Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции (тренда, либо тренда с циклической или (и) сезонной компонентой) , характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Для решения этой задачи вначале необходимо выбрать вид функции . Наиболее часто используются следующие функции:

· линейная -

· полиномиальная -

· экспоненциальная -

· логистическая -

· Гомперца -

Это весьма ответственный этап исследования. При выборе соответствующей функции используют содержательный анализ (который может установить характер динамики процесса), визуальные наблюдения (на основе графического изображения временного ряда). При выборе полиномиальной функции может быть применен метод последовательных разностей (состоящий в вычислении разностей первого порядка , второго порядка и т.д.), и порядок разностей, при котором они будут примерно одинаковыми, принимается за степень полинома.

Из двух функций предпочтение обычно отдается той, при которой меньше сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных на основе этих функций. Но этот принцип нельзя доводить до абсурда: так, для любого ряда из точек можно подобрать полином -ой степени, проходящей через все точки, и соответственно с минимальной – нулевой – суммой квадратов отклонений, но в этом случае, очевидно, не следует говорить о выделении основной тенденции, учитывая случайный характер этих точек. Поэтому при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более простым функциям.

Параметры основной тенденции можно определить, используя метод наименьших квадратов. При этом, значения временного ряда рассматриваются как зависимая переменная, а время - как объясняющая:

где – возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа, т.е. представляющие независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагаем нормальным.

Согласно методу наименьших квадратов параметры прямой находятся из системы нормальных уравнений (2.5), в которой в качестве берем :

(7.10)

Учитывая, что значения переменной образуют натуральный ряд чисел от 1 до , суммы можно выразить через число членов ряда по известным в математике формулам:

(7.11)

В рассмотренном примере 2 на странице 79 система нормальных уравнений имеет вид:

,

откуда и уравнение тренда , т.е. спрос ежегодно увеличивается в среднем на 25,7 ед.

Проверим значимость полученного уравнения тренда по F -критерию на 5%-ном уровне значимости вычислим с помощью формулы (3.40) суммы квадратов:

а) обусловленную регрессией –

б) общую –

в) остаточную

Найдем значение статистики:

.

Так как , то уравнение тренда значимо.

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т.е. выделения неслучайной составляющей, является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда.

Метод аналитического выравнивания заключается в построении уравнения регрессии, характеризующего зависимость уровней ряда от временной переменной.

Назначение сервиса . Сервис позволит прямо на сайте в онлайн-режиме провести аналитическое выравнивание ряда y t , проверить наличие гетероскедастичности и автокорреляции остатков тестом Дарбина-Уотсона (см. пример аналитического выравнивания по прямой).

Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word .

Количество строк (исходных данных)
",1);">

Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют метод выравнивания (линеаризацию).

y = f(x)	Преобразование	Метод линеаризации
y = b x a	Y = ln(y); X = ln(x)	Логарифмирование
y = b e ax	Y = ln(y); X = x	Комбинированный
y = 1/(ax+b)	Y = 1/y; X = x	Замена переменных
y = x/(ax+b)	Y = x/y; X = x	Замена переменных. Пример
y = aln(x)+b	Y = y; X = ln(x)	Комбинированный
y = a + bx + cx 2	x 1 = x; x 2 = x 2	Замена переменных
y = a + bx + cx 2 + dx 3	x 1 = x; x 2 = x 2 ; x 3 = x 3	Замена переменных
y = a + b/x	x 1 = 1/x	Замена переменных
y = a + sqrt(x)b	x 1 = sqrt(x)	Замена переменных

В общем случае при аналитическом выравнивании используется метод наименьших квадратов:

Типичное задание. Произведите аналитическое выравнивание и выразите общую тенденцию развития розничного товарооборота торгового дома соответствующим аналитическим уравнением. Вычислите аналитические (выровненные) уровни ряда динамики и нанесите их на график вместе с фактическими данными.

Пример . По УР имеются данные о вводе в действие жилых домов и общежитий, тыс. м 2 . Для анализа динамики показателя ввода в действие жилых домов и общежитий вычислите:

1. абсолютные приросты , темпы роста и темпы прироста по годам и к 1998 г., абсолютное содержание одного процента прироста. Полученные показатели представьте в виде таблицы;
2. среднегодовые показатели - величину уровня ряда; абсолютный прирост темп роста и прироста. Сделайте выводы.

Постройте график динамики уровня ряда за период 1998 -2006 гг., проведите аналитическое выравнивание ряда (постройте математическую модель и график), сделайте прогноз на 2007 год.

