Экспоненциальная аппроксимация в excel. Экспоненциальная линия тренда

Решение задач аппроксимации средствами Excel

доктор физ.– мат. наук, профессор Гавриленко В.В. ассистент Парохненко Л.М.

(Национальный транспортный университет)

Теоретическая справка. На практике при моделировании различных про-

цессов, в частности, экономических, физических, технических, социальных,

широко используются те или иные способы вычисления приближенных значе-

ний функций по известным их значениям в некоторых фиксированных точках.

Такого рода задачи приближения функций часто возникают:

∙ при построении приближенных формул для вычисления значений характер-

ных величин исследуемого процесса по данным таблиц, полученным в ре-

зультате физического или вычислительного эксперимента;

∙ при численном интегрировании, численном дифференцировании, числен-

ном решении дифференциальных уравнений и т.д.;

∙ при необходимости вычисления значений функций в промежуточных точ-

ках рассматриваемого интервала;

∙ при определении значений характерных величин процесса за пределами рас-

сматриваемого интервала, в частности, при необходимости заглянуть в

“ прошлое”), то есть при определении значений показателей процесса до на-

чала наблюдения;

∙ в прогнозировании, то есть при получении предварительных оценок буду-

щих значений интересуемых показателей процесса (возможность заглянуть

в “ будущее”).

Если для моделирования некоторого процесса, заданного таблицей, по-

строить приближенно описывающую данный процесс функцию на основе ме-

тода наименьших квадратов, то она называется аппроксимирующей функцией

(регрессией), а сама задача построения аппроксимирующих функций называет-

ся задачей аппроксимации.

В данной статье рассмотрены возможности пакета Excel при реше-

нии задач аппроксимации, а именно, приведены методы и приемы построения

(создания) регрессий для таблично заданных функций, что является основой регрессионного анализа.

В Excel для построения регрессий имеются такие возможности, как:

1) добавление выбранных регрессий (линий тренда) в диаграмму, построенную на основе таблицы данных для исследуемой характеристики процесса (этим инструментом можно воспользоваться лишь при наличии построенной диа-

2) использование встроенных статистических функций рабочего листа Excel ,

позволяющих получать регрессии (линии тренда) на основе таблицы исход-

ных данных (использование данного инструмента предварительно не связы-

вается с наличием соответствующей диаграммы).

Добавление линий тренда в диаграмму

Для таблицы данных, описывающих некоторый процесс и представленных диаграммой, в Excel имеется эффективный инструмент регрессионного анали-

за, позволяющий:

∙ строить на основе метода наименьших квадратов и добавлять в диаграмму пять типов регрессий (линий тренда), которые с той или иной степенью точно-

сти моделируют исследуемый процесс;

∙ добавлять к диаграмме уравнение построенной регрессии;

∙ определять степень соответствия выбранной регрессии отображаемым на диаграмме данным.

Построенные модели процесса – линии тренда (trendlines) показывают

тенденцию изменения данных, дают возможность определять значения иссле-

дуемой характеристики в промежуточных точках, прогнозировать поведение данного процесса в будущем (задача экстраполяции), а также заглянуть в его прошлое.

На основе данных диаграммы Excel позволяет получать такие типы регрес-

сий или линий тренда, как линейный, полиномиальный, логарифмический, сте-

пенной, экспоненциальный, которые задаются уравнением y = y(x) , где x – неза-

висимая переменная, которая часто принимает значения последовательности натурального ряда чисел (1; 2; 3; …) и производит, например, отсчет времени протекания исследуемого процесса.

1. Линейная регрессия хороша при моделировании характеристик, значения которых увеличиваются или убывают с постоянной скоростью. Это наиболее простая в построении, но наименее точная модель исследуемого процесса.

y = m x + b ,

где m – угол наклона линейной регрессии к оси абсцисс; b – координата точки пересечения линейной регрессии с осью ординат.

2. Полиномиальная линия тренда полезна для описания характеристик,

имеющих несколько ярко выраженных экстремумов (максимумов и миниму-

мов). Выбор степени полиномиальной линии тренда (полинома) определяется количеством экстремумов исследуемой характеристики. Так, полином второй степени может хорошо описать характеристику, имеющую только один макси-

мум или минимум; полином третьей степени – не более двух экстремумов; по-

лином четвертой степени – не более трех экстремумов и т.д.

Строится в соответствии с уравнением

y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 x5 + c6 x6 ,

где коэффициенты c 0 , c 1 , c 2 ,...c 6 – константы.

3. Логарифмическая линия тренда с успехом применяется при моделирова-

нии характеристик, значения которых вначале быстро растут или убывают по величине, а затем постепенно стабилизируются.

Строится в соответствии с уравнением

y = c× ln(x)+ b,

4. Степенная линия тренда дает хорошие результаты, если значения иссле-

дуемой зависимости характеризуются постоянным изменением скорости роста.

Примером такой зависимости может служить график равноускоренного движе-

ния автомобиля. При наличии в данных нулевых или отрицательных значений использовать степенную линию тренда нельзя.

Строится в соответствии с уравнением

y = c× xb ,

где коэффициенты b, с – константы.

5. Экспоненциальная линия тренда следует использовать в том случае, если скорость изменения данных непрерывно возрастает. Для данных, содержащих нулевые или отрицательные значения, этот вид приближения неприменим.

Строится в соответствии с уравнением

y = c× eb × x ,

где коэффициенты b, с – константы.

