Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

100 р бонус за первый заказ

Выберите тип работы Дипломная работа Курсовая работа Реферат Магистерская диссертация Отчёт по практике Статья Доклад Рецензия Контрольная работа Монография Решение задач Бизнес-план Ответы на вопросы Творческая работа Эссе Чертёж Сочинения Перевод Презентации Набор текста Другое Повышение уникальности текста Кандидатская диссертация Лабораторная работа Помощь on-line

Узнать цену

Необходимые элементы любого молекулярного вектора.

Молекулярный вектор должен обладать:

(1) участком, определяющей начало репликации;

(2) сайтом для встройки чужеродной ДНК;

(3) селективным маркером.

In molecular biology, a vector is a DNA molecule used as a vehicle to transfer foreign genetic material into another cell. The four major types of vectors are plasmids, viral vectors, cosmids, and artificial chromosomes. Common to all engineered vectors are (1) an origin of replication, (2) a multicloning site, and (3) a selectable marker. A multiple cloning site (MCS ), also called a polylinker , is a short segment of DNA which contains many (up to ~20) restriction sites - a standard feature of engineered plasmids. MCSs let a biologist insert a piece of DNA or several pieces of DNA into the region of the MCS.

Необходимые свойства клонирующих векторов:

(1) вектор должен нести нуклеотидную последовательность (или последовательности), которые отвечает за автономную репликацию данной молекулы в определенном типе клеток;

(2) не должен терять репликативных свойств даже при встройке чужеродного фрагмента ДНК;

(3) должен иметь как можно малое число мест расщепления определенной рестриктазой, лучше один сайт, или локус рестрикции;

(4) должен содержать 1 или несколько генетических маркеров, по которому может быть произведен отбор клонов; т.е. если вектор успешно внедрился в клетку (существует определенный процент успеха), эту клетку (или группу клеток) необходимо отобрать по хорошо различимому признаку и размножить, и таким путем произвести молекулярное клонирование;

(4) должен реплицироваться с образованием повышенного числа копий в клетке.

Необходимые свойства вирусного вектора . Key properties of a viral vector. Viral vectors are tailored to their specific applications but generally share a few key properties:

(1) Безопасность - Safety : Although viral vectors are occasionally created from pathogenic viruses, they are modified in such a way as to minimize the risk of handling them. This usually involves the deletion of a part of the viral genome critical for viral replication. Such a virus can efficiently infect cells but, once the infection has taken place, requires a helper virus to provide the missing proteins for production of new virions.

(2) Низкая патогенность - Low toxicity : The viral vector should have a minimal effect on the physiology of the cell it infects.

(3) Стабильность - Stability : Some viruses are genetically unstable and can rapidly rearrange their genomes. This is detrimental to predictability and reproducibility of the work conducted using a viral vector and is avoided in their design.

(4) Клеточная специфичность - Cell type specificity : Most viral vectors are engineered to infect as wide a range of cell types as possible. However, sometimes the opposite is preferred. The viral receptor can be modified to target the virus to a specific kind of cell. Viruses modified in this manner are said to be pseudotyped.

(5) Идентификация - Identification : Viral vectors are often given certain genes that help identify which cells took up the viral genes. These genes are called Markers, a common marker is antibiotic resistance to a certain antibiotic. The cells can then be isolated easily as those that have not taken up the viral vector genes do not have antibiotic resistance and so cannot grow in a culture with antibiotics present.

Геометрическим вектором называют направленный отрезок. Для описания векторов используют обозначения ; .

Длиной вектора называют расстояние между начальной точкой и точкой конца вектора. Длину вектора будем обозначать , или просто АВ, а.

Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают. Такой вектор не имеет направления, его длина равна нулю, обозначают его как .

Векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначают это как .

Векторы называют компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Два вектора называют равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

Свободным называют вектор, который можно перемещать в пространстве параллельно его направлению.

Отметим, что для свободного вектора его начало можно совмещать с любой точкой пространства.

В дальнейшем будем иметь дело лишь со свободными векторами.

