Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Определение 3.3. Одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и степеней с натуральным показателем.

Например, каждое из выражений ,
,
является одночленом.

Говорят, что одночлен имеет стандартный вид , если он содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью. Числовой множитель одночлена, записного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена . Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех его переменных.

Определение 3.4. Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена .

Подобные слагаемые – одночлены в многочлене – называют подобными членами многочлена .

Определение 3.5. Многочленом стандартного вида называют многочлен, в котором все слагаемые записаны в стандартном виде и приведены подобные члены. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, – многочлен стандартного вида четвертой степени.

Действия над одночленами и многочленами

Сумму и разность многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. При сложении двух многочленов записываются все их члены и приводятся подобные члены. При вычитании знаки всех членов вычитаемого многочлена меняются на противоположные.

Например:

Члены многочлена можно разбивать на группы и заключать в скобки. Поскольку это тождественное преобразование, обратное раскрытию скобок, то устанавливается следующее правило заключения в скобки : если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с их знаками; если перед скобками ставится знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками.

Например,

Правило умножения многочлена на многочлен : чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Например,

Определение 3.6. Многочленом от одной переменной степени называют выражение вида

где
– любые числа, которые называют коэффициентами многочлена , причем
,– целое неотрицательное число.

Если
, то коэффициентназываютстаршим коэффициентом многочлена
, одночлен
– его старшим членом , коэффициент – свободным членом .

Если вместо переменной в многочлен
подставить действительное число, то в результате получится действительное число
, которое называютзначением многочлена
при
.

Определение 3.7. Число называют корнем многочлена
, если
.

Рассмотрим деление многочлена на многочлен, где
и- натуральные числа. Деление возможно, если степень многочлена-делимого
не меньше степени многочлена-делителя
, то есть
.

Разделить многочлен
на многочлен
,
,– значит найти два таких многочлена
и
, чтобы

При этом многочлен
степени
называютмногочленом-частным ,
– остатком ,
.

Замечание 3.2. Если делитель
– не нуль-многочлен, то деление
на
,
, всегда выполнимо, а частное и остаток определяются однозначно.

Замечание 3.3. В случае, когда
при всех , то есть

говорят, что многочлен
нацело делится (или делится ) на многочлен
.

Деление многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел: сначала старший член многочлена-делимого делят на старший член многочлена-делителя, затем частное от деления этих членов, которое будет старшим членом многочлена-частного, умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. В результате получают многочлен – первый остаток, который делят на многочлен-делитель аналогичным образом и находят второй член многочлена-частного. Этот процесс продолжают до тех пор, пока получится нулевой остаток или степень многочлена остатка будет меньше степени многочлена-делителя.

При делении многочлена на двучлен можно воспользоваться схемой Горнера.

Схема Горнера

Пусть требуется разделить многочлен

на двучлен
. Обозначим частное от деления как многочлен

а остаток – . Значение, коэффициенты многочленов
,
и остатокзапишем в следующей форме:

В этой схеме каждый из коэффициентов
,
,
, …,получается из предыдущего числа нижней строки умножением на числои прибавлением к полученному результату соответствующего числа верхней строки, стоящего над искомым коэффициентом. Если какая-либо степеньв многочлене отсутствует, то соответствующий коэффициент равен нулю. Определив коэффициенты по приведенной схеме, записываем частное

и результат деления, если
,

или ,

если
,

Теорема 3.1. Для того чтобы несократимая дробь (

,

) была корнем многочлена
с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы числобыло делителем свободного члена, а число- делителем старшего коэффициента.

Теорема 3.2. (Теорема Безу ) Остаток от деления многочлена
на двучлен
равен значению многочлена
при
, то есть
.

При делении многочлена
на двучлен
имеем равенство

Оно справедливо, в частности, при
, то есть
.

Пример 3.2. Разделить на
.

Решение. Применим схему Горнера:

Следовательно,

Пример 3.3. Разделить на
.

Решение. Применим схему Горнера:

Следовательно,

,

Пример 3.4. Разделить на
.

Решение.

В итоге получаем

Пример 3.5. Разделить
на
.

Решение. Проведем деление многочленов столбиком:

Тогда получаем

.

Иногда бывает полезным представление многочлена в виде равного ему произведения двух или нескольких многочленов. Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители . Рассмотрим основные способы такого разложения.

