Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Тессеракт - четырёхмерный гиперкуб - куб в четырёхмерном пространстве.
Согласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853-1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом (греч. τετρα - четыре) - четырёхмерным кубом.
Обычный тессеракт в евклидовом четырёхмерном пространстве определяется как выпуклая оболочка точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:
[-1, 1]^4 = {(x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.
Популярное описание
Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.
В одномерном «пространстве» - на линии - выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.
Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата CDBA, квадрат - стороной куба CDBAGHFE, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат - четыре вершины, куб - восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра - по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани - 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.
Как сторонами квадрата являются 4 одномерных отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны. На рисунке это кубы: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.
Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.
Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями - боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» - трёхмерные грани - будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в направлении четвёртой оси. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.
Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.
Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру - развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один - грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного - конечной «гиперграни».
Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в четырёхмерное пространство.

Гиперкуб и Платоновы тела

Смоделировать в системе «Вектор» усеченныйикосаэдр («футбольный мяч»)
у которого каждый пятиугольник ограниченшестиугольниками

Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32 ), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90 .

Шаги построения усеченного икосаэдра в системе «Вектор»

Фигуры в 4-мерном пространстве.

--à

--à ?

Например, даны куб и гиперкуб. В гиперкубе 24 грани. Значит, у 4-мерного октаэдра будет 24 вершины. Хотя нет, у гиперкуба – 8 граней кубов – в каждом центр -вершина. Значит, у 4-мерного октаэдрабудет 8 вершини того легче.

4-мерный октаэдр . Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой тэтраэдров,
соединенных по четыре у каждой вершины.

Рис. Попытка смоделировать
гипершар-гиперсферу в системе «Вектор»

Передняя – задняя грани – шары без искажения. Еще шестьшаров – можно задать черезэллипсоиды или квадратичные поверхности (через 4 линии контура как образующие) иличерез грани (сначала задаются через образующие).

Еще приемы «построить» гиперсферу
- тот же «футбольный мяч» в 4-мерном пространстве

Приложение 2

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.

Прежде чем его сформулировать рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таб­лицу, в которой В - число вершин, Р - ребер и Г - граней данного мно­гогранника:

Название многогранника
Треугольная пирамида
Четырехугольная пирамида
Треугольная призма
Четырехугольная призма
n - угольная пирамида	n +1	2n	n +1
n - угольная призма	2n	3n	n+2
n - угольная усеченная пирамида	2n	3n	n+2

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных мно­гогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для про­извольного выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В - Р + Г = 2,

где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного мно­гогранника.

Доказательство. Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) од­ну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Полу­чим многоугольник (образованный ребрами удаленной грани многогранника), разбитый на более мелкие многоугольники (образованные остальными гранями многогранника).

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер и граней при этом не изменится.

Докажем, что для полученного разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенство

(*)В - Р + Г " = 1,

где В – общее число вершин, Р – общее число ребер и Г " – число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г "= Г – 1, где Г – число граней данного мно­гогранника.

Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 5, а). Действитель­но,после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем

В - (Р + 1) + (Г "+1) = В – Р + Г ".

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входя­щие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения пока­жем выполнимость равенства (*) (рис. 5, б). Для этого будем последо­вательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в на­шем случае AB и BC ;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN .

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае послеудаления треугольника граф будет состоять из В – 1 вершин, Р – 2 ребер и Г " – 1 многоугольника:

(В - 1) - (Р + 2) + (Г " – 1) = В – Р + Г ".

Самостоятельно рассмотрите второй случай.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенство (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого раз­биения В = 3, Р = 3, Г " = 1 и, следовательно, B – Р + Г " = 1. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда оконча­тельно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство (*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство В - Р + Г = 2.

Пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера, показан на рисунке 6. Этот многогранник имеет 16 вершин, 32 ребра и 16 граней. Таким образом, для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 0.

Приложение 3.

Фильм Куб 2: Гиперкуб» (англ. Cube 2: Hypercube) - фантастический фильм, продолжение фильма «Куб».

