Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

«Корень n-ой степени» - Операция извлечение корня является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Какая кривая является графиком функции y = x? ? -Показатель корня. Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют извлечением корня. Решите уравнения: Рассмотрим уравнение: Понятие корня n – й степени из действительного числа.

«Решение уравнений высших степеней» - Рефлексия. Физкультминутка. Найти область определения функции. РАЗМИНКА (проверка д/з). Задания первого этапа. Что значит решить уравнение? Какие виды уравнений записаны на доске? Схема решения линейного уравнения квадратного уравнения биквадратного уравнения. Что записано на доске? Что называется корнем уравнения?

«Степени двойки» - Переведём число 1998 из десятичной в двоичную систему. Правила перевода из одной системы счисления в другую. 1998 = 1024 +512+256+128+64+16 = =2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2. 3. Сложим десятичные значения. Таким образом: Следовательно, двоичная запись числа 1998 – 11111010000. Теперь переведём в десятичную запись 1011011101.

«Степень с целым показателем» - Вычислите. Расположите в порядке убывания. Представьте выражение x-12 в виде произведения двух степеней с основанием x, если один множитель известен. При каких значениях х верно равенство. Представьте выражение в виде степени. Упростите.

«Степени чисел» - Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Франсуа Виет ввёл буквы для обозначения в уравнениях коэффициенты неизвестных. Современные определения и обозначения степени берут начало от работ английских математиков. Степени. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин.

«Степень в корне» - Решить уравнение хn = a; Решить уравнение. Решите уравнение х4 = 1 графически. Тема: Понятие корня n – й степени из действительного числа. Где n – показатель корня, а – подкоренное число. графики пересекаются в точках (-1; 0) и (1; 0). Проблема. Аналогично, что уравнение х4 = 4 имеет два корня -2 и 2.

В 9 классе при изучении курса алгебры достаточно весомое внимание уделяется теме уравнений. Она заключает в себе методы и принципы решения, без которых в дальнейшем не обойтись. Школьники в этом классе должны научиться решать уравнения с различными методами, как с одной переменной, так и с двумя. Иногда при решении уравнений может появиться необходимость в построении графика функции.

Данная презентация посвящена теме: «Уравнение с двумя переменными и его график». Здесь будет демонстрироваться, как можно справиться с более сложными уравнениями, обладающими более одной неизвестной, с помощью их построения графика.

Презентация содержит в себе 14 информативных слайдов, которые включают в себя как теорию, так и практику. Здесь содержатся также определения, которые выделены в отдельные блоки. Количество слайдов небольшое, что позволит рассмотреть презентацию во время урока. Останется время и на практическое самостоятельное решение других примеров. Электронный ресурс станет хорошим помощником для каждого учителя по математике. Во время проведения урока, он не будет отвлекаться на доску, и тратить время на долгие записи. Они будут демонстрироваться на экране, а учителю останется лишь комментировать эти записи и проверять знания учеников.

Тему урока также не нужно писать на доске. Она появится в первую очередь на первом слайде.

Так как школьники еще не сталкивались, однако, вероятнее всего, догадываются, как выглядят уравнения с двумя переменными, на втором слайде есть три примера таких неравенств. В качестве переменных используются х и у. Ранее рассматривались решения уравнений с одной переменной х.

Что же является решением уравнения, которое содержит два неизвестных?

Разумеется, здесь должны получиться два значения. Если их подставить вместо неизвестных, то знак равенства должно быть верным. Эта пара значений и будет являться решением уравнения с двумя переменными. Записываются они в скобках, как и ранее записывались неопределенные интервалы.

На этом же слайде приводится пример уравнения и его решение, представляющее из себя пару значений, удовлетворяющих и х, и у.

После этого выводится на экран определение решения уравнения с двумя переменными. Следом за ним, на следующем слайде, появляются иные утверждения. Гласят они о том, что каждое подобное уравнение имеет бесконечное множество решений. Также дается определение равносильных уравнений. Основное понятие, как можно заметить, выделено красным цветом.

Следующий слайд посвящен тому, как нужно определять степень уравнения с двумя переменными. Это несложно, ведь аналогичная тема рассматривалась для уравнений первой степени. Прежде, чем определять степень, необходимо предварительно перенести все множители в левую часть, а в правой оставить 0. Приводится пример.

