Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят об автокорреляции остатков.

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

• 1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.
• 2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:

• 1) построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.
• 2) использование критерия Дарбина -- Уотсона и расчет величины:

Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина -- Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках.

Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина -- Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости б . По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

есть положительная автокорреляция. Принимается гипотеза H1 с вероятностью (1- б ).

зона неопределенности.

автокорреляция остатков нет.

зона неопределенности.

есть отрицательная автокорреляция. Принимается гипотеза H1* с вероятностью (1-б).

Если фактическое значение критерия Дарбина -- Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Hо.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина -- Уотсона:

• 1. Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т.е. к моделям авторегрессии.
• 2. Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.
• 3. Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

Автокорреляция остатков обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. Поэтому в дальнейших выкладках вместо символа i используется символ t, отражающий момент наблюдения, объем выборки при этом будем обозначать символом T. В экономических задачах значительно чаще встречается так называемая положительная автокорреляция (), нежели отрицательная автокорреляция ().

В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.

Последствия автокорреляции в определенной степени сходны с последствиями гетероскедастичности. Среди них при применении МНК обычно выделяют следующие:

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными. Следовательно, они перестают обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок (BLUE-оценок).

2. Дисперсии оценок являются смещенными. Часто дисперсии, вычисляемые по стандартным формулам, являются заниженными, что влечет за собой увеличение -статистик. Это может привести к признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые в действительности таковыми могут и не являться.

3. Оценка дисперсии регрессии является смещенной оценкой истинного значения , во многих случаях занижая его.

4. В силу вышесказанного выводы по - и -статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными. Вследствие этого ухудшаются прогнозные качества модели.

В силу неизвестности значений параметров уравнения регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений . Поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок , полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

1) Графический метод.

Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них, увязывающий отклонения с моментами их получения (их порядковыми номерами ), приведен на рис. 5.5. Это так называемые последовательно-временные графики. В этом случае по оси абсцисс обычно откладываются либо время (момент) получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения (либо оценки отклонений ).

Рис. 5. 5

Естественно предположить, что на рис. 5.5, а-г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. 5.5,д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

Например, на рис. 5.5,б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место положительная автокорреляция остатков. Она становится весьма наглядной, если график 5.5,б дополнить графиком зависимости от (рис. 5.6).

Рис. 5. 6

Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.

Следует заметить, что в современных компьютерных прикладных программах для решения задач по эконометрике аналитическое выражение регрессии дополняется графическим представлением результатов. На график реальных колебаний зависимой переменной накладывается график колебаний переменной по уравнению регрессии. Сопоставив эти два графика, можно выдвинуть гипотезу о наличии автокорреляции остатков. Если эти графики пересекаются редко, то можно предположить наличие положительной автокорреляции остатков.

2) метод рядов.

Этот метод достаточно прост: последовательно определяются знаки отклонений . Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),

т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда .

Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений , то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком мало, то вероятна отрицательная автокорреляция. Для более детального анализа предлагается следующая процедура. Пусть

– объем выборки;

– общее количество знаков «+» при наблюдениях (количество положительных отклонений );

– общее количество знаков «-» при наблюдениях (количество положительных отклонений );

– количество рядов.

При достаточно большом количестве наблюдений () и отсутствии автокорреляции СВ имеет асимптотически нормальное распределение с

Тогда, если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Для небольшого числа наблюдений () Свед и Эйзенхарт разработали таблицы критических значений количества рядов при наблюдениях. Суть таблиц в следующем.

На пересечении строки и столбца определяются нижнее и верхнее значения при уровне значимости .

При установлении автокорреляции необходимо в первую очередь

проанализировать правильность спецификации модели.Если после ряда

усовершенсвований регрессии автокорреляция по-прежнему имеет место, то возможны определенные преобразования, устраняющие автокорреляцию. Среди них выделяется авторегрессионная схема первого порядка AR(1).

Контрольные вопросы:

1. В чем суть гетероскедастичности?

2. Приведите аргументы в пользу графического теста, теста Парка и теста Глейзера.

3. Приведите схему теста Голдфельда-Квандта.

4. В чем суть метода взвешенных наименьших квадратов (ВНК)?

5. Что такое автокорреляция?

6. Назовите основные причины автокорреляции.

