Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Задачи прогнозирования построены на изменении неких данных во времени (продаж, спроса, поставок, ВВП, выбросов углерода, численности населения…) и проецировании этих изменений на будущее. К сожалению, выявленные на исторических данных, тренды могут нарушаться множеством непредвиденных обстоятельств. Так что данные в будущем могут существенно отличаться от произошедшего в прошлом. В этом и состоит проблема прогнозирования.

Однако, существуют методики (под названием экспоненциальное сглаживание), позволяющие не только попытаться предсказать будущее, но и выразить численно неопределенность всего, что связано с прогнозом. Численное выражение неопределенности с помощью создания интервалов прогнозирования поистине неоценимо, но часто игнорируется в прогностическом мире.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Исходные данные

Допустим, вы фанат «Властелина Колец», и вот уже три года изготавливаете и торгуете мечами (рис. 1). Отобразим продажи графически (рис. 2). За три года спрос удвоился - может быть, это тренд? Мы вернемся к этой мысли чуть позже. На графике есть несколько пиков и спадов, что может быть признаком сезонности. В частности, пики приходятся на месяцы с номерами 12, 24 и 36, которые оказываются декабрями. Но может быть это лишь случайность? Давайте выясним.

Простое экспоненциальное сглаживание

Методы экспоненциального сглаживания основываются на прогнозировании будущего по данным из прошлого, где более новые наблюдения весят больше, чем старые. Такое взвешивание возможно благодаря константам сглаживания. Первый метод экспоненциального сглаживания, который мы опробуем, называется простым экспоненциальным сглаживанием (ПЭС, simple exponential smoothing, SES). Он использует лишь одну константу сглаживания.

При простом экспоненциальном сглаживании предполагается, что ваш временной ряд данных состоит из двух компонентов: уровня (или среднего) и некоей погрешности вокруг этого значения. Нет никакого тренда или сезонных колебаний - есть просто уровень, вокруг которого колеблется спрос, тут и там окруженный небольшими погрешностями. Отдавая предпочтение более новым наблюдениям, ПЭС может явиться причиной сдвигов этого уровня. Говоря языком формул,

Спрос в момент времени t = уровень + случайная погрешность около уровня в момент времени t

Так как же найти приблизительное значение уровня? Если принять все временные значения как имеющие одинаковую ценность, то следует просто вычислить их среднее значение. Однако, это плохая идея. Следует дать больший вес недавним наблюдениям.

Создадим несколько уровней. Рассчитаем исходный уровень в первый год:

уровень 0 = среднее значение спроса за первый год (месяцы 1-12)

Для спроса на мечи он равен 163. Мы используем уровень 0 (163) как прогноз спроса на месяц 1. Спрос в месяц 1 равен 165, то есть он на 2 меча выше уровня 0 . Стоит обновить приближение исходного уровня. Уравнение простого экспоненциального сглаживания:

уровень 1 = уровень 0 + несколько процентов × (спрос 1 – уровень 0)

уровень 2 = уровень 1 + несколько процентов × (спрос 2 – уровень 1)

И т.д. «Несколько процентов» - называется константой сглаживания, и обозначается альфой. Это может быть любое число от 0 до 100% (от 0 до 1). Выбирать значение альфы вы научитесь позже. В общем случае значение для разных моментов времени:

Уровень текущий период = уровень предыдущий период +
альфа × (спрос текущий период – уровень предыдущий период)

Будущий спрос равен последнему вычисленному уровню (рис. 3). Поскольку вы не знаете, чему равна альфа, установите для начала в ячейке С2 значение 0,5. После того, как модель будет построена, найдите такую альфа, чтобы сумма квадратов ошибки – Е2 (или стандартное отклонение – F2) были минимальны. Для этого запустите опцию Поиск решения . Для этого пройдите по меню ДАННЫЕ –> Поиск решения , и установите в окне Параметры поиска решения требуемые значения (рис. 4). Чтобы отразить результаты прогноза на диаграмме, для начала выберите диапазон А6:В41, и постройте простую линейную диаграмму. Далее кликните на диаграмме правой кнопкой мыши, выберите опцию Выбрать данные. В открывшемся окне создайте второй ряд и вставьте в него предсказания из диапазона А42:В53 (рис. 5).

Возможно, у вас есть тренд

Чтобы проверить это предположение достаточно подогнать линейную регрессию под данные спроса и выполнить тест на соответствие критерию Стьюдента на подъеме этой линии тренда (как в ). Если уклон линии ненулевой и статистически значимый (в проверке по критерию Стьюдента величина р менее 0,05), у данных есть тренд (рис. 6).

Мы воспользовались функцией ЛИНЕЙН, которая возвращает 10 описательных статистик (если вы ранее не пользовались этой функцией, рекомендую ) и функцией ИНДЕКС, которая позволяет «вытащить» только три требуемые статистики, а не весь набор. Получилось, что наклон равен 2,54, и он значим, так как тест Стьюдента показал, 0,000000012 существенно меньше 0,05. Итак, тренд есть, и осталось включить его в прогноз.

