которыми 1380 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 10 часов. Скорость одного из них - 75 км/час. Найдите скорость другого поезда.

28) Расстояние между сёлами 48 км. Через сколько часов встретятся два пешехода, которые вышли одновременно навстречу друг другу, если скорость одного - 3 км/час, а другого - 5 км/час?

29) От деревни до города 340 км. Из деревни в город выехал мотоциклист со скоростью 42 км/час. Спустя 2 часа навстречу ему выехал велосипедист со скоростью 22 км/час. Через сколько часов они встретятся?

30) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста и встретились через 10 минут. Скорость одного из них - 920 м/мин, а другого - 970 м/мин. Найдите расстояние между городами.

31) Из одного города в другой одновременно навстречу друг другу вышли два поезда и встретились через 9 часов. Скорость одного поезда - 48 км/час, а скорость другого - на 5 км/час больше другого. Найдите расстояние между городами.

{module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}