Восемь незнакомых людей просыпаются в комнатах, имеющих форму куба. Комнаты находятся внутри четырёхмерного гиперкуба. Комнаты постоянно перемещаются путём "квантовой телепортации", и если перелезть в соседнюю комнату, то вернуться в прежнюю уже маловероятно. В гиперкубе пересекаются параллельные миры, время в некоторых комнатах течёт по-разному, и некоторые комнаты являются смертельными ловушками.

Сюжетно картина во многом повторяет историю первой части, что также отражается и на образах некоторых персонажей. В комнатах гиперкуба погибает нобелевский лауреат Розенцвейг, рассчитавший точное время уничтожения гиперкуба .

Критика

Если в первой части люди заточенные в лабиринт пытались помочь друг-другу, в этом фильме каждый сам за себя. Очень много лишних спецэффектов (они же ловушки) которые ни как не связывают логически данную часть фильма с предыдущей. То есть получается фильм Куб 2 - это этакий лабиринт будущего 2020-2030 годов, но никак не 2000. В первой части все виды ловушек может теоретически создать человек. Во второй части эти ловушки - программа какого-то компьютера, так называемая "Виртуальная реальность".

Ещё когда я был студентом-первокурсником у меня с одним моим одногруппником вышел горячий спор. Он говорил, что четырёхмерный куб представить нельзя ни в каком виде, а я уверял, что его можно представить достаточно отчётливо. Тогда я даже сделал из скрепок проекцию гиперкуба на наше трёхмерное пространство… Но давайте обо всём по-порядку.

Что такое гиперкуб и четырёхмерное пространство

В нашем привычном пространстве три измерения. С геометрической точки зрения это значит, что в нём можно указать три взаимно-перпендикулярных прямых. То есть для любой прямой можно найти вторую, перпендикулярную первой, а для пары можно найти третью прямую, перпендикулярную двум первым. Найти четвёртую прямую, перпендикулярную трём имеющимся, уже не удастся.

Четырёхмерное пространство отличается от нашего только тем, что в нём есть ещё одно дополнительное направление. Если у вас уже есть три взаимно перпендикулярные прямые, то вы можете найти четвёртую, такую, что она будет перпендикуляра всем трём.

Гиперкуб это просто куб в четырёхмерном пространстве.

Можно ли представить четырёхмерное пространство и гиперкуб?

Этот вопрос сродни вопросу: «можно ли представить Тайную Вечерю, посмотрев на одноимённую картину (1495-1498) Леонардо да Винчи (1452-1519)?»

С одной стороны, вы конечно не представите то, что видел Иисус (он сидит лицом к зрителю), тем более вы не почувствуете запаха сада за окном и вкуса еды на столе, не услышите пения птиц… Вы не получите полного представления о происходившем в тот вечер, но нельзя сказать, что вы не узнаете ничего нового и что картина не представляет никакого интереса.

Аналогичная ситуация и с вопросом о гиперкубе. Полностью представить его нельзя, но можно приблизиться к пониманию, каков он.

Построение гиперкуба

0-мерный куб

Начнём с начала - с 0-мерного куба. Этот куб содержит 0 взаимно перпендикулярных граней, то есть это просто точка.

1-мерный куб

В одномерном пространстве у нас есть только одно направление. Сдвигаем точку в этом направление и получаем отрезок.

Это одномерный куб.

2-мерный куб

У нас появляется второе измерение, сдвигаем наш одномерный куб (отрезок) в направлении второго измерения и получаем квадрат.

Это куб в двумерном пространстве.

3-мерный куб

С появлением третьего измерения поступаем аналогично: сдвигаем квадрат и получаем обычный трёхмерный куб.

4-мерный куб (гиперкуб)

Теперь у нас появилось четвёртое измерение. То есть в нашем распоряжении имеется направление, перпендикулярное всем трём предыдущим. Воспользуемся им точно так же. Четырёхмерный куб будет выглядеть вот так.

Естественно, трёхмерный и четырёхмерный кубы нельзя изобразить на двумерной плоскости экрана. То, что нарисовал я - это проекции. О проекциях мы поговорим чуть позже, а пока немного голых фактов и цифр.