Решение . Самая простая математическая модель представляет собой линейное уравнение тренда вида y = bt + a . Чтобы найти параметры этой модели, воспользуемся методом наименьших квадратов. Система уравнений будет иметь следующий вид:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

t	y	t 2	y 2	t y
1	186.9	1	34931.61	186.9
2	219	4	47961	438
3	257	9	66049	771
4	276.66	16	76540.2	1106.64
5	353.5	25	124962.25	1767.5
6	310.1	36	96162.01	1860.6
7	360.9	49	130248.81	2526.3
8	371.7	64	138160.89	2973.6
9	423.9	81	179691.21	3815.1
45	2759.66	285	894706.98	15445.64

Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a 0 + 45a 1 = 2759.66
45a 0 + 285a 1 = 15445.64
Данную систему уравнений можно решить несколькими

Министерство образования Российской Федерации

Всероссийский заочный финансово – экономический институт

Ярославский филиал

Кафедра статистики

Курсовая работа

по дисциплине:

«Статистика»

задание № 19

Студент: Курашова Анастасия Юрьевна

Специальность «Финансы и кредит»

3 курс, периферия

Руководитель: Сергеев В.П.

Ярославль, 2002 г.

1. Введение……………………………………………………………3 стр.

2. Теоретическая часть…………………………………………… …4 стр.

2.1 Основные понятия о рядах динамики…………………………...4 стр.

2.2 Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов……………………………………………………………….6 стр.

2.2.1 Методы «механического сглаживания»………………………6 стр.

2.2.2 Методы «аналитического» выравнивания…………………. 8 стр.

3. Расчетная часть……………………………………………… ……11 стр.

4. Аналитическая часть……………………………………………. .16 стр.

5. Заключение ………………………………………………………. 25 стр.

6. Список литературы……………………………………………… 26 стр.

7. Приложения………………………………………………………. 27 стр.

Введение

Полная и достоверная статистическая информация является тем необходимым основанием, на котором базируется процесс управления экономикой. Вся информация, имеющая народнохозяйственную значимость, в конечном счете, обрабатывается и анализируется с помощью статистики.

Именно статистические данные позволяют определить объемы валового внутреннего продукта и национального дохода, выявить основные тенденции развития отраслей экономики, оценить уровень инфляции, проанализировать состояние финансовых и товарных рынков, исследовать уровень жизни населения и другие социально-экономические явления и процессы.

Овладение статистической методологией - одно из условий познания конъюнктуры рынка, изучения тенденций и прогнозирования, принятия оптимальных решений на всех уровнях деятельности.

Сложной, трудоемкой и ответственной является заключительная, аналитическая стадия исследования. На этой стадии рассчитываются средние показатели и показатели распределения, анализируется структура совокупности, исследуется динамика и взаимосвязь между изучаемыми явлениями и процессами.

На всех стадиях исследования статистика использует различные методы. Методы статистики - это особые приемы и способы изучения массовых общественных явлений.

I. Теоретическая часть.

1.1 Основные понятия о рядах динамики.

Ряды динамики – статистические данные, отображающие развитие во времени изучаемого явления. Их также называют динамическими рядами, временными рядами.

В каждом ряду динамики имеется два основных элемента:

1) показатель времени t ;

2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления y;

В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.

Ряды динамики различаются по следующим признакам:

1) По времени. В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников магазина в 1991 году (таб. 1):

Таблица 1

Списочная численность работников магазина в 1991 году

Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Хотя и в моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами, -- величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами. Так, основная часть персонала магазина, составляющая списочную численность на 1.01.1991 , продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях последующих периодов. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может возникнуть повторный счет.

Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы, состояние кадров, количество оборудования и других показателей, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени.

Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.

Примером интервального ряда могут служить данные о розничном товарообороте магазина в 1987 – 1991 гг. (таб. 2):

Таблица 2

Объем розничного товарооборота магазина в 1987 - 1991 гг.

Объем розничного товарооборота, тыс. р.	885.7	932.6	980.1	1028.7	1088.4

Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней.

Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а суммируя товарооборот за четыре квартала, получают его величину за год, и т. д. При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше, чем больше длина интервала, к которому этот уровень относится.

Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов.

Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во времени поступления и реализации товаров, суммы издержек обращения и других показателей, отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды.

Структура ряда динамики:

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению или снижению его уровней) ;

2) циклические (периодические колебания, в том числе сезонные);

случайные колебания.

1. 2. Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов.

Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две больше группы:

1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.

2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.

1.2. 1 Методы «механического» сглаживания.

Сюда относятся:

а. Метод усреднения по двум половинам ряда, когда ряд делится на две части. Затем, рассчитываются два значения средних уровней ряда, по которым графически определяется тенденция ряда. Очевидно, что такой тренд не достаточно полно отражает основную закономерность развития явления.

б. Метод укрупнения интервалов, при котором производится увеличение протяженности временных промежутков, и рассчитываются новые значения уровней ряда.