Линейные операции над векторами и их свойства

Линейными операциями над векторами являются сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух геометрических векторов и называется вектор , который можно построить или по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

1.По правилу треугольника

Параллельным переносом совместим конец вектора с началом вектора . Тогда суммой + будем называть вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора .

2. По правилу параллелограмма

Параллельным переносом совместим начало вектора и начало вектора . Достроим параллелограмм на концах векторов. Суммой векторов и будем называть вектор , являющийся диагональю параллелограмма, начало которого совпадает с началом векторов и .

Свойства сложения векторов.

1. Коммутативность

2.Ассоциативность

3.Существование нулевого вектора такого, что

4. Для любого вектора существует противоположный вектор ()такой, что

С помощью свойств сложения векторов также можно доказать, что для любых векторов и существует такой вектор , который, будучи сложен с , даст вектор .

Такой вектор называют геометрической разностью векторов и :

Произведением вектора на вещественное число называется вектор , имеющий длину, равную произведению чисел и направление, совпадающее с направлением вектора , если , и противоположное, если .

Свойства произведения вектора на число.

5. Ассоциативность сомножителей

6. Дистрибутивность суммы векторов относительно умножения на вещественное число

7. Дистрибутивность относительно суммы чисел

8. Существование числа 1, не меняющего вектора при умножении

Все восемь свойств линейных операций получены из геометрических свойств векторов.

Можно поступить иначе. Положить эти восемь свойств в основу определения векторов.

Определение.

Любая совокупность объектов, для которых введено соотношение равенства, а также операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие свойствам 1-8, называется линейным векторным пространством.

Элементы такого пространства называют векторами или точками этого пространства.

Примеры линейных векторных пространств

1. Множество всех геометрических векторов.

2. Множество всех вещественных чисел. Обозначим его или .

3. Множество всевозможных пар вещественных чисел. Обозначим его .

Пусть = и = – элементы этого множества. Будем называть числа и координатами векторов и . Векторы и считаются равными, если равны их координаты, т.е. и

Суммой векторов и будем называть вектор , имеющий координаты и .

При таком введении линейных операций выполняются все свойства 1-8 и пространство можно считать линейным векторным пространством.

4. Множество всевозможных наборов из n вещественных чисел. Будем обозначать это множество . Элементами этого множества являются наборы из чисел.

10.Скалярное произведение векторов и его свойства

В качестве нелинейных операций над векторами рассмотрим скалярное произведение и векторное произведение, наиболее часто встречающиеся в приложениях.

Углом между двумя векторами будем называть угол, который не превосходит p.

Угол между векторами будем обозначать

Скалярным произведением двух геометрических векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Если ,то ,т.к. ,

если ,то ,т.к. ,

если ,то ,т.к. .

а)Ортогональной проекцией вектора на направление, задаваемое вектором , будем называть число

б) Аналогично число = является ортогональной проекцией вектора на направление .

Из определения скалярного произведения следует, что

Следствие.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны (угол между ними равен ).

Свойства скалярного произведения.

Коммутативность

1) Ассоциативность

2) Дистрибутивность относительно суммы векторов

4) , если и , если

Свойства 1-4 доказываются исходя из геометрических свойств векторов.

Угол между векторами.

Зная длины векторов и их скалярное произведение можно найти угол между векторами. Действительно, т.к. , то

11. Векторное произведение и его свойства , вычисление через координаты

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор (обозначим его ), удовлетворяющий следующим условиям.

Определение: Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор , такой что

Свойства векторного произведения:

Утверждение 2: В декартовой системе координат (базис i , j , k ), a={x 1 , y 1 , z 1 }, b={x 2 , y 2 , z 2 }

=> [a ,b ] =

=

12. Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и c называется число , т.ч. =(,c).

Утверждение: =V a , b , c , если a,b,c – правая тройка, или = -V a , b , c , если a,b,c – левая тройка. Здесь V a , b , c – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c. (Если a, b и c компланарны, то V a , b , c =0.)

