Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Метод применим для функций от любого числа переменных, но мы рассмотрим его для функций от 3-х переменных.

Представим в виде ДНФ с неопределенными коэффициентамиk:

(**)

В этой ДНФ представлены все возможные элементарные коньюнкции, которые могут входить в функцию, а коэффициенты kмогут принимать значения 0 или 1. Значения коэффициентов нужно выбрать так, чтобы данная ДНФ была минимальной.

Будем рассматривать данную нам функцию на всех наборах и приравнивать выражение (**) на каждом из наборов (отбрасывая нулевые конъюнкции) соответствующему значению функции. Получим систему изуравнений вида:

Если в каком-то из этих уравнений правая часть равна 0, то все слагаемые левой части тоже равны 0. Эти коэффициенты можно исключить из всех уравнений, правые части которых равны 1. В этих уравнениях значение 1 следует присвоить тому коэффициенту, который соответствует коньюнкции наименьшего ранга. Эти коэффициенты и определят МДНФ.

Пример

Составляем систему, используя выражение (**).

После исключения нулевых слагаемых получаем

Полагаем остальные коэффициенты считаем нулевыми. Получаем МДНФ:

2.2. Метод Квайна - Мак - Класки

Рассмотренный метод неопределенных коэффициентов эффективен, если число аргументов функции не больше, чем 5 – 6. Это связано с тем, что число уравнений равно 2 n . Более эффективным является выписывание не всех возможных конъюнкций для функции, а только тех, которые могут присутствовать в ДНФ данной функции. На этом основан метод Квайна. При этом предполагается, что функция задана в виде СДНФ. В данном методе элементарные конъюнкции рангаn, входящие в ДНф, называются минитермами рангаn. Метод Квайна состоит из последовательного выполнения следующих этапов.

1. Нахождение первичных импликант

Просматриваем последовательно каждый минитерм функции и производим склеивание его со всеми минитермами, с которыми это возможно. В результате склеивания минитермов n-го ранга, мы получим минитермы (n-1)-га ранга. Минитермыn-го ранга, которые участвовали в операции склеивания, помечаем. Затем рассматриваем минитермы (n-1)-го ранга и операцию склеивания применяем к ним. Помечаем склеивающиеся минитермы (n-1)-го ранга и записываем получившиеся в результате склеивания минитермы (n-2)-го ранга и т. д. Этап заканчивается, если вновь полученные минитермыl -го ранга уже не склеиваются между собой. Все неотмеченные минитермы называются первичными импликантами. Их дизъюнкция представляет собой Сокр. ДНФ функции.

Склеиваем минитермы 4-го ранга и помечаем склеивающиеся минитермы звездочками

Образуем минитермы 2-го ранга:

Первичными (простыми) импликантами являются:

2. Расстановка меток

Для данной функции Сокр. ДНФ имеет вид:

Для построения тупиковых ДНФ и Сокр. ДНФ нужно выбросить лишние интервалы. Строим таблицу, строки которой соответствуют первичным импликантам, а столбцы – минитермам СДНФ. Если в некоторый из минитерм входит какой-то из импликант, то на пересечении соответствующей строки и столбца ставится метка, например, 1.

Продолжение примера

3. Нахождение существенных импликант

Если в каком-либо столбце содержится только одна единица, то первичная импликанта, определяющая эту строку, называется существенной. Например, существенной импликантой является . Существенная импликанта не может быть удалена из Сокр. ДНФ, т. к. только она способна покрыть некоторые минитермы СДНФ. Поэтому из таблицы исключаем строки, соответствующие этим импликантам, и столбцы, имеющие единицы в этих строках.

В рассматриваемом примере исключаем строку и столбцы.

В результате получаем таблицу

4. Вычеркивание лишних столбцов и строк

Если в полученной таблице есть одинаковые столбцы, то вычеркиваем все, кроме одного. Если после этого в таблице появятся пустые строки, то их вычеркиваем.