Экспоненциальное сглаживание Холта с корректировкой тренда

Часто оно называется двойным экспоненциальным сглаживанием, потому что имеет не один параметр сглаживания - альфа, а два. Если у временной последовательности линейный тренд, то:

спрос за время t = уровень + t × тренд + случайное отклонение уровня в момент времени t

Экспоненциальное сглаживание Холта с корректировкой тренда имеет два новых уравнения, одно - для уровня по мере его продвижения во времени, а другое - тренд. Уравнение уровня содержит сглаживающий параметр альфа, а уравнение тренда – гамма. Вот как выглядит новое уравнение уровня:

уровень 1 = уровень 0 + тренд 0 + альфа × (спрос 1 – (уровень 0 + тренд 0))

Обратите внимание, что уровень 0 + тренд 0 - это просто одношаговый прогноз от исходных значений к месяцу 1, поэтому спрос 1 – (уровень 0 + тренд 0) - это одношаговое отклонение. Таким образом, основное уравнение приближения уровня будет следующим:

уровень текущий период = уровень предыдущий период + тренд предыдущий период + альфа × (спрос текущий период – (уровень предыдущий период) + тренд предыдущий период))

Уравнение обновления тренда:

тренд текущий период = тренд предыдущий период + гамма × альфа × (спрос текущий период – (уровень предыдущий период) + тренд предыдущий период))

Холтовское сглаживание в Excel аналогично простому сглаживанию (рис. 7), и, как и выше, цель – найти два коэффициента, минимизируя сумму квадратов ошибок (рис. 8). Чтобы получить исходные значения уровня и тренда (в ячейках С5 и D5 на рис. 7), постройте график за первые 18 месяцев продаж и добавьте к нему линию тренда с уравнением. Исходное значение тренда 0,8369 и исходный уровень 155,88 занесите в ячейки С5 и D5. Прогнозные данные можно представить графически (рис. 9).

Рис. 7. Экспоненциальное сглаживание Холта с корректировкой тренда; чтобы увеличить изображение кликните на нем правой кнопкой мыши и выберите Открыть картинку в новой вкладке

Выявление закономерностей в данных

Есть способ испытать прогностическую модель на прочность - сравнить погрешности сами с собой, сдвинутыми на шаг (или несколько шагов). Если отклонения случайны, то улучшить модель нельзя. Однако, возможно, в данных о спросе есть сезонный фактор. Концепция погрешности, коррелирующей с собственной версией за другой период, называется автокорреляцией (подробнее об автокорреляции см. ). Чтобы рассчитать автокорреляцию, начните с данных об ошибке прогноза за каждый период (столбец F на рис. 7 переносим в столбец В на рис. 10). Далее определите среднюю ошибку прогноза (рис. 10, ячейка В39; формула в ячейке: =СРЗНАЧ(B3:B38)). В столбце С рассчитайте отклонение ошибки прогноза от среднего; формула в ячейке С3: =B3-B$39. Далее последовательно сдвигайте столбец С на столбец вправо и строку вниз. Формулы в ячейках D39: =СУММПРОИЗВ($C3:$C38;D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/КОРЕНЬ(36), D43: =-2/КОРЕНЬ(36).

Что может значить для одного из столбцов D:O «синхронное движение» со столбцом С. Например, если столбцы С и D синхронны, то число, отрицательное в одном из них, должно быть отрицательным и в другом, положительное в одном, положительное – в другом. Это означает, что сумма произведений двух столбцов будет значительной (отличия накапливаются). Или, что тоже самое, чем ближе значение в диапазоне D41:О41 к нулю, тем ниже корреляция столбца (соответственно от D до О) со столбцом С (рис. 11).

Одна автокорреляция выше критического значения. Погрешность, сдвинутая на год, коррелирует сама с собой. Это означает 12-месячный сезонный цикл. И это неудивительно. Если вы посмотрите на график спроса (рис. 2), то окажется, что есть пики спроса на каждое Рождество и провалы в апреле-мае. Рассмотрим технику прогнозирования, учитывающую сезонность.

Мультипликативное экспоненциальное сглаживание Холта-Винтерса

Метод называется мультипликативным (от multiplicate - умножать), поскольку использует умножение для учета сезонности:

Спрос в момент t = (уровень + t × тренд) × сезонная поправка для момента t × все оставшиеся нерегулярные поправки, которые мы не можем учесть

Сглаживание Холта-Винтерса также называют тройным экспоненциальным сглаживанием, потому что у него три сглаживающих параметра (альфа, гамма и сезонный фактор – дельта). Например, если имеется 12-месячный сезонный цикл:

Прогноз на месяц 39 = (уровень 36 + 3 × тренд 36) х сезонность 27

Анализируя данные, необходимо выяснить, что в серии данных является трендом, а что - сезонностью. Чтобы выполнить вычисления по методу Холта-Винтерса, необходимо:

• Сгладить исторические данные методом скользящего среднего.
• Сравнить сглаженную версию временного ряда данных с оригиналом, чтобы получить приблизительную оценку сезонности.
• Получить новые данные без сезонного компонента.
• Найти приближения уровня и тренда на основе этих новых данных.

Начните с исходных данных (столбцы А и В на рис. 12) и добавьте столбец С со сглаженными значениями на основе скользящего среднего. Так как сезонность имеет 12-месячные циклы, имеет смысл использовать среднее за 12 месяцев. С этим средним есть небольшая проблема. 12 – четное число. Если вы сглаживаете спрос за месяц 7, стоит ли считать его средним спросом с 1-го по 12-й месяц или со 2-го по 13-й? Чтобы справиться с этим затруднением, нужно сгладить спрос с помощью «скользящего среднего 2×12». Т.е., взять половину от двух средних с 1 по 12-й месяц и со 2 по 13. Формула в ячейке С8: =(СРЗНАЧ(B3:B14)+СРЗНАЧ(B2:B13))/2.

Сглаженные данных для месяцев 1–6 и 31–36 получить нельзя, так как не хватает предыдущих и последующих периодов. Для наглядности исходные и сглаженные данные можно отразить на диаграмме (рис. 13).

Теперь в столбце D разделите оригинальную величину на сглаженную и получите приблизительное значение сезонной поправки (столбец D на рис. 12). Формула в ячейке D8: =B8/C8. Обратите внимание на всплески в 20% выше нормального спроса в месяцах 12 и 24 (декабрь), в то время как весной наблюдаются провалы. Эта техника сглаживания дала вам две точечные оценки для каждого месяца (всего 24 месяца). В столбце Е найдено среднее значение этих двух факторов. Формула в ячейке Е1: =СРЗНАЧ(D14;D26). Для наглядности уровень сезонных колебаний можно представить графически (рис. 14).