Количество вершин, рёбер, граней

Обратите внимание, что гранью гиперкуба является наш обычный трёхмерный куб. Если внимательно посмотреть на рисунок гиперкуба, то можно действительно найти восемь кубов.

Проекции и зрение жителя четырёхмерного пространства

Несколько слов о зрении

Мы живём в трёхмерном мире, но видим мы его двумерным. Это связано с тем, что сетчатка наших глаз расположена в плоскости, имеющей только два измерения. Именно поэтому мы способны воспринимать двумерные картины и находить их похожими на реальность.

(Конечно, благодаря аккомодации, глаз может оценить расстояние до объекта, но это уже побочное явление, связанное с оптикой, встроенной в наш глаз.)

Глаза жителя четырёхмерного пространства должны иметь трёхмерную сетчатку. Такое существо может сразу увидеть трёхмерную фигуру полностью: все её грани и внутренности. (Точно так же мы можем увидеть двумерную фигуру, все её грани и внутренности.)

Таким образом, с помощью наших органов зрения, мы не способны воспринять четырёхмерный куб так, как его воспринимал бы житель четырёхмерного пространства. Увы. Остаётся только уповать на мысленный взор и фантазию, которые, к счастью, не имеют физических ограничений.

Тем не менее, изображая гиперкуб на плоскости, я просто вынужден делать его проекцию на двумерное пространство. Учитывайте это обстоятельство, при изучении рисунков.

Пересечения рёбер

Естественно, ребра гиперкуба не пересекаются. Пересечения появляются только на рисунках. Впрочем, это не должно вызывать удивления, ведь рёбра обычного куба на рисунках тоже пересекаются.

Длины рёбер

Стоит отметить, что все грани и рёбра четырёхмерного куба равны. На рисунке они получаются не равными только потому, что расположены под разными углами к направлению взгляда. Однако можно развернуть гиперкуб так, что все проекции будут иметь одинаковую длину.

Кстати, на этом рисунке отчётливо видны восемь кубов, являющихся гранями гиперкуба.

Гиперкуб внутри пустой

В это трудно поверить, но между кубами, ограничивающими гиперкуб, заключено некоторое пространство (фрагмент четырёхмерного пространства).

Чтобы это лучше понять, давайте рассмотрим двумерную проекцию обычного трёхмерного куба (я специально сделал её несколько схематичной).

Можно ли по ней догадаться, что внутри куба есть некоторое пространство? Да, но только применив воображение. Глаз этого пространства не видит.

Это происходит потому, что рёбра, расположенные в третьем измерении (которое нельзя изобразить на плоском рисунке), теперь превратились в отрезки, лежащие в плоскости рисунка. Они больше не обеспечивают объём.

Квадраты, ограничивающие пространство куба, наложились друг на друга. Но можно представить, что в исходной фигуре (трёхмерном кубе) эти квадраты располагались в разных плоскостях, а не один поверх другого в одной плоскости, как это получилось на рисунке.

Точно так же дело обстоит и с гиперкубом. Кубы-грани гиперкуба на самом деле не накладываются, как это кажется нам на проекции, а располагаются в четырёхмерном пространстве.

Развёртки

Итак, житель четырёхмерного пространства может увидеть трёхмерный объект одновременно со всех сторон. Можем ли мы одновременно со всех сторон увидеть трёхмерный куб? Глазом - нет. Но люди придумали способ, как изобразить на плоском рисунке все грани трёхмерного куба одновременно. Такое изображение называется развёрткой.

Развёртка трёхмерного куба

Как образуется развёртка трёхмерного куба все наверно знают. Этот процесс показан на анимации.

Для наглядности края граней куба сделаны полупрозрачными.

Следует отметить, что мы способны воспринять эту двумерную картинку только благодаря воображению. Если рассмотреть фазы разворачивания с чисто двумерной точки зрения, то процесс будет казаться странным и совсем не наглядным.

Он выглядит, как постепенное появление сперва очертаний искажённых квадратов, а потом их расползание на свои места с одновременным принятием необходимой формы.

Если смотреть на разворачивающийся куб в направлении одной из его граней (с этой точки зрения куб выглядит как квадрат), то процесс образования развёртки ещё менее нагляден. Всё выглядит как выползание квадратов из начального квадрата (не развёрнутого куба).