7. Перечислите основные методы обнаружения автокорреляции.

8. Каковы последствия автокорреляции?

Введение

1. Суть и причины автокорреляции

2. Обнаружение автокорреляции

3. Последствия автокорреляции

4. Методы устранения

4.1 Определение

на основе статистики Дарбина-Уотсона

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов. Применение традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа для изучения причинно-следственных зависимостей переменных, представленных в форме временных рядов, может привести к ряду серьезных проблем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе анализа эконометрических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании.

Предполагается, что в общем случае каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию (Т), циклические или сезонные колебания (S) и случайную компоненту (E). Если временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна. Устранение сезонной компоненты из уровней временных рядов можно проводить в соответствии с методикой построения аддитивной и мультипликативной моделей. Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент корреляции по абсолютной величине будет высоким, что в данном случае есть результат того, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде. Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков

за текущий и предыдущие моменты времени, которая получила название «автокорреляция в остатках».

1.Суть и причины автокорреляции

Автокорреляция - это взаимосвязь последовательных элементов временного или пространственного ряда данных. В эконометрических исследованиях часто возникают и такие ситуации, когда дисперсия остатков постоянная, но наблюдается их ковариация. Это явление называют автокорреляцией остатков.

Автокорреляция остатков чаще всего наблюдается тогда, когда эконометрическая модель строится на основе временных рядов. Если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков. Автокорреляция может быть также следствием ошибочной спецификации эконометрической модели. Кроме того, наличие автокорреляции остатков может означать, что необходимо ввести в модель новую независимую переменную.

Автокорреляция в остатках есть нарушение одной из основных предпосылок МНК – предпосылки о случайности остатков, полученных по уравнению регрессии. Один из возможных путей решения этой проблемы состоит в применении к оценке параметров модели обобщенного МНК.

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.

Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т.п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а следовательно, цена на нее снизится и т.д.

Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции.

2.Обнаружение автокорреляции

В силу неизвестности значений параметров уравнения регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений

,t=1,2…T. Поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок ,t=1,2…T, полученные из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

2.1.Графический метод

Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них, указывающий отклонения

с моментами t их получении (их порядковыми номерами i), приведен на рис. 2.1.Это так называемые последовательно-временные графики. В этом случае по оси абсцисс обычно откладывают либо время (момент) получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат- отклонения (либо оценки отклонений )
Рис.2.1.

Естественно предположить, что на рис 2.1. а-г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

Например, на рис. 2.1.б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости.

2.2. Метод рядов

Этот метод достаточно прост: последовательно определяются знаки отклонений

,t=1,2…T. Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),

Т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция.

2.3 Критерий Дарбина-Уотсона

Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина- Уотсона и расчет величины

(2.3.1)

Согласно (2.3.1) величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F- критериев.

Задание . Приведены данные за 15 лет по темпам прироста заработной платы Y(%), производительности труда X 1 (%), а также по уровню инфляции X 1 (%).
Постройте уравнение линейной регрессии прироста заработной платы от производительности труда и уровня инфляции. Проверьте качество построенного уравнения регрессии с надежностью 0,95. Проведите проверку наличия в модели автокорреляции на уровне значимости 0,05.

Решение находим с помощью калькулятора .
Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:
Y = f(β , X) + ε
где X = X(X 1 , X 2 , ..., X m) - вектор независимых (объясняющих) переменных; β - вектор параметров (подлежащих определению); ε - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ... + β m X m + ε
β 0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные X j равны 0.

Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.
Предпосылки МНК.
1. Математическое ожидание случайного отклонения ε i равно 0 для всех наблюдений (M(ε i) = 0).
2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений ε i постоянна: D(ε i) = D(ε j) = S 2 для любых i и j.
3. отсутствие автокорреляции.
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Y eixi = 0.
5. Модель является линейное относительно параметров.
6. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.
7. Ошибки ε i имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b 0 + b 1 X 1 + b 1 X 1 + ... + b m X m + e
Здесь b 0 , b 1 , ..., b m - оценки теоретических значений β 0 , β 1 , β 2 , ..., β m коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок ε i , оценки b 0 , b 1 , ..., b m параметров β 0 , β 1 , β 2 , ..., β m множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
1. Оценка уравнения регрессии .
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:
s = (X T X) -1 X T Y
Матрица X