Теперь можно получить данные, скорректированные на сезонные колебания. Формула в ячейке G1: =B2/E2. Постройте график на основе данных столбца G, дополните его линией тренда, выведите уравнение тренда на диаграмму (рис. 15), и используйте коэффициенты в последующих расчетах.

Сформируйте новый лист, как показано на рис. 16. Значения в диапазон Е5:Е16 подставьте с рис. 12 области Е2:Е13. Значения С16 и D16 возьмите из уравнения линии тренда на рис. 15. Значения констант сглаживания установите для начала на отметке 0,5. Растяните значения в строке 17 на диапазон месяцев с 1 по 36. Запустите Поиск решения для оптимизации коэффициентов сглаживания (рис. 18). Формула в ячейке В53: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.

Теперь в сделанном прогнозе нужно проверить автокорреляции (рис. 18). Так как все значения расположились между верхней и нижней границами, вы понимаете, что модель неплохо поработала над пониманием структуры значений спроса.

Построение доверительного интервала прогноза

Итак, у нас есть вполне рабочий прогноз. Как установить верхние и нижние границы, которые можно использовать для построения реалистичных предположений? В этом вам поможет симуляция Монте-Карло, с которой вы уже встречались в (см. также ). Смысл заключается в том, чтобы сгенерировать будущие сценарии поведения спроса и определить группу, в которую попадают 95% из них.

Удалите с листа Excel прогноз из ячеек В53:В64 (см. рис. 17). Вы запишете туда спрос на основе симуляции. Последнюю можно сгенерировать с помощью функции НОРМОБР. Для будущих месяцев вам достаточно снабдить ее средним (0), стандартным распределением (10,37 из ячейки $Н$2) и случайным числом от 0 до 1. Функция вернет отклонение с вероятностью, соответствующей колоколообразной кривой. Поместите симуляцию одношаговой погрешности в ячейку G53: =НОРМОБР(СЛЧИС();0;H$2). Растянув эту формулу вниз до G64, и вы получите симуляции ошибки прогноза для 12 месяцев одношагового прогноза (рис. 19). Ваши значения симуляций будут отличаться от приведенных на рисунке (на то она и симуляция!).

С погрешностью прогноза у вас есть все, что нужно для обновления уровня, тренда и сезонного коэффициента. Так что выделите ячейки C52:F52 и растяните их до строки 64. В результате у вас имеются симулированная ошибка прогноза и сам прогноз. Идя от обратного, можно спрогнозировать значения спроса. Вставьте в ячейку В53 формулу: =F53+G53 и растяните ее до В64 (рис. 20, диапазон В53:F64). Теперь вы можете нажимать на кнопку F9, каждый раз обновляя прогноз. Разместите результаты 1000 симуляций в ячейках А71:L1070, каждый раз транспонируя значения из диапазона В53:В64 в диапазон А71:L71, A72:L72, … A1070:L1070. Если вас это напрягает напишите код VBA.

Теперь у вас есть по 1000 сценариев на каждый месяц, и вы можете использовать функцию ПЕРСЕНТИЛЬ, чтобы получить верхние и нижние границы в середине 95%-ного доверительно интервала. В ячейке А66 формула: =ПЕРСЕНТИЛЬ(A71:A1070;0,975), а в ячейке А67: =ПЕРСЕНТИЛЬ(A71:A1070;0,025).

Как обычно, для наглядности данные можно представить в графическом виде (рис. 21).

На графике есть два интересных момента:

• Погрешность со временем становится шире. В этом есть смысл. Неуверенность накапливается с каждым месяцем.
• Точно так же погрешность растет и в частях, приходящихся на периоды сезонного повышения спроса. С последующим его падением погрешность сжимается.

Написано по материалам книги Джона Формана . – М.: Альпина Паблишер, 2016. – С. 329–381

Выявление и анализ тенденции временного ряда часто производится с помощью его выравнивания или сглаживания. Экспоненциальное сглаживание - один из простейших и распространенных приемов выравнивания ряда. Экспоненциальное сглаживание можно представить как фильтр, на вход которого последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней.

Пусть - временной ряд.

Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле: , .

Чем меньше α, тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда и шума.

Если последовательно использовать рекуррентное это соотношение, то экспоненциальную среднюю можно выразить через значения временного ряда X.

Если к моменту начала сглаживания существуют более ранние данные, то в качестве начального значения можно использовать арифметическую среднюю всех имеющихся данных или какой-то их части.

После появления работ Р. Брауна экспоненциальное сглаживание часто используется для решения задачи краткосрочного прогнозирования временных рядов.

Постановка задачи

Пусть задан временной ряд: .

Необходимо решить задачу прогнозирования временного ряда, т.е. найти

Горизонт прогнозирования, необходимо, чтобы

Для того, чтобы учитывать устаревание данных, введем невозрастающую последовательность весов , тогда

Модель Брауна

Предположим, что D - невелико (краткосрочный прогноз), то для решения такой задачи используют модель Брауна .

Если рассматривать прогноз на 1 шаг вперед, то - погрешность этого прогноза, а новый прогноз получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки - суть адаптации.

При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить новые изменения и в то же время как можно лучше «очистить» ряд от случайных колебаний. Т.о. следует увеличивать вес более свежих наблюдений: .

С другой стороны, для сглаживания случайных отклонений, α нужно уменьшить: .

Т.о. эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения α составляет задачу оптимизации модели. Обычно, α берут из интервала (0,1/3).

