Решить систему с помощью определителей. Определители и системы линейных уравнений. Приведение определителя к треугольному виду

Система уравнений следующего вида:

где а ij , b i – числовые коэффициенты, x i – переменные, называется системой линейных уравнений.

Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества.

Система линейных уравнений называется:

совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

несовместной, если она не имеет решений;

определенной, если она имеет единственное решение;

однородной, если все b i = 0;

неоднородной, если все b i ≠ 0.

Правило Крамера

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

 = det A  0;

Теорема. (Правило Крамера):

Система из n уравнений с n неизвестными

В случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

х i = ;

где  - главный определитель , составленный из числовых коэффициентов при неизвестных, а  i – вспомогательный определитель , получаемый из главного заменой i -го столбца столбцом свободных членов b i .

 i =

Пример. Решить систему, используя правило Крамера.

;

 1 =
;  2 =
;  3 =
;

x 1 = ; x 2 = ; x 3 = ;

Пример. Найти решение системы уравнений:

 =
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

 1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

 2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

 3 =
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Если система однородна, т.е. b i = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x 1 = x 2 = … = x n = 0.

Матричный метод

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Этот метод удобен для решения систем невысокого порядка. Он основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Введем обозначения:

A =
- матрица коэффициентов системы;

B = матрица – столбец свободных членов;

X = - матрица – столбец неизвестных.

Систему уравнений можно записать в матричной форме:

Сделаем следующее преобразование: A -1 AX = A -1 B,

т.к. А -1 А = Е, то ЕХ = А -1 В, получим

Х = А -1  В - решение матричного уравнения

Пример. Решить систему матричным методом

Решение.Обозначим:

,
,
.

Получаем матричное уравнение
.

Его решение
, т.е.

(Нахождение обратной матрицы было рассмотрено ранее).

Метод Гаусса

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Определение: Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы.

Определение: Матрица называется расширенной матрицей системы, если к матрице А присоединить столбец свободных членов системы.

Расширенная матрица – это закодированная запись системы. Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим уравнением эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работу с уравнениями можно заменить работой со строками матрицы.

Определение: Матрицу А называют ступенчатой, если:

А) любая ее строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент,

Б) первый отличный от нуля элемент каждой ее строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.

Метод Гаусса является эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему ступенчатого вида, которая легко решается и исследуется. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Разберем идею метода Гаусса на конкретных примерах.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем к виду:

, откуда получаем: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

Курсовой проект пояснительная записка

Курсовой проект

И третий столбец матрицы, находим вспомогательные определители : Находим коэффициенты полинома: Таким образом... произведение: Найдем произведение: Найдем главный определитель : Находим вспомогательные определители и, подставляя матрицу поочередно в...

Методические рекомендации по выполнению внеурочной самостоятельной работы студента Дисциплина «Математика» для специальности

Методические рекомендации

Пример: вычислить определитель второго порядка 1) 2) 2. Вычислить определитель третьего порядка Определителем третьего порядка называется... из коэффициентов при неизвестных Составим вспомогательные определители системы следующим образом: … Тогда...

Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по лингвистическим специальностям Москва «Высшая школа» 2002

Учебник

Восполнителями, вспомогательные глаголы, аспектные и фазисные глаголы, наречия-интенсификаторы, указательные определители ; гетерогенными... путем сочетания «вещественного» слова с «вспомогательно -грамматическим» словом. Соответственно этому и...

Главная > Документ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .Например. Найти матрицу транспонированную данной. Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц:

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу

или .Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij ) размера m ×n на матрицу B = (b ij ) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

Примеры.

Найти элементы c 12 , c 23 и c 21 матрицы C .

Найти произведение матриц.

Найти АВ и ВА .

Найти АВ и ВА . , B·A – не имеет смысла.Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC .Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A , причём AE=EA=A .Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.Например , если

, то

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .Определитель обозначается символом

.Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.Примеры. Вычислить определители второго порядка.