Вынесение общего множителя за скобки. Для того чтобы разложить многочлен на множители способом вынесения общего множителя за скобки, необходимо:

1) найти общий множитель. Для этого, если все коэффициенты многочлена – целые числа, в качестве коэффициента общего множителя рассматривают наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена, а каждую переменную, входящую во все члены многочлена, берут с наибольшем показателем, который она имеет в данном многочлене;

2) найти частное от деления данного многочлена на общий множитель;

3) записать произведение общего множителя и полученного частного.

Группировка членов. При разложении многочлена на множители способом группировки его члены разбиваются на две или более групп с таким расчетом, чтобы каждую из них можно было преобразовать в произведение, и полученные произведения имели бы общий множитель. После этого применяется способ вынесения за скобки общего множителя вновь преобразованных членов.

Применение формул сокращенного умножения. В тех случаях, когда многочлен, подлежащий разложению на множители, имеет вид правой части какой-либо формулы сокращенного умножения, его разложение на множители достигается применением соответствующей формулы, записанной в другом порядке.

Пусть

, тогда справедливы следующиеформулы сокращенного умножения:

Введение новых вспомогательных членов. Данный способ заключается в том, что многочлен заменяется другим многочленом, тождественно равным ему, но содержащим другое число членов, путем введения двух противоположных членов или замены какого-либо члена тождественно равной ему суммой подобных одночленов. Замена производится с таким расчетом, чтобы к полученному многочлену можно было применить способ группировки членов.

Пример 3.6. .

Решение. Все члены многочлена содержат общий множитель
. Следовательно,.

Ответ: .

Пример 3.7.

Решение. Группируем отдельно члены, содержащие коэффициент , и члены, содержащие. Вынося за скобки общие множители групп, получаем:

.

Ответ:
.

Пример 3.8. Разложить на множители многочлен
.

Решение. Используя соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:

Ответ: .

Пример 3.9. Разложить на множители многочлен
.

Решение. Используя способ группировки и соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:

.

Ответ: .

Пример 3.10. Разложить на множители многочлен
.

Решение. Заменим на
, сгруппируем члены, применим формулы сокращенного умножения:

.

Ответ:
.

Пример 3.11. Разложить на множители многочлен

Решение. Так как ,
,
, то

Выражения 5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2 , b 2 x являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называются одночленами . Одночленами также считают числа, переменные и их степени.

Например, выражения - 8, 35,y и y 2 - одночлены.

Стандартным видом одночлена называется одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путем перемножения всех переменных и чисел, входящих в него. Приведем пример приведения одночлена к стандартному виду:

4x 2 y 4 (-5)yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена . Например коэффициент одночлена -12сx 6 y 5 равен -12. Коэффициенты одночленов x 3 и -xy считают равными 1 и -1, так как x 7 = 1x 7 и -xy = -1xy

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, то есть является числом, то его степень считают равной нулю.

Например степень одночлена 8x 3 yz 2 равна 6, одночлена 6x равна 1, степень одночлена -10 равна 0.

Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так членами многочлена 4x 2 y - 5xy + 3x -1 являются 4x 2 y, -5xy, 3x и -1 .

Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом, если из трех - трехчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

В многочлене 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 члены 7x 3 y 2 и - 2y 2 x 3 являются подобными слагаемыми, так как имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными являются и слагаемые -12 и 6, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене - приведением подобных членов многочлена.

Приведем для примера подобные члены в многочлене 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6.

Многочлен называется многочленом стандартного вида , если каждый его член является одночленом стандартного вида и этот многочлен не содержит подобных слагаемых.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные слагаемые.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Для примера найдем степень многочлена 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4:

8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 = 4x 2 y -6.

Заметим, что в исходный многочлен входят одночлены шестой степени, но при приведении подобных членов все они сократились, и получился многочлен третьей степени, значит и исходный многочлен имеет степень 3!

Вопросы к конспектам

Дан многочлен Р(х) = 2х 3 - 6х 2 - 5х + 4. Вычислите Р(1).

Определите степень многочлена: 3а 4 - 5а 3 - 2а 5

Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы.

Например, 3 a 2 b 4 , b d 3 , – 17 a b c - одночлены.

Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными , если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.

Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:

a x 3 y 2 – 5 b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = (a – 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2 .

Эта операция называется приведением подобных членов . Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки .

Умножение одночленов . Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.

П р и м е р: 5 a x 3 z 8 (– 7 a 3 x 3 y 2 ) = – 35 a 4 x 6 y 2 z 8 .

Деление одночленов . Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

П р и м е р: 35 a 4 x 3 z 9: 7 a x 2 z 6 = 5 a 3 x z 3 .

Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов . Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, а из трех членов - трехчленом . Одночлены принято рассмат­ривать как частный случай многочленов - считают, что это многочлены, состоящие из одного члена.

Если все члены многочлена являются одночленами стан­дартного вида и среди них нет подобных членов, то такой мно­гочлен называют многочленом стандартного вида.

Представим в стандартном виде многочлен Заb-а 2 +b-2аb + 5b.

Для этого достаточно привести подобные слагаемые, т. е. подобные члены этого многочлена: Заb – а 2 + b - 2аb + 5b_ = аb - а 2 + 6b.

Если многочлен стандартного вида содержит одну перемен­ную, то его члены обычно располагают в порядке убывания ее степеней. При этом свободный член многочлена, т. е. член, не содержащий буквы, помещают на последнем месте.

Например, многочлен 5х 2 + 1 - х 3 + 4х записывают так: -х 3 + 5х 2 + 4х - 1.

Наибольший показатель степени, в которой переменная вхо­дит в этот многочлен, равен 3. Говорят, что -х 3 +- 5х 2 + 4х - 1 - многочлен третьей степени .

Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение.

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было надо еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Определение 1

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , 0 , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.

Рассмотрим еще определения.

Определение 2

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

Определение 3

Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен .

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и - 3 , 5 х и 2 х. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

Определение 4

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и - 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Определение 6

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Определение 7

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Определение 8

Степень многочлена произвольного числа - это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Пример 1

Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .

Решение

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.

Ответ : 6 .

Коэффициенты членов многочлена

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

19. Возьмем формулу

мы ее читали так: «разность числе a и b». Мы можем в этой формуле число a заменить нулем; тогда она обратится в

0 – b или просто в –b.

Из нуля вычесть b значит, согласно тому, что мы знаем о вычитании относительных чисел, к нулю приписать число b, взятое с обратным знаком. Поэтому выражение –b должно понимать, как число, обратное по знаку числу b. Если, напр., b = +5, то –b = –5; если b = –4, то –b = +4 и т. п. Если мы напишем выражение +a, то его надо понимать, как число, равное числу a. Если a = +5, то +a = +5; если a = –4, то +a = 4 и т. п.

Поэтому формулу

мы можем понимать, без различия результата, или в смысле

или в смысле

Таким образом мы всегда можем заменять вычитание сложением и всякую разность понимать, как сумму двух чисел:
a – b есть сумма чисел a и (–b)
x – y есть сумма чисел x и (–y)
–a – b есть сумма чисел (–a) и (–b) и т. п.

Те формулы, где, с точки зрения арифметики, имеют место несколько сложений и вычитаний, напр.,

a – b + c + d – e – f,

мы можем теперь, с точки зрения алгебры, понимать только, как сумму, а именно:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Поэтому принято подобные выражения называть именем «алгебраическая сумма».

20. Возьмем какую-нибудь алгебраическую сумму

a – b – c или –3bc² + 2ab – 4a²b и т. п.

Принято называть эти выражения именем многочлен , причем это слово заменяет собою слово «сумма» или название «алгебраическая сумма». Мы знаем что

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) и т. п.

Отдельно каждое слагаемое называют именем член многочлена.

Первый многочлен,

состоит из трех членов: (+a), (–b) и (+c).

Второй многочлен,

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

состоит из четырех членов: (–abc), (–3bc²), (+2ab) и (–4a²b).

Слагаемые суммы можно переставлять в любом порядке:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Это свойство суммы теперь можно выразить иначе: члены многочлена можно переставлять в любом порядке. Это и сделано выше для многочлена –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, притом так, что впереди теперь оказался член (+2ab). Это позволило несколько упростить выражение: впереди знак + можно не писать. Конечно, надо подобные перестановки делать сразу, не заключая предварительно (как выше) каждое слагаемое в скобки.