Примеры

Работа экспоненциального сглаживания при α=0.2 на данных ежемесячных отчетов по продажам иностранной автомобильной марки в России за период с января 2007 по октябрь 2008. Отметим резкие падения в январе и феврале, когда продажи традиционно снижаются и повышения в начале лета.

Проблемы

Модель работает только при небольшом горизонте прогнозирования. Не учитываются тренд и сезонные изменения. Чтобы учесть их влияние, предлагается использовать модели: Хольта (учитывается линейный тренд) Хольта-Уинтерса (мультипликативные экспоненциальный тренд и сезонность), Тейла-Вейджа (аддетивные линейный тренд и сезонность).

Метод экспоненциального сглаживания

Освоение новых и анализ известных управленческих технологий, которые позволяют повысить эффективность управления бизнесом, становится особенно актуальным для российских предприятий в настоящее время. Один из наиболее популярных инструментов - система бюджетирования, которая базируется на формировании бюджета предприятия с последующим контролем исполнения. Бюджет представляет собой сбалансированные краткосрочные коммерческие, производственные, финансовые и хозяйственные планы развития организации. Бюджет предприятия содержит целевые показатели, которые рассчитываются на основании прогнозных данных. Наиболее значимым прогнозом при составлении бюджета для любого предприятия является прогноз продаж. В предыдущих статьях был проведен анализ аддитивной и мультипликативной модели и рассчитан прогнозный объем продаж на следующие периоды.

При анализе временных рядов использовался метод скользящей средней, в котором все данные независимо от периода их возникновения являются равноправными. Существует другой способ, в котором данным приписываются веса, более поздним данным придается больший вес, чем более ранним.

Метод экспоненциального сглаживания в отличие от метода скользящих средних еще и может быть использован для краткосрочных прогнозов будущей тенденции на один период вперед и автоматически корректирует любой прогноз в свете различий между фактическим и спрогнозированным результатом. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом над ранее рассмотренным.

Название метода происходит из того факта, что при его применении получаются экспоненциально взвешенные скользящие средние по всему временному ряду. При экспоненциальном сглаживании учитываются все предшествующие наблюдения - предыдущее учитывается с максимальным весом, предшествующее ему - с несколько меньшим, самое ранее наблюдение влияет на результат с минимальным статистическим весом.

Алгоритм расчета экспоненциально сглаженных значений в любой точке ряда i основан на трех величинах :

фактическое значение Ai в данной точке ряда i,
прогноз в точке ряда Fi
некоторый заранее заданный коэффициент сглаживания W, постоянный по всему ряду.

Новый прогноз можно записать формулой:

Расчет экспоненциально сглаженных значений

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникает две проблемы: выбор коэффициента сглаживания (W), который в значительной степени влияет на результаты и определение начального условия (Fi). С одной стороны, для сглаживания случайных отклонений величину нужно уменьшать. С другой стороны, для увеличения веса новых измерений нужно увеличивать.

Хотя, в принципе, W может принимать любые значения из диапазона 0 < W < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0,2 до 0,5. При высоких значениях коэффициента сглаживания в большей степени учитываются мгновенные текущие наблюдения отклика (для динамично развивающихся фирм) и, наоборот, при низких его значениях сглаженная величина определяется в большей степени прошлой тенденцией развития, нежели текущим состоянием отклика системы (в условиях стабильного развития рынка).

Выбор коэффициента постоянной сглаживания является субъективным. Аналитики большинства фирм при обработке рядов используют свои традиционные значения W. Так, по опубликованным данным в аналитическом отделе Kodak, традиционно используют значение 0,38, а на фирме Ford Motors - 0,28 или 0,3.

Ручной расчет экспоненциального сглаживания требует крайне большого объема монотонной работы. На примере рассчитаем прогнозный объем на 13 квартал, если имеются данные объема продаж за последние 12 кварталов, используя метод простого экспоненциального сглаживания.

Предположим, что на первый квартал прогноз продаж составил 3. И пусть коэффициент сглаживания W =0,8.

Заполним в таблице третий столбец, подставляя для каждого последующего квартала значение предыдущего по формуле:

Для 2 квартала F2 =0,8*4 (1-0,8)*3 =3,8
Для 3 квартала F3 =0,8*6 (1-0,8)*3,8 =5,6

Аналогично, рассчитывается сглаженное значение для коэффициента 0,5 и 0,33.

Расчет прогноза объема продаж

Прогноз объема продаж при W = 0.8 на 13 квартал составил 13.3 тыс.руб.

Эти данные можно представить в графической форме:

Экспоненциальное сглаживание

Очевидно, что в методе взвешенного скользящего среднего существует множество способов задавать значения весов так, чтобы их сумма была равной 1. Один из таких способов называется экспоненциальным сглаживанием. В этой схеме метода взвешенного среднего для любого t > 1 прогнозируемое значение в момент времени t+1 представляет собой взвешенную сумму фактического объема продаж , за период времени t и прогнозируемого объема продаж , за период времени t Другими словами,

Экспоненциальное сглаживание имеет вычислительные преимущества перед скользящим средним. Здесь, чтобы вычислить , необходимо знать только значения , и , (вместе со значением α). Например, если компании нужно спрогнозировать спрос для 5000 наименований изделий в каждый период времени, то в этом случае необходимо хранить 10001 значений данных (5000 значений , 5000 значений , и значение α), в то время как для выполнения прогноза на основе скользящего среднего по 8 узлам требовалось 40000 значений данных. В зависимости от поведения данных, возможно, потребуется хранить различные значения α для каждого изделия, но даже в этом случае количество хранимой информации значительно меньше, чем при использовании скользящего среднего. Положительная особенность экспоненциального сглаживания состоит в том, что, сохраняя α и последний прогноз, все предыдущие прогнозы также неявно сохраняются.

