Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Практика экзаменов по математике показывает, что задачи с параметрами представляют наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена любого уровня.

В задачах с параметрами наряду с неизвестными величинами фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. Такие задачи можно найти в книге «514 задач с параметрами» В литературе по элементарной математике немало учебных пособий, задачников, методических руководств, где приводятся задачи с параметрами. Но большинство из них охватывает узкий круг вопросов, делая основной упор на рецептуру, а не на логику решения задач. К тому же наиболее удачные из книг давно стали библиографической редкостью. В конце работы дан список книг, статьи из которых помогли составить классификацию утверждений по теме работы. Наиболее значимой является пособие Шахмейстера А. Х. Уравнения и неравенства с параметрами.

Основная цель настоящей работы – восполнение некоторых содержательных пробелов основного курса алгебры и установление фактов использования свойств квадратичной функции, позволяющие существенно упростить решение задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек.

Задачи работы:

Установить возможные случаи расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой;

Выявить алгоритмы, позволяющие решать квадратные уравнения с параметром на основе использования расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой;

Научиться решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности; овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования; повысить математическую культуру в рамках школьного курса математики.

Объект исследования: расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой.

Предмет исследования: квадратные уравнения с параметром.

Способы исследования. Основные способы исследования задач с параметром: аналитический, графический и комбинированный (функционально - графический). Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Графический – это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х; у). Наглядность графического способа помогает найти быстрый путь решения задачи. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств, составленных на основании математических утверждений выявленных по графику квадратичной функции.

Во многих случаях решение квадратных уравнений с параметром приводит к громоздким преобразованиям. Гипотеза: использование свойств квадратичной функции позволит существенно упростить решение, сводя его к решению рациональных неравенств.

Основная часть. Расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой

Рассмотрим некоторые утверждения, связанные с расположением корней квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+с на числовой прямой cотносительно точек m и п таких, что m

x1 и x2 - корни квадратного трехчлена,

D=b2-4ac- дискриминант квадратного трехчлена, D≥0.

m, n, m1, m2, n1, n2 - заданные числа.

Все рассуждения рассматриваются для a>0, случай для a

Утверждение первое

Для того, чтобы число m было расположено между корнями квадратного трехчлена (x1

Доказательство.

при условии x1

Геометрическая интерпретация

Пусть х1 и х2 - корни уравнения. При а > 0 f(x)

Задача 1. При каких значениях k уравнение x2-(2k+1)x + 3k-4=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2?

Решение. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1

При k>-2 уравнение x2-(2k+1)x + 3k-4=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2.

Ответ: k>-2.

Задача 2. При каких значениях k уравнение kx2+(3k-2)x + k-3=0 имеет корни разных знаков?

Эта задача может быть сформулирована так: при каких значениях k число 0 лежит между корнями данного уравнения.

Решение (1 способ) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1

2 способ решения (использование теоремы Виета). Если квадратное уравнение имеет корни (D>0) и c/a

Задача 3. При каких значениях k уравнение (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 имеет два корня, один из которых меньше k, а другой больше k?

f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Подставив значения k из найденного множества убедимся в том, что при этих значениях k D>0.

Утверждение второе (а)

Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа m (x1

Доказательство: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2

Задача 4. При каких значениях параметра корни уравнения x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 меньше -1?

D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- любое; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2

Утверждение второе (б)

Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были больше числа m (m

D ≥0; x0>m; af(m)>0.

Если выполнено условие m m. Так как m не принадлежит промежутку (x1; x2), то f(m) > О при а > 0 и f(m)

Обратно, пусть выполнена система неравенств. Из условия D > 0 следует существование корней х1 и х2 (х1 m.

Остается показать, что х1 > m. Если D = 0, то х1 = х2 > m. Если же D > 0, то f(х0) = -D/4a и af(x0) О, следовательно, в точках х0 и m функция принимает значения противоположных знаков и х1 принадлежит промежутку (m;х0).

Задача 5. При каких значениях параметра m корни уравнения x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) больше 1? б) меньше -1?