Утверждение: В декартовой системе координат, если a={x 1 , y 1 , z 1 }, b={x 2 , y 2 , z 2 },

с={x 3 , y 3 , z 3 }, => = .

Направление деятельности российского торгового бренда Vector сосредоточено на производстве и поставке портативных и автомобильных радиостанций, антенн, репитеров сотового GSM сигнала. За годы кропотливой работы, специалистам компании Vector удалось создать модельный ряд безлицензионных радиостанций в котором каждый пользователь, независимо от сферы деятельности, сможет выбрать радиостанции максимально удовлетворяющие его потребностям.

Краткая история Vector

2004 - появляется первая радиостанция Vector - модель VT-43, и её модифицированная версия VectorVT-43 H. Модель сразу же обретает славу пользователей за надежность и неприхотливость и становится бестселлером. Окрыленная успехом, компания выводит на рынок радиостанции: Vector VT-45, Vector VT-45 Watch, Vector VT-46 Privat, VectorVT-46 H, Vector VT-46 Flip и Vector VT-46 Connect. Эти радиостанции не получили широкого распространения, но помогли компании досконально изучить потребности рынка.

2005 - появляются радиостанции , и её аналог, в профессиональном исполнении - Vector VT-44 PRO. О надежности радиостанций, на сегодняшний день, ходит много легенд у пользователей, а, о сервисных скрытых возможностях у профессионалов. Примечателен тот факт, что к нам приходят клиенты с радиостанциями самых первых выпусков за новыми аккумуляторами и антеннами. Сам парк радиостанций многие пользователи не обновляют до сих пор. и Vector VT-44 PRO, производятся на одном из ведущих предприятий отрасли, в Южной Корее. Радиостанции и Vector VT-44 PRO не являются бюджетным решением, но сочетая в себе все необходимые функциональные возможности и надежность, сопоставимую с лучшими профессиональными радиостанциями, пользуются заслуженным спросом у клиентов, где отказ оборудования связи во время производственного процесса, недопустим.

2006 – Компания выводит, на рынок, GSM ретрансляторы Vector R-600 и Vector R-700. Ретрансляторы зарекомендовали себя как надежные, простые и незаменимые устройства, в условиях, когда сигнал от БС сотового оператора не достаточен для нормального функционирования телефонов. На сегодняшний день доступны их модифицированные версии - и . Основное отличие обновленных ретрансляторов в возможности регулирования уровня сигналов UpLink и DownLink. Модельный ряд расширен автомобильной моделью Vector R-400 и ретранслятором на диапазон 1800 МГц – Vector R-6200D.

2007 - появляется - безлицензионная радиостанция LPD диапазона с реализованной функцией клонирования по эфиру, что очень необычно, для бюджетных радиостанций. По настоящее время радиостанция пользуется большим спросом у многих пользователей.

2008 - появление первой радиостанции, бренда Vector, на VHFдиапазон (136-174 МГц) – Vector VT-44 H # V. С 2008 года, под брендом Vector, компания начинает поставлять радиостанции диапазона 27 МГц (Си-Би) и недорогое антенно-фидерное оборудование. Модели радиостанций, на 27 МГц: , и , на протяжении нескольких лет, пользуются повышенным спросом у водителей грузовых и легковых автомобилей.

2009 - компания выводит на рынок Vector VT-44 STD - простое управление, крепкий корпус и не высокая цена делают модель одной из лучших, для клиентов, нуждающихся в ежедневной эксплуатации радиостанций, в тяжелых условиях.

2010 – появление Vector VT-44 Combat, это одна из первых радиостанций на российском рынке, с опциональной возможностью использования беспроводных гарнитур Bluetooth. Стремясь занять прочную нишу среди, бюджетного LPD/PMR оборудования для корпоративного сектора, компания выводит на рынок модели: Vector VT-47 Pilot, Vector VT-47 Ultra и Vector VT-47 Sport.