При подборе линии тренда Excel автоматически рассчитывает значение величиныR 2 , которая характеризует достоверность аппроксимации: чем ближе значениеR 2 к единице, тем надежнее линия тренда аппроксимирует исследуе-

мый процесс. При необходимости значение R 2 всегда можно отобразить на

диаграмме.

Определяется по формуле

R 2 = 1-	Σ1 = ∑(yj − Yj )2	S2 =∑Y j 2 -	× (∑Yj )2

Для добавления линии тренда к ряду данных следует:

1. Активизировать построенную на основе ряда данных диаграмму, т.е. щелк-

нуть в пределах области диаграммы. В главном меню появится пункт Диа-

2. После щелчка на этом пункте на экране появится меню, в котором следует выбрать команду Добавить линию тренда.

затель мыши к графику, построенного на ряде данных, и щелкнуть правой кла-

вишей мыши, и в появившемся контекстном меню выбрать команду Добавить

линию тренда. На экране появится диалоговое окно Линия тренда с раскры-

той вкладкой Тип (рис.1).

Рис.1. Вкладка Тип диалогового окна Формат линии тренда

3. Выбрать на вкладке Тип необходимый тип линии тренда (по умолчанию выбирается тип Линейный). Для типа Полиномиальная в поле Степень сле-

дует задать степень выбранного полинома.

4. В поле Построен на ряде перечислены все ряды данных рассматриваемой диаграммы. Для добавления линии тренда к конкретному ряду данных следует в поле Построен на ряде выбрать его имя.

5. При необходимости, перейдя на вкладку Параметры (рис.2), можно для ли-

нии тренда задать следующие параметры:

∙ Изменить название линии тренда в поле Название аппроксимирующей

(сглаженной) кривой;

∙ Задать количество периодов (вперед или назад) для прогноза в поле Про-

∙ Вывести в область диаграммы уравнение линии тренда, для чего следует ус-

тановить флажок для опции «показать уравнение на диаграмме».

∙ Вывести в область диаграммы значение достоверности аппроксимации R 2 ,

для чего следует установить флажок для опции «поместить на диаграмму ве-

личину достоверности аппроксимации (R^2) ».

∙ Задать точку пересечения линии тренда с осью Y, для чего следует устано-

вить флажок для опции «пересечение кривой с осью Y в точке: ». 6. Нажать клавишуOK .

Рис.2. Вкладка Параметры диалогового окна Линия тренда

Для редактирования уже построенной линии тренда следует:

1. Щелкнуть левой клавишей мыши по той линии тренда, которую требуется

изменить.

2. Нажать в главном меню клавишу Формат, а появившемся контекстном ме-

ню выбрать команду Выделенная линия тренда.

Пункты 1–2 легко реализуются также следующим приемом: направить ука-

затель мыши к графику линии тренда, щелкнуть правой клавишей мыши, и в появившемся контекстном меню выбрать команду Формат линии тренда.

Еще легче реализуются пункты 1–2: двойным щелчком левой клавишей мыши по графику линии тренда.

3. На экране появится диалоговое окно Формат линии тренда (рис.3), содер-

жащее три вкладки: Вид, Тип, Параметры, причем содержимое вкладок Тип,

Параметры полностью совпадает с аналогичными вкладками диалогового ок-

на Линия тренда (рис.1–2).

4. При необходимости, перейдя на вкладку Вид (рис.3), можно для линии тренда задать тип линии, ее цвет и толщину.

5. Нажать клавишу OK .

Для удаления уже построенной линии тренда следует выбрать удаляемую линию тренда и нажать клавишуDelete .

Достоинствами этого инструмента регрессионного анализа являются:

∙ относительная легкость построения на диаграммах линии тренда без созда-

ния для нее таблицы данных;

∙ достаточно широкий перечень типов предложенных линий трендов, причем в этот перечень входят наиболее часто используемые регрессии;

∙ возможность прогнозирования поведения исследуемого процесса на произ-

вольное (в пределах здравого смысла) количество шагов вперед, а также назад;

∙ возможность получения уравнения линии тренда в аналитическом виде;

∙ возможность, при необходимости, получения оценки достоверности прове-

денной аппроксимации.

К недостаткам можно отнести следующие моменты:

∙ построение линии тренда осуществляется лишь при наличии построенной на ряде данных диаграммы;

∙ несколько загроможден процесс формирования рядов данных для исследуе-

мой характеристики на основании полученных для нее уравнений линий трен-

да, так как коэффициенты этих уравнений при каждом изменении значений ря-

да данных пересчитываются, но лишь в пределах области диаграммы;

∙ в отчетах сводных диаграмм при изменении представления диаграммы или связанного отчета сводной таблицы имеющиеся линии тренда не сохраняются,

то есть до проведения линий тренда или другого форматирования отчета свод-

ных диаграмм следует убедиться, что макет отчета удовлетворяет необходи-

мым требованиям.

Рис.3. Вкладка Вид диалогового окна Формат линии тренда

Линиями тренда можно дополнить ряды данных, представленные на гра-

фиках, гистограммах, плоских ненормированных диаграммах с областями, ли-

нейчатых, точечных, пузырьковых и биржевых диаграммах.

Нельзя дополнить линиями тренда ряды данных на объемных, нормиро-

ванных, лепестковых, круговых и кольцевых диаграммах. При замене типа диа-

граммы на один из вышеперечисленных, а также при изменении представления отчета сводной диаграммы или связанного отчета сводной таблицы соответст-

вующие данным линии тренда будут утеряны.