Рассмотрим некоторые свойства модели экспоненциального сглаживания. Для начала заметим, что если t > 2, то в формуле (1) t можно заменить на t–1, т.е. Подставив это выражение в первоначальную формулу (1), получим

Выполняя последовательно аналогичные подстановки, получим следующее выражение для

Поскольку из неравенства 0 < α < 1 следует, что 0 < 1 – α < 1, то Другими словами, наблюдение , имеет больший вес, чем наблюдение , которое, в свою очередь, имеет больший вес, чем . Это иллюстрирует основное свойство модели экспоненциального сглаживания - коэффициенты при убывают при уменьшении номера k. Также можно показать, что сумма всех коэффициентов (включая коэффициент при ), равна 1.

Из формулы (2) видно, что значением является взвешенная сумма всех предыдущих наблюдений (включая последнее наблюдение ). Последнее слагаемое суммы (2) является не статистическим наблюдением, а «предположением» (можно предположить, например, что ). Очевидно, что с ростом t влияние , на прогноз уменьшается, и в определенный момент им можно будет пренебречь. Даже если значение α достаточно малое (такое, что (1 – α) приблизительно равно 1), значение будет быстро убывать.

Значение параметра α сильно влияет на функционирование модели прогнозирования, поскольку α представляет собой вес самого последнего наблюдения . Это значит, что следует назначать большее значение α в том случае, когда в модели наиболее прогностическим является именно последнее наблюдение. Если же α близко к 0, это означает практически полное доверие к прошлому прогнозу и игнорирование последнего наблюдения.

Перед Виктором возникла проблема: как наилучшим образом подобрать значение α. Вновь, в этом поможет средство Поиск решения. Чтобы найти оптимальное значение α (т.е. такое, при котором прогнозная кривая будет менее всего отклоняться от кривой значений временного ряда), выполните следующие действия.

1. Выберите команду Сервис -> Поиск решения.
2. В открывшемся диалоговом окне Поиск решения установите целевую ячейку G16 (см. лист «Экспо») и укажите, что ее значение должно быть минимальным.
3. Укажите, что изменяемой ячейкой является ячейка В1.
4. Введите ограничения В1 > 0 и B1 < 1
5. Щелкнув на кнопке Выполнить, получите результат, показанный на рис. 8.

Опять, как и в методе взвешенного скользящего среднего, наилучший прогноз будет получен, если назначить весь вес последнему наблюдению. Следовательно, оптимальное значение α равно 1, при этом среднее абсолютных отклонений равно 6,82 (ячейка G16). Виктор получил прогноз, который уже видел ранее.

Метод экспоненциального сглаживания хорошо работает в ситуациях, когда интересующая нас переменная ведет себя стационарно, а ее отклонения от постоянного значения вызваны случайными факторами и не носят регулярного характера. Но: вне зависимости от значения параметра α методом экспоненциального сглаживания не удастся спрогнозировать монотонно возрастающие или монотонно убывающие данные (прогнозируемы значения будут всегда меньше или больше наблюдаемых, соответственно). Также можно показать, что в модели с сезонными изменениями получить удовлетворительные прогнозы этим методом не удастся.

Если статистические данные монотонно изменяются или подвержены сезонным изменениям, необходимы специальные методы прогнозирования, которые будут рассмотрены ниже.

Метод Хольта (экспоненциальное сглаживание с учетом тренда)

,

Метод Хольта позволяет прогнозировать на k периодов времени вперед. Метод, как видно, использует два параметра α и β. Значения этих параметров находятся в пределах от 0 до 1. Переменная L, указывает на долгосрочный уровень значений или базовое значение данных временного ряда. Переменная Т указывает на возможное возрастание или убывание значений за один период.

Рассмотрим работу этого метода на новом примере. Светлана работает аналитиком в большой брокерской фирме. На основе имеющихся у нее квартальных отчетов компании Startup Airlines она хочет спрогнозировать доход этой компании в следующем квартале. Имеющиеся данные и диаграмма, построенная на их основе, находятся в рабочей книге Startup.xls (рис. 9). Видно, что данные имеют явный тренд (почти монотонно возрастают). Светлана хочет применить метод Хольта, чтобы спрогнозировать значение прибыли на одну акцию на тринадцатый квартал. Для этого необходимо задать начальные значения для L и Т Есть несколько вариантов выбора: 1) L равно значению прибыли на одну акцию за первый квартал и T = 0; 2) L равно среднему значению прибыли на одну акцию за 12 кварталов и T равно среднему изменению за все 12 кварталов. Существуют и другие варианты начальных значений для L и Т, но Светлана выбрала первый вариант.

Она решила воспользоваться средством Поиск решения, чтобы найти оптимальное значение параметров α и β, при которых значение среднего абсолютных ошибок в процентах было бы минимально. Для этого нужно выполнить такие действия.

Выбрать команду Сервис -> Поиск решения.

В открывшемся диалоговом окне Поиск решения задать ячейку F18 целевой и указать, что ее значение следует минимизировать.

В поле Изменяя ячейки ввести диапазон ячеек В1:В2. Добавить ограничения В1:В2 > 0 и В1:В2 < 1.

Кликнуть на кнопке Выполнить.

Полученный прогноз показан на рис. 10.

Как видно, оптимальными оказались значения α = 0,59 и β = 0,42, при этом среднее абсолютных ошибок в процентах равно 38%.

Учет сезонных изменений

При прогнозировании на основе данных временного ряда следует учитывать сезонные изменения Сезонные изменения - это колебания вверх и вниз с постоянным периодом в значениях переменной.