Но не наглядна развёртка только для глаз .

Как понять 4-х мерное пространство?

Как раз благодаря воображению из неё можно почерпнуть много информации.

Развёртка четырёхмерного куба

Сделать анимированный процесс разворачивания гиперкуба хоть сколько нибудь наглядным просто невозможно. Но этот процесс можно представить. (Для этого надо посмотреть на него глазами четырёхмерного существа.)

Развёртка выглядит так.

Здесь видны все восемь кубов, ограничивающих гиперкуб.

Одинаковыми цветами покрашены грани, которые должны совместиться при сворачивании. Серыми оставлены грани для которых парных не видно. После свёртки самая верхняя грань верхнего куба должна совместиться с нижней гранью нижнего куба. (Аналогично сворачивается развёртка трёхмерного куба.)

Обратите внимание, что после свёртки все грани восьми кубиков придут в соприкосновение, замкнув гиперкуб. И наконец, представляя процесс свёртывания, не забывайте, что при свёртывании происходит не наложение кубов, а оборачивание ими некой (гиперкубической) четырёхмерной области.

Сальвадор Дали (1904-1989) много раз изображал распятие, а кресты фигурируют в очень многих его картинах. На картине «Распятие» (1954) используется развёртка гиперкуба.

Пространство-время и евклидово четырёхмерное пространство

Надеюсь, что вам удалось представить гиперкуб. Но удалось ли вам приблизиться к пониманию, как устроено четырёхмерное пространство-время в котором мы живём? Увы, не совсем.

Здесь мы говорили об евклидовом четырёхмерном пространстве, но пространство-время обладает совсем другими свойствами. В частности, при любых поворотах отрезки остаются всегда наклонены к оси времени либо под углом меньше 45 градусов, либо под углом больше 45 градусов.

Свойствам пространства времени я посвятил серию заметок.

Трехмерность изображения

Мир трехмерен. Его изображение двухмерно. Важной задачей живописи и, теперь, фотографии является передача трехмерности пространства. Некоторыми приемами владели уже римляне, потом они были забыты и начали возвращаться в классическую живопись с Ренессансом.

Основной прием создания трехмерного пространства в живописи — перспектива. Железнодорожные рельсы, удаляясь от зрителя, визуально сужаются. В живописи рельсы можно физически сузить. В фотографии перспектива возникает автоматически: камера снимет рельсы такими же зауженными, как их видит глаз. Однако не допускайте почти смыкания: оно будет выглядеть уже не перспективой, а странной фигурой; между рельсами, сторонами улицы, берегами реки должен сохраняться заметный просвет.

Важно понимать, что линейная перспектива — наиболее примитивный, реалистичный способ передачи мира.

Post navigation

Не случайно ее появление связано с театральными декорациями (Флоренский, “Обратная перспектива”). Условность, простота передачи театральной сцены небольшой глубины очень подходит для фотографии, лишенной разнообразия приемов, доступных в живописи.

Существуют перспективы, значительно более интересные, чем линейная. В работах китайских мастеров присутствует плавающая перспектива, когда объекты изображены одновременно снизу, сверху и спереди. Она не была технической ошибкой некомпетентных художников: легендарный автор этой техники, Guo Xi писал, что такое отображение позволяет осознать мир в его тотальности. Аналогична техника русской иконописи, в которой зритель может видеть лицо и спину персонажа одновременно. Интересным приемом иконописи, встречающимся также у западноевропейских художников, была обратная перспектива, в которой удаленные объекты, наоборот, крупнее близких, подчеркивая важность. Только в наши дни было установлено, что такая перспектива правильная: в отличие от удаленных предметов, ближний план действительно воспринимается в обратной перспективе (Раушенбах). Средствами фотошопа можно добиться обратной перспективы, увеличивая объекты заднего плана. Для привыкшего к законам фотографии зрителя смотреться такое изображение будет странно.