5. Выбор минимального покрытия максимальными интервалами

В полученной таблице выбираем такую совокупность строк, которая содержит единицы во всех столбцах. При нескольких возможных вариантах такого выбора, предпочтение отдается варианту с минимальным числом букв в строках, образующих покрытие.

Продолжение примера

Минимальное покрытие таблицы образуют строки, соответствующие импликантам . Тогда МДНФ имеет вид:

В методе Квайна есть одно существенное неудобство, связанное с необходимостью полного по парного сравнивания минитермов на этапе построения Сокр. ДНФ. В 1956 г. Мак - Класки предположил модернизацию первого этапа метода Квайна, дающую существенное уменьшение количества сравнений минитермов.

Идея метода Мак - Класки заключается в следующем. Все минитермы записываются в виде двоичных номеров, например, как 1010. Эти номера разбиваются на группы по числу единиц в номере, т. е. вi-ю группу попадают номера, имеющие в своей записиiединиц. По парное сравнение производится только между соседними по номеру группами, т. к. минитермы, пригодные для склеивания, отличаются друг от друга только в одном разряде. При образовании минитермов с ранга выше нулевого, в разряды, соответствующие исключенным переменным, ставится тире.

Пример

Найдем МДНФ для функции:

Минитермы 4-го ранга по группам

Минитермы 3-го ранга

Минитермы 2-го ранга

Непомеченные минитермы или простые импликанты

Строим таблицу меток

Обе первичные импликанты существенны и определяют минимальное покрытие, т. е. МДНФ имеет вид.

Алгебры логики

3.3.1. Минимизация ФАЛ с помощью матрицы Карно

Матрица Карно представляет собой своеобразную таблицу истинности ФАЛ, которая разбита на клетки. Количество клеток матрицы равно 2 n , где n – число аргументов ФАЛ. Столбцы и строки матрицы обозначаются наборами аргументов. Каждая клетка матрицы соответствует конституэнте единицы ФАЛ (двоичному числу). Двоичное число клетки состоит из набора аргументов строки и столбца. Матрица Карно для ФАЛ, зависящей от двух аргументов, представлена в виде таблицы 3.3., от трех аргументов таблицей 3.4. и от четырех аргументов таблицей 3.5.

Таблица 3.3.

Таблица 3.5.

Клетки матриц (таблицы 3.3., 3.4. и 3.5.) пронумерованы десятичными эквивалентами двоичных чисел клеток. Рядом расположенные клетки матриц, как по горизонтали, так и по вертикали, содержат соседние двоичные числа. Кроме этого соседние двоичные числа находятся во всех столбцах верхней и нижней строк, так же как во всех строках крайних столбцов.

Процесс минимизации ФАЛ с помощью матрицы Карно основан на законе склеивания соседних двоичных чисел. Можно склеивать двоичные числа рядом расположенных клеток, но рекомендуется склеивать наборы аргументов, которыми обозначены строки и столбцы матриц. Рассмотрим склеивание двоичных чисел клеток первого столбца матрицы (табл. 3.5.).

Клетки 0 и 4, соответственно двоичные числа 0000 и 0100, результат склеивания 0-00.

Клетки 8 и 12, двоичные числа 1000 и 1100, результат 1-00. Полученные импликанты склеиваются между собой, т.к. тире стоит в одном и том же разряде и двоичные числа импликант являются соседними, окончательный результат - - 00.

Клетки 8 и 12

Таким образом, если склеиваются все двоичные числа одного столбца, то пропадают те разряды, которыми обозначены строки. Аналогично, если будут склеиваться все двоичные числа одной строки, например 4, 5, 7, 6, то пропадают все разряды, которыми обозначены столбцы, т.е. результат будет следующий 01- -.

Если будут склеиваться двоичные числа только двух любых клеток, то прочерк ставиться вместо того разряда двоичных чисел строки или столбца, который изменится при переходе клеток из одной строчки в другую (или из одного столбца в другой). Например, склеиваются числа клеток 5 и 13, получим результат -101, или клеток 7 и 6 результат 011-.