Например, если посмотреть на объемы продаж мороженого по месяцам, то можно увидеть в теплые месяцы (с июня по август в северном полушарии) более высокий уровень продаж, чем зимой, и так каждый год. Здесь сезонные колебания имеют период в 12 месяцев. Если используются данные, собранные по неделям, то структура сезонных колебаний будет повторяться через каждые 52 недели Другой пример анализируются еженедельные отчеты о количестве постояльцев, которые оставались на ночь в отеле, расположенном в бизнес-центре города Предположительно можно сказать, что большое число клиентов ожидается в ночи на вторник, среду и четверг, меньше всего клиентов будет в ночи на субботу и воскресенье, и среднее число постояльцев ожидается в ночи на пятницу и понедельник. Такая структура данных, отображающая количество клиентов в разные дни недели, будет повторяться через каждые семь дней.

Процедура, которая позволяет сделать прогноз с учетом сезонных изменений, состоит из таких четырех этапов

1) На основе исходных данных определяется структура сезонных колебаний и период этих колебаний.

3) На основе данных, из которых исключена сезонная составляющая, делается наилучший возможный прогноз.

4) К полученному прогнозу добавляется сезонная составляющая.

Проиллюстрируем этот подход на данных об объемах сбыта угля (измеряемого в тысячах тонн) в США на протяжении девяти лет Фрэнк работает менеджером в компании Gillette Coal Mine, ему необходимо спрогнозировать спрос на уголь на ближайшие два квартала. Он ввел данные по всей угольной отрасли в рабочую книгу Уголь.xls и построил по этим данным график (рис. 11). На графике видно, что объемы продаж выше среднего уровня в первом и четвертом кварталах (зимнее время года) и ниже среднего во втором и третьем кварталах (весенне-летние месяцы).

Исключение сезонной составляющей

Сначала необходимо вычислить среднее значение всех отклонений за один период сезонных изменений. Чтобы исключить сезонную составляющую в пределах одного года, используются данные за четыре периода (квартала). А чтобы исключить сезонную составляющую из всего временного ряда, вычисляется последовательность скользящих средних по T узлам, где T - продолжительность сезонных колебаний Для выполнения необходимых вычислений Фрэнк использовал столбцы С и D, как показано на рис. ниже. Столбец С содержит значения скользящего среднего по 4 узлам на основе данных, которые находятся в столбце В.

Теперь надо назначить полученные значения скользящего среднего средним точкам последовательности данных, на основе которых эти значения были вычислены. Эта операция называется центрированием значений. Если T нечетное, то первое значение скользящего среднего (среднее значений от первой до T-й точки) надо присвоить (T + 1)/2 точке (например, если T = 7, то первое скользящее среднее будет назначено четвертой точке). Аналогично среднее значений от второй до (T + 1)-й точки центрируется в (T + 3)/2 точке и т. д. Центр n-го интервала находится в точке (T+(2n-1))/2.

Если T четное, как в рассматриваемом случае, то задача несколько усложняется, поскольку здесь центральные (средние) точки расположены между точками, по которым вычислялось значение скользящего среднего. Поэтому центрированное значение для третьей точки вычисляется как среднее первого и второго значений скользящего среднего. Например, первое число в столбце D отцентрированных средних на рис. 12, слева равняется (1613 + 1594)/2 = 1603. На рис. 13 показаны графики исходных данных и отцентрированных средних.

Далее находим отношения значений точек данных к соответствующим значениям отцентрированных средних. Поскольку точкам в начале и конце последовательности данных нет соответствующих отцентрированных средних (см. первые и последние значения в столбце D), такое действие на эти точки не распространяется. Эти отношения показывают степень отклонения значений данных относительно типового уровня, определяемого отцентрированными средними. Заметим, что значения отношений для третьих кварталов меньше 1, а для четвертых - больше 1.

Эти отношения являются основой для создания сезонных индексов. Для их вычисления группируются вычисленные отношения по кварталам, как показано на рис. 15 в столбцах G-О.

Затем находятся средние значения отношений по каждому кварталу (столбец Е на рис. 15). Например, среднее всех отношений для первого квартала равно 1,108. Это значение является сезонным индексом первого квартала, на основе которого можно сделать вывод, что объем сбыта угля за первый квартал составляет в среднем около 110,8% относительного среднего годового объема сбыта.

Сезонный индекс - это среднее отношение данных, относящихся к одному сезону (в данном случае сезоном является квартал), ко всем данным. Если сезонный индекс больше 1, значит, показатели этого сезона выше средних показателей за год, аналогично, если сезонный индекс ниже 1, то показатели сезона ниже средних показателей за год.

Наконец, чтобы исключить из исходных данных сезонную составляющую, следует поделить значения исходных данных на соответствующий сезонный индекс. Результаты этой операции приведены в столбцах F и G (рис. 16). График данных, которые уже не содержат сезонной составляющей, представлен на рис. 17.

Прогнозирование

На основе данных, из которых исключена сезонная составляющая, строится прогноз. Для этого используется соответствующий метод, который учитывает характер поведения данных (например, данные имеют тренд или относительно постоянны). В этом примере прогноз строится с помощью простого экспоненциального сглаживания. Оптимальное значение параметра α находится с помощью средства Поиск решения. График прогноза и реальных данных с исключенной сезонной составляющей приведены на рис. 18.

Учет сезонной структуры

Теперь нужно учесть в полученном прогнозе (1726,5) сезонную составляющую. Для этого следует умножить 1726 на сезонный индекс первого квартала 1,108, в результате чего получим значение 1912 Аналогичная операция (умножение 1726 на сезонный индекс 0,784) даст прогноз на второй квартал, равный 1353. Результат добавления сезонной структуры к полученному прогнозу показан на рис. 19.

Варианты заданий:

Задача 1

Дан временной ряд

1. Постройте график зависимости x = x(t).

1. Используя простое скользящее среднее по 4 узлам, спрогнозируйте спрос в 11-й момент времени.
2. Подходит ли такой метод прогнозирования для этих данных или нет? Почему?
3. Подберите линейную функцию приближения данных методом наименьших квадратов.