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11 , a 12 , a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.
. (x +3)(4x -4-3x )+4(3x -4x +4)=0. (x +3)(x -4)+4(-x +4)=0. (x -4)(x -1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1.Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Доказательство проводится проверкой, т.е. сравнением обеих частей записанного равенства. Вычислим определители, стоящие слева и справа:

абсолютную величину

Доказательство проводится аналогично доказательству свойства 1 сравнением обеих частей. Проведём его для определителя второго порядка.

Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно. Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A | = –|A | или |A | = 0. Доказательство проводится проверкой, как и свойство 1. (Самостоятельно)

Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. (Доказательство – проверкой). Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,

Доказательство - проверкой, аналогично свойству 1.

Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины. Например,

. Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя.

Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении определителей и в различных задачах.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ Пусть имеем определитель третьего порядка:

.Минором , соответствующим данному элементу a ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i -ой строки и j -го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a ij будем обозначать M ij .Например , минором M 12 , соответствующим элементу a 12 , будет определитель

, который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a 12 , берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что

Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.Введём ещё одно понятие.Алгебраическим дополнением элемента a ij определителя называется его минор M ij , умноженный на (–1) i+j .Алгебраическое дополнение элемента a ij обозначается A ij .Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A ij = (–1) i+j M ij . Например, Пример. Дан определитель . Найти A 13 , A 21 , A 32 .

Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:.Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.

Отсюда

т.к. определители второго порядка в формуле (2) есть миноры элементов a 21 , a 22 , a 23 . Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки.Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.Таким образом, справедлива следующая теорема.Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.Примеры.

равными нулю

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц .Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A -1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)Справедлива следующая теорема:Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.Доказательство :

Необходимость

-1

Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей . Предположим, что |A | = 0. Тогда

. Но с другой стороны

. Полученное противоречие и доказывает, что |A | ≠ 0.

Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица

, где A ij алгебраическое дополнение элемента a ij . Найдём AB=C . Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Действительно, например,

Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c 22 = c 33 = 1. Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C равны нулю. Например,
Следовательно, AB=E . Аналогично можно показать, что BA=E . Поэтому B = A -1 .Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом

где A ij - алгебраические дополнения элементов a ij данной матрицы A .Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно: Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .Примеры. |A | = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A . Проверка: . Аналогично A∙A -1 = E . . Вычислим |A | = 4. Тогда . .

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами. Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации: Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .Рассмотрим способы нахождения решений системы.МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в видеили короче A ∙X=B .Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .Примеры. Решить системы уравнений. Найдем матрицу обратную матрице A . , Таким образом, x = 3, y = – 1.
Итак, х 1 =4,х 2 =3,х 3 =5. Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения. Найдем матрицу А -1 . Проверка: Из уравнения получаем . Следовательно,ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы .Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Аналогично можно показать, что и .Наконец несложно заметить, что Таким образом, получаем равенство: .Следовательно, .Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.Примеры. Решить систему уравнений
Итак, х =1, у =2, z =3. Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0. . Поэтому . МЕТОД ГАУССА Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Лекция 1.1. Числовые матрицы и действия над ними.

Краткое содержание: Место линейной алгебры и аналитической геометрии в естествознании. Роль отечественных ученых в развитии этих наук. Понятие матрицы. Операции над матрицами и их свойства.

Таблица чисел вида называется прямоугольной матрицей размерности . Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами A, B, C, …Числа, из которых состоит таблица, называют элементами матрицы. Каждый элемент имеет два индекса и , обозначающие соответственно номер строки () и номер столбца(), в которых расположен данный элемент. Используются следующие обозначения матрицы .

Две матрицы называются равными , если они имеют одинаковую размерность (т.е. одинаковое число строк и столбцов) и если числа, стоящие на соответствующих местах этих матриц, равны.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, матрицу называют квадратной . В квадратной матрице число строк (или столбцов) называют порядком матрицы. В частности квадратная матрица первого порядка – это просто действительное число. Соответственно говорят, что вектор строка есть матрица размерности , а вектор-столбец имеет размерность .