Решение а) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.

(m-5)2≥0; m - любое m>1/3; m>1/3;

(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Ответ:m>3/2.

б) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - любое x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.

Задача 6. При каких значениях параметра корни уравнения kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 больше 1?

Решение. Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра m корни квадратного трехчлена больше 1?

D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.

Решив эту систему, находим, что

Утверждение третье

Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были больше числа m и меньше n (m

D ≥0; m 0 af(n)>0.

Отметим характерные черты графика.

1)Уравнение имеет корни, а значит D > 0.

2) Ось симметрии расположена между прямыми х = m и х = n, а значит m

3) В точках х = m и х = n график расположен выше оси ОХ, следовательно f(m) > 0 и f(n) > 0 (при m

Перечисленные выше условия (1; 2; 3) являются необходимыми и достаточными для искомых значений параметра.

Задача 7. При каких m x2-2mx+m2-2m+5=0 по модулю не превосходят числа 4?

Решение. Условие задачи можно сформулировать следующим образом: при каких m выполняется соотношение -4

Значения т находим из системы

D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;

4 ≤ х0 ≤ 4; -4 ≤ m≤ 4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; решением которой является отрезок . Ответ: m .

Задача 8. При каких значениях m корни квадратного трехчлена

(2m - 2)x2 + (m+1)х + 1 больше -1, но меньше 0 ?

Решение. Значения m можно найти из системы

D≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0;

(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0;

(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;

Ответ: m > 2.

Утверждение четвертое(а)

Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m;n), а больший не принадлежал (m

D ≥0; af(m)>0 af(n)

График квадратичного трехчлена в точности один раз пересекает ось ОХ на интервале (m; n). Это значит, что в точках х=m и х=n квадратный трехчлен принимает разные по знаку значения.

Задача 10. При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного уравнения х2+2ах+а=0 принадлежит интервалу Х(0;3).

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х2-2ах+а. Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Пусть х1 меньший корень квадратного трехчлена. По условию задачи х1 принадлежит промежутку (0;3). Изобразим геометрическую модель задачи, отвечающую условиям задачи.

Перейдем к системе неравенств.

1) Замечаем, что у(0)>0 и у(3) 0. Следовательно, это условие записывать в систему неравенств не нужно.

Итак, получаем следующую систему неравенств:

Ответ: а>1,8.

Утверждение четвертое(б)

Для того, чтобы больший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m; n), а меньший не принадлежал (x1

D ≥0; af(m) 0.

Утверждение четвертое (объединенное)

Замечание. Пусть задача сформулирована следующим образом при каких значениях параметра один корень уравнения принадлежит интервалу (ь;т), а другой - не принадлежит? Для решения этой задачи не нужно различать два подслучая, ответ находим из неравенства f(m)·f(n)

D ≥0; f(m)·f(n)

Задача 11. При каких m только один корень уравнения х2-mх+6=0 удовлетворяет условию 2

Решение. На основании утверждения 4(б) значения m найдем из условия f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, т. е. при m = ±2√6, При m= -2√6 х = - √6 , который не принадлежит интервалу (2; 5), при m = 2√6 х =√6, принадлежащий интервалу (2; 5).

Ответ: m {2√6} U (5; 31/5).

Утверждение пятое

Для того, чтобы корни квадратного трехчлена удовлетворяли соотношению (x1

D ≥0; af(m)Задача 12. Найти все значения m, при которых неравенство х2+2(m-3)х + m2-6m

Решение. По условию интервал (0; 2) должен содержаться во множестве решений неравенства х2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m На основании утверждения 5 значения m находим из системы неравенств f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], откуда m.

Ответ: m .

Утверждение шестое

Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m1; m2), а больший принадлежал интервалу (n1;n2) (m2

D ≥0; af(m1)>0; af(m2)Это утверждение является комбинацией утверждений 4а и 4б. Первые два неравенства гарантируют, что х1(m1, n1), а два последних неравенства – то, что х2(m2, n2),

Задача 13. При какихm один из корней уравнения х2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 находится между числами 1 и 3, а второй - между числами 4 и 6?