в. Метод скользящей средней. Данный метод применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период. Последовательность определения скользящей средней:

Устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней – пятичленной и т.д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал (число скользящей средней) увеличивают. Если волны следует сохранить, число членов уменьшают.

Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой:

y1 = Sy1/m, где

y1 – I-ый уровень ряда;

m – членность скользящей средней.

Первый уровень отбрасывают, а в исчисление средней включают уровень, следующий за последним уровнем, участвующем в первом расчете. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет y будет включен последний уровень исследуемого ряда динамики y n .

По ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления.

Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является образование сдвигов в колебаниях уровней ряда, обусловленных «скольжением» интервалов укрупнения. Сглаживание с помощью скользящей средней может привести к появлению «обратных» колебаний, когда выпуклая «волна» заменяется на вогнутую.

В последнее время стала рассчитываться адаптивная скользящая средняя. Ее отличие состоит в том, что среднее значение признака, рассчитываемое также как описано выше, относится не к середине ряда, а к последнему промежутку времени в интервале укрупнения. Причем предполагается, что адаптивная средняя зависит от предыдущего уровня в меньшей степени, чем от текущего. То есть., чем больше промежутков времени между уровнем ряда и средним значением, тем меньшее влияние оказывает значение этого уровня ряда на величину средней.

г. Метод экспоненциальной средней. Экспоненциальная средняя – это адаптивная скользящая средняя, рассчитанная с применением весов, зависящих от степени «удаленности» отдельных уровней ряда от среднего значения. Величина веса убывает по мере удаления уровня по хронологической прямой от среднего значения в соответствии с экспоненциальной функцией, поэтому такая средняя называется экспоненциальной. На практике применяется многократное экспоненциальное сглаживания ряда динамики, которое используется для прогнозирования развития явления.

Вывод: способы, включенные в первую группу, ввиду применяемых методик расчета предоставляют исследователю очень упрощенное, неточное, представление о тенденции в ряду динамики. Однако корректное применение этих способов требует от исследователя глубины знаний о динамике различных социально - экономических явлений.

Предсказание на основе временных рядов – необходимый элемент любой инвестиционной деятельности. Сама идея инвестиций – вложение денег сейчас с целью получения дохода в будущем – основывается на идее прогнозирования будущего. Соответственно, предсказание финансовых временных рядов лежит в основе деятельности всей индустрии инвестиций – всех бирж и внебиржевых систем торговли ценными бумагами.

Динамические процессы, происходящие в экономических системах, чаще всего проявляются в виде ряда последовательно расположенных в хронологическом порядке значений того или иного показателя, который в своих изменениях отражает ход развития изучаемого явления в экономике. Эти значения, в частности, могут служить для обоснования (или отрицания) различных моделей социально-экономических систем. Они служат также основой для разработки прикладных моделей прогнозирования особого вида.

Если во временном ряду проявляется длительная тенденция изменения экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Таким образом, под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов. В связи с этим экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей, называется трендовой моделью. Для выявления тренда во временных рядах, а также для построения и анализа трендовых моделей используется аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они носят строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течение одного года, то их называют сезонными колебаниями. В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствует циклическая компонента. Тренд, сезонная и циклическая компоненты называются регулярными, или систематическими компонентами временного ряда. Составная часть временного ряда, остающаяся после выделения из него регулярных компонент, представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению.

Временной ряд экономических показателей можно разложить на четыре структурно образующих элемента:

· тренд, составляющие которого обозначаются Ut, t = 1, 2 , ..., n;

· сезонная компонента, обозначаемая через Vt, t = 1, 2, ..., n;

· циклическая компонента, обозначаемая через Ct, t = 1, 2 , ..., n;

· случайная компонента, которую обозначают εt, t = 1, 2 , ..., n.

Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, то та, которая осталась (остаточная последовательность) после выделения из временного ряда этих компонент, будет случайной компонентой ряда. Эта компонента будет обладать следующими свойствами: случайностью колебаний уровней остаточной последовательности; соответствием распределения случайной компоненты нормальному закону распределения; равенством математического ожидания случайной компоненты нулю; независимостью значений уровней случайной последовательности, то есть отсутствием существенной автокорреляции.

Проверка адекватности трендовых моделей основана на проверке выполняемости у остаточной последовательности указанных четырех свойств. Если не выполняется хотя бы одно из них, модель признается неадекватной; при выполнении всех четырех свойств модель адекватна.

Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда, а также в определении наличия тренда и его характера в исходном временном ряде. К предварительной обработке временных рядов относятся методы изменения временных рядов с целью более четкого выделения тенденций развития, сглаживания временного ряда.

Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки при передаче информации.

С целью более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы:

1) аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний;

2) механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

Суть методов механического сглаживания заключается в следующем. Берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и т. д.