Элементы, стоящие на главной диагонали квадратной матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол), называются диагональными .

Квадратная матрица все элементы которой не лежащие на главной диагонали равны 0 называется диагональной .

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а все внедиагональные – 0, называется единичной и обозначается или , где n- ее порядок.

Основные операции над матрицами – сложение матриц и умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число называется матрица той же размерности, что и матрица А, каждый элемент которой умножен на это число .

Например: ; .

Свойства операции умножения матрицы на число:

1. l(mА )=(lm)А (ассоциативность)

2. l(А +В )= lА +lВ (дистрибутивность относительно сложения матриц)

3. (l+m)А =)=lА +mА (дистрибутивность относительно сложения чисел)

Линейной комбинацией матриц А и В одинакового размера называется выражение вида: aА +bВ , где a,b - произвольные числа

Суммой матрицА и В (это действие применимо только к матрицам одинаковой размерности) называется матрица С такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В .

Свойства сложения матриц:

1)А +В =В +А (коммутативность)

2)(А +В )+С =А +(В +С )=А +В +С (ассоциативность)

Разностью матрицА и В (это действие применимо только к матрицам одинаковой размерности) называется матрица С такой же размерности, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В .

Транспонирование . Если элементы каждой строки матрица размерности записать в том же порядке в столбцы новой матрицы, причем номер столбца будет равен номеру строки, то новую матрицу называют транспонированной по отношению к и обозначают . Размерность равна Переход от к называется транспонированием. Ясно так же, что . ,

Умножение матриц . Операция умножения матриц возможна лишь в том случае, если число столбцов первого множителя равны числу строк второго. В результате умножения получим матрицу, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя, а число столбцов с числом столбцов второго:

Правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в –й строке и –м столбце произведения двух матриц, нужно элементы –й строки первой матрицы умножить на элементы –го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. На математическом жаргоне иногда говорят: нужно –ую строку матрицы умножить на –й столбец матрицы . Ясно, что строка первой и столбец второй матрицы должны содержать одинаковое количество элементов.

В отличие от этих операций операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложно. Пусть заданы две матрицы А и В , причем число столбцов первой из них равно числу строк второй: например, матрица А имеет размерность , а матрица В – размерность . Если

, , то матрица размерности

, где (i=1,…,m;j=1,…,k)

называется произведением матрицы А на матрицу В и обозначается АВ .

Свойства операции умножения матриц:

1. (АВ)С=А(ВС)=АВС (ассоциативность)

2. (А+В)С=АС+ВС (дистрибутивность)

3. А(В+С)=АВ+А (дистрибутивность)

4. Умножение матриц некоммутативно: АВ не равно ВА ., если равно, то эти матрицы называются перестановочными.

Элементарные преобразования над матрицами :

1. Перемена местами двух строк (столбцов)

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля

3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на какое либо число

Лекция 1.2. Определители с действительными коэффициентами. Нахождение обратной матрицы.

Краткое содержание: Определители и их свойства. Методы вычисления определителей с действительными коэффициентами. Нахождение обратной матрицы дляматриц третьего порядка.

Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы. Определитель – это число , которое находится по вполне определенным правилам и обозначается или det A .

Определитель матрицы второго порядка находится так: или

Определителем третьего порядка называется число:

Для запоминания этой громоздкой формулы существует «правило треугольников»:

Можно посчитать и другим методом ‑ методом разложения по строке или по столбцу. Введем некоторые определения:

Минором квадратной матрицы А называется определитель матрицы А , который получается вычеркиванием –й строки и –го столбца: например для минор - .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, в которых расположен элемент, четна, и с обратным знаком, если сумма номеров нечетна: .

Тогда: Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на их алгебраические дополнения.

ПР: Вычислим определитель: , разложив его по элементам первой строки.