Еще пример:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

Первый член этого многочлена был первоначально (+1) – знак + подразумевался перед единицею; когда мы переносим этот член на другое, кроме первого, место (выше мы перенесли его на последнее место), то уже этот знак + пропускать нельзя.

Мы можем заметить, что в предыдущем примере мы перестановкою членов многочлена достигли некоторого порядка: на первом месте стоит член с буквою a в 4-ой степени, на следующем – член с буквою a в 3-ей степени, потом идет член с буквою a во 2-ой степени, потом – a в 1-ой степени и, наконец, член, где буквы a вовсе нет.

Подобное расположение членов многочлена выражают словами «многочлен расположен по нисходящим степеням буквы a».

Вот еще примеры подобного расположения:

3x 5 – 2ax 3 + b (по нисходящим степеням буквы x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (по нисходящим степеням буквы a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (по нисходящим степеням буквы b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (по нисходящим степеням буквы x).

Употребляют часто и обратное «по восходящим степеням» расположение, при котором степень избранной буквы постепенно повышается, причем в 1-м члене или вовсе этой буквы нет, или она имеет здесь наименьшую степень сравнительно с другими членами. О втором из предыдущих примеров мы могли бы сказать, что здесь многочлен расположен по восходящим степеням буквы b. Вот примеры:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (по восходящим степеням буквы a );
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (по восходящим степеням буквы х );
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (по восходящим степеням буквы x );
a 3 – 2ab + b 2 (по восходящим степеням буквы b или по нисходящим степеням буквы a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (по нисходящим степеням буквы x или по восходящим степеням буквы y ).

21. Многочлен о двух членах называется двучленом (напр., 3a + 2b), о трех членах – трехчленом (напр., 2a² – 3ab + 4b²) и т. д. Возможно говорить о сумму из одного слагаемого (другое слагаемое равно нулю), или о многочлене об одном члене. Тогда уже, конечно, название «многочлен» неуместно и употребляется название «одночлен». Каждый член любого многочлена, взятый в отдельности, является одночленом. Вот примеры простейших одночленов:

2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; и т. д.

Почти все одночлены из выше написанных являются произведениями двух или более множителей, причем у большинства из них имеются и числовой множитель и буквенные. Напр., в одночлене –3abc имеется числовой множитель –3 и буквенные множители a, b и c; в одночлене 4x³ имеется числовой множитель +4 (знак + подразумевается) и буквенный множитель x³ и т. д. Если бы мы написали одночлен с несколькими числовыми множителями (а также и с буквенными), вроде следующего

,

то удобнее, переставив множителей так, чтобы числовые множители оказались рядом, т. е.

,

эти числовые множители перемножить – получим

–4a²bc² (точки, знаки умножения пропускаем).

Принято также, в громадном большинстве случаев, числовой множитель писать впереди. Пишут:

4a, а не a 4
–3a²b, а не a²(–3)b

Числовой множитель одночлена называется коэффициентом.

Если в одночлене не написан числовой множитель, например, ab, то можно всегда его подразумевать. В самом деле

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ и т. п.

Итак, у одночленов a², ab, ab² подразумевается, у каждого, коэффициент 1 (точнее: +1). Если напишем одночлены –ab, –a², –ab² и т. п., то у них должно подразумевать коэффициент –1.

22. Более сложные примеры многочленов и одночленов.

(a + b)² + 3(a – b)² … эта формула выражает сумму двух слагаемых: первым является квадрат суммы чисел a и b, а вторым – произведение числа 3 на квадрат разности тех же чисел. Поэтому эту формулу должно признать двучленом: первый член есть (a + b)² и второй 3(a – b)². Если взять выражение (a + b)² отдельно, то в силу предыдущего, его надо считать одночленом, причем его коэффициент = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) … должно признать за трехчлен (сумма трех слагаемых): первый член есть a(b – 1) и его коэффициент = +1, второй член –b(a – 1), его коэффициент = –1, третий член –(a – 1)(b – 1), его коэффициент = – 1.

Иногда искусственно уменьшают число членов многочлена. Так трехчлен

можно, например, рассматривать за двухчлен, причем a + b, например, считают за один член (за одно слагаемое). Чтобы это яснее отметить, пользуются скобками:

Тогда у члена (a + b) подразумевается коэффициент +1

[в самом деле (a + b) = (+1)(a + b)].