3) P (Æ )=0.

Будем говорить, что задано вероятностное пространство , если задано пространство элементарных исходов9 и определено соответствие

w i ® P(w i ) =Pi .

Возникает вопрос: как определить из конкретных условий решаемой задачи вероятность P (w i ) отдельных элементарных исходов?

Классическое определение вероятности.

Вычислять вероятности P (w i ) можно, используя априорный подход, который заключается в анализе специфических условий данного эксперимента (до проведения самого эксперимента).

Возможна ситуация, когда пространство элементарных исходов состоит из конечного числа N элементарных исходов, причем случайный эксперимент таков, что вероятности осуществления каждого из этихN элементарных исходов представляются равными.Примеры таких случайных экспериментов: подбрасывание симметричной монеты, бросание правильной игральной кости, случайное извлечение игральной карты из перетасованной колоды. В силу введенной аксиомы вероятности каждого элементарного

исхода в этом случае равны N . Из этого следует, что если событиеА содержитN A элементарных исходов, то в соответствии с определением (*)

P(A) = A

В данном классе ситуаций вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

Пример . Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные?

Прежде всего отметим, что выбор любой пятерки ламп имеет одну и ту же вероятность. Всего существует C 10 5 способов составить такую пятерку, то есть случайный эксперимент в данном случае имеетC 10 5 равновероятных исходов.

Сколько из этих исходов удовлетворяют условию "в пятерке две бракованные лампы", то есть сколько исходов принадлежат интересующему нас событию?

Каждую интересующую нас пятерку можно составить так: выбрать две бракованные лампы, что можно сделать числом способов, равным C 4 2 . Каждая пара бракованных ламп может встретиться столько раз, сколькими способами ее можно дополнить тремя не бракованными лампами, то естьÑ 6 3 раз. Получается, что число пятерок, содержащих две

Статистическое определение вероятности.

Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость более часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n -достаточно большое число, скажемn =1000 илиn =5000), подсчитать число выпадений трех очковn 3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равнойn 3 /n - относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов - единицы, двойки, четверки и т.д. Теоретически такой образ действий можно оправдать, если ввестистатистическое определение вероятности .

Вероятность P(M i ) определяется как предел относительной частоты появления исходаM i в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментовn , то есть

P i = P (M i ) = lim m n (M i ) , n ®¥n

где m n (M i ) – число случайных экспериментов (из общего числаn произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исходаM i .

Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем только надеяться, что предел в последней формуле существует, обосновывая надежду жизненным опытом и интуицией.

Геометрическая вероятность

В одном специальном случае дадим определение вероятности события для случайного эксперимента с несчетным множеством исходов.

Если между множеством W элементарных исходов случайного эксперимента и множеством точек некоторой плоской фигурыS (сигма большая) можно установить взаимно-однозначное соответствие, а также можо установить взаимно-однозначное соответствие между множеством элементарных исходов, благоприятствующих событиюА , и множеством точек плоской фигурыI (сигма малая), являющейся частью фигурыS , то

P(A) = S ,

где s - площадь фигурыs ,S - площадь фигурыS .

Пример. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x - время прихода первого в столовую, аy - время прихода второго

12 £ x £ 13; 12 £y £ 13.

Можно установить взаимно-однозначное соответствие между всеми парами чисел (x ;y ) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата со стороной, равной 1, на координатной плоскости, где начало координат соответствует числу 12 по осиX и по осиY , как изображено на рисунке 6. Здесь, например, точкаА соответствует исходу, заключающемуся в том, что первый пришел в 12.30, а второй - в 13.00. В этом случае, очевидно,

Непрерывное вероятностное пространство.

Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). В этом случае нельзя считать любое подмножество множества W событием.

Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств A 1 , A 2 ,... A n пространства элементарных исходовW .

В случае выполнения трех условий: 1) W принадлежит этой системе;

2) из принадлежности А этой системе следует принадлежностьA этой системе;

3) из принадлежностиA i иA j этой системе следует принадлежностьA i U A j этой

системе такая система подмножеств называется алгеброй.