Таким образом, можно сказать, для финансовой активности любого субъекта хозяйствования необходимо уметь правильно и с максимальной точностью распланировать свои ресурсы для получения экономической полезности, в чем ему поможет правильное применение математико-экономических показателей.

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Выравнивание временного ряда
Рубрика (тематическая категория)	Математика

После выявления структуры временного ряда, первым этапом эконометрического моделирования по данным временного ряда является моделирование тренда – систематической составляющей, зависящей только от времени. Этот этап получил название выравнивания временного ряда .

Для выравнивания временного ряда используются методы механического и аналитического выравнивания.

Методы механического выравнивания (метод скользящих средних , метод экспоненциального сглаживания и др.) подробно рассматриваются в курсе статистики.

В частности, метод скользящей средней основан на переходе от заданных уровней временного ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определœена заранее (такое преобразование принято называть фильтрованием ). При этом сам выбранный интервал времени “скользит” вдоль ряда. Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный, из-за усреднения отклонений ряда. Для выравнивания временного ряда методом скользящей средней в Exсel используется опция ʼʼЛинœейная фильтрация ʼʼ инструмента ʼʼПодбор линии тренда ʼʼ.

Метод скользящей средней (как и другие механические методы выравнивания) пригоден лишь для осреднения значений ряда и не должна быть использован для количественного прогнозирования. В то же время получение достаточно гладкой траектории дает возможность визуально оценить наличие тенденции в условиях сильной зашумленности ряда случайной компонентой, а также получить ответы на некоторые качественные вопросы относительно тренда.

В эконометрике основное внимание уделяется методу аналитического выравнивания, так как он дает количественную модель изменений временного ряда. При этом под аналитическим выравниванием временного ряда принято понимать построение аналитической функции для моделирования тренда.

Для построения трендов чаще всœего применяются следующие регрессионные уравнения:

· (линœейный тренд);

· (полиномиальный тренд);

· (гиперболический тренд);

· (экспоненциальный тренд).

Параметры модели определяются с помощью метода наименьших квадратов. При этом в качестве независимой переменной выступает переменная t , принимающая значения 1, 2, …, n , а в качестве зависимой переменной – уровни y 1 , y 2 , …, y n временного ряда. Стоит сказать, что для нелинœейных трендов

предварительно проводится процедура линœеаризации.

На стадии спецификации модели, ᴛ.ᴇ. при выборе аппроксимирующей функции , обычно отталкиваются либо от качественного анализа процесса, исходя из соображений экономической теории, либо от визуального анализа графика зависимости уровней ряда от времени. В большинстве случаев выбор наилучшего уравнения тенденции осуществляется путем перебора многих форм с последующим сравнением коэффициента детерминации для каждой из них. Предпочтение отдается той форме, для которой значение больше. Реализация такого подхода относительно проста при компьютерной обработке данных. В частности, для нахождения наиболее адекватного уравнения тренда в Exсel используется инструмент ʼʼПодбор линии трендаʼʼ из Мастера диаграмм .

Трендовую кривую, аппроксимирующую временной ряд, называют еще кривой роста .

Наиболее часто в практической работе используются кривые роста͵ которые позволяют описывать процессы трех базовых типов: без предела роста; с пределом роста без точки перегиба; с пределом роста и точкой перегиба.

Для описания процессов без предела роста чаще всœего служат функции: прямая (полином первой степени) , парабола (полином второй степени) , экспонента и другие. Процессы развития такого типа характерны в основном для абсолютных объёмных показателœей.

Для описания процессов с пределом роста применяется, как правило, модифицированная экспонента и гипербола . При этом в случае экспоненты прямая является горизонтальной асимптотой. Коэффициент подбирается исходя из свойств прогнозируемого процесса или на основании экспертных оценок. Процессы с пределом роста характерны для многих относительных показателœей (душевое потребление продуктов питания, внесение удобрений на единицу площади, затраты на одну денежную единицу произведенной продукции и т.п.).

Для описания процессов третьего типа (с пределом роста и точкой перегиба ) используются логистическая кривая (кривая Перла-Рида) и кривая Гомперца . Такой тип развития характерен для растущих рынков, в частности, для описания развития спроса на некоторые новые товары. На основании кривой Гомперца также описывается динамика показателœей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателœей смертности и т.д.

Параметры большинства кривых роста͵ как правило, оцениваются по методу наименьших квад­ратов, ᴛ.ᴇ. подбираются таким образом, чтобы график кри­вой роста располагался на минимальном удалении от точек исходных данных.

Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, допускающим содержательную интерпретацию. К числу таких моделœей, в первую очередь, относится линœейная модель роста .

Выравнивание временного ряда - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Выравнивание временного ряда" 2017, 2018.