Решение. 1 способ. Учитывая, что а = 1, значения m можно найти из системы f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + т-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)

4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), откуда m(2; 4).

Ответ: m(2; 4).

Таким образом мы установили утверждения, связанные с расположением корней квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+ на числовой прямой cотносительно некоторых точек.

Заключение

В ходе работы я овладела рядом технических и математических умений на уровне свободного их использования и повысила математическую культуру в рамках школьного курса математики.

В результате выполнения работы была выполнена поставленная цель: установлены свойства квадратичной функции, позволяющие существенно упростить решение задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек. Установлены возможные случаи расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой. Выявлены алгоритмы, позволяющие решать квадратные уравнения с параметром на основе использования расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой; решены задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности. В работе представлено решение только 12 задач в виду ограниченности количества страниц работы. Конечно, рассмотренные в работе задачи можно решить и другими способами: используя формулы корней квадратного уравнения, применяя свойство корней (теорему Виета).

Фактически было решено значительное количество задач. Поэтому было решено создать сборник задач по теме проектно-исследовательской работы «Решебник задач на применение свойств квадратного трехчлена, связанных с расположением его корней на координатной прямой». Кроме того, результатом работы (продуктом проектно-исследовательской работы) является компьютерная презентация, которую можно использовать на занятиях элективного предмета «Решение задач с параметрами».

Нахождение корней квадратного трехчлена

Цели: ввести понятие квадратичного трехчлена и его корней; формировать умение находить корни квадратного трехчлена.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из чисел: –2; –1; 1; 2 – являются корнями уравнений?

а) 8х + 16 = 0; в) х 2 + 3х – 4 = 0;

б) 5х 2 – 5 = 0; г) х 3 – 3х – 2 = 0.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала проводить по следующей с х е м е:

1) Ввести понятие корня многочлена.

2) Ввести понятие квадратного трехчлена и его корней.

3) Разобрать вопрос о возможном количестве корней квадратного трехчлена.

Вопрос о выделении квадрата двучлена из квадратного трехчлена лучше разобрать на следующем уроке.

На каждом этапе объяснения нового материала необходимо предлагать учащимся устное задание на проверку усвоения основных моментов теории.

З а д а н и е 1. Какие из чисел: –1; 1; ; 0 – являются корнями многочлена х 4 + 2х 2 – 3?

З а д а н и е 2. Какие из следующих многочленов являются квадратными трехчленами?

1) 2х 2 + 5х – 1; 6) х 2 – х – ;

2) 2х – ; 7) 3 – 4х + х 2 ;

3) 4х 2 + 2х + х 3 ; 8) х + 4х 2 ;

4) 3х 2 – ; 9) + 3х – 6;

5) 5х 2 – 3х ; 10) 7х 2 .

Какие из квадратных трёхчленов имеют корень 0?

З а д а н и е 3. Может ли квадратный трехчлен иметь три корня? Почему? Сколько корней имеет квадратный трехчлен х 2 + х – 5?

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 55, № 56, № 58.

2. № 59 (а, в, д), № 60 (а, в).

В этом задании не нужно искать корни квадратных трехчленов. Достаточно найти их дискриминант и ответить на поставленный вопрос.

а) 5х 2 – 8х + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, значит, данный квадратный трехчлен имеет два корня.

б) 9х 2 + 6х + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, значит, квадратный трехчлен имеет один корень.

в) –7х 2 + 6х – 2 = 0;

7х 2 – 6х + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Если останется время, можно выполнить № 63.

Р е ш е н и е

Пусть ax 2 + bx + c – данный квадратный трехчлен. Поскольку a + b +
+ c = 0, то один из корней этого трехчлена равен 1. По теореме Виета второй корень равен . Согласно условию, с = 4а , поэтому второй корень данного квадратного трехчлена равен
.

О т в е т: 1 и 4.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что такое корень многочлена?