Использование встроенных функций Excel

В Excel имеется также инструмент регрессионного анализа для построения линий тренда вне области диаграммы. Для этой цели можно использовать ряд статистических функций рабочего листа, однако все они позволяют строить лишь линейные или экспоненциальные регрессии.

В Excel имеется несколько вариантов построения линейной регрессии (ли-

нейного тренда), в частности:

∙ с помощью функции ТЕНДЕНЦИЯ;

∙ с помощью функции ЛИНЕЙН;

∙ с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК .

В Excel имеется также несколько вариантов построения экспоненциальной линии тренда, в частности:

∙ с помощью функции РОСТ;

∙ с помощью функции ЛГРФПРИБЛ.

Следует отметить, что приемы построения регрессий с помощью функций

ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ практически совпадают. То же самое можно сказать и о паре функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ. Для всех этих четырех функций при создании таблицы значений используются такие возможности Excel , как формулы массивов, что несколько загромождает процесс построения регрес-

сий. Заметим также, что построение (создание) линейной регрессии, на наш взгляд, легче всего осуществить с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК,

где первая из них определяет угловой коэффициент линейной регрессии, а вто-

рая – отрезок, отсекаемый регрессией на оси ординат.

Достоинствами данного инструмента регрессионного анализа являются:

∙ достаточно простой однотипный процесс формирования рядов данных ис-

следуемой характеристики для всех встроенных статистических функций, за-

дающих линии тренда;

∙ стандартная методика построения линий тренда на основе сформированных рядов данных;

∙ возможность прогнозирования поведения исследуемого процесса на необ-

ходимое количество шагов вперед или назад.

К недостаткам данного инструмента можно отнести то, что вExcel нет встроенных функций для создания других (кроме линейного и экспоненциаль-

ного) типов линий тренда. Это обстоятельство часто не позволяет подобрать с помощью выше перечисленных встроенных функций достаточно точную мо-

дель исследуемого процесса, а также получать близкие к реальности прогнозы.

Кроме того, при использовании функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ не известны уравнения линий тренда.

тьи – на конкретных примерах показать возможности пакета Excel при реше-

нии задач аппроксимации; продемонстрировать, каким эффективными инстру-

ментами для построения регрессий и прогнозирования обладает Excel ; проил-

люстрировать, как относительно легко такие задачи могут быть решены даже пользователем, не владеющим глубокими знаниями регрессионного анализа.

Предложенная в статье методика по овладению навыков решения средства-

ми Excel такого рода задач (см. также , где приведены методики решения вExcel систем линейных алгебраических уравнений, нелинейных уравнений,

задач оптимизации, транспортных задач) может быть полезна и интересна пользователям. Это связано с тем, что пакет Excel установлен практически на каждом современном компьютере, в то время как такие известные специализи-

рованные математические пакеты, как Mathematica ,Maple ,Matlab ,Mathcad ,

обладающие более мощными возможностями для построения регрессий и про-

гнозирования, используются значительно меньшей пользовательской аудито-

Ниже приводятся решения конкретных задач с помощью перечисленных инструментов пакета Excel .

Задача 1 . Для таблицы данных о прибыли автотранспортного предприятия за 1995–2002 г.г. необходимо выполнить следующие действия.

Теоретическая справка

На практике при моделировании различных процессов - в частности, экономических, физических, технических, социальных - широко используются те или иные способы вычисления приближенных значений функций по известным их значениям в некоторых фиксированных точках.

Такого рода задачи приближения функций часто возникают:

при построении приближенных формул для вычисления значений характерных величин исследуемого процесса по табличным данным, полученным в результате эксперимента;
при численном интегрировании, дифференцировании, решении дифференциальных уравнений и т. д.;
при необходимости вычисления значений функций в промежуточных точках рассматриваемого интервала;
при определении значений характерных величин процесса за пределами рассматриваемого интервала, в частности при прогнозировании.

Если для моделирования некоторого процесса, заданного таблицей, построить функцию, приближенно описывающую данный процесс на основе метода наименьших квадратов, она будет называться аппроксимирующей функцией (регрессией), а сама задача построения аппроксимирующих функций - задачей аппроксимации.

В данной статье рассмотрены возможности пакета MS Excel для решения такого рода задач, кроме того, приведены методы и приемы построения (создания) регрессий для таблично заданных функций (что является основой регрессионного анализа).

В Excel для построения регрессий имеются две возможности.

Добавление выбранных регрессий (линий тренда - trendlines) в диаграмму, построенную на основе таблицы данных для исследуемой характеристики процесса (доступно лишь при наличии построенной диаграммы);
Использование встроенных статистических функций рабочего листа Excel, позволяющих получать регрессии (линии тренда) непосредственно на основе таблицы исходных данных.

Добавление линий тренда в диаграмму

Для таблицы данных, описывающих некоторый процесс и представленных диаграммой, в Excel имеется эффективный инструмент регрессионного анализа, позволяющий:

строить на основе метода наименьших квадратов и добавлять в диаграмму пять типов регрессий, которые с той или иной степенью точности моделируют исследуемый процесс;
добавлять к диаграмме уравнение построенной регрессии;
определять степень соответствия выбранной регрессии отображаемым на диаграмме данным.

На основе данных диаграммы Excel позволяет получать линейный, полиномиальный, логарифмический, степенной, экспоненциальный типы регрессий, которые задаются уравнением:

y = y(x)

где x - независимая переменная, которая часто принимает значения последовательности натурального ряда чисел (1; 2; 3; …) и производит, например, отсчет времени протекания исследуемого процесса (характеристики).

