Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

В планиметрии плоскость является одной из основных фигур, поэтому, очень важно иметь ясное представление о ней. Эта статья создана с целью раскрытия этой темы. Сначала дано понятие плоскости, ее графическое представление и показаны обозначения плоскостей. Далее плоскость рассматривается вместе с точкой, прямой или другой плоскостью, при этом возникают варианты из взаимного расположения в пространстве. Во втором и третьем и четвертом пункте статьи как раз разобраны все варианты взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости, а также точки и плоскости, приведены основные аксиомы и графические иллюстрации. В заключении даны основные способы задания плоскости в пространстве.

Навигация по странице.

Плоскость – основные понятия, обозначения и изображение.

Простейшими и основными геометрическими фигурами в трехмерном пространстве являются точка, прямая и плоскость. Мы уже имеем представление о точке и прямой на плоскости . Если поместить плоскость, на которой изображены точки и прямые, в трехмерное пространство, то мы получим точки и прямые в пространстве. Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.

Точки и прямые в пространстве обозначаются также как и на плоскости – большими и маленькими латинскими буквами соответственно. Например, точки А и Q , прямые а и d . Если заданы две точки, лежащие на прямой, то прямую можно обозначить двумя буквами, соответствующими этим точкам. К примеру, прямая АВ или ВА проходит через точки А и В . Плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами, например, плоскости , или .

При решении задач возникает необходимость изображать плоскости на чертеже. Плоскость обычно изображают в виде параллелограмма или произвольной простой замкнутой области.

Плоскость обычно рассматривается вместе с точками, прямыми или другими плоскостями, при этом возникают различные варианты их взаимного расположения. Переходим к их описанию.

Взаимное расположение плоскости и точки.

Начнем с аксиомы: в каждой плоскости имеются точки. Из нее следует первый вариант взаимного расположения плоскости и точки – точка может принадлежать плоскости. Другими словами, плоскость может проходить через точку. Для обозначения принадлежности какой-либо точки какой-либо плоскости используют символ «». Например, если плоскость проходит через точку А , то можно кратко записать .

Следует понимать, что на заданной плоскости в пространстве имеется бесконечно много точек.

Следующая аксиома показывает, сколько точек в пространстве необходимо отметить, чтобы они определяли конкретную плоскость: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна. Если известны три точки, лежащие в плоскости, то плоскость можно обозначить тремя буквами, соответствующими этим точкам. Например, если плоскость проходит через точки А , В и С , то ее можно обозначить АВС .

Сформулируем еще одну аксиому, которая дает второй вариант взаимного расположения плоскости и точки: имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Итак, точка пространства может не принадлежать плоскости. Действительно, в силу предыдущей аксиомы через три точки пространства проходит плоскость, а четвертая точка может как лежать на этой плоскости, так и не лежать. При краткой записи используют символ «», который равносилен фразе «не принадлежит».

К примеру, если точка А не лежит в плоскости , то используют краткую запись .

Прямая и плоскость в пространстве.

Во-первых, прямая может лежать в плоскости. В этом случае, в плоскости лежат хотя бы две точки этой прямой. Это устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. Для краткой записи принадлежности некоторой прямой данной плоскости пользуются символом «». Например, запись означает, что прямая а лежит в плоскости .

Во-вторых, прямая может пересекать плоскость. При этом прямая и плоскость имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. При краткой записи пересечение обозначаю символом «». К примеру, запись означает, что прямая а пересекает плоскость в точке М . При пересечении плоскости некоторой прямой возникает понятие угла между прямой и плоскостью .

Отдельно стоит остановиться на прямой, которая пересекает плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Такую прямую называют перпендикулярной к плоскости. Для краткой записи перпендикулярности используют симовл «». Для более глубокого изучения материала можете обратиться к статье перпендикулярность прямой и плоскости .

Особую значимость при решении задач, связанных с плоскостью, имеет так называемый нормальный вектор плоскости . Нормальным вектором плоскости является любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

В-третьих, прямая может быть параллельна плоскости, то есть, не иметь в ней общих точек. При краткой записи параллельности используют символ «». Например, если прямая а параллельна плоскости , то можно записать . Рекомендуем подробнее изучить этот случай, обратившись к статье параллельность прямой и плоскости .

Следует сказать, что прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две полуплоскости. Прямая в этом случае называется границей полуплоскостей. Любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой, а две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от граничной прямой.

Взаимное расположение плоскостей.

Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.

Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями . Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными. О них мы поговорили в статье перпендикулярность плоскостей .

Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек. Рекомендуем ознакомиться со статьей параллельность плоскостей , чтобы получить полное представление об этом варианте взаимного расположения плоскостей.

Способы задания плоскости.

Сейчас мы перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве.

Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .

Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки:

• через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна (смотрите также статью уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку);
• через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (рекомендуем ознакомиться с материалом статьи уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).

Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых . Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат.

Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые .

В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой .

Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать

При решении ряда позиционных задач возникает необходимость строить следы прямой. В перспективе следами прямой являются точки ее пересечения с предметной и картинной плоскостями. Точка пересечения прямой с предметной плоскостью называется ее предметным следом. Точка пересечения прямой с картинной плоскостью называется ее картинным следом.

Для построения следов прямой ее заключают в плоскость. Затем строят линии пересечения вспомогательной плоскости с предметной и картинной. Продолжив прямую до пересечения с полученными линиями, находят точки пересечения прямой с картинной (картинный след) и с предметной (предметный след) плоскостями. На рисунке 30 показано построение в перспективе предметного Ап и картинного Ак следов нисходящей прямой АКА" общего по-| ложения. На рисунке 31 дано построение в перспективе предметного Ап и картинного Ак следов восходящей прямой общего положения. В данном примере картинный след восходящей прямой располагается на продолжении картины под ее основанием. Аналогично строят следы восходящей (рис. 32) и нисходящей (рис. 33) прямых особого положения. Заметим, что прямые частного положения, как правило, имеют только один след. Так, фронтальная (рис. 34) и вертикальная (рис. 35) прямые имеют только предметный след Ап. Глубинная (рис. 36) и горизонтальная прямые, расположенные под произвольным углом к картинной плоскости (рис. 37), имеют только картин ный след. Горизонтальная прямая, расположенная параллельно предметной и картинной плоскостям, следов не имеет.

Г л а в а 2. Изображение точки и прямой в перспективе

§ 10. Взаимное положение прямых

Относительно друг друга прямые могут быть параллельными, пересекающимися, скрещивающимися. Важно знать и уметь определять признаки взаимного положения двух прямых, изображенных на картине. Это даст возможность решать прямые (строить перспективу взаимного положения прямых) и обратные (определять их взаимное положение по изображению на картине) задачи. Параллельные прямые. Наиболее часто встречаются параллельные прямые. Из практики наблюдательной перспективы известно, что параллельные прямые кажутся нам сходящимися в одной точке (железнодорожное полотно, шоссейная дорога, улица и т.д.). Для обоснования такого явления обратимся к проецирующему аппарату. Зададим на проецирующем аппарате (рис. 38, а) пучок параллельных прямых, произвольно расположенных в предметной плоскости и ей параллельной. Построим перспективу каждой прямой. Для этого воспользуемся имеющимися точками Ао, Во, Ео, т. е. картинными следами этих прямых. Определим предельную точку каждой прямой (см. рис. 18). Заметим, что для всех заданных прямых она будет общая - Л "о, так как определяется одним и тем же лучом зрения SAoo, проведенным параллельно им до пересечения с линией горизонта. Итак, произвольно направленные горизонтальные параллельные прямые на картине изображаются пучком прямых, сходящихся в одной предельной точке. Общая предельная точка произвольно расположенных горизонтальных параллельных прямых находится на линии горизонта и называется точкой схода. (Закон точки схода горизонтальных прямых.) Заметим, что на картине (рис. 38, б) для параллельных прямых (А0А"оо, ВоВ"оо), лежащих в предметной плоскости и ей параллельной (ЕхЕ"оо), точка схода Л", может лежать в любом месте на линии горизонта в зависимости от их направления. Рис. 38 Если параллельные прямые глубинные, т. е. расположены перпендикулярно картинной плоскости, то точкой схода их будет главная эчка Р (рис. 39). Итак, точкой схода глубинных параллельных прямых является главная точка картины. (Закон точки схода пучка глубинных прямых.) Рассмотрим перспективу восходящих параллельных прямых общего положения (рис. 40). Если восходящие прямые параллельны, Го их проекции на предметную плоскость также между собой па-эаллельны. Проекции параллельных прямых лежат в предметной плоскости, поэтому будут иметь общую предельную точку а^ - точку Схода на линии горизонта. Тогда точка схода Лоо восходящих па-заллельных прямых будет лежать на перпендикуляре, проведенном линии горизонта через точку схода а" их проекций. Итак, восходящие параллельные прямые общего положения имеют точку схода, расположенную над линией горизонта в произвольном месте и лежащую на одном перпендикуляре с точкой схода проекций этих прямых. (Закон точки схода пучка восходящих прямых общего положения.) Аналогично строят изображения нисходящих параллельных прямых. Разница лишь в том, что их точка схода В^ будет расположена в произвольном месте под линией горизонта (рис. 41).

Рис 41 Итак, нисходящие параллельные прямые общего положения имеют точку схода, расположенную под линией горизонта в произвольном месте и лежащую на одном перпендикуляре с точкой схода их проекций. (Закон точки схода пучка нисходящих прямых общего положения.) Таким образом, признаком параллельности прямых общего положения, изображенных на картине, является расположение на одном перпендикуляре точек схода прямых и их проекций. При этом точка схода проекций параллельных прямых должна лежать на линии горизонта. На рисунке 42 изображены две пары восходящих (Л,РВ и А2РВ) и нисходящих (В\РК и В2Рн) параллельных прямых особого положения. На основе общего правила их точки схода лежат на одном перпендикуляре к линии горизонта. Заметим, что в данном случае перпендикуляром является линия главного вертикала. Итак, восходящие параллельные прямые особого положения имеют точку схода на линии главного вертикала над горизонтом, а их проекций - в главной точке. (Закон точки схода пучка восходящих прямых особого положения.) Итак, нисходящие параллельные прямые особого положения имеют точку схода на линии главного вертикала под горизонтом, а их проекций - в главной точке картины. (Закон точки схода пучка нисходящих прямых особого положения.)