Пусть W - некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системып одмножеств:

1) W ,Æ ; 2)W ,А ,A ,Æ (здесьА - подмножествоW ) являются алгебрами.

Пусть A 1 иA 2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, чтоA 1 \A 2 иA 1 ∩ A 2 принадлежат этой алгебре.

Подмножество А несчетного множества элементарных исходов 9 является событием, если оно принадлежит некоторой алгебре.

Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.

Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы число P(А), называемое вероятностью событияА , причем функцияP(А) обладает следующими свойствами:

1) Р (9 )=1

2) если события A 1 ,A 2 ,...,A n несовместны, то

P (A 1 U A 2 U ... U A n ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) +... +P (A n )

Если задано пространство элементарных исходов W , алгебра событий и определенная на ней функцияР , удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, то говорят, что задановероятностное пространство .

Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай конечного пространства элементарных исходов W . Тогда в качестве алгебры можно взять систему всех подмножеств множестваW .

Формулы сложения вероятностей.

Из пункта 2 приведенной аксиомы следует, что если A 1 и A2 несовместные события, то

P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 )

Если A 1 иA 2 - совместные события, тоA 1 U A 2 =(A 1 \A 2 )U A 2 , причем очевидно, чтоA 1 \A 2 иA 2 - несовместные события. Отсюда следует:

Далее очевидно: A 1 = (A1 \A 2 )U (A 1 ∩ A 2 ), причем A1 \A 2 иA 1 ∩ A 2 - несовместные события, откуда следует:P (A 1 ) =P (A1 \A 2 ) +P (A 1 ∩ A 2 ) Найдем из этой формулы выражение дляP (A1 \A 2 ) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:

P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) –P (A 1 ∩ A 2 )

Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив A 1 ∩ A 2 =Æ .

Пример. Найти вероятность вытащить туза или червовую масть при случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа.

Р (ТУЗ) = 4/32 = 1/8;Р (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ) = 8/32 = 1/4;

Р (ТУЗ ЧЕРВЕЙ) = 1/32;

Р ((ТУЗ)U (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ)) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32

Того же результата можно было достичь с помощью классического определения вероятности, пересчитав число благоприятных исходов.

Условные вероятности.

Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?

Определим пространство элементарных исходов: W =(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событиеА заключается в том, что студент вытащил выученный билет:А = (1,...,5,25,...,30,), а событиеВ - в том, что студент вытащил билет из первых двадцати:В = (1,2,3,...,20)

Событие А ∩ В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 - это вероятность событияB . Число 5/20 можно рассматривать как вероятность событияА при условии, что событиеВ произошло (обозначим еёР (А /В )). Таким образом решение задачи определяется формулой

P (А ∩ В ) =Р (А /В )Р (B )

Эта формула называется формулой умножения вероятностей, а вероятность Р (А /В ) - условной вероятностью событияA .

Пример..Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?

Пусть X - событие, состоящее в извлечении первым белого шара, аY - событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. ТогдаX ∩ Y - событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй - черным.P (Y /X ) =3/9 =1/3 - условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, чтоP (X ) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем:P (X ∩ Y ) = 7/30

Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р (А / В )= Р (А ). За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения

P (А ∩ В ) =Р (А )Р (B )

Докажите самостоятельно, что если А иВ - независимые события, тоA иB тоже являются независимыми события.

Пример.Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей, но с одним дополнительным условием: вытащив первый шар, запоминаем его цвет и возвращаем шар в урну, после чего все шары перемешиваем. В данном случае результат второго извлечения никак не зависит от того, какой шар - черный или белый появился при первом извлечении. Вероятность появления первым белого шара (событие А ) равна 7/10. Вероятность событияВ - появления вторым черного шара - равна 3/10. Теперь формула умножения вероятностей дает:P (А ∩ В ) = 21/100.

Извлечение шаров способом, описанным в этом примере, называется выборкой с возвращением иливозвратной выборкой .

Следует отметить, что если в двух последних примерах положить изначальные количества белых и черных шаров равными соответственно 7000 и 3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо мало для возвратной и безвозвратной выборок.