Введение в кадр угла здания, от которого в обе стороны расходятся стены, создает подобие изометрической перспективы. Мозг понимает, что стены находятся под прямым углом, и раскладывает остальное изображение соответственно. Такая перспектива динамичнее фронтальной и естественнее для ближнего плана. Просто вводите в кадр торцевые углы предметов и близко расположенных зданий.

За счет расширения, изометрическая перспектива мажорна, что редко подходит для классического портрета. Линейная перспектива, за счет сужения, лучше передает минорные эмоции.

На этапе съемки, фотографу доступен ряд инструментов, подчеркивающих перспективу. Уходящие вдаль объекты равной ширины (колея, улица, колонны, борозды) своим сужением и даже просто удалением обозначают зрителю трехмерность пространства. Эффект сильнее, если снимать с низкого ракурса, чтобы увеличить искажения перспективы. Для пейзажной съемки этого достаточно, но при небольшой глубине изображения интерьерной съемки эффект малозаметен. Его можно немного усилить в пост-обработке, заузив верхнюю часть изображения (Transform Perspective). Впрочем, и в пейзаже гипертрофированная перспектива может выглядеть интересно.

Глубина может быть явной по смыслу изображения: здания разделены улицей или рекой. Диагональ подчеркивает трехмерность; например, мост через реку.

Предметы известного зрителю размера на заднем плане задают масштаб и, соответственно, формируют перспективу. В пейзажной съемке таким предметом может быть автомобиль, а в портретной попробуйте присогнуть и поджать под стул ногу (от камеры), чтобы она, оставаясь видимой, казалась меньше. Можно даже чуть уменьшить эту ногу в пост-обработке.

Орнамент передает перспективу за счет визуального уменьшения элементов. Примером будет крупная плитка на полу, линии разметки на дороге.

Существует техника гипертрофированного переднего плана. Диспропорционально большой, он создает глубину изображения. Сравнивая масштаб переднего плана и модели, глаз приходит к выводу, что модель гораздо дальше, чем кажется. Гипертрофированность должна оставаться едва различимой, чтобы изображение не воспринималось ошибкой. Этот прием подходит не только для пост-обработки, но и при съемке: исказите пропорции, снимая объективом 35 или 50мм. Съемка широкоугольным объективом растягивает пространство, усиливая его трехмерность за счет нарушения пропорций. Эффект сильнее, если снимать модель с близкого расстояния, но опасайтесь гротескных пропорций: только авторы религиозных изображений могут изображать человека больше здания.

Отлично работает пересечение. Если яблоко частично закрывает собой грушу, то мозг не ошибется: яблоко находится впереди груши. Модель, частично закрывающая собой мебель, создает тем самым глубину интерьера.

Глубину изображению придает также чередование светлых и темных пятен. Мозг знает по опыту, что находящиеся рядом предметы освещены примерно одинаково, поэтому интерпретирует по-разному освещенные предметы как расположенные на разном расстоянии. Для такого эффекта, пятна чередуются в направлении оси перспективы — вглубь изображения, а не поперек него. Например, снимая модель, лежащую от камеры в темном кадре, положите блики света возле ягодиц и возле ног. Можно осветлять/ затемнять области в пост-обработке.

Последовательность все более темных предметов воспринимается уменьшающейся. За счет постепенного затенения объектов, расположенных по активной линии, можно получить тонкое ощущение перспективы. Аналогично, глубина передается ослаблением света: пустите полосу света по мебели или на полу.

Трехмерное изображение можно получить за счет не только светового, но и цветового контраста. Этот прием был известен фламандским живописцам, которые располагали на своих натюрмортах яркие цветные пятна. Красный гранат и желтый лимон рядом будут смотреться трехмерно даже при плоском фронтальном освещении. Особенно хорошо они будут выступать вперед на фоне фиолетового винограда: теплый цвет на фоне холодного. Яркие цветные поверхности хорошо вырываются из темноты даже слабым светом, типичным для натюрморта. Контраст цветов лучше работает с основными цветами: красным, желтым, синим, а не оттенками.

На черном фоне, желтый цвет выступает вперед, синий прячется назад. На белом фоне — наоборот. Насыщенность цвета усиливает этот эффект. Почему так происходит? Желтый цвет не бывает темным, поэтому мозг отказывается верить в то, что желтый предмет может быть погружен в темный фон, не освещен. Синий цвет, наоборот, темный.