При склеивании двоичных чисел восьми рядом расположенных клеток пропадает три переменные, например для клеток 3, 7, 15, 11, 2, 6, 14, 10 пропадают переменные х 1 , х 2 , х 3 . Переменные х 1 , х 2 пропадают потому, что склеиваются все клетки столбцов, а х 3 потому, что последние два столбца склеиваются между собой.

Прежде, чем рассмотреть примеры минимизации ФАЛ с помощь матрицы Карно, необходимо дать классификацию наборов аргументов, с помощью которых определяются функции алгебры логики.

Известно, что для каждой ФАЛ имеет место количество наборов аргументов 2 n , где n – число аргументов от которых зависит функция или логическое выражение.

Наборы аргументов делятся на три вида

1. Наборы аргументов, на которых функция равна единице, называются рабочими.

2. Наборы аргументов, на которых функция равна нулю, называются запрещенными.

3. Наборы аргументов, на которых функция может быть равна или единице, или нулю, называются безразличными.

Если заданная ФАЛ не имеет безразличных наборов, то она может быть представлена в буквенном выражении в виде СДНФ. При наличии в заданной ФАЛ безразличных наборов, ее представление может иметь следующую форму.

где – десятичные эквиваленты рабочих наборов,

– десятичные эквиваленты запрещенных наборов.

Наборы аргументов, которых нет среди рабочих и запрещенных, будут безразличными.

Пример 3.3. Минимизировать заданную ФАЛ в виде СДНФ с помощью матрицы Карно .

Следовательно, функция задана только рабочими наборами. Остальные будут запрещенными. Функция зависит только от трех аргументов. Строим матрицу Карно и в ее клетках, которые соответствуют рабочим наборам ставим единицы, а в остальных клетках ставим нули.

Таблица 3.5.

Для минимизации клетки матрицы, в которых стоят единицы, объединяются в контуры. В контур могут включаться две клетки, четыре или все восемь. В данном примере в контур включены четыре рядом расположенные клетки одной строки. Импликантой заданного контура будет 1 - -. Результат минимизации следующий , т.е. произошло сокращение заданной функции в СДНФ на 11 букв.

Пример 3.4. Минимизировать логическое выражение, заданное рабочими и запрещенными наборами с помощью матрицы Карно.

Строим матрицу Карно на четыре переменных и заполним клетки единицами и нулями соответственно для рабочих и запрещенных наборов.

Таблица 3.6.

х 3 х 4 х 1 х 2	00
			(1)
	(1)		(1)

При объединении клеток с единицами в контуры желательно, чтобы в каждый контур включалось наибольшее число клеток из максимально возможного. Для этого клетки некоторых безразличных наборов используем как клетки рабочих наборов, подставив в них единицы в скобках. В результате получим три контура, содержащие по 4 клетки. В обобщенном коде контура, включающего в себя все клетки одной строки, пропадают переменные х 2 х 3 (10 - -). В обобщенном коде контура, включающего все клетки одного столбца пропадают переменные х 1 х 2 (- - 11) и для контура, содержащего по две клетки двух строк пропадают переменные х 2 (при переходе в контуре из одной строки в другую) и х 3 (при переходе из одного столбца в другой). В результате получим минимальную ДНФ в следующем виде

Возможные варианты объединения клеток матрицы Карно в контуры показаны на рисунке 3.4.

х 3 х 4 х 1 х 2

Рис. 3.1. Возможные варианты объединения клеток матрицы Карно в контуры

3.3.2. Минимизация функций алгебры логики с помощью матрицы на пять переменных

Матрица минимизации на пять переменных строится аналогично матрице Карно, т.е. в этой матрице рядом расположенные столбцы и строки должны быть обозначены соседними двоичными числами наборов переменных

В матрице на пять переменных (таблица 3.7.) строкам соответствуют наборы переменных х 1 х 2 х 3 , а столбцам наборы переменных х 4 х 5 . Каждой клетке матрицы соответствует пятиразрядное двоичное число. В клетках матрицы (табл. 3.7.) проставлены десятичные эквиваленты соответствующих двоичных чисел.