– Какой многочлен называют квадратным трехчленом?

– Как найти корни квадратного трехчлена?

– Что такое дискриминант квадратного трехчлена?

– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен? От чего это зависит?

Домашнее задание: № 57, № 59 (б, г, е), № 60 (б, г), № 62.

Описание видеоурока

Каждое из выражений три икс пятой степени минус икс четвертой степени плюс три икс куб минус шесть икс плюс два; пять игрек четвертой степени минус игрек куб плюс пять игрек квадрат минус три игрек плюс восемнадцать; три зет шестой степени минус зет четвертой степени плюс зет квадрат минус зет плюс два является многочленом с одной переменной.

Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена.

Найдем, например, корни многочлена икс куб минус четыре икс. Для этого решим уравнение икс куб минус четыре икс равно нулю. Разложив левую часть уравнения на множители, получим произведение из трех множителей: икс, икс минус два и икс плюс два, равное нулю. Отсюда икс первое равно нулю, икс второе равно два, икс третье равно минус два.

Таким образом, числа нуль, два и минус два - являются корнями многочлена икс куб минус четыре икс…

Многочлен второй степени с одной переменной называют квадратным трехчленом.

Квадратным трехчленом называется многочлен вида а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, где икс -переменная, ..а, бэ и цэ -некоторые числа, причем а не равно нулю.

Коэффициент а называют старшим коэффициентом, цэ - свободным членом квадратного трехчлена.

Примерами квадратных трехчленов являются многочлены два икс квадрат минус икс минус пять; икс квадрат плюс семь икс минус восемь. В первом из них а равно два, бэ равно минус один, цэ равно минус пять, во втором а равно один, бэ равно семь, цэ равно минус восемь. К квадратным трехчленам относятся также и такие многочлены второй степени, у которых один из коэффициентов бэ либо цэ или даже оба равны нулю. Так, многочлен пять икс квадрат минус два икс считают квадратным трехчленом. Коэффициент а равен пяти, бэ равно минус двум, цэ равно нулю.

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, нужно решить квадратное уравнение а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно нулю.

Пример первый. Найдем корни квадратного трехчлена икс квадрат минус три икс минус четыре.

Для этого приравняем данное выражение к нулю и решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант в нем равен двадцати пяти, первый корень равен четырем, второй корень равен минус одному.

Таким образом, квадратный трехчлен икс квадрат минус три икс минус четыре имеет два корня: четыре и минус один.

Так как квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ имеет те же корни, что и уравнение а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, то он может, как и квадратное уравнение иметь два корня, один корень или не иметь корней вообще. Это зависит от значения дискриминанта квадратного уравнения, который также называют дискриминантом квадратного трехчлена.. Если дискриминант больше нуля, то квадратный трехчлен имеет два корня; если дискриминант равен нулю, то квадратный трехчлен имеет один корень; если дискриминант меньше нуля, то квадратный трехчлен не имеет корней.

При решении задач иногда бывает удобно представить квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ в виде суммы а умноженного на квадрат разности а и эм…и числа эн, где эм и эн - некоторые числа. Такое преобразование называется выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Покажем на примере, как выполняется такое преобразование.

Второй пример. Выделить из трехчлена два икс квадрат минус четыре икс плюс шесть… квадрат двучлена.

Вынесем за скобки множитель два,.. затем преобразуем выражение в скобках, для чего прибавим и отнимем единицу… В итоге получим сумму удвоенного квадрата разности чисел икс и один… И числа четыре.

Таким образом, два икс квадрат минус четыре икс плюс шесть равно сумме удвоенного квадрата разности чисел икс и один.. И числа четыре…

Рассмотрим задачу, при решении которой используется выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Задача. Докажем, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть одна сторона прямоугольника равна икс сантиметров. Тогда длина второй будет десять минус икс сантиметров, а площадь прямоугольника равна произведению этих сторон.