Следующий слайд говорит о том, что для построения графика уравнения должен приводить уравнение в правильное равенство во всех точках. Это определение можно записать в своем конспекте. После этого можно смело переходить к рассмотрению графиков.

Приводится общий вид уравнений с двумя переменными, график которых будет являться прямой, параболой или гиперболой. Все последующие слайды посвящены рассмотрению уравнения, график которого является окружностью. Эти функции школьники должны очень быстро узнавать среди других.

Презентация эффективно и быстро позволит освоить данную тему. Учитель может дать небольшую самостоятельную работу ученикам, чтобы убедиться в том, что они поняли эту тему.

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Уже в начале 2 тысячелетия до н. э. Вавилоняне умели решать системы таких уравнений с двумя переменными. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником для нас является «Арифметика» Диофанта, содержащая различные типы уравнений. В ней Диофант (по его имени и название уравнений – диофантовы уравнения) предвосхищает ряд методов исследования уравнений 2-ой и 3-ой степеней, развившихся только в 19 веке.

Простейшие диофантовы уравнения ах + ву = 1(уравнение с двумя переменными, первой степени) х2 + у2 = z2 (уравнение с тремя переменными, второй степени)

Наиболее полно изучены алгебраические уравнения, их решение было одной из важнейших задач алгебры в 16-17 вв.

К началу 19 века трудами П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса было исследовано диофантово уравнение вида: ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, где a, в, с, d, e, f числа; х, у неизвестные переменные.

Это уравнение 2-ой степени с двумя неизвестными.

К. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения некоторых типов уравнений с двумя переменными (диофантовых уравнений). Существует большое число конкретных диофантовых уравнений, решаемых элементарными способами. /p>

Теоретический материал.

В этой части работы будут описаны основные математические понятия, даны определения терминов, сформулирована теорема о разложении с использованием метода неопределенных коэффициентов, которые были изучены и рассмотрены при решении уравнений с двумя переменными.

Определение 1: Уравнение вида ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, где a, в, с, d, e, f числа; х, у неизвестные переменные называется уравнением второй степени с двумя переменными.

В школьном курсе математики изучается квадратное уравнение ах2+вх +с=0 , где а,в,с числа х переменная, с одной переменной. Существует много способов решения такого уравнения:

1. Нахождение корней, используя дискриминант;

2. Нахождение корней для четного коэффициента в (по Д1=);

3. Нахождение корней по теореме Виета;

4. Нахождение корней с помощью выделения полного квадрата двучлена.

Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Определение 2: Корень уравнения – это число, которое при подстановке в уравнение образует верное равенство.

Определение 3: Решение уравнения с двумя переменными называется пара чисел (х,у) при подстановки которых в уравнение, оно превращается в верное равенство.

Процесс разыскивания решений уравнения очень часто заключается обычно в замене уравнения равносильным уравнением, но более простым при решении. Такие уравнения называются равносильными.

Определение 4: Два уравнения называются равносильными, если каждое решение одного уравнения является решением другого уравнения, и наоборот, причем оба уравнения рассматриваются в одной и той же области.

Для решения уравнений с двумя переменными используют теорему о разложении уравнения на сумму полных квадратов (методом неопределенных коэффициентов).

Для уравнения второго порядка ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0 (1) имеет место разложение а(х +ру +q)2 + r(y+s)2 +h (2)

Сформулируем условия, при которых имеет место разложение (2) для уравнения (1) двух переменных.

Теорема: Если коэффициенты а,в,с уравнения (1) удовлетворяют условиям а0 и 4ав – с20, то разложение (2) определяется единственным способом.

Другими словами уравнение (1) с двумя переменными можно с помощью метода неопределенных коэффициентов привести к виду (2), если выполнены условия теоремы.

Рассмотрим на примере, как реализуется метод неопределенных коэффициентов.

СПОСОБ №1. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов

2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.

1. Проверим выполнение условия теоремы, а=2, в=1, с=2, значит, а=2,4ав – с2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Условия теоремы выполнены, можно разложить по формуле (2).

3. 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h, исходя из условий теоремы обе части тождества равносильны. Упростим правую часть тождества.

4. 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(х2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2х2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Приравниваем коэффициенты при одинаковых переменных с их степенями.