Задача 2

Пользуясь моделью прогнозов доходов компании Startup Airlines (Startup.xls) выполните:

Задача 3

Для временного ряда

выполните:

1. Используя взвешенное скользящее среднее по 4 узлам, и назначив веса 4/10, 3/10, 2/10, 1/10, спрогнозируйте спрос в 11-й момент времени. Больший вес следует назначать более поздним наблюдениям.
2. Является ли данное приближение более предпочтительным по отношению к простому скользящему среднему по 4 узлам? Почему?
3. Найдите среднее абсолютных отклонений.
4. С помощью средства Поиск решения найдите оптимальные веса узлов. Насколько уменьшилась ошибка приближения?
5. Воспользуйтесь для прогноза методом экспоненциального сглаживания. Какой их использованных методов дает лучший рещультат?

Задача 4

Проанализируйте временной ряд

1. Воспользуйтесь методом взвешенного скользящего среднего по 4 узлам, назначив веса 4/10, 3/10, 2/10, 1/10, чтобы получить прогноз в моменты времени 5-13. Больший вес следует назначать более поздним наблюдениям.
2. Найдите среднее абсолютных отклонений.
3. Считаете ли вы, что данное приближение более предпочтительно по сравнению с моделью простого скользящего среднего по 4 узлам? Почему?
4. С помощью средства Поиск решения найдите оптимальные веса узлов. На сколько удалось уменьшить значение ошибки?
5. Воспользуйтесь для прогноза методом экспоненциального сглаживания. Какой их использованных методов дает лучший результат?

Задача 5

Дан временной ряд

Задача 7

Менеджер по маркетингу небольшой развивающейся компании, содержащей сеть продовольственных магазинов, обладает информацией об объемах продаж за все время существования самого прибыльного магазина (см. табл.).

Используя простое скользящее среднее по 3 узлам, спрогнозируйте значения в узлах с 4 до 11.

Используя взвешенное скользящее среднее по 3 узлам, спрогнозируйте значения в узлах с 4 до 11. Для определения оптимальных весов воспользуйтесь средством Поиск решения.

Методом экспоненциального сглаживания спрогнозируйте значения в узлах 2-11. Определите оптимальное значение параметра α с помощью средства Поиск решения.

Какой из полученных прогнозов наиболее точный и почему?

Задача 8

Дан временной ряд

1. Постройте график этого временного ряда. Соедините точки отрезками прямых.
2. Используя простое скользящее среднее по 4 узлам, спрогнозируйте спрос для узлов 5–13.
3. Найдите среднее абсолютных отклонений.
4. Целесообразно ли использовать данный метод прогнозирования для представленных данных?
5. Является ли данное приближение более предпочтительным по отношению к простому скользящему среднему по 3 узлам? Почему?
6. Постройте по данным линейный и квадратичный тренд.
7. Воспользуйтесь для прогноза методом экспоненциального сглаживания. Какой их использованных методов дает лучший рещультат?

Задача 10

В рабочей книге Business_Week.xls приведены данные из журнала Business Week по ежемесячным объемам продаж автомобилей за 43 месяца.

1. Исключите из этих данных сезонную составляющую.
2. Определите наилучший метод прогнозирования для имеющихся данных.
3. Чему равен прогноз для 44-го периода?

Задача 11

1. Простая схема прогнозирования, когда значение за прошлую неделю принимается за прогноз на следующую неделю.
2. Метод скользящего среднего (с числом узлов на ваше усмотрение). Попробуйте использовать несколько различных значений узлов.

Задача 12

В рабочей книге Банк.xls приведены показатели работы банка. Рассмотрите следующие методы прогнозирования значений этого временного ряда.

В качестве прогноза используется среднее значение показателя за все предыдущие недели.

Метод взвешенного скользящего среднего (с числом узлов на ваше усмотрение). Попробуйте использовать несколько различных значений узлов. Для определения оптимальных весов воспользуйтесь средством Поиск решения.

Метод экспоненциального сглаживания. Подберите оптимальное значение параметра α с помощью средства Поиск решения.

Какой из предложенных выше методов прогнозирования вы бы порекомендовали для прогноза значений данного временного ряда?

Литература

Похожая информация.

02.04.2011 – Стремление человека приподнять завесу грядущего и предвидеть ход событий имеет такую же длинную историю, как и его попытки, понять окружающий мир. Очевидно, что в основе интереса к прогнозу лежат достаточно сильные жизненные мотивы (теоретические и практические). Прогноз выступает в качестве важнейшего метода проверки научных теорий и гипотез. Способность предвидеть будущее является неотъемлемой стороной сознания, без которой была бы невозможна сама человеческая жизнь.

Понятие “прогнозирование” (от греч. prognosis – предвидение, предсказание) означает процесс разработки вероятностного суждения о состоянии какого-либо явления или процесса в будущем, это познание того, чего еще нет, но что может наступить в ближайшее или отдаленное время.

Прогноз по своему содержанию более сложен, чем предсказание. Он, с одной стороны, отражает наиболее вероятное состояние объекта, а с другой – определяет пути и средства достижения желаемого результата. На основе полученной прогнозным путем информации по достижению желаемой цели, принимаются определенные решения.

Необходимо отметить, что динамика экономических процессов в современных условиях отличается нестабильностью и неопределенностью, что затрудняет применение традиционных методов прогнозирования.

Модели экспоненциального сглаживания и прогнозирования относятся к классу адаптивных методов прогнозирования, основной характеристикой которых является способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, подстраиваться под эту динамику, придавая, в частности, тем больший вес и тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они расположены к текущему моменту времени. Смысл термина состоит в том, что адаптивное прогнозирование позволяет обновлять прогнозы с минимальной задержкой и с помощью относительно несложных математических процедур.