Раскрыв скобки в выражении икс умноженное на разность десять и икс, получим десять икс минус икс квадрат. Выражение минус икс квадрат плюс десять икс представляет собой квадратный трехчлен, в котором коэффициент А равен минус один, бэ равно десяти, цэ равно нулю. Выделим квадрат двучлена и получим выражение минус квадрат разности икс и пять.. плюс двадцать пять.

Так как выражение минус квадрат разности икс и пять при любом икс не равном пяти отрицательно, то и всё выражение минус квадрат разности икс и пять… плюс двадцать пять принимает наибольшее значение при икс равном пяти.

Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямоугольника равна 5 см. В этом случае другая сторона также равна 5 см. Это означает, что данный прямоугольник является квадратом.

Тема урока : «Квадратный трехчлен и его корни».

Цель урока : познакомить обучающихся с понятием квадратного трехчлена и его корней, совершенствовать их умения и навыки в решении заданий на выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Урок включает четыре основных этапа :

Контроль знаний

Объяснение нового материала

Репродуктивное закрепление.

Тренировочное закрепление.

Рефлексия.

1 этап. Контроль знаний.

Учитель проводит математический диктант «под копирку» по материалу предыдущего цикла. Для диктанта используется карточки двух цветов: синего - для 1 варианта, красного –2 варианта.

Из данных аналитических моделей функций выберите только квадратичные.

Вариант 1. у=ах+4, у=45-4х, у=х²+4х-5, у=х³+х²-1.

Вариант 2. у=8х-в, у=13+2х, у= -х²+4х, у=-х³+4х²-1.

Изобразите схематично квадратичные функции. Можно ли однозначно определить положение квадратичной функции на координатной плоскости. Ответ попытайтесь аргументировать.

Решите квадратные уравнения.

Вариант 1. а) х² +11х-12=0

Б) х² +11х =0

Вариант 2. а) х² -9х+20=0

Б) х² -9 х =0

4. Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни.

Вариант 1. А) х² + х +12=0

Вариант 2. А) х² + х - 12=0

Полученные ответы учитель проверяет у первых двух пар. Полученные неправильные ответы обсуждаются всем классом.

2 этап. Давайте составим кластер. Какие ассоциации у вас возникают при рассмотрении квадратного трехчлена?

Составление кластера.

Возможные ответы:

квадратный трехчлен используют для рассмотрения кв. функции;

можно найти нули кв. функции

по значению дискриминанта оценить количество корней.

Описать реальные процессы и т.д.

Объяснение нового материала.

Параграф 2. п.3 стр.19-22.

Рассматриваются выражения, и дается определение квадратного трехчлена и корня многочлена (в ходе обсуждения ранее рассмотренных выражений)

Формулируется определение корня многочлена.

Формулируется определение квадратного трехчлена.

Разбираются примеры решения трехчлена:

Найти корни квадратного трехчлена.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

3х²-36х+140=0.

Составляется схема ориентировочной основы действия.

Алгоритм выделения двучлена из квадратного трехчлена.

1.Опрелелить числовое значение старшего коэффициента квадратного трехчлена.

2. Выполнить тождественные и 2. Преобразовать выражение,

равносильные преобразования использовав формулы

(вынести общий множитель за скобки; квадрата суммы и разности.

преобразовать выражение, в скобках

достроив его до формулы квадрата суммы

или разности)

а²+2ав+в²= (а+в)² а²-2ав+в²= (а-в)²

3 этап. Решение типовых заданий из учебника (№ 60 а,в; 61 а, 64 а,в) Делаются у доски и комментируются.

4 этап. Самостоятельная работа на 2варианта (№ 60а,б; 65 а,б). Учащиеся сверяются с образцами решения на доске.

Домашнее задание: П.3 (теорию выучить, № 56, 61г, 64 г)

Рефлексия. Учитель дает задание: оценить свои успехи на каждом этапе урока с помощью рисунка и сдать учителю. (задание выполняется на отдельных листах, образец выдается).

Образец:

Используя, порядок расположения элементов на рисунке, определите на каком этапе урока ваше незнание преобладало. Выделите этот этап красным цветом.