х2 2 = 2 у21 = 2p2 + r) ху2 = 4p х2 = 4q у0 = 4pq + 2rs х01 = 2q2 + rs2 + h

6. Получим систему уравнений, решим ее и найдем значения коэффициентов.

7. Подставим коэффициенты в (2), тогда уравнение примет вид

2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению

2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), это уравнение равносильно системе двух линейных уравнений.

Ответ: (-1; 1).

Если обратить внимание на вид разложения (3), то можно заметить, что оно по форме идентично выделению полного квадрата из квадратного уравнения с одной переменной: ах2 + вх + с = а(х +)2 +.

Применим этот прием при решении уравнения с двумя переменными. Решим с помощью выделения полного квадрата уже решенное с использованием теоремы квадратное уравнение с двумя переменными.

СПОСОБ №2: Решить уравнение 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.

Решение: 1. Представим 2х2 в виде суммы двух слагаемых х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.

2. Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было свернуть по формуле полного квадрата.

(х2 + у2 + 2ху) + (х2 + 2х +1)= 0.

3. Выделим полные квадраты из выражений в скобках.

(х + у)2 + (х + 1)2 = 0.

4. Данное уравнение равносильно системе линейных уравнений.

Ответ: (-1;1).

Если сравнить результаты, то видно, что уравнение, решенное способом №1 с использованием теоремы и методом неопределенных коэффициентов и уравнение, решенное способом №2, с помощью выделения полного квадрата имеют одинаковые корни.

Вывод: Квадратное уравнение с двумя переменными можно разлагать на сумму квадратов двумя способами:

➢ Первый способ – это метод неопределенных коэффициентов, в основе которого лежит теорема и разложение (2).

➢ Второй способ – с помощью тождественных преобразований, позволяющих выделить последовательно полные квадраты.

Конечно же, при решении задач второй способ является предпочтительнее, т. к. не требует запоминания разложения (2) и условия.

Этот метод можно применять и для квадратных уравнений с тремя переменными. Выделение полного квадрата в таких уравнениях более трудоемко. Такого вида преобразованиями я буду заниматься в следующем году.

Интересно заметить, что функцию, имеющую вид: f(х,у)= ах2 + вху + су2 + dx + ey + f, называют квадратичной функцией двух переменных. Квадратичным функциям принадлежит важная роль в различных разделах математики:

В математическом программировании (квадратичное программирование)

В линейной алгебре и геометрии (квадратичные формы)

В теории дифференциальных уравнений (приведение линейного уравнения второго порядка к каноническому виду).

При решении этих различных задач, приходится, по сути, применять процедуру выделения полного квадрата из квадратного уравнения (одной, двух и более переменных).

Линии, уравнения которых, описываются квадратным уравнением двух переменных, называются кривыми второго порядка.

Это окружность, эллипс, гипербола.

При построении графиков этих кривых так же используется метод последовательного выделения полного квадрата.

Рассмотрим, как работает метод последовательного выделения полного квадрата на конкретных примерах.

Практическая часть.

Решить уравнения, методом последовательного выделения полного квадрата.

1. 2х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0; х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0;

(х +1)2 + (х + у)2 = 0;

Ответ:(-1;1).

2. х2 + 5у2 + 2ху + 4у + 1 = 0; х2 + 4у2 + у2 + 2ху + 4у + 1 = 0;

(х + у)2 + (2у + 1)2 = 0;

Ответ:(0,5; - 0,5).

3. 3х2 + 4у2 - 6ху - 2у + 1 = 0;

3х2 + 3у2 + у2 – 6ху – 2у +1 = 0;

3х2 +3у2 – 6ху + у2 –2у +1 = 0;

3(х2 - 2ху +у2) + у2 - 2у + 1 = 0;

3(х2 - 2ху + у2)+(у2 - 2у + 1)=0;

3(х-у)2 + (у-1)2 = 0;

Ответ:(-1;1).

Решить уравнения:

1. 2х2 + 3у2 – 4ху + 6у +9 =0

(привести к виду: 2(х-у)2 + (у +3)2 = 0)

Ответ: (-3; -3)

2. – 3х2 – 2у2 – 6ху –2у + 1=0

(привести к виду: -3(х+у)2 + (у –1)2= 0)

Ответ: (-1; 1)

3. х2 + 3у2+2ху + 28у +98 =0

(привести к виду: (х+у)2 +2(у+7)2 =0)

Ответ: (7; -7)

Заключение.