1	3.5	4.5
1	2.8	3
1	6.3	3.1
1	4.5	3.8
1	3.1	3.8
1	1.5	1.1
1	7.6	2.3
1	6.7	3.6
1	4.2	7.5
1	2.7	8
1	4.5	3.9
1	3.5	4.7
1	5	6.1
1	2.3	6.9
1	2.8	3.5

Матрица Y

9
6
8.9
9
7.1
3.2
6.5
9.1
14.6
11.9
9.2
8.8
12
12.5
5.7

Матрица X T

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
3.5	2.8	6.3	4.5	3.1	1.5	7.6	6.7	4.2	2.7	4.5	3.5	5	2.3	2.8
4.5	3	3.1	3.8	3.8	1.1	2.3	3.6	7.5	8	3.9	4.7	6.1	6.9	3.5

Умножаем матрицы, (X T X)

Находим обратную матрицу (X T X) -1

0.99	-0.12	-0.1
-0.12	0.0246	0.00393
-0.1	0.00393	0.0194

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
s = (X T X) -1 X T Y =

y(x) = 0,99 -0,12 -0,1 -0,12 0,0246 0,00393 -0,1 0,00393 0,0194 * 133,5 552,41 659,84 = 0,27 0,53 1,48

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
Y = 0.27 + 0.53X 1 + 1.48X 2
Проверка на наличие автокорреляции остатков .
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция , нежели отрицательная автокорреляция . В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию , можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности : выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.
Обнаружение автокорреляции
1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения ε i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения ε i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости ε i от ε i-1
2. Коэффициент автокорреляции .

Если коэффициент автокорреляции r ei 3. Критерий Дарбина-Уотсона .
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин e i .

y	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i - e i-1) 2
9	8.77	0.23	0.053	0
6	6.18	-0.18	0.0332	0.17
8.9	8.17	0.73	0.53	0.83
9	8.26	0.74	0.55	0.000109
7.1	7.52	-0.42	0.18	1.35
3.2	2.69	0.51	0.26	0.88
6.5	7.67	-1.17	1.37	2.83
9.1	9.12	-0.0203	0.000412	1.32
14.6	13.58	1.02	1.05	1.09
11.9	13.53	-1.63	2.65	7.03
9.2	8.41	0.79	0.63	5.86
8.8	9.07	-0.27	0.0706	1.12
12	11.93	0.0739	0.00546	0.12
12.5	11.69	0.81	0.66	0.54
5.7	6.92	-1.22	1.49	4.13
			9.53	27.27

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона :

DW = 27.27/9.53 = 2.86
Критические значения d 1 и d 2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 15 и количества объясняющих переменных m=1.
Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:
d 1 Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 2.5, то автокорреляция остатков присутствует .
Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
По таблице Дарбина-Уотсона для n=15 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d 1 = 1.08; d 2 = 1.36.
Поскольку 1.08 присутствует.

9.1 Сущность и причины автокорреляции в остатках

Автокорреляция в остатках обычно встречается при регрессионном анализе временных рядов, и почти не встречается при анализе пространственных выборок. Чаще встречается положительная автокорреляция. Она в большинстве случаев вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов. При положительной автокорреляции остатки изменяются монотонно с течением времени наблюдения, а при отрицательной – следует частое изменение знака остатка.

Среди базовых причин автокорреляции можно выделить следующие:

а) ошибки спецификации – неучет в модели какой-то важной объясняющей переменной или неверный выбор вида функции, что ведет к систематическим отклонениям точек наблюдения от линии регрессии,

б) инœерция – запаздывание реакции экономической системы на изменение факторов,

в) сглаживание данных.

Последствия автокорреляции в остатках такие же, как и в случае гетероскедастичности (потеря эффективности, смещение дисперсий оценок параметров, занижение стандартных ошибок и завышение t –статистик параметров), а это может повлечь признание незначимых факторов значимыми. Вследствие перечисленных обстоятельств, прогнозные качества модели ухудшаются.

При анализе временных рядов вместо индекса i часто будем использовать время t , а вместо числа наблюдений n будем писать – продолжительность интервала наблюдения временного ряда.