1 . Линейная регрессия хороша при моделировании характеристик, значения которых увеличиваются или убывают с постоянной скоростью. Это наиболее простая в построении модель исследуемого процесса. Она

y = mx + b

где m - тангенс угла наклона линейной регрессии к оси абсцисс; b - координата точки пересечения линейной регрессии с осью ординат.

2 . Полиномиальная линия тренда полезна для описания характеристик, имеющих несколько ярко выраженных экстремумов (максимумов и минимумов). Выбор степени полинома определяется количеством экстремумов исследуемой характеристики. Так, полином второй степени может хорошо описать процесс, имеющий только один максимум или минимум; полином третьей степени - не более двух экстремумов; полином четвертой степени - не более трех экстремумов и т. д.

В этом случае линия тренда строится в соответствии с уравнением:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

где коэффициенты c0, c1, c2,... c6 - константы, значения которых определяются в ходе построения.

3 . Логарифмическая линия тренда с успехом применяется при моделировании характеристик, значения которых вначале быстро меняются, а затем постепенно стабилизируются.

Строится в соответствии с уравнением:

y = c ln(x) + b

4 . Степенная линия тренда дает хорошие результаты, если значения исследуемой зависимости характеризуются постоянным изменением скорости роста. Примером такой зависимости может служить график равноускоренного движения автомобиля. Если среди данных встречаются нулевые или отрицательные значения, использовать степенную линию тренда нельзя.

Строится в соответствии с уравнением:

y = c xb

где коэффициенты b, с - константы.

5 . Экспоненциальную линию тренда следует использовать в том случае, если скорость изменения данных непрерывно возрастает. Для данных, содержащих нулевые или отрицательные значения, этот вид приближения также неприменим.

Строится в соответствии с уравнением:

y = c ebx

где коэффициенты b, с - константы.

При подборе линии тренда Excel автоматически рассчитывает значение величины R2, которая характеризует достоверность аппроксимации: чем ближе значение R2 к единице, тем надежнее линия тренда аппроксимирует исследуемый процесс. При необходимости значение R2 всегда можно отобразить на диаграмме.

Определяется по формуле:

Для добавления линии тренда к ряду данных следует:

активизировать построенную на основе ряда данных диаграмму, т. е. щелкнуть в пределах области диаграммы. В главном меню появится пункт Диаграмма;
после щелчка на этом пункте на экране появится меню, в котором следует выбрать команду Добавить линию тренда.

Эти же действия легко реализуются, если навести указатель мыши на график, соответствующий одному из рядов данных, и щелкнуть правой кнопкой мыши; в появившемся контекстном меню выбрать команду Добавить линию тренда. На экране появится диалоговое окно Линия тренда с раскрытой вкладкой Тип (рис. 1).

После этого необходимо:

Выбрать на вкладке Тип необходимый тип линии тренда (по умолчанию выбирается тип Линейный). Для типа Полиномиальная в поле Степень следует задать степень выбранного полинома.

1 . В поле Построен на ряде перечислены все ряды данных рассматриваемой диаграммы. Для добавления линии тренда к конкретному ряду данных следует в поле Построен на ряде выбрать его имя.

При необходимости, перейдя на вкладку Параметры (рис. 2), можно для линии тренда задать следующие параметры:

изменить название линии тренда в поле Название аппроксимирующей (сглаженной) кривой.
задать количество периодов (вперед или назад) для прогноза в поле Прогноз;
вывести в область диаграммы уравнение линии тренда, для чего следует включить флажок показать уравнение на диаграмме;
вывести в область диаграммы значение достоверности аппроксимации R2, для чего следует включить флажок поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2);
задать точку пересечения линии тренда с осью Y, для чего следует включить флажок пересечение кривой с осью Y в точке;
щелкнуть на кнопке OK, чтобы закрыть диалоговое окно.

Для того, чтобы начать редактирование уже построенной линии тренда, существует три способа:

воспользоваться командой Выделенная линия тренда из меню Формат, предварительно выбрав линию тренда;

выбрать команду Формат линии тренда из контекстного меню, которое вызывается щелчком правой кнопки мыши по линии тренда;

двойным щелчком по линии тренда.

На экране появится диалоговое окно Формат линии тренда (рис. 3), содержащее три вкладки: Вид, Тип, Параметры, причем содержимое последних двух полностью совпадает с аналогичными вкладками диалогового окна Линия тренда (рис.1-2). На вкладке Вид, можно задать тип линии, ее цвет и толщину.

Для удаления уже построенной линии тренда следует выбрать удаляемую линию тренда и нажать клавишу Delete.

Достоинствами рассмотренного инструмента регрессионного анализа являются:

относительная легкость построения на диаграммах линии тренда без создания для нее таблицы данных;
достаточно широкий перечень типов предложенных линий трендов, причем в этот перечень входят наиболее часто используемые типы регрессии;
возможность прогнозирования поведения исследуемого процесса на произвольное (в пределах здравого смысла) количество шагов вперед, а также назад;
возможность получения уравнения линии тренда в аналитическом виде;
возможность, при необходимости, получения оценки достоверности проведенной аппроксимации.