В данной научной работе были изучены уравнения с двумя переменными второй степени, рассмотрены способы их решения. Поставленная задача выполнена, сформулирован и описан более краткий способ решения, основанный на выделении полного квадрата и замене уравнения на равносильную систему уравнений, в результате упрощена процедура нахождения корней уравнения с двумя переменными.

Важным моментом работы является то, что рассматриваемый прием применяется при решении различных математических задач связанных с квадратичной функцией, построением кривых второго порядка, нахождением наибольшего (наименьшего) значения выражений.

Таким образом, прием разложения уравнения второго порядка с двумя переменными на сумму квадратов имеет самые многочисленные применения в математике.

ЦЕЛЬ:1) Познакомить учащихся с понятием «уравнение с двумя переменными»;

2) Научить определять степень уравнения с двумя переменными;

3) Научить определять по заданной функции, какая фигура является графиком

данного уравнения;

4) Рассмотреть преобразования графиков с двумя переменными;

заданному уравнению с двумя переменными, используя программу Agrapher ;

6) Развивать логическое мышление учащихся.

I.Новый материал - объяснительная лекция с элементами беседы.

(лекцияпроводится с использованием авторских слайдов; построение графиков выполнено в программе Agrapher)

У: При изучении линий возникают две задачи:

По геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение;

Обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства.

Первую задачу мы рассматривали в курсе геометрии применительно к окружности и прямой.

Сегодня мы будем рассматривать обратную задачу.

Рассмотрим уравнения вида:

а) х(х-у)=4; б) 2у-х 2 =-2 ; в) х(х+у 2 ) = х +1 .

– это примеры уравнений с двумя переменными.

Уравнения с двумя переменными х и у имеет вид f(x,y)=(x,y) , где f и – выражения с переменными х и у.

Если в уравнении х(х-у)=4 подставить вместо переменной х её значение -1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: 1*(-1-3)=4,

Пара (-1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения х(х-у)=4 .

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными имеет, как правило, бесконечно много решений. Исключения составляют, например, такие уравнения, как х 2 +(у 2 - 4) 2 = 0 или

2х 2 + у 2 = 0 .

Первое из них имеет два решения (0; -2) и (0; 2), второе – одно решение (0;0).

Уравнение х 4 + у 4 +3 = 0 вообще не имеет решений. Представляет интерес, когда значениями переменных в уравнении служат целые числа. Решая такие уравнения с двумя переменными, находят пары целых чисел. В таких случаях говорят, что уравнения решено в целых числах.

Два уравнения, имеющие одно и тоже множество решений, называют равносильными уравнениями . Например, уравнение х(х + у 2) = х + 1 есть уравнение третьей степени, так как его можно преобразовать в уравнение ху 2 + х 2 - х-1 = 0, правая часть которого – многочлен стандартного вида третьей степени.

Степенью уравнения с двумя переменными, представленного в виде F(х, у) = 0, где F(х,у)-многочлен стандартного вида, называют степень многочлена F(х, у).

Если все решения уравнения с двумя переменными изобразить точками в координатной плоскости, то получится график уравнения с двумя переменными.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек, координаты которых служат решениями этого уравнения.

Так, график уравнения ax + by + c = 0 представляет собой прямую, если хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю(рис.1) . Если a = b = c = 0 , то графиком этого уравнения является координатная плоскость(рис.2) , если же a = b = 0 , а c0 , то графиком является пустое множество(рис.3) .

График уравнения y = a х 2 + by + c представляет собой параболу(рис.4), график уравнения xy=k (k0) – гиперболу(рис.5) . Графиком уравнения х 2 + у 2 = r , где x и y – переменные, r – положительное число, является окружность с центром в начале координат и радиусом равнымr (рис.6). Графиком уравнения является эллипс , где a и b – большая и малая полуоси эллипса (рис.7).

Построение графиков некоторых уравнений облегчается использованием их преобразований. Рассмотрим преобразования графиков уравнений с двумя переменными и сформулируем правила, по которым выполняются простейшие преобразования графиков уравнений

1) График уравнения F (-x, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси у.

2) График уравнения F (x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси х .