Классическая вероятность и ее свойства

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим.

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие.

Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р – первая буква французского слова probabilite – вероятность).

В соответствии с определением

где – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события ;

Общее число возможных элементарных исходов испытания.

Это определение вероятности называют классическим . Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Часто число называют относительной частотой появления события А в опыте.

Чем больше вероятность события, тем чаще оно наступает, и наоборот, чем меньше вероятность события, тем реже оно наступает. Когда вероятность события близка к единице или равна единице, то оно наступает почти при всех испытаниях. О таком событии говорят, что оно практически достоверно , т. е. что можно наверняка рассчитывать на его наступление.

Наоборот, когда вероятность равна нулю или очень мала, то событие наступает крайне редко; о таком событии говорят, что оно практически невозможно .

Иногда вероятность выражают в процентах: Р(А) 100% есть средний процент числа появлений события A .

Пример 2.13. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение.

Обозначим через А событие - «набрана нужная цифра».

Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна).

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Формула классической вероятности дает очень простой, не требующий проведения экспериментов, способ вычисления вероятностей. Однако простота этой формулы очень обманчива. Дело в том, что при ее использовании возникают, как правило, два очень непростых вопроса:

1. Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможны, и можно ли это сделать вообще?

2. Как найти числа m и n ?

Если в опыте участвуют несколько предметов, равновозможные исходы увидеть не всегда просто.

Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Пример 2.14. (ошибка Даламбера ). Подбрасываются две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Решение Даламбера.

Опыт имеет три равновозможных исхода:

1. Обе монеты упадут на «орла»;

2. Обе монеты упадут на «решку»;

3. Одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».

Правильное решение.

Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1. Первая монета упадет на «орла», вторая тоже на «орла»;

2. Первая монета упадет на «решку», вторая тоже на «решку»;

3. Первая монета упадет на «орла», а вторая - на «решку»;

4. Первая монета упадет на «решку», а вторая - на «орла».

Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна .

Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два элементарных исхода в один, тем самым сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам опыта.

Разберём классическое определение вероятности при помощи формул и примеров.

Случайные события называются несовместимыми , если они не могут происходить одновременно. Например, когда мы подкидываем монету, выпадет что-то одно – «герб» или число» и они не могут появится одновременно, так как логично, что это невозможно. Несовместимыми могут быть такие события, как попадание и промах после сделанного выстрела.

Случайные события конечного множества образовывают полную группу попарно несовместимых событий, если при каждом испытании появляется одна, и только одна из этих событий – единственно возможные.

Рассмотрим всё тот же пример с подкидыванием монеты:

Первая монета Вторая монета События

1) «герб» «герб»

2) «герб» «число»

3) «число» «герб»

4) «число» «число»

Или сокращённо – «ГГ», – «ГЧ», – «ЧГ», – «ЧЧ».

События называются равновозможными , если условия исследования обеспечивают одинаковую возможность появления каждой из них.

Как вы понимаете, когда подбрасываете симметричную монету, тогда у неё одинаковые возможности, и есть вероятность, что выпадет как «герб», так и «число». Это же касается подбрасывания симметричного игрального кубика, так как есть вероятность того, что могут появится грани с любым числом 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Допустим, что теперь кубик подбрасываем со смещением центра тяжести, например, в сторону грани с цифрой 1, тогда чаще всего будет выпадать противоположная грань, то есть грань с другой цифрой. Таким образом, в этой модели возможности появления для каждой из цифр от 1 до 6 будут разными.

Равновозможные и единственно возможные случайные события называются случаями.

Есть случайные события, которые относятся к случаям, а есть случайные события, которые не относятся к случаям. Ниже на примерах рассмотрим эти события.

Те случаи, в результате которых случайное событие появляется, называются благоприятными случаями для этого события.

Если обозначить через , которые влияют на событие при всех возможных случаях, а через – вероятность случайного события , тогда можно записать известное классическое определение вероятности:

Определение

Вероятность события называют отношения числа благоприятных этому событию случаев, к общему числу всех возможных случаев, то есть:

Свойства вероятности

Классическая вероятность рассмотрена, а теперь разберём основные и важные свойства вероятности.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равняется единице.