Усиление перспективы в пост-обработке сводится к имитации атмосферного восприятия: удаленные объекты кажутся нам более светлыми, размытыми, со сниженным контрастом по яркости, насыщенности и тону.

Помимо больших расстояний, атмосферные эффекты естественно выглядят в утренней дымке, тумане, накуренном баре. Учитывайте погоду: в облачный день или в сумерках не может быть значительного отличия между передним и задним планами.

Самый сильный из факторов — контраст по яркости. В настройках это обычный контраст. Снизьте контрастность удаленных предметов, поднимите контрастность переднего плана — и изображение станет выпуклым. Речь не о контрасте между передним и задним планами, а о контрастности заднего плана, которая должна быть ниже контрастности переднего. Этот метод подходит не только для пейзажей и жанровой съемки, но и студийного портрета: поднимите контраст передней части лица, снизьте контраст на волосах и скулах, одежде. Портретные фильтры делают нечто похожее, размывая кожу модели и оставляя резкими глаза и губы.

Корректировка контраста — самый простой способ трехмерной пост-обработки изображения. В отличие от других процессов, зритель практически не заметит изменений, что позволит сохранить максимальную естественность.

На снижение контраста похоже размытие, но это разные процессы. Изображение может быть низкоконтрастным, оставаясь резким. В силу ограниченной глубины резкости, размытие удаленных предметов остается наиболее популярным способом передачи трехмерности на фотографии, и его легко усилить, размыв дальний план в пост-обработке. Поэтому же на заднем плане следует располагать поменьше деталей — мозг не ожидает различимых предметов вдалеке. Между тем, снижение контраста лучше отвечает естественному восприятию: удаленные горы видны низкоконтрастными, а не размытыми, потому что сканируя пейзаж, взгляд постоянно перефокусируется, ему чужда проблема глубины резкости. Размывая задний план, можно заодно поднять резкость переднего. Дополнительно, на переднем плане можно усилить линии изображения (High Pass Filter или Clarity). Именно высокая резкость переднего плана объясняет характерную выпуклость изображения высококачественных объективов. Осторожно: ради незначительного увеличения трехмерности вы можете сделать изображение слишком жестким.

Более светлые объекты кажутся более удаленными. Связано это с тем, что в природе мы видим дальние объекты сквозь толщу рассеивающего свет воздуха; дальние горы кажутся светлыми. В пейзажной съемке следует, поэтому, с осторожностью относиться к расположению светлых объектов на переднем плане.

Осветлите дальние объекты. Чем удаленнее, тем больше они сливаются с яркостью и тоном неба. Обратите внимание, что горизонтальные объекты (земля, море) лучше освещаются, чем вертикальные (стены, деревья), поэтому не переусердствуйте с осветлением последних. В любом случае, объекты должны оставаться заметно менее светлыми, чем небо.

Хорошо, если вы заметили, что осветление — это другой способ снизить контраст по яркости заднего плана. Чуть затемните передний план для усиления эффекта выпуклости.

Казалось бы, в интерьере все наоборот. Если на улице глаз привык к тому, что даль светла, то в комнате свет зачастую сосредоточен на человеке, а интерьер погружен в темноту; мозг привык к освещению переднего плана, а не заднего.

На интерьерных изображениях с малой глубиной сцены, в отличие от пейзажных, освещенная модель выступает из темного фона. Но есть и противоположный фактор: 99% своей эволюции, человек наблюдал перспективу на открытой местности, и с появлением комнат мозг еще не успел перестроиться. Вермеер предпочитал светлый фон для портретов, и они у него действительно выпуклые. Освещение вертикального фона, рекомендуемое в фотографии, не только отделяет от него модель, но и за счет осветления фона придает изображению небольшую трехмерность. Здесь мы сталкиваемся с тем, что мозг анализирует расположение объектов по нескольким факторам, и они могут быть конфликтующими.

Интересно выглядит студийное освещение, в котором световые пятна лежат на удаленных от камеры зонах модели. Например, подсвечена та грудь, которая дальше от камеры.