К недостаткам можно отнести следующие моменты:

построение линии тренда осуществляется лишь при наличии диаграммы, построенной на ряде данных;

процесс формирования рядов данных для исследуемой характеристики на основе полученных для нее уравнений линий тренда несколько загроможден: искомые уравнения регрессий обновляются при каждом изменении значений исходного ряда данных, но только в пределах области диаграммы, в то время как ряд данных, сформированный на основе старого уравнения линии тренда, остается без изменения;

в отчетах сводных диаграмм при изменении представления диаграммы или связанного отчета сводной таблицы имеющиеся линии тренда не сохраняются, то есть до проведения линий тренда или другого форматирования отчета сводных диаграмм следует убедиться, что макет отчета удовлетворяет необходимым требованиям.

Линиями тренда можно дополнить ряды данных, представленные на диаграммах типа график, гистограмма, плоские ненормированные диаграммы с областями, линейчатые, точечные, пузырьковые и биржевые.

Нельзя дополнить линиями тренда ряды данных на объемных, нормированных, лепестковых, круговых и кольцевых диаграммах.

Использование встроенных функций Excel

В Excel имеется несколько функций для построения линейной регрессии, в частности:

ТЕНДЕНЦИЯ;
ЛИНЕЙН;
НАКЛОН и ОТРЕЗОК.

А также несколько функций для построения экспоненциальной линии тренда, в частности:

РОСТ;
ЛГРФПРИБЛ.

Следует отметить, что приемы построения регрессий с помощью функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ практически совпадают. То же самое можно сказать и о паре функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ. Для четырех этих функций при создании таблицы значений используются такие возможности Excel, как формулы массивов, что несколько загромождает процесс построения регрессий. Заметим также, что построение линейной регрессии, на наш взгляд, легче всего осуществить с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК, где первая из них определяет угловой коэффициент линейной регрессии, а вторая - отрезок, отсекаемый регрессией на оси ординат.

Достоинствами инструмента встроенных функций для регрессионного анализа являются:

достаточно простой однотипный процесс формирования рядов данных исследуемой характеристики для всех встроенных статистических функций, задающих линии тренда;
стандартная методика построения линий тренда на основе сформированных рядов данных;
возможность прогнозирования поведения исследуемого процесса на необходимое количество шагов вперед или назад.

А к недостаткам относится то, что в Excel нет встроенных функций для создания других (кроме линейного и экспоненциального) типов линий тренда. Это обстоятельство часто не позволяет подобрать достаточно точную модель исследуемого процесса, а также получить близкие к реальности прогнозы. Кроме того, при использовании функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ не известны уравнения линий тренда.

Следует отметить, что авторы не ставили целью статьи изложение курса регрессионного анализа с той или иной степенью полноты. Основная ее задача - на конкретных примерах показать возможности пакета Excel при решении задач аппроксимации; продемонстрировать, какими эффективными инструментами для построения регрессий и прогнозирования обладает Excel; проиллюстрировать, как относительно легко такие задачи могут быть решены даже пользователем, не владеющим глубокими знаниями регрессионного анализа.

Примеры решения конкретных задач

Рассмотрим решение конкретных задач с помощью перечисленных инструментов пакета Excel.

Задача 1

С таблицей данных о прибыли автотранспортного предприятия за 1995-2002 гг. необходимо выполнить следующие действия.

Построить диаграмму.
В диаграмму добавить линейную и полиномиальную (квадратичную и кубическую) линии тренда.
Используя уравнения линий тренда, получить табличные данные по прибыли предприятия для каждой линии тренда за 1995-2004 г.г.
Составить прогноз по прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг.

Решение задачи

В диапазон ячеек A4:C11 рабочего листа Excel вводим рабочую таблицу, представленную на рис. 4.
Выделив диапазон ячеек В4:С11, строим диаграмму.
Активизируем построенную диаграмму и по описанной выше методике после выбора типа линии тренда в диалоговом окне Линия тренда (см. рис. 1) поочередно добавляем в диаграмму линейную, квадратичную и кубическую линии тренда. В этом же диалоговом окне открываем вкладку Параметры (см. рис. 2), в поле Название аппроксимирующей (сглаженной) кривой вводим наименование добавляемого тренда, а в поле Прогноз вперед на: периодов задаем значение 2, так как планируется сделать прогноз по прибыли на два года вперед. Для вывода в области диаграммы уравнения регрессии и значения достоверности аппроксимации R2 включаем флажки показывать уравнение на экране и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Для лучшего визуального восприятия изменяем тип, цвет и толщину построенных линий тренда, для чего воспользуемся вкладкой Вид диалогового окна Формат линии тренда (см. рис. 3). Полученная диаграмма с добавленными линиями тренда представлена на рис. 5.
Для получения табличных данных по прибыли предприятия для каждой линии тренда за 1995-2004 гг. воспользуемся уравнениями линий тренда, представленными на рис. 5. Для этого в ячейки диапазона D3:F3 вводим текстовую информацию о типе выбранной линии тренда: Линейный тренд, Квадратичный тренд, Кубический тренд. Далее вводим в ячейку D4 формулу линейной регрессии и, используя маркер заполнения, копируем эту формулу c относительными ссылками в диапазон ячеек D5:D13. Следует отметить, что каждой ячейке с формулой линейной регрессии из диапазона ячеек D4:D13 в качестве аргумента стоит соответствующая ячейка из диапазона A4:A13. Аналогично для квадратичной регрессии заполняется диапазон ячеек E4:E13, а для кубической регрессии - диапазон ячеек F4:F13. Таким образом, составлен прогноз по прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг. с помощью трех трендов. Полученная таблица значений представлена на рис. 6.