2012 – на базе, хорошо зарекомендовавшей модели, Vector VT-44 H, появляется радиостанция речного диапазона (300,0125-300,5125 МГц и 336,0125-336,5125 МГц), предназначенная для связи на внутренних водных путях - Vector VT-44 H River. Радиостанция Vector VT-44 H River поставляется с предустановленными каналами, выделенными для связи с судами и береговыми службами.

2013 – компания выводит на рынок радиостанцию увеличенного радиуса действия . Небольшая цена, увеличенная мощность передатчика, большая емкость аккумулятора, алюминиевое шасси и выполненный из ударопрочного поликарбоната корпус обеспечили радиостанции высокую популярность на рынке.

2014 – появляются: 69-ти канальная радиостанция Vector VT-67 с управлением с клавиатуры и её аналог 16-ти канальная радиостанция, в профессиональном исполнении, . Эти компактные радиостанции имеют рейтинг по пылевлагозащите IP67, т.е. могут выдержать погружение в воду на глубину до одного метра, на протяжении получаса, без каких-либо негативных последствий. Эту особенность компания и отобразила в названии модели – Vector VT-67.

2016 – появляется, специально разработанная для силовых и охранных структур, радиостанция Vector VT-50 MTR. Прочный корпус и функции программирования мощности на каждом канале, запрет передачи на занятом канале, ограничения времени передачи, функция «одинокий сотрудник» и небольшая цена делают радиостанцию очень конкурентоспособной.

В конце 2016 года компания выводит на рынок новые модели:

Продолжение, ставшей легендарной в своё время, миниатюрной радиостанции VT-43 – новинка Vector VT-43 R3. Несмотря на компактные размеры, обладает выходной мощностью передатчика - 2 ватта. Аккумулятор радиостанции аналогичен стандартным аккумуляторам сотовых телефонов Нокия. Заряжать радиостанцию можно от USB порта компьютера, от сетевого адаптера или используя штатное зарядное устройство типа “стакан”.

Радиостанцию – редкое соотношение выходной мощности – 5Вт, ёмкого аккумулятора – 2300 мА/ч и умеренной цены.

Радиостанцию повышенной мощности Vector VT-80 ST (Super Turbo) – выходная мощность радиостанции 10 Вт. Ёмкость штатного аккумулятора 4200(!) мА/ч

Компания не забывает радовать своими новинками радиолюбителей – появилась новая недорогая, двухдиапазонная радиостанция Vector VT-43 H2.

Таким образом, каждый год, компания радует своих клиентов появлением новой продукции.

Переносные безлицензионные рации, LPD/PMR диапазонов Vector, по возможностям приближаются к профессиональным радиостанциям:
- имеют большое количество каналов памяти,
- режим сканирования,
- встроенный кодер/декодер CTCSS и DCS,
- цифровую регулировку уровня шумоподавителя,
- функцию разноса частот приема и передачи,
- звуковой индикатор разряда батареи,
- блокировку клавиатуры,
- встроенный шумоподавитель,
- скремблер,
- функцию уровней сохранения энергии и другие функции, присущие профессиональному оборудованию.

Автомобильные радиостанции Vector, на 27 МГц, заслуживают особого внимания за их функциональные возможности, интересный дизайн и надежность.

Радиостанции Vector, в нашем магазине, зарекомендовали себя одним из лучших товаров - так как, одним из конкурентных преимуществ нашей компании является тот факт, что срок ремонта, приобретенного у нас оборудования, не превышает 24 часа с момента обращения, нам нравится продавать рации Vector - мы их практически не видим в ремонте.

Приобрести или ознакомиться с продукцией Vector, вы можете в нашем магазине, по адресу: г. Красноярск, ул. Диксона, дом 1.

Заказать оборудование, с доставкой по всей России, можно воспользовавшись формой заказа на нашем сайте, либо по бесплатному телефону 8 800 500-22-06.