Например, если в ведёрке все шариков белые, тогда событию , наугад выбрать белый шарик, влияют случаев, .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равняется нулю.

Свойство 3. Вероятностью случайного события есть положительное число:

Значит, вероятность любого события удовлетворяет неравенство:

Теперь решим несколько примеров на классическое определение вероятности.

Примеры классического определения вероятности

Пример 1

Задача

В корзине 20 шариков, из них 10 белых, 7 красных и 3 чёрных. Наугад выбирается один шарик. Выбран белый шарик (событие ), красный шарик (событие ) и чёрный шарик (событие ). Найти вероятность случайных событий .

Решение

Согласно условию задачи, способствуют , а случаев из возможных, поэтому по формуле (1):

– вероятность белого шарика.

Аналогично для красного:

И для чёрного: .

Ответ

Вероятность случайного события , , .

Пример 2

Задача

В ящике лежат 25 одинаковых электроламп, из них 2 бракованные. Найти вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная.

Решение

По условию задачи все лампы одинаковые и выбирается только одна. Всего возможностей выбрать . Среди всех 25 лампа две бракованные, значит, оставшихся пригодных лампа . Поэтому по формуле (1) вероятность выбора пригодной электролампы (событие ) равняется:

Ответ

Вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная = .

Пример 3

Задача

Наугад подбрасываются две монеты. Найти вероятность таких событий:

1) – на обеих монетах выпало по гербу;

2) – на одной из монет выпал герб, а на второй – число;

3) – на обеих монетах выпали числа;

4) – хотя бы один раз выпал герб.

Решение

Здесь имеем дело с четырьмя событиями . Установим, какие случаи способствуют каждой из них. Событию способствует один случай, это когда на обеих монетах выпал герб (сокращённо «ГГ»).

Чтобы разобраться с событием , представим, что одна монета серебряная, а вторая – медная. При подбрасывании монет могут быть случаи:

1) на серебряной герб, на медной – число (обозначим – «ГЧ»);

2) на серебряной число, на медной – герб ( – «ЧГ»).

Значит, событию способствуют случаи и .

Событию способствует один случай: на обеих монетах выпали числа – «ЧЧ».

Таким образом, события или (ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ) образовывают полную группу событий, все эти события несовместимы, так как в результате подбрасывания происходит только одна из них. Кроме того, для симметричных монет все четыре события равновозможные, поэтому их можно считать случаями. Всех возможных событий – четыре .

Событию способствует только одно событие, поэтому его вероятность равняется:

Событию способствуют два случая , поэтому:

Вероятность события такая же, как и для :

Событию способствуют три случая: ГГ, ГЧ, ЧГ и поэтому:

Так как рассмотрены события ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ, которые равновозможные и создают полную группу событий, тогда появление любой из них – это достоверное событие (обозначим её буквой , которой способствуют все 4 случая . Поэтому вероятность:

Значит, подтверждается первое свойство вероятности.

Ответ

Вероятность события .

Вероятность события .

Вероятность события .

Вероятность события .

Пример 4

Задача

Подкидываются два игральных кубика с одинаковой и правильной геометрической формой. Найти вероятность всех возможных сумм на обеих гранях, что выпадают.

Решение

Чтобы было удобнее решать задачу, представьте, что один кубик белый, а второй – чёрный. С каждой из шести граней белого кубика и также может выпасть одна из шести граней чёрного кубика, поэтому всех возможных пар будет .

Так как возможность появления граней на отдельном кубике одинаковая (кубики правильной геометрической формы!), тогда одинаковой будет возможность появления каждой пары граней, причём, в результате подбрасывания выпадает только одна из пар. Значи события несовместимы, единовозможные. Это случаи, и всех возможных случаев – 36.