Задача 2

Построить диаграмму.
В диаграмму добавить логарифмическую, степенную и экспоненциальную линии тренда.
Вывести уравнения полученных линий тренда, а также величины достоверности аппроксимации R2 для каждой из них.
Используя уравнения линий тренда, получить табличные данные о прибыли предприятия для каждой линии тренда за 1995-2002 гг.
Составить прогноз о прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг., используя эти линии тренда.

Решение задачи

Следуя методике, приведенной при решении задачи 1, получаем диаграмму с добавленными в нее логарифмической, степенной и экспоненциальной линиями тренда (рис. 7). Далее, используя полученные уравнения линий тренда, заполняем таблицу значений по прибыли предприятия, включая прогнозируемые значения на 2003 и 2004 гг. (рис. 8).

На рис. 5 и рис. видно, что модели с логарифмическим трендом, соответствует наименьшее значение достоверности аппроксимации

R2 = 0,8659

Наибольшие же значения R2 соответствуют моделям с полиномиальным трендом: квадратичным (R2 = 0,9263) и кубическим (R2 = 0,933).

Задача 3

С таблицей данных о прибыли автотранспортного предприятия за 1995-2002 гг., приведенной в задаче 1, необходимо выполнить следующие действия.

Получить ряды данных для линейной и экспоненциальной линии тренда с использованием функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ.
Используя функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ, составить прогноз о прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг.
Для исходных данных и полученных рядов данных построить диаграмму.

Решение задачи

Воспользуемся рабочей таблицей задачи 1 (см. рис. 4). Начнем с функции ТЕНДЕНЦИЯ:

выделяем диапазон ячеек D4:D11, который следует заполнить значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ, соответствующими известным данным о прибыли предприятия;
вызываем команду Функция из меню Вставка. В появившемся диалоговом окне Мастер функций выделяем функцию ТЕНДЕНЦИЯ из категории Статистические, после чего щелкаем по кнопке ОК. Эту же операцию можно осуществить нажатием кнопки (Вставка функции) стандартной панели инструментов.
В появившемся диалоговом окне Аргументы функции вводим в поле Известные_значения_y диапазон ячеек C4:C11; в поле Известные_значения_х - диапазон ячеек B4:B11;
чтобы вводимая формула стала формулой массива, используем комбинацию клавиш + + .

Введенная нами формула в строке формул будет иметь вид: ={ТЕНДЕНЦИЯ(C4:C11;B4:B11)}.

В результате диапазон ячеек D4:D11 заполняется соответствующими значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ (рис. 9).

Для составления прогноза о прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг. необходимо:

выделить диапазон ячеек D12:D13, куда будут заноситься значения, прогнозируемые функцией ТЕНДЕНЦИЯ.
вызвать функцию ТЕНДЕНЦИЯ и в появившемся диалоговом окне Аргументы функции ввести в поле Известные_значения_y - диапазон ячеек C4:C11; в поле Известные_значения_х - диапазон ячеек B4:B11; а в поле Новые_значения_х - диапазон ячеек B12:B13.
превратить эту формулу в формулу массива, используя комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Введенная формула будет иметь вид: ={ТЕНДЕНЦИЯ(C4:C11;B4:B11;B12:B13)}, а диапазон ячеек D12:D13 заполнится прогнозируемыми значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ (см. рис. 9).

Аналогично заполняется ряд данных с помощью функции РОСТ, которая используется при анализе нелинейных зависимостей и работает точно так же, как ее линейный аналог ТЕНДЕНЦИЯ.

На рис.10 представлена таблица в режиме показа формул.

Для исходных данных и полученных рядов данных построена диаграмма, изображенная на рис. 11.

Задача 4

С таблицей данных о поступлении в диспетчерскую службу автотранспортного предприятия заявок на услуги за период с 1 по 11 число текущего месяца необходимо выполнить следующие действия.

Получить ряды данных для линейной регрессии: используя функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК; используя функцию ЛИНЕЙН.
Получить ряд данных для экспоненциальной регрессии с использованием функции ЛГРФПРИБЛ.
Используя вышеназванные функции, составить прогноз о поступлении заявок в диспетчерскую службу на период с 12 по 14 число текущего месяца.
Для исходных и полученных рядов данных построить диаграмму.

Решение задачи

Отметим, что, в отличие от функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ, ни одна из перечисленных выше функций (НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБ) не является регрессией. Эти функции играют лишь вспомогательную роль, определяя необходимые параметры регрессии.

Для линейной и экспоненциальной регрессий, построенных с помощью функций НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБ, внешний вид их уравнений всегда известен, в отличие от линейной и экспоненциальной регрессий, соответствующих функциям ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ.

1 . Построим линейную регрессию, имеющую уравнение:

y = mx+b

с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК, причем угловой коэффициент регрессии m определяется функцией НАКЛОН, а свободный член b - функцией ОТРЕЗОК.