Одним из лучших российских представителей производительных комбайнов считается модель Вектор 410, которая создается уже несколько лет на известном заводе «Ростсельмаш». При выборе доступного и при этом надежного и эффективного комбайна покупатель сталкивается с большими трудностями, ведь зарубежные зерноуборочные комбайны хоть и отвечают нашим требованиям, но имеют немалую стоимость.

Комбайн Вектор 410 идеально подойдет для тех, кто желает не волноваться о регулярном обслуживании и дорогостоящей стоимости техники, при этом надежность и качество данной модели на высоком уровне. Бренд Ростсельмаш уже много лет является лучшим предприятием в России, выпускающим сельскохозяйственную технику, также находиться в числе лучших в мире.

Объемы выпущенных комбайнов просто поражают, цифра в 2,6 млн. единиц является крупнейшим в мире показателем. В качестве техники компании можно не сомневаться, производитель является частью множества компаний. Эти компании находятся в разных странах мира, поэтому бренд использует и делится разработками и регулярно улучшает свою продукцию.

Исходя из указанных характеристик модели Вектор 410, наиболее оптимальным применением станет небольшое поле, комбайна способен стабильно выдавать за сезон работы 750 Га. Техника отлично справляется с такими задачами как скашивание и обработка стеблей, после этого функции комбайна позволяют отделить зерно от всяческого мусора, которое после обработки выбрасывают в кузов грузовой машины. Отличная функциональность и уверенность в комбайне данной модели дает возможность представить технику как идеального помощника для малого и среднего сельскохозяйственного бизнеса.

Технические характеристики Вектор 410

Российский комбайн считается младшим братом не менее известного представителя Акрос. Именно поэтому комбайн позиционируется как однобарабанный, относиться к 4 классу. Модель 410 получила компактные размеры, современный двигатель и оборудование, которое используется на комбайне Акрос.

В основе модели Вектор 410 лежит неплохой 6-ти цилиндровый двигатель мощностью 210 л.с., двигатель от ЯМЗ. При пиковой нагрузке комбайн сможет выдать еще +20 % мощности. Множество новых узлов позволяет оптимизировать расход горючего, поэтому комбайн при баке на 540 литров быстро и недорого уберет поле средних размеров. Техника способна развить максимальную скорость в 25 км/час.

Модель комплектуется бункером с указанным объемом 6000 литров, встроенный соломотряс имеет размеры 5 кв.м, а молотилка получила неплохие габариты - ширина 1200 мм, диаметр равен отметке 800 мм. В зависимости от регулировки оборудования, ширина жаткозахватчика может быть 5, 6, 7 или 9 метров. Ширина подборщика одинаковая - 3,4 метра.

Подробный обзор комбайна

Характеристики комбайна Вектор 410 дают понять, что такая модель отлично справляется со своими обязанностями, техника способна даже работать в темное время суток. Для этого оснащается 6 галогенными лампами для эффективной подсветки рабочей зоны.

Для работы комбайн оборудуется универсальной жаткой, такой адаптер способен в зависимости от обрабатываемой зоны регулировать ширину захвата - 5,6,7 или 9 метров. Таким образом, выбрав оптимальную ширину захвата можно добиться полного сбора зерна без потерь. Механизм создан таким образом, что вне зависимости от наличия проблемных участков комбайн будет эффективно и равномерно подавать зерно. При желании к стандартной жатке производитель предлагает докупить тележку для транспортировки.

Трансмиссия

Учитывая сложность выполнения основных задач, большая часть комбайнов используют гидравлическую трансмиссию, поэтому Вектор 410 также получил современную гидравлику. Особенность такого решения в том, что жидкость позволяет уменьшить трение, из-за чего металлические детали прослужат дольше. Такая гидравлическая трансмиссия требует минимального обслуживания и поэтому ресурс работы намного выше обычных КПП.

Скорость регулируется в бесступенчатом варианте, отчего управлять комбайном будет на порядок проще. Оператор сможет выбрать и контролировать оптимальную скорость, поэтому производительность Вектор 410 отличная.