Свойства определителей:

1.Определитель равен 0, если содержит две одинаковые строки (столбца) или нулевую строку (столбец).

2.Определитель меняет свой знак при перестановке двух строк (столбцов).

3.Общий множитель в строке (в столбце) можно выносить за знак определителя.

4.Определитель не меняется, если к строке (столбцу) прибавить любую другую строку (другой столбец), умноженную на произвольное число.

5.Определитель не меняется при транспонировании матрицы .

6.Определитель еденичной матрицы равен 1:

7.Определитель произведения матриц равен произведению определителей

Обратная матрица .

Квадратная матрица называется невырожденной , если ее определитель отличен от нуля.

Если при умножении квадратных матриц А и В в любом порядке получается единичная матрица (АВ=ВА=Е ), то матрица В называется обратной матрицей для матрицы А и обозначается , т.е. .

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную .

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

Обратная матрица. Квадратная матрица наз невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

Матрица, обратная к матрице обозначается . Если обратная матрица существует, то она единственна и

Где – присоединенная (союзная), составленная из алгебраических дополнений j:

Тогда определитель обратной матрицы связан с определителем данной матрицы следующим соотношением: . В самом деле, , откуда и следует данное равенство.

Свойства обратной матрицы:

1. , где ‑ невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.

3. .

Лекция 1.3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.методам Гаусса и средствами матричного исчисления.

Краткое содержание: Метод Крамера и метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Матричный способ решения систем уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений. Однородные и неоднородные системы.

Система уравнений следующего вида:

(*) , где , ‑ коэффициенты, ‑ переменные, называется системой линейных уравнений. Решить систему линейных уравнений – это значит указать все решения системы, т.е. такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества. Система линейных уравнений называется.

Cтраница 1

Главный определитель составляется так, чтобы в первом столбце находились коэффициенты при том параметре, который откладывается по горизонтальной оси. В данном случае принято, что klK откладывается по вертикальной оси, a & 2it - по горизонтальной.

Главный определитель равен нулю, а хотя бы один вспомогательный определитель не равен нулю.

Главный определитель - Гурвица составляется следующим образом.

Граф / С4 - х и его остовы.

Главный определитель матрицы Р (или Q) имеет порядок т, а выражение соответствующие главные определители означает, что столбцы матрицы Р, входящие в рассматриваемый определитель, имеют такие же номера и такой же порядок, как строки матрицы Q, входящие в другой определитель.

Главный определитель D (p), называемый характеристическим, не зависит ни от искомой переменной, ни от места приложения возмущающей силы.

Составляем главный определитель А.

Составляем главный определитель системы и приравниваем его нулю. Об устойчивости судим по характеру корней. Степень характеристического уравнения определяется числом энергоемких элементов, независимо накапливающих энергию, с учетом полюсов у каждого из имеющихся в схеме частотно-зависимых управляемых источников. В некоторых случаях необходимо при исследовании устойчивости учитывать не только первый доминантный полюс ОУ или транзистора, но и остальные полюса.

Поскольку главный определитель системы (3.50) равен нулю, собственные векторы определяются не однозначно, а с точностью до постоянного множителя.

Выразим главный определитель D [ ф-ла (8.35) ] через параметры схемы.

Если главный определитель системы п линейных уравнений с п неизвестными не равен нулю, то система имеет единственное решение, если же этот определитель равен нулю, то система является либо неопределенной, либо несовместной.

Если главный определитель однородной системы (9) не равен нулю, то согласно предыдущей теореме система имеет единственное решение. Это решение является тривиальным. Если же главный определитель равен нулю, то система в соответствии с теоремой 2 может быть или несовместной, или неопределенной. Однако система уравнений (9) несовместной быть не может, так как существует тривиальное решение.

Если главный определитель однородной системы (9) не равен нулю, то согласно предыдущей теореме система имеет единственное решение. Это решение является тривиальным. Если же главный определитель равен нулю, то система. Однако система уравнений (9) несовместной быть не может, так как существует тривиальное решение.