Рис. 42 Особые признаки имеют прямые частного положения, расположенные параллельно картине. Прямые, параллельные картине, изображаются на ней параллельными. Если параллельные прямые фронтальные, то в перспективе они остаются параллельными между собой, а их проекции параллельны основанию картины, поскольку эти прямые и их проекции не имеют предельных точек (рис. 43). Рис. 43 Если параллельные прямые вертикальные, то в перспективе они остаются вертикальными и параллельными между собой, так как они не имеют предельной точки Если параллельные прямые горизонтальные (параллельны картинной и предметной плоскостям), то в перспективе они и их проекции остаются параллельными между собой и основанию картины (рис. 45). Пересекающиеся прямые. Зададим на картине две пересекающиеся в точке А прямые (рис. 46). Тогда проекции этих прямых на предметную плоскость пересекаются в точке а. Причем точка а - проекция точки пересечения А данных прямых. Точки А и а находятся на одном перпендикуляре. Если на картине точки пересечения двух прямых и их проекций лежат на одном перпендикуляре, то данные прямые пересекаются между собой в действительности. Скрещивающиеся прямые. Зададим на картине две скрещивающиеся прямые (рис. 47). Если прямые скрещиваются, то они не могут быть параллельными и не должны иметь общей точки. Следовательно, на картине точки пересечения прямых и их проекций не должны лежать на одном перпендикуляре. Рис. 46 Рис. 47 И действительно, если на картине перпендикуляр к предметной плоскости, проведенный из точки а1 пересечения проекций двух прямых, пересекает их в двух разных точках А1 и А2, то данные прямые скрещиваются между собой в действительности. На картине точка, кажущаяся пересечением двух прямых, является изображением двух различных точек В1 и В2, лежащих на скрещивающихся прямых. Обе точки расположены на одном луче зрения и поэтому на картине совпадают. Заметим, что основания этих слившихся на картине точек различно удалены от основания картины (В1 ближе, В2 дальше). Это указывает на различное удаление от картины соответствующих им точек на заданных прямых (точка В, ближе к зрителю, а точка В2 дальше). Прямые скрещиваются в действительности, если на картине точка пересечения проекций данных прямых является проекцией двух различных точек. Рассмотрим построение точек схода параллельных (горизонтальных, восходящих и нисходящих), а также пересекающихся и скрещивающихся прямых на примере перспективного изображения каркаса шалаша (рис. 48). Рис. 48 Прямые, проведенные через концы жердей (У, 2, 3, 4) и конек шалаша, являются произвольно направленными горизонтальными параллельными. Они имеют общую точку схода Q," на линии горизонта. Проекции наклонных жердей имеют точку схода q^ на линии горизонта. Наклонные жерди (/ и 2) будут восходящими параллельными прямыми, и их точка схода QB находится над линией горизонта и на перпендикуляре, проходящем через точку схода их проекций qx. Другая пара (3 и 4) наклонных жердей шалаша является нисходящими параллельными прямыми, и точка схода их QH находится на том же перпендикуляре под линией горизонта. Заметим, что все жерди шалаша имеют одинаковый наклон к земле, поэтому точки схода для восходящих и нисходящих прямых должны находиться на одном перпендикуляре к линии горизонта и на одинаковом расстоянии. По данному рисунку нетрудно определить, какие элементы шалаша параллельны, пересекаются и скрещиваются.

Вопросы и упражнения для самоконтроля 1. Какое положение точки в предметном пространстве называют общим, част ным? Какие признаки на картине отражают это положение? 2. Как построить перспективу точки, заданной в предметном пространстве? 3. Задайте картину (100 ммX 70 мм) с ее элементами и 5 точек на ней: / - в пред метной плоскости; 2 и 3 произвольно расположены в предметном пространстве, но находятся ниже линии горизонта, при этом 2 ближе, чем 1, a 3 дальше, чем /; 4 и 5 находятся выше линии горизонта, при этом 4 на одинаковом удалении с 3, а 5 дальше всех. 4. На картине (рис. 49) условно заданы 8 точек: вершины двух деревьев, две сидящие на проводах птицы, две летящие птицы, лежащий на дороге предмет, вершина телеграфного столба. Определите по изображению на картине, какая из точек ближе и дальше, выше и ниже всех. Можно ли определить удаленность и высоту двух летящих птиц? Дайте обоснование вашему суждению. Рис. 49 5. Докажите, что перспектива прямой есть прямая