Таблица 3.7.

Минимизация ФАЛ с помощью матрицы на пять переменных заключается в объединении клеток с рабочими наборами (включая при необходимости и клетки с безразличными наборами) в контуры и получении для этих контуров соответствующих им обобщенных кодов.

Особенность здесь заключается в том, что в столбцах матрицы на пять переменных объединять по четыре клетки в контуры можно только или четыре клетки сверху, или четыре клетки внизу, или четыре клетки посередине. Например, для последнего столбца матрицы контуры могут состоять из клеток 2, 6, 14, 10, или 26, 30, 22, 18 или 14, 10, 26, 30.

Пример 3.6. Минимизировать с помощью матрицы на пять переменных следующее логическое выражение

Строим матрицу на пять переменных и заполняем клетки рабочих наборов единицами, запрещенных – нулями.

Объединяем в контуры клетки с рабочими наборами, включая в них необходимые клетки безразличных наборов. Для каждого контура определяем обобщенных код.

Таблица 3.8.

х 4 х 5 х 1 х 2 х 3
	(1)	(1)	(1)
	(1)
	(1)	(1)
		(1)	(1)
	(1)		(1)
			(1)
	(1)		(1)

Получаем минимальную ДНФ

Контрольные вопросы

1. Дать определение сокращенной ДНФ.

2. Что представляет собой тупиковая ДНФ?

3. Как выбирается минимальная ДНФ из тупиковых ДНФ?

4. Для чего используется импликантная таблица и как она строится?

5. Пояснить аналитический способ минимизации ФАЛ Квайна-Мак-Класски.

6. Как строится матрица Карно на три и четыре переменных?

7. Минимизировать аналитическим способом следующие логические выражения, заданные только рабочими наборами

8. Минимизировать с помощью матрицы Карно логические выражения, заданные рабочими и запрещенными наборами

Похожая информация.

Процедура минимизации

Чтобы моделировать деформацию при нулевой температуре используется процедура минимизации, которая позволяет поддерживать систему вблизи локального минимума энергии все время. Деформация и минимизация выполняются одновременно. Алгоритм минимизации представляет собой модифицированный алгоритм МД. После каждого шага по времени МД для каждого атома вычисляется скалярное произведение между импульсом и силой. Для атомов, скалярное произведение для которых отрицательно, импульс зануляется, так как эти атомы движутся в направлении, в котором потенциальная энергия возрастает. Таким образом, кинетическая энергия атомов удаляется, тогда как потенциальная энергия приближается к локальному минимуму энергии вдоль направления движения атома. Такая процедура минимизации быстро сдвигает систему в окрестность локального минимума энергии, но полной сходимости не получается, так как полная сходимость требует числа шагов по времени порядка числа степеней свободы системы. Однако, обычно увеличении числа шагов процедуры минимизации приводит лишь к малым изменениям в эволюции системы.

Вычисление сил

Наибольших вычислительных усилий требует вычисление сил, действующих между атомами. Поэтому оптимизации алгоритма вычисления сил необходимо уделить особое внимание. Один из шагов в этом направлении состоит в замене сложных для вычисления выражений для сил (например, содержащих экспоненту) на легко вычисляемые выражения (например, сплайны третьего порядка). Второй шаг состоит в использовании потенциалов с ограниченным радиусом действия, или, как указывалось выше, в обрезании несущественной области потенциала, если радиус действия потенциала бесконечен. При этом необходимо вычислить только силы, действующие со стороны ближайших атомов, т.е. находящихся внутри сферы (окружности в двумерном случае) с радиусом равным радиусу обрезания.