Снизьте насыщенность цвета на удаленных объектах: из-за толщи разделяющего нас воздуха, дальние горы десатурированы почти до уровня монохрома и покрыты синей дымкой. Насыщенность переднего плана можно увеличить.

Поскольку желтый цвет светлый, а синий и красный — темные, то цветовой контраст заодно является и контрастом по яркости.

Десатурируя удаленный фон, не дайте ему пропасть из виду. Часто, напротив, нужно поднять насыщенность дальнего плана, чтобы проявить его. Это важнее трехмерности.

Много советов по трехмерности фотографии посвящено температурному контрасту. На самом деле, этот эффект очень слабый, легко перебивается контрастом по яркости. К тому же, температурный контраст назойлив, бросается в глаза.

Очень удаленные предметы кажутся более холодного цвета, потому что воздух поглощает теплый оранжевый свет. Фотографируя модель на пляже на фоне кораблей, расположенных у горизонта, в пост-обработке снизьте цветовую температуру далекого моря и судов. Модель в красном купальнике выступает из синего моря, а модель в желтом свете уличного фонаря — из синеватых сумерек.

В этом заключается раздельное тонирование: модель делаем теплее, фон — холоднее. Мозг понимает, что в одной плоскости разных цветовых температур не бывает, и воспринимает такое изображение трехмерным, на котором модель выступает из фона. Раздельное тонирование придает глубину и пейзажам: сделайте передний план теплее, задний холоднее.

Важное исключение из раздельного тонирования: на восходе и закате, удаленный фон вовсе не холодный, а теплый, с желтыми и красно-оранжевыми тонами. Очевидное решение — использовать белокожую модель в фиолетовом купальнике — не работает, потому что закатный свет наносит теплый оттенок и на тело модели.

Обобщим: для придания фотографии трехмерности на основе атмосферных эффектов, необходимо противопоставить передний и задний планы. Основное противопоставление — по обычному контрасту: передний план контрастный, задний — слабоконтрастный. Второе противопоставление — по резкости: передний план резкий, задний — размытый. Третье противопоставление — по светлости: передний план темный, задний — светлый. Четвертое противопоставление — по насыщенности: цвета переднего плана насыщены, заднего — десатурированы. Пятое противопоставление — по температуре: передний план теплый, задний — холодный.

Перечисленные факторы нередко разнонаправленны. Желтый цвет ярче синего, а светлые предметы кажутся дальше темных. Естественно было бы ожидать, что желтый цвет отступает, а синий — приближается к зрителю. На самом деле, наоборот: теплый цвет выступает из холодного фона. То есть, цвет оказывается более сильным фактором, чем яркость. Что, по размышлении, и не удивительно: желтый и красный хорошо различимы только вблизи, и зритель не ожидает их встретить на большом расстоянии.

Итог: удерживайте задний план низкоконтрастным, размытым, светлым, десатурированным, синеватым. И будьте готовы к тому, что зритель, привыкший к гипертрофированному 3D кинофильмов, сочтет созданную вами трехмерность едва заметной или отсутствующей.

В портретной съемке, лучше полагаться на проверенный эффект chiaroscuro — игру светотени на лице модели, которая сделает изображение достаточно выпуклым. В жанровой съемке, перспектива дает наиболее заметный эффект трехмерности. В натюрморте, основным фактором будет пересечение (наложение) предметов.

Не увлекайтесь перспективой; она лишь фон для фронтальной плоскости, на которой трепещет ваше изображение. В современной живописи, далекой от реализма, перспектива не в почете.

Скачать книгу целиком: pdfepubazw3mobifb2litОглавление

τέσσαρες ἀκτίνες - четыре луча) - 4-мерный Гиперкуб - аналог в 4-мерном пространстве.

Изображение является проекцией () четырехмерного куба на трехмерное пространство.

Обобщение куба на случаи с числом измерений, большим, чем 3, называется гиперкубом или (en:measure polytopes). Формально гиперкуб определяется как четырёх равных отрезков.

Данная статья в основном описывает 4-мерный гиперкуб , называемый тессеракт .

Популярное описание

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из нашего трёхмерного .

