Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

ВВЕДЕНИЕ

Первое, дошедшее до нас, научное изложение геометрии содержится в труде «Начала», составленном древнегреческим ученым Евклидом, жившим в III веке до нашей эры в городе Александрии. Именно Евклидом была сделана первая попытка дать аксиоматическое изложение геометрии. Впервые научная система аксиом Евклида была сформулирована Д. Гильбертом (1862-1943 ) в конце CIC века.

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.

Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

Схема построения геометрии

Перечисляются основные неопределяемые понятия.

Формулируются свойства основных понятий - аксиомы.

Определяются другие геометрические понятия.

Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.

Определение : Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

I. Аксиомы принадлежности

I 1 . Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Обозначение :

А, В, С, D – точки;

а, b, с – прямые;

a , b , g – плоскости;

А Î а – точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А;

Е Ï а – точка Е не принадлежит прямой а;

С Î a – точка С принадлежит плоскости a , плоскость a проходит через точку С;

Е Ï a – точка Е не принадлежит плоскости a .

Вывод : Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости.

I 2 . Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Обозначение :

а Ì a – плоскость a проходит через прямую а;

b Ë a – плоскость a не проходит через прямую b.

I 4 . Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Обозначение : a = АВС

Вывод : Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.

I 5 . Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая.

Обозначение : М Î a , М Î b , a ¹ b , a ìüb = l.

II. Аксиомы расстояния

II 1 . Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В . Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

Обозначение : АВ ³ 0.

II 2 . Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А .

Обозначение : АВ = ВА.

II 3 . Для любых трех точек А , В , С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С .

Обозначение : АС £ АВ + ВС.

III. Аксиомы порядка

III 1 . Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В , принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В ; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О .

III 3 . Если точка С лежит между точками А и В , то точки А , В , С принадлежат одной прямой.

III 4 . Любая прямая р , лежащая в плоскости a , разбивает множество не принадлежащих ей точек этой плоскости на два непустых множества так, что любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р ; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р .

IV. Аксиома подвижности плоскости

Если точки А , В , А 1 , В 1 лежат в плоскости a , причем АВ > 0 и АВ = А 1 В 1 , то существует два и только два перемещения этой плоскости, каждое из которых отображает точку А на точку А 1 а точку В на точку В 1 .

V. Аксиома параллельных

Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р .

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Следствие 1 : Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.

Дано : М, а, М Ï а

Доказать :

2. .

Доказательство :

1. Выберем на прямой а точки А и В (аксиома I 1 ): А Î а, В Î а.

): a = МАВ.

Так как точки А, В принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I 3 ): а Ì a .

Следовательно, существует плоскость a , проходящая через прямую а и не принадлежащую ей точку М: .

2. Плоскость a содержит прямую а и точку М, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I 4 ).

Следствие 2 : Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано : а, b, а ´ b

Доказать :

2. .

Доказательство :

1. Обозначим точку пересечения прямых а и b: .

Выберем на прямой а точку А, на прямой b точку В (аксиома I 1 ): А Î а, В Î b.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I 4 ): a = МАВ.

Так как точки А, М принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I 3 ): АМ = а Ì a .

Так как точки В, М принадлежат плоскости a , то прямая b принадлежит плоскости a (аксиома I 3 ): ВМ = b Ì a .

Следовательно, существует плоскость a , проходящая через две пересекающиеся прямые а и b: .

2. Плоскость a содержит прямые а и b, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I 4 ). ): А прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDС и АВС.

3. По рисунку назвать:

a) точки, лежащие в плоскостях DСС 1 и ВQС;

b) плоскости, в которых лежит прямая АА 1 ;

c) точки пересечения прямой МК с плоскостью АВD, прямых DК и ВР с плоскостью А 1 В 1 С 1 ;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АА 1 В 1 и АСD, РВ 1 С 1 и АВС;

e) точки пересечения прямых МК и DС, В 1 С 1 и ВР, С 1 М и DС.

3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

3. Свойство 2

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и параллельные прямые АВ и С D , которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и С D равны.

Две параллельные прямые АВ и С D образуют единственную плоскость γ, γ = АВ D С . Плоскость γ пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и В D параллельны.

Прямые АВ и С D также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВ D С - параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и С D равны, что и требовалось доказать.

4. Свойство 3

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости и, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла А . Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости - ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости - В1С1 . По первому свойству, линии пересечения ВС и В1С1 параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ1С1 подобны. Получаем:

Свойство доказано.

5. Решение задач

Задача 1.

Параллельные плоскости и пересекают сторону АВ угла ВАС , соответственно, в точках А1 и А2 , а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В1 и В2 (Рис. 4.).

а) АА2 и АВ2 , если А1А2 =2А1А =12 см, АВ1 =5 см.

б) А2В2 и АА2 , если А1В1 =18 см. АА1 =24 см, .

Решение:

а) Пусть А1А = k , тогда по условию длина А1А2 =2k =12 см., следовательно, k =6 см. Тогда отрезок АА2 =3k =3∙6=18, т.е. АА2 =18 см.

Две параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла ВАС . Из первого свойства следует, что прямые А1В1 и А2В2 параллельны. Значит, треугольники АА2В2 и АА1В1 подобны по двум углам (угол ВАС общий, углыАА1В1 и АА2В2 равны). Из подобия имеем:

см.

Ответ: АА2 = 18 см, АВ2 = 15 см.