Кабина оператора

Внутри сделано все более чем качественно и удобно, работать на комбайне можно долгое время без особой усталости. Эффективность работы обусловлена отличным остеклением, отличный обзор помогает контролировать всю работу. Внутри кабины устанавливается современная система кондиционирования, поэтому температура всегда контролируется на оптимальном уровне.

Особенностью кабины также можно назвать процесс подрессоривания кабины, что способствует гашению вибрации внутри. Разумеется, шумоизоляция на порядок лучше. Водительское сиденье комфортное, с регулировкой. Интересной особенностью можно назвать наличие в кабине аудиоподготовки, производитель сделал все для эффективной и длительной работы оператора.

Гидравлическая система

Гидравлика комбайна представлена 3 насосами, они выглядят как 1 основной блок. Такое решение позволяет владельцу использовать одну гидравлическую жидкость, для этого в комбайне предусмотрен один бак. При сильной нагрузке можно не волноваться о работе гидросистемы, предусмотрена безопасная работа на пиковых мощностях.

На основе гидравлической системы создано множество полезных функций, например гидравликой управляется трансмиссия, рулевая часть, гидравлика увеличивает размер бункера до 6 кв.м. В российском комбайне также используется система копирования поля на гидравлической основе, поэтому даже при неровном и сложном поле техника отлично справиться с задачей.

Особенности комбайна

Уже в базовом исполнении текущее оборудование может предложить отличную производительность и комфорт. При желании можно доработать комбайн дополнительными опциями. Если нужно доработать двигатель, в него можно установить воздушный компрессор, среди новых технологий можно применить систему слежения за расходом топлива.

Для лучшего передвижения можно опциально заказать Вектор 410 с полным приводом, есть возможность использования съемного полугусеничного хода. Такое оборудование как молотилка можно укомплектовать системой для смазки в автоматическом режиме.

Расход топлива

При покупке комбайна для небольших полей покупатели обращают внимание на расход горючего, в данной модели он сведен к минимальному показателю. Бесспорно, комбайна Вектор 410 можно назвать экономичным, по сравнению с конкурентами это идеальная модель. Указанный производителем расход горючего составляет 18-25 литра солярки за 1 тонну обработанного зерна.

Если учесть, что в конструкции предполагается топливный бак на 540 литров, комбайн на полном баке солярки способен работать около 16 часов. При этом не нужно останавливаться и делать дозаправки. Для быстрого обслуживания производитель предусмотрел расположение двигателя на задней части комбайна.

Цена комбайна Вектор 410

Учитывая, что техника российского производства, ее стоимость будет немного дешевле дорогих зарубежных конкурентов. Но дешевый комбайн ожидать не стоит, за качество и комфорт придется заплатить. Например, подержанные образцы комбайна Вектор 410 в отличном состоянии обойдутся по цене от 1,7 до 25 млн. рублей. Актуальные цены на новые экземпляры нужно уточнять у производителя, многие комбайны делаются на заказ.

Видео

В этой статье мы рассмотрим операции, которые можно производить с векторами на плоскости и в пространстве. Далее мы перечислим свойства операций над векторами и обоснуем их с помощью геометрических простроений. Также покажем применение свойств операций над векторами при упрощении выражений, содержащих векторы.

Для более качественного усвоения материала рекомендуем освежить в памяти понятия, данные в статье векторы - основные определения .

Навигация по странице.

Операция сложения двух векторов - правило треугольника.

Покажем как происходит сложение двух векторов .

Сложение векторов и происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладываеься вектор , равный , и вектор представляет собой сумму векторов и . Такой способ сложения двух векторов называется правилом треугольника .

Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.

А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.

Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.

Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точка B - это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих векторов будет вектор .

Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника . Приведем иллюстрацию правила многоугольника.

Абсолютно аналогично производится сложение нескольких векторов в пространстве.

Операция умножения вектора на число.

Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число .

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в раз при 0 < k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

К примеру, при умножении вектора на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

Свойства операций над векторами.

Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами . Некоторые из них очевидны.

Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.

Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов и есть сумма векторов и .

Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.

Разберем на примере.