Третий шаг состоит в оптимизации алгоритма поиска атомов, ближайших к данному атому. Дело в том, что прямолинейный перебор всех атомов, вычисление расстояний до них и отбрасывание тех атомов, расстояние до которых превышает радиус обрезания, требует количества операций пропорционального, где - число атомов в системе. Следовательно, с ростом число требуемых операций быстро возрастает, и поэтому выполнение вычислений сильно замедляется, а, для больших, делается практически невыполнимым. Таким образом, чтобы избежать этого замедления нужен алгоритм, для которого число требуемых операций росло бы с линейно, а не квадратично. В принципе такой алгоритм прост - нужно перебирать не все атомы, а только достаточно близкорасположенные. Такое утверждение представляет собой тавтологию, пока не конкретизировано понятие близкорасположенных атомов. Чтобы сделать это, разобьем ячейку моделирования на более мелкие субячейки. Тогда близкорасположенные к данному атому будут атомы, которые расположены в субячейках, соседних с субячейкой, содержащей данный атом или в субячейках соседних с соседними.

Удобно разбить ячейку моделирования на субячейки - параллелепипеды (прямоугольники в двумерном случае). Вследствие сильного отталкивания на малых расстояниях, атомы не могут подходить близко друг к другу. Поэтому можно выбрать такие размеры субячеек, что в каждой из них будет находится не более одного атома.

Таким образом, алгоритм поиска атомов, удаленных от данного атома на расстояние не больше радиуса обрезания, выглядит следующим образом. По номеру атома находим координаты атома и по ним субячейку, в которой находится атом. Затем находим субячейки, удаленные от нее на расстояние не более чем. Атомы, расположенные в этих субячейках, и будут искомыми (см. рис.1). Чтобы найти номер атома, хранящегося в заданной субячейке, удобно ввести массив, каждый элемент которого соответствует определенной субячейке. В этом элементе массива будет хранится номер атома, расположенного в этой субячейке, или нуль, если субячейка пуста. Элементы этого массива обновляются на каждом шаге по времени МД. Ясно, что изложенный алгоритм обеспечивает линейный рост числа операций с ростом числа атомов в системе. Вариации этого алгоритма используются в программах МД “Gromex”, “MOLDY”, “DL_POLY” и др.

Возможна и другая организация вычислений, которая будет удобна для организации параллельных вычислений. Именно для вычисления сил, действующих на данный атом, можно перейти от суммирования по близлежащим атомам, к суммированию по близлежащим субячейкам (см рис.1). Будем двигаться последовательно по субячейкам первого ряда. Дойдя до конца первого ряда, перейдем в начало второго ряда и т.д.

Рис.1 Схема поиска ближайших атомов.

Если в субячейке находится атом, то вычисляем силу, действующую на него, со стороны ближайших атомов, расположенных в близлежащих субячейках. Если же субячейка пуста, то переходим к следующей. Отметим при этом, что, например, для атома находящегося в субячейке 6 (см. рис.1) необходимо вычислить силу, действующую со стороны атомов расположенных в субячейках 1, 2, 3, 7. Силы, действующие со стороны атомов, расположенных в субячейках 5, 9, 10, 11 в силу третьего закона Ньютона, с точностью до знака уже известны. Они были вычислены, когда вычислялись силы, действующие на атомы, расположенные в этих субячейках. Таким образом, в данной организации вычислений, необходимо рассматривать лишь половину близлежайших субячеек. Далее, при переходе к смежной субячейке 7 нет необходимости исследовать все близлежащие субячейки для поиска находящихся в них близко расположенных атомов. Необходимо лишь исследовать ячейки 4 и 8. И к найденным в них атомам, добавить атомы, найденные для ячейки 6, за исключением атомов находящихся в субячейках 1 и 6. Таким образом, информация о ближайших атомах для данной субячейки не теряется, а используется при поиске ближайших атомов для смежной субячейки. Это естественно приводит к ускорению вычислений.