3) График уравнения F (-x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью центральной симметрии относительно начала координат.

4) График уравнения F (x-а, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения параллельно оси х на |a| единиц (вправо, если a > 0, и влево, если а < 0).

5) График уравнения F (x, y-b) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения на |b| единиц параллельно оси у (вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0).

6) График уравнения F (аx, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью сжатия к оси у и а раз, если а > 1, и с помощью растяжения от оси у в раз, если 0 < а < 1.

7) График уравнения F (x, by) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью с помощью сжатия к оси х в b раз, если b > 1, и с помощью растяжения от оси x в раз, если 0 < b < 1.

Если график некоторого уравнения повернуть на некоторый угол около начала координат, то новый график будет графиком другого уравнения. Важными являются частные случаи поворота на углы 90 0 и 45 0 .

8) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F (-y, x) = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F (y, -x) = 0.

9) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 45 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F = 0.

Из рассмотренных нами правил преобразования графиков уравнений с двумя переменными легко получаются правила преобразования графиков функций.

Пример 1. Покажем, что графиком уравнения х 2 + у 2 + 2х – 8у + 8 = 0 является окружность (рис.17).

Преобразуем уравнение следующим образом:

1) сгруппируем слагаемые, содержащие переменную х и содержащие переменную у , и представим каждую группу слагаемых в виде полного квадрата трехчлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 -2*4*у + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) запишем в виде квадрата суммы (разности) двух выражений полученные трехчлены: (х + 1) 2 + (у – 4) 2 - 9 = 0;

3) проанализируем, согласно правилам преобразования графиков уравнений с двумя переменными, уравнение (х + 1) 2 + (у – 4) 2 = 3 2: графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (-1; 4) и радиусом 3 единицы.

Пример 2. Построим график уравнения х 2 + 4у 2 = 9 .

Представим 4у 2 в виде (2у) 2 , получим уравнение х 2 + (2у) 2 = 9, график которого можно получить из окружности х 2 + у 2 = 9 сжатием к оси х в 2 раза.

Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единицы.

Уменьшим в 2 раза расстояние каждой её точки от оси Х, получим график уравнения

х 2 + (2у) 2 = 9.

Мы получили фигуру с помощью сжатия окружности к одному из её диаметров(к диаметру, который лежит на на оси Х). Такую фигуру называют эллипсом (рис.18).

Пример 3. Выясним, что представляет собой график уравнения х 2 - у 2 = 8.

Воспользуемся формулой F= 0.

Подставим в данное уравнение вместо Х и вместо У, получим:

У: Что представляет собой график уравнения у = ?

Д: Графиком уравнения у = является гипербола.

У: Мы преобразовали уравнение вида х 2 - у 2 = 8 в уравнение у = .

Какая линия будет являться графиком данного уравнения?

Д: Значит, и графиком уравнения х 2 - у 2 = 8 является гипербола.

У: Какие прямые являются асимптотами гиперболы у = .

Д: Асимптотами гиперболы у = являются прямые у = 0 и х = 0.

У: При выполненном повороте эти прямые перейдут в прямые = 0 и =0, т.е в прямые у = х и у = - х. (рис.19).

Пример 4: Выясним, какой вид примет уравнение у = х 2 параболы при повороте около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке.

Используя формулу F (-у; х) = 0, заменим в уравнении у = х 2 переменную х на – у, а переменную у на х. Получим уравнение х = (-у) 2 , т. е. х = у 2 (рис.20).

Мы рассмотрели примеры графиков уравнений второй степени с двумя переменными и выяснили, что графиками таких уравнений могут быть парабола, гипербола, эллипс (в частности окружность). Кроме того, графиком уравнения второй степени может являться пара прямых (пересекающихся или параллельных).Это так называемый вырожденный случай. Так графиком уравнения х 2 - у 2 = 0 является пара пересекающихся прямых (рис.21а), а графиком уравнения х 2 - 5х + 6 + 0у = 0- параллельных прямых.

II Закрепление.

(учащимся выдаются «Карточки-инструкции» по выполнению построений графиков уравнений с двумя переменными в программе Agrapher (Приложение 2) и карточки «Практическое задание» (Приложение 3) с формулировкой заданий 1-8 Графики уравнений к заданиям 4-5 учитель демонстрирует на слайдах).