Мы будем рассматривать автокорреляцию первого порядка, так как в большинстве практических случаев автокорреляционная функция быстро убывает.

Коэффициент автокорреляции 1-го порядка в остатках:

В случае если данный коэффициент корреляции существенно отличен от 0, то можно говорить о наличии автокорреляции.

9.2. Обнаружение автокорреляции в остатках

1. Графический метод – при использовании этого метода строится график: ε t есть функция от ε t – 1 . В случае если в графике прослеживается отчетливая положительная или отрицательная тенденция, то, скорее всœего, имеет место соответствующая автокорреляция в остатках.

2. Метод рядов

В моменты времени определяются знаки отклонений, к примеру:

– для 20-ти наблюдений.

Рядом называют непрерывную последовательность одинаковых знаков (ряд ограничен скобками, в примере приведено 5 рядов). Количество знаков называют длиной ряда. В случае если рядов мало по сравнению с числом наблюдений, то вполне вероятна положительная автокорреляция, в случае если рядов много, – то отрицательная.

Для более детального анализа используется следующая процедура:

Пусть - число знаков ʼʼ+ʼʼ,

Число знаков ʼʼ–ʼʼ,

Количество рядов.

При достаточном количестве наблюдений и при отсутствии автокорреляции в остатках случайная величина имеет асимптотически нормальное распределœение со следующими параметрами:

Тогда, в случае если k лежит внутри интервала

то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется; если лежит левее данного интервала, то есть положительная автокорреляция, а если правее – то отрицательная автокорреляция. Здесь γ – уровень значимости гипотезы об отсутствии автокорреляции. Стоит сказать, что для небольших и существует таблица Сведа–Эйзенхарта͵ в которой по значениям и находятся и .

В случае если k 1 < k < k 2 , то автокорреляция отсутствует, в случае если k < k 1 – есть положительная автокорреляция, в случае если k > k 2 – есть отрицательная автокорреляция.

3. Тест Дарбина-Уотсона (DW ). Это – самый популярный тест: ─ критерий Дарбина – Уотсона.

Установим связь между этим критерием и коэффициентом корреляции:

учитывая, что и , получим:

Процедура обнаружения автокорреляции по критерию DW такова:

1. Вычисляется критерий DW , для чего должна быть выполнена регрессия y на x и определœены остатки. Далее выдвигается гипотезаоб отсутствии автокорреляции в остатках.

2. По таблице критических значений теста Дарбина–Уотсона для назначенного уровня значимости γ , числа наблюдений n и числа факторов p определяются верхняя du и нижняя dl критические точки

3. Строятся области: I–от 0 до dl ; II–от dl до du; III–от du до 4–du ; IV– от 4–ul до 4–dl и V–от 4–dl до 4.

Это поясняется табл. 9.1.

таблица 9.1

При использовании критерия следует учитывать следующие ограничения:

а) он применим лишь для модели с ненулевым свободным членом,

в) временной ряд должен иметь одинаковую периодичность, то есть не должно быть пропусков наблюдений,

где - коэффициент авторегрессии, - количество наблюдений, – дисперсия коэффициента c 1 в уравнении авторегрессии y t = a + bx t + c 1 y t - 1 +…+ ε t , c 1 – коэффициент при в упомянутом уравнении.

Как использовать h – статистику?

Стоит сказать, что для назначенного уровня значимости γ выдвигают гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, ᴛ.ᴇ. полагают, что в модели AR(1) остатков и статистика h имеет стандартное нормальное распределœение: .

По таблице функции Лапласа определяют критическую точку такую, что . В случае если , то отклоняется. В противном случае не отклоняется и автокорреляция не признается.

9.3. Методы устранения автокорреляции

1.Обобщенный МНК (ОМНК)

Рассмотрим исходную модель в моменты времени t и t –1:

– есть случайная величина, так как и – случайные величины,

Так как и .

Остаток не коррелирует ни с одним регрессором, следовательно, можно применить классический МНК. Оценка параметра b вычисляется непосредственно, а оценка параметра a вычисляется так: .

ОМНК может применяться для данных, начиная с момента , ᴛ.ᴇ. первое наблюдение теряется; его можно восстановить для и , используя поправку Прайса–Уинстена.