Для этого осуществляем следующие действия:

заносим исходную таблицу в диапазон ячеек A4:B14;
значение параметра m будет определяться в ячейке С19. Выбираем из категории Статистические функцию Наклон; заносим диапазон ячеек B4:B14 в поле известные_значения_y и диапазон ячеек А4:А14 в поле известные_значения_х. В ячейку С19 будет введена формула: =НАКЛОН(B4:B14;A4:A14);
по аналогичной методике определяется значение параметра b в ячейке D19. И ее содержимое будет иметь вид: =ОТРЕЗОК(B4:B14;A4:A14). Таким образом, необходимые для построения линейной регрессии значения параметров m и b будут сохраняться соответственно в ячейках C19, D19;
далее заносим в ячейку С4 формулу линейной регрессии в виде: =$C*A4+$D. В этой формуле ячейки С19 и D19 записаны с абсолютными ссылками (адрес ячейки не должен меняться при возможном копировании). Знак абсолютной ссылки $ можно набить либо с клавиатуры, либо с помощью клавиши F4, предварительно установив курсор на адресе ячейки. Воспользовавшись маркером заполнения, копируем эту формулу в диапазон ячеек С4:С17. Получаем искомый ряд данных (рис. 12). В связи с тем, что количество заявок - целое число, следует установить на вкладке Число окна Формат ячеек числовой формат с числом десятичных знаков 0.

2 . Теперь построим линейную регрессию, заданную уравнением:

y = mx+b

с помощью функции ЛИНЕЙН.

Для этого:

вводим в диапазон ячеек C20:D20 функцию ЛИНЕЙН как формулу массива: ={ЛИНЕЙН(B4:B14;A4:A14)}. В результате получаем в ячейке C20 значение параметра m, а в ячейке D20 - значение параметра b;
вводим в ячейку D4 формулу: =$C*A4+$D;
копируем эту формулу с помощью маркера заполнения в диапазон ячеек D4:D17 и получаем искомый ряд данных.

3 . Строим экспоненциальную регрессию, имеющую уравнение:

y = bmx

с помощью функции ЛГРФПРИБЛ оно выполняется аналогично:

в диапазон ячеек C21:D21 вводим функцию ЛГРФПРИБЛ как формулу массива: ={ ЛГРФПРИБЛ (B4:B14;A4:A14)}. При этом в ячейке C21 будет определено значение параметра m, а в ячейке D21 - значение параметра b;

в ячейку E4 вводится формула: =$D*$C^A4;

с помощью маркера заполнения эта формула копируется в диапазон ячеек E4:E17, где и расположится ряд данных для экспоненциальной регрессии (см. рис. 12).

На рис. 13 приведена таблица, где видны используемые нами функции с необходимыми диапазонами ячеек, а также формулы.

Для исходных данных и полученных рядов данных построена диаграмма, изображенная на рис. 14.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Где y x - расчетное значение по уравнению.

Значение средней ошибки аппроксимации до 15% свидетельствует о хорошо подобранной модели уравнения.

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А ср и F-критерий Фишера.

Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии .
а) линейное уравнение регрессии;
Использование графического метода .
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции .

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x i и y i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε i , а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Получаем b = -0.35, a = 76.88
Уравнение регрессии:
y = -0.35 x + 76.88

x	y	x 2	y 2	x y	y(x)	(y i -y cp) 2	(y-y(x)) 2	\|y - y x \|:y
45,1	68,8	2034,01	4733,44	3102,88	61,28	119,12	56,61	0,1094
59	61,2	3481	3745,44	3610,8	56,47	10,98	22,4	0,0773
57,2	59,9	3271,84	3588,01	3426,28	57,09	4,06	7,9	0,0469
61,8	56,7	3819,24	3214,89	3504,06	55,5	1,41	1,44	0,0212
58,8	55	3457,44	3025	3234	56,54	8,33	2,36	0,0279
47,2	54,3	2227,84	2948,49	2562,96	60,55	12,86	39,05	0,1151
55,2	49,3	3047,04	2430,49	2721,36	57,78	73,71	71,94	0,172
384,3	405,2	21338,41	23685,76	22162,34	405,2	230,47	201,71	0,5699

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
... ... ...

Ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

F-статистики. Критерий Фишера.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

< Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

б) степенная регрессия ;
Решение проводится с помощью сервиса Нелинейная регрессия . При выборе укажите Степенная y = ax b
в) показательная регрессия;
г) модель равносторонней гиперболы.
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 1054.67, a = 38.44
Уравнение регрессии:
y = 1054.67 / x + 38.44
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5, Fkp = 6.61
Поскольку фактическое значение F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Напомним, что регрессионный анализ это вид статистического анализа, используемый для прогнозирования. Регрессионный анализ позволяет оценить степень связи между переменными, предлагая механизм вычисления предполагаемого значения переменной из нескольких уже известных значений.

Линиями тренда можно дополнить ряды данных, представленные на ненормированных плоских диаграммах с областями, линейчатых диаграммах, гистограммах, графиках, биржевых, точечных и пузырьковых диаграммах. Использование линии тренда того или иного вида определяется типом данных. Нельзя дополнить линиями тренда ряды данных на объемных диаграммах, нормированных диаграммах, лепестковых диаграммах, круговых и кольцевых диаграммах.

Более ясно закономерность в развитии данных показывает сглаженная кривая. Она строится по точкам скользящего среднего, где под скользящим средним подразумевается последовательность средних чисел, каждое из которых вычислено по некоторому подмножеству ряда данных.