Задание1. Какие из пар (5;4), (1;0), (-5;-4) и (-1; -) являются решениями уравнения:

а) х 2 - у 2 = 0, б) х 3 - 1 = х 2 у + 6у?

Решение:

Подставив в заданное уравнение, поочерёдно координаты данных точек убеждаемся, что ни одна данная пара не является решением уравнения х 2 - у 2 = 0, а решениями уравнения х 3 - 1 = х 2 у + 6у являются пары (5;4), (1;0) и (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (И)

1 - 1= 0 + 0 (И)

125 – 1 =-100 – 24 (Л)

1 – 1 = - - (И)

Ответ: а); б) (5;4), (1; 0), (-1; -).

Задание 2. Найдите такие решения уравнения ху 2 - х 2 у = 12, в которых значение х равно 3.

Решение: 1)Подставим вместо Х в заданное уравнение значение 3.

2)Получим квадратное уравнение относительно переменной У, имеющее вид:

3у 2 - 9у = 12.

4) Решим это уравнение:

3у 2 - 9у – 12 = 0

Д = 81 + 144 = 225

Ответ: пары (3;4) и (3;-1) являются решениями уравнения ху 2 - х 2 у = 12

Задание3. Определите степень уравнения:

а) 2у 2 - 3х 3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х)(4х - у 2) = х;

б) 5у 2 - 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у - х 2) 2 = х(х 2 + 4ху + 1).

Ответ: а) 3; б) 5; в) 4; г) 4.

Задание4. Какая фигура является графиком уравнения:

а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 - 5х = у – 1; в) 2(х + 1) = х 2 - у;

г) (х - 1,5)(х – 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.

Задание5. Напишите уравнение, график которого симметричен графику уравнения х 2 - ху + 3 = 0 (рис.24) относительно: а) оси х ; б) оси у ; в)прямой у = х; г) прямой у = -х.

Задание6. Составьте уравнение, график которого получается растяжением графика уравнения у= х 2 -3 (рис.25):

а) от оси х в 2 раза; б) от оси у в 3 раза.

Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.

Ответ: а)у - х 2 + 3 = 0 (рис.25а); б) у-(x) 2 + 3 = 0 (рис.25б).

б) прямые параллельны, перемещение параллельно оси х на 1 единицу вправо и параллельно оси у на 3 единицы вниз (рис.26б);

в) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси х (рис.26в);

г) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси у (рис.26г);

д) прямые параллельны, симметричное отображение относительно начала координат (рис.26д);

е) прямые пересекаются, поворот около начала координат на 90по часовой стрелке и симметричное отображение относительно оси х (рис.26е).

III. Самостоятельная работа обучающего характера.

(учащимся выдаются карточки «Самостоятельная работа» и «Отчётная таблица результатов самостоятельной работы», в которую учащиеся записывают свои ответы и после самопроверки, по предложенной схеме оценивают работу) Приложение 4 ..

I.вариант.

а) 5х 3 -3х 2 у 2 + 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 -(х-у) 2 = 2(х+у).

а) х 3 + у 3 -5х 2 = 0; б) х 4 +4х 3 у +6х 2 у 2 + 4ху 3 + у 4 = 1.

х 4 + у 4 -8х 2 + 16 = 0.

а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4;

б) х 2 -у 2 = 1;

в) х - у 2 = 9.

х 2 - 2х + у 2 - 4у = 20.

Укажите координаты центра окружности и её радиус.

6. Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 - у 2 = 16 ?

Проверьте свой ответ, выполнив графическое построение, используя программу Agrapher.

7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 - 1

II вариант.

1.Определите степень уравнения:

а)3ху = (у-х 3)(х 2 +у); б) 2у 3 +5х 2 у 2 - 7 = 0.

2. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:

а) х 2 -у 2 -3х = 1; б) 8х 3 + 12х 2 у + 6ху 2 +у 3 =-1.

3. Найдите множество решений уравнения:

х 2 + у 2 -2х – 8у + 17 = 0.

4. Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:

а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 =9

б) у 2 - х 2 =1

в) х = у 2 - 1.

(проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания)

5. Постройте, используя программуAgrapher, график уравнения:

х 2 + у 2 - 6х + 10у = 2.

6.Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 - у 2 = 28 ?

7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 + 9.