Теперь рассмотрим возможность значения суммы на гранях. Очевидно, что самая маленькая сумма 1 + 1 = 2, а самая большая 6 + 6 = 12. Оставшаяся часть суммы вырастает на единицу, начиная со второй. Обозначим событий, индексы которых равняются сумме очков, что выпали на гранях кубиков. Для каждой из этих событий выпишем благоприятные случаи при помощи обозначений , где – сумма, – очки на верхней грани белого кубика и – очки на грани чёрного кубика.

Значит, для события:

для – один случай (1 + 1);

для – два случая (1 + 2; 2 + 1);

для – три случая (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

для – четыре случая (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

для – пять случаев (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

для – шесть случаев (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

для – пять случаев (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

для – четыре случая (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

для – три случая (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

для – два случая (5 + 6; 6 + 5);

для – один случай (6 + 6).

Таким образом значения вероятности такие:

Ответ

Пример 5

Задача

Троим участникам перед фестивалем предложили тянуть жребий: каждый из участников по очереди подходит к ведёрку и наугад выбирает одну из трёх карточек с номерами 1, 2 и 3, что означает порядковый номер выступления данного участника.

Найти вероятность таких событий:

1) – порядковый номер в очереди совпадает с номером карточки, то есть порядковым номером выступления;

2) – ни один номер в очереди не совпадает с номером выступления;

3) – только один из номеров в очереди совпадает с номером выступления;

4) – хотя бы один из номеров в очереди совпадёт с номером выступления.

Решение

Возможными результатами выбора карточек – это перестановки из трёх элементов , количество таких перестановок равняется . Каждая из перестановок и есть событие. Обозначим эти события через . Каждому событию припишем в скобках соответствующую перестановку:

; ; ; ; ; .

Перечисленные события равновозможные и единовозможные, то есть, это и есть случаи. Обозначим так: (1ч, 2ч, 3ч) – соответствующие номера в очереди.

Начнём с события . Благоприятный только один случай поэтому:

Благоприятными для события – два случая и , поэтому:

Событию способствуют 3 случая: , поэтому:

Событию , кроме , способствует ещё и , то есть:

Ответ

Вероятность события – .

Вероятность события – .

Вероятность события – обновлено: Сентябрь 15, 2017 автором: Научные Статьи.Ру

Задачи на классическое определение вероятности.
Примеры решений

На третьем уроке мы рассмотрим различные задачи, касающиеся непосредственного применения классического определения вероятности. Для эффективного изучения материалов данной статьи рекомендую ознакомиться с базовыми понятиями теории вероятностей и основами комбинаторики . Задача на классическое определение вероятности с вероятностью, стремящейся к единице, будет присутствовать в вашей самостоятельной/контрольной работе по терверу, поэтому настраиваемся на серьёзную работу. Вы спросите, чего тут серьёзного? …всего-то одна примитивная формула . Предостерегаю от легкомыслия – тематические задания достаточно разнообразны, и многие из них запросто могут поставить в тупик. В этой связи помимо проработки основного урока, постарайтесь изучить дополнительные задачи по теме, которые находятся в копилке готовых решений по высшей математике . Приёмы решения приёмами решения, а «друзей» всё-таки «надо знать в лицо», ибо даже богатая фантазия ограничена и типовых задач тоже хватает. Ну а я постараюсь в хорошем качестве разобрать максимальное их количество.

Вспоминаем классику жанра:

Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению , где:

– общее число всех равновозможных , элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий ;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

И сразу незамедлительный пит-стоп. Понятны ли вам подчёркнутые термины? Имеется ввиду чёткое, а не интуитивное понимание. Если нет, то всё-таки лучше вернуться к 1-й статье по теории вероятностей и только после этого ехать дальше.

Пожалуйста, не пропускайте первые примеры – в них я повторю один принципиально важный момент, а также расскажу, как правильно оформлять решение и какими способами это можно сделать:

Задача 1

В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

Решение : важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов .

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:

– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов) , при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30 шаров) .

Таким образом, общее число исходов:

Рассмотрим событие: – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность, на которой я уже заострял внимание в первой статье по теории вероятностей . Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара » . В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

– из урны будет извлечён красный шар;
– из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу . В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .

Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.

Ответ :

В принципе, ответ можно записать и подробнее, но лично я привык ставить туда только числа – по той причине, что когда начинаешь «штамповать» задачи сотнями и тысячами, то стремишься максимально сократить запись решения. К слову, о краткости: на практике распространён «скоростной» вариант оформления решения :

Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.

Ответ :

Однако если в условии несколько пунктов, то решение зачастую удобнее оформить первым способом, который отнимает чуть больше времени, но зато всё «раскладывает по полочкам» и позволяет легче сориентироваться в задаче.

Разминаемся:

Задача 2

В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Выберите целесообразный вариант оформления и сверьтесь с образцом внизу страницы.

В простейших примерах количество общих и количество благоприятствующих исходов лежат на поверхности, но в большинстве случаев картошку приходится выкапывать самостоятельно. Каноничная серия задач о забывчивом абоненте:

Задача 3

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

Примечание : ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка)

Решение : сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов . То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И подсчитываем их – всего: 10 исходов.

Благоприятствующий исход один: верный номер.

По классическому определению:
– вероятность того, что абонент наберёт правильный номер

Ответ : 0,1

Десятичные дроби в теории вероятностей смотрятся вполне уместно, но можно придерживаться и традиционного вышматовского стиля, оперируя только обыкновенными дробями.

Продвинутая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Абонент забыл пин-код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?

Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока

Решение и ответ внизу.

Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже – бОльшее количество) :

Задача 5

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:

а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3 до 9 очков включительно.

Решение : найдём общее количество исходов:

Способами может выпасть грань 1-го кубика и способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций , всего: возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где – цифра, выпавшая на 1-м кубике, – цифра, выпавшая на 2-м кубике. Например:

– на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
– на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
– на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.

Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую – две «шестёрки».

а) Рассмотрим событие: – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:

Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
– искомая вероятность.

б) Рассмотрим событие: – выпадет не более 4 очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:

Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
– вероятность того, что выпадет не более 4 очков.

в) Рассмотрим событие: – выпадет от 3 до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.

Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие : – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.

В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:

Итого: 7 благоприятствующих исходов.

По классическому определению:
– вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9 очков.

Помимо прямого перечисления и подсчёта исходов, в ходу также различные комбинаторные формулы . И снова эпичная задача про лифт:

Задача 7

В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:

а) они выйдут на разных этажах
б) двое выйдут на одном этаже;
в) все выйдут на одном этаже.

Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок ещё раз настоятельно рекомендую если не прорешать, то хотя бы разобраться в дополнительных задачах на классическое определение вероятности . Как я уже отмечал, «набивка руки» тоже имеет значение!

Далее по курсу – Геометрическое определение вероятности и Теоремы сложения и умножения вероятностей и… везения в главном!

Решения и ответы :

Задача 2: Решение : 30 – 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.

– вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.
Ответ :

Задача 4: Решение : найдём общее число исходов:
способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом из этих 4 мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов: .
Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).
Таким образом, по классическому определению:
– вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки
Ответ :

Задача 6: Решение : найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2 кубиках.

а) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов, по классическому определению вероятности:
, т.е. это событие является невозможным.

б) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:

Итого: 8
По классическому определению:
– искомая вероятность.

в) Рассмотрим противоположные события:
– произведение очков будет чётным;
– произведение очков будет нечётным.
Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :

Итого: 9 благоприятствующих исходов.
По классическому определению вероятности:
Противоположные события образуют полную группу, поэтому:
– искомая вероятность.

Ответ :

Задача 8: Решение : вычислим общее количество исходов: способами могут упасть 10 монет.
Другой путь: способами может упасть 1-я монета и способами может упасть 2-я монета и … и способами может упасть 10-я монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть способами.
а) Рассмотрим событие: – на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности: .
б) Рассмотрим событие: – на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка.
Существует монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности: .
в) Рассмотрим событие: – орёл выпадет на половине монет.
Существует уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:
Ответ :