Если главный определитель однородной системы (9) не равен нулю, то согласно предыдущей теореме система имеет единственное решение. Это решение является тривиальным. Если же главный определитель равен нулю, то система, в соответствии с теоремой 2 может быть или несовместной, или неопределенной. Однако система уравнений (9) несовместной быть не может, так как существует тривиальное решение.

Определителем второго порядка

и вычисляется по правилу

Числа называютсяэлементами определителя (первый индекс указывает номер строки, а второй
номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент); диагональ, образованная элементами
,
, называетсяглавной , элементами
,

побочной .

Аналогично вводится понятие определителя третьего порядка.

Определителем третьего порядка называется число, которое обозначается символом

и вычисляется по правилу

Диагональ, образованная элементами
,
,
, называетсяглавной , элементами
,
,

побочной .

Чтобы запомнить какие произведения в правой части равенства (1) берутся со знаком «
», а какие со знаком «
», полезно использовать следующее «правило треугольников»:

Можно ввести понятие определителя 4-го, 5-го и т. д. порядков.

Минором
некоторого элемента определителя называется определитель, образованный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на
, где
номер строки,
номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент:

Свойства определителей.

Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами со столбцами.

Рассмотренная операция называется транспонированием. Свойство 1

устанавливает равноправность строк и столбцов определителя.

Задача 1. Вычислить определители:

1) 2)3)4).

Задача 2. Вычислить определители, разложив их по элементам первого столбца:

1)
2)

Задача 3. Найти из уравнений:

1)
2)

1.2. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера

I) Система двух линейных неоднородных уравнений с двумя неизвестными

Обозначим

основной определитель системы;

,
вспомогательные определители.

а) Если определитель системы

,
. (1)

б) Если определитель системы
, то возможны случаи:

1)
(уравнения пропорциональны), тогда система содержит только одно уравнение, например,
и имеет бесконечно много решений (неопределённая система). Для её решения необходимо выразить одну переменную через другую, значение которой выбирается произвольно;

2) если хотя бы один из определителей
отличен от нуля, то система не имеет решений (несовместная система).

II) Система двух линейных однородных уравнений с тремя переменными

(2)

Линейное уравнение называется однородным , если свободный член этого уравнения равен нулю.

а) Если
, то система (2) сводится к одному уравнению (например, первому), из которого одно неизвестное выражается через два других, значения которых выбираются произвольно.

б) Если условие
не выполнено, то для решения системы (2) перенесем одну переменную вправо и решим систему двух линейных неоднородных уравнений с использованием формул Крамера (1).

III) Система трёх линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными:

Составим и вычислим основной определитель и вспомогательные определители,.

а) Если
, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

,
,
(3)

б) Если
, то возможны случаи:

1)
, тогда система будет иметь бесконечно много решений, она будет сводиться либо к системе состоящей из одного, либо из двух уравнений (одну неизвестную перенесём направо и решим систему двух уравнений с двумя неизвестными);

2) хотя бы один из определителей
отличен от нуля, система не имеет решения.

IV) Система трёх линейных однородных уравнений с тремя неизвестными:

Эта система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.

а) Если определитель системы
, то она имеет единственное нулевое решение.

б) Если же
, то система сводится либо к двум уравнениям (третье является их следствием), либо к одному уравнению (остальные два являются его следствием) и имеет бесконечно много решений (см. п.II).

Задача 4. Решить систему уравнений

Решение. Вычислим определитель системы

Так как
, то система имеет единственное решение. Воспользуемся формулами Крамера (3). Для этого вычислим вспомогательные определители:

,
,

Задача 5. Решить систему уравнений

Решение. Вычислим определитель системы:

Следовательно, система однородных уравнений имеет бесконечно много решение, отличных от нулевого. Решаем систему первых двух уравнений (третье уравнение является их следствием):