В одномерном «пространстве» - на линии - выделим АВ длиной L. На двумерной на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат ABCD. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трехмерный куб ABCDHEFG. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трем!) на расстояние L, мы получим гиперкуб.

Одномерный отрезок АВ служит гранью двумерного квадрата ABCD, квадрат - стороной куба ABCDHEFG, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат - четыре вершины, куб - восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра - по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и еще 8 ребер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и еще четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани - 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его ребер.

Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб . Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.

Возьмем проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями - боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» - трёхмерные грани - будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в четвёртом измерении. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Ее часть, оставшаяся в «нашем» пространстве, нарисована сплошными линиями, а то, что ушло в гиперпространство, пунктирными. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав восемь граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру - развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс еще один - грань, ей противоположную. А трёхмерная развертка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного - конечной «гиперграни».

Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в 4-мерное пространство, представленных в нижеследующей таблице.

Если вы поклонник фильмов про Мстителей, первое, что может прийти вам на ум, когда вы услышите слово «Tesseract», это прозрачный кубообразный сосуд Камня бесконечности, содержащий безграничную силу.

Для поклонников Вселенной Marvel Тессеракт — это светящийся синий куб, от которого люди с не только Земли, но и других планет тоже сходят с ума. Вот почему все Мстители объединились, чтобы защитить Землян от чрезвычайно разрушительных сил Тессеракта.

Однако нужно сказать следующее: Тессеракт — это фактическое геометрическое понятие, а точнее, форма, существующая в 4D. Это не просто синий куб от Мстителей … это реальная концепция.

Тессеракт — это объект в 4 измерениях. Но прежде чем мы подробно объясним его, давайте начнем с самого начала.

Что такое «измерение»?

Каждый человек слышал термины 2D и 3D, представляя соответственно двумерные или трехмерные объекты пространства. Но что представляют собой эти измерения?

Измерение — это просто направление, в котором вы можете пойти. Например, если вы рисуете линию на листе бумаги, вы можете идти либо влево / вправо (по оси x), либо в направлении вверх / вниз (ось y). Таким образом, мы говорим, что бумага двумерна, так как вы можете идти только в двух направлениях.

В 3D есть ощущение глубины.

Теперь, в реальном мире, помимо упомянутых выше двух направлений (слева / справа и вверх / вниз), вы также можете пойти «в / из». Следовательно, в 3D-пространстве добавляется ощущение глубины. Поэтому мы говорим, что реальная жизнь 3-мерная.

Точка может представлять 0 измерений (поскольку она не перемещается в любом направлении), линия представляет 1 измерение (длина), квадрат представляет 2 измерения (длина и ширина), а куб представляет 3 измерения (длина, ширина и высота).

Возьмите 3D-куб и замените каждую его грань (которая в настоящее время является квадратом) кубом. И вот! Форма, которую вы получаете, — это и есть тессеракт.

Что такое тессеракт?

Проще говоря, тессеракт — это куб в 4-мерном пространстве. Вы также можете сказать, что это 4D-аналог куба. Это 4D-форма, где каждая грань является кубом.

3D-проекция тессеракта, выполняющая двойное вращение вокруг двух ортогональных плоскостей.
Изображение: Jason Hise

Вот простой способ концептуализации размеров: квадрат — двумерный; поэтому каждый из его углов имеет 2 линии, отходящих от него под углом 90 градусов друг к другу. Куб — 3D, поэтому каждый из его углов имеет 3 линии, сходящие с него. Аналогичным образом, тессеракт представляет собой 4D-форму, поэтому каждый угол имеет 4 линии, отходящих от него.

Почему трудно представить себе тессеракт?

Поскольку мы, как люди, эволюционировали, чтобы визуализировать объекты в трех измерениях, все, что входит в дополнительные измерения, такие как 4D, 5D, 6D и т. д., не имеет для нас большого смысла, потому что мы вообще не можем их представить. Наш мозг не может понять 4-го измерения в пространстве. Мы просто не можем об этом думать.

Однако только потому, что мы не можем визуализировать концепцию многомерных пространств, это не значит, что она не может существовать.