Метод экспоненциального сглаживания был независимо открыт Брауном (Brown R.G. Statistical forecasting for inventory control, 1959) и Хольтом (Holt C.C. Forecasting Seasonal and Trends by Exponentially Weighted Moving Averages, 1957). Экспоненциальное сглаживание, как и метод скользящих средних, для прогноза использует прошлые значения временного ряда.

Сущность метода экспоненциального сглаживания заключается в том, что временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону. Взвешенная скользящая средняя с экспоненциально распределенными весами характеризует значение процесса на конце интервала сглаживания, то есть является средней характеристикой последних уровней ряда. Именно это свойство и используется для прогнозирования.

Обычное экспоненциальное сглаживание применяется в случае отсутствия в данных тренда или сезонности. В этом случае прогноз является взвешенной средней всех доступных предыдущих значений ряда; веса при этом со временем геометрически убывают по мере продвижения в прошлое (назад). Поэтому (в отличие от метода скользящего среднего) здесь нет точки, на которой веса обрываются, то есть зануляются. Прагматически ясная модель простого экспоненциального сглаживания может быть записана следующим (по представленной ссылке можно скачать все формулы статьи):

Покажем экспоненциальный характер убывания весов значений временного ряда – от текущего к предыдущему, от предыдущего к пред–предыдущему и так далее:

Если формула применяется рекурсивно, то каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, что результат сглаживания зависит от параметра адаптации альфа . Его можно интерпретировать как коэффициент дисконтирования, характеризующий меру девальвации данных за единицу времени. Причем влияние данных на прогноз экспоненциально убывает с “возрастом” данных. Зависимость влияния данных на прогноз при разных коэффициентах альфа приведена на рисунке 1.

Рисунок 1. Зависимость влияния данных на прогноз при разных коэффициентах адаптации

Следует заметить, что значение сглаживающего параметра не может равняться 0 или 1, так как в этом случае сама идея экспоненциального сглаживания отвергается. Так, если альфа равняется 1, то прогнозное значение F t+1 совпадает с текущим значением ряда Хt , при этом экспоненциальная модель стремится к самой простой “наивной” модели, то есть в этом случае прогнозирование является абсолютно тривиальным процессом. Если альфа равняется 0, то начальное прогнозное значение F 0 (initial value ) одновременно будет являться прогнозом для всех последующих моментов ряда, то есть прогноз в этом случае будет выглядеть в виде обычной горизонтальной линии.

Тем не менее, рассмотрим варианты сглаживающего параметра, близкие к 1 или 0. Так, если альфа близко к 1, то предыдущие наблюдения временного ряда практически полностью игнорируются. В случае если альфа близко к 0, то игнорируются уже текущие наблюдения. Значения альфа между 0 и 1 дают промежуточные результаты. По мнению ряда авторов, оптимальное значение альфа находится в пределах от 0,05 до 0,30. Однако иногда альфа , большее 0,30, дает лучший прогноз.

В целом лучше оценивать оптимальное альфа по исходным данным (при помощи поиска по сетке), а не использовать искусственные рекомендации. Тем не менее, в случае если значение альфа , превышающее 0,3, минимизирует ряд специальных критериев, то это указывает на то, что другая техника прогнозирования (с применением тренда или сезонности) способна обеспечить еще более точные результаты. Для нахождения оптимального значения альфа (то есть минимизации специальных критериев) используется квазиньютоновский алгоритм максимизации правдоподобия (вероятности), который эффективнее обычного перебора на сетке.

Перепишем уравнение (1) в виде альтернативного варианта, позволяющего оценить, как модель экспоненциального сглаживания “обучается” на своих прошлых ошибках:

Из уравнения (3) ярко видно, что прогноз на период t+1 подлежит изменению в сторону увеличения, в случае превышения фактического значения временного ряда в период t над прогнозным значением, и, наоборот, прогноз на период t+1 должен быть уменьшен, если Х t меньше, чем F t .

Отметим, что при использовании методов экспоненциального сглаживания важным вопросом всегда является определение начальных условий (начального прогнозного значения F 0 ). Процесс выбора начального значения сглаженного ряда называется инициализацией (initializing ), или, иначе, “разогревом” (“warming up ”) модели. Дело в том, что начальное значение сглаженного процесса может существенным образом повлиять на прогноз для последующих наблюдений. С другой стороны, влияние выбора уменьшается с длиной ряда и становится некритичным при очень большом числе наблюдений. Браун впервые предложил использовать в качестве стартового значения среднее динамического ряда. Другие авторы предлагают использовать в качестве начального прогноза первое фактическое значение временного ряда.

В середине прошлого века Хольт предложил расширить модель простого экспоненциального сглаживания за счет включения в нее фактора роста (growth factor ), или иначе тренда (trend factor ). В результате модель Хольта может быть записана следующим образом:

Данный метод позволяет учесть присутствие в данных линейного тренда. Позднее были предложены другие виды трендов: экспоненциальный, демпфированный и др.

Винтерс предложил усовершенствовать модель Хольта с точки зрения возможности описания влияния сезонных факторов (Winters P.R. Forecasting Sales by Exponentially Weighted Moving Averages, 1960).

В частности, он далее расширил модель Хольта за счет включения в нее дополнительного уравнения, описывающего поведение сезонной компоненты (составляющей). Система уравнений модели Винтерса выглядит следующим образом:

Дробь в первом уравнении служит для исключения сезонности из исходного ряда. После исключения сезонности (по методу сезонной декомпозиции Census I ) алгоритм работает с “чистыми” данными, в которых нет сезонных колебаний. Появляются они уже в самом финальном прогнозе (15), когда “чистый” прогноз, посчитанный почти по методу Хольта, умножается на сезонную компоненту (индекс сезонности ).