Добавление линии тренда или скользящего среднего к рядам данных

В Excel используются шесть различных видов линий тренда (аппроксимация и сглаживание), которые могут быть добавлены в диаграмму (рис. 18.11):

Линейная аппроксимация (Linear) - это прямая линия, наилучшим образом описывающая набор данных. Уравнение прямой у=ах+Ь, где а - тангенс угла наклона, b - точка пересечения прямой с осью у. Линейная аппроксимация применяется для переменных, которые увеличиваются или убывают с постоянной скоростью.
Логарифмическая аппроксимация (Logarithmic) хорошо описывает положительные, так и отрицательные величины, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируется. Логарифмическая аппроксимация использует уравнение у=с* lnx+Ь, где с и b константы, In - натуральный логарифм.
Полиномиальная аппроксимация (Polynomial) используется для описания величин, попеременно возрастающих и убывающих. Ее целесообразно применять для анализа большого набора данных нестабильной величины. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов и минимумов) кривой. Полином второй степени может описать только один максимум или минимум. Полином третьей степени имеет один или два экстремума. Полином четвертой степени может иметь не более трех экстремумов. Полиномиальная аппроксимация описывается уравнением y=a+ciXi+C2X2++Cigx18, где a, Cj-Cjg - константы. Требуемая степень полинома задается в поле Степень (рис.). Максимальная величина степени - 18.
Степенная аппроксимация (Power) дает хорошие результаты, если зависимость, которая содержится в данных, характеризуется постоянной скоростью роста. Примером такой зависимости может служить график ускорения автомобиля. Если в данных имеются нулевые или отрицательные значения, использование степенного приближения невозможно. Степенная аппроксимация описывается уравнением у=а * хn, где а и n - константы.
Экспоненциальную аппроксимацию (Exponential) следует использовать в том случае, если скорость изменения данных непрерывно возрастает. Однако для данных, которые содержат нулевые или отрицательные значения, этот вид приближения неприменим. Экспоненциальная аппроксимация описывается уравнением у= а ebx, где а и b - константы.
Линейная фильтрация (Moving average) позволяет сгладить колебания данных и таким образом более наглядно показать характер зависимости. Такая линия тренда строится по определенному числу точек (она задается параметром Тонки (Period). Элементы данных усредняются, и полученный результат используется в качестве среднего значения для приближения. Так, если параметр Тонки равен 2, первая точка сглаживающей кривой определяется как среднее значение первых двух элементов данных, вторая точка - как среднее следующих двух элементов и так далее. Для расчета скользящего среднего используется уравнение у= (Aj+Aj_i++Aj_n+i)/n.

Добавление линии тренда к рядам данных

Для добавления линии тренда к рядам данных выполните следующие действия:

выделите ряд данных, к которому нужно добавить линию тренда или скользящее среднее;
выберите команду Добавить линию тренда (Add Trendline) в меню Диаграмма (Chart). На вкладке Тип (Type) выберите нужный тип регрессионной линии тренда или линии скользящего среднего (рис. 18.11);
при выборе типа Полиномиальная (Polynomial) введите в поле Степень (Order) наибольшую степень для независимой переменной;
при выборе типа Скользящее среднее (Moving Average) введите в поле Точки (Period) число точек, используемых для расчета скользящего среднего.

Рис. 18.11 . Выбор линии тренда

Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов. Как известно, между величинами может существовать точная функциональная связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться, с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции. Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.

В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию, в которую неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать, т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость. График восстановленной функциональной зависимости по результатам измерений называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности. При этом результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена о (дна из величин в виде линейной функции от другой). В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости. Величина используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной. Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи, y с x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме эмпирические данные.

В MS Excel аппроксимация экспериментальных данных осуществляется путем построения их графика (x - отвлеченные величины) или точечного графика (x - имеет конкретные значения) с последующим подбором подходящей аппроксимирующей функции (линии тренда).Возможны следующие варианты функций:

Линейная - y=ax+b. Обычно применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью.

Полиномиальная - y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n , где до шестого порядка включительно (n?6), a i - константы. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой. Полином второй степени можно описать только один максимум или минимум, полином третьей степени может иметь один или два экстремума, четвертой степени - не более трех экстремумов и т.д.

Логарифмическая - y=a·lnx+b, где a и b - константы, ln - функция натурального логарифма. Функция применяется для описания экспериментальных данных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.

Степенная - y=b·x a , где a и b - константы. Аппроксимация степенной функцией используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью роста. Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.

Экспоненциальная - y=b·e ax , a и b - константы, e - основание натурального логарифма. Применяется для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются. Часто ее использование вытекает из теоретических соображений.Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (R 2)Таким образом, если есть несколько подходящих вариантов типов аппроксимирующих функций, можно выбрать функцию с большим коэффициентом детерминации (стремящимся к 1).

Для осуществления аппроксимации на диаграмме экспериментальных данных необходимо щелчком правой кнопки мыши вызвать выплывающее контекстное меню и выбрать пункт добавить линию Тренда. В появившемся диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип выбирается вид аппроксимирующей функции, а на вкладке Параметры задаются дополнительные параметры, влияющие на отображение аппроксимирующей кривой. Обычно определение параметров при известном виде зависимости осуществляют по методу наименьших квадратов. При этом функция ц(x) считается наилучшим приближением к f(x), если для нее сумма квадратов невязок е i =f(x i)-ц(x i) или отклонений “теоретических” значений ц(x i), найденных по эмпирической формуле, от соответствующих опытных значений y i , имеет наименьшее значение по сравнению с другими функциями, из числа которых выбирается искомое приближение.

Используя методы дифференциального исчисления, метод наименьших квадратов формулирует аналитические условия достижения суммой квадратов отклонений у своего наименьшего значения.

Так, если функция ц(x) вполне определяется своими параметрами a, b, c, то наилучшие значения этих параметров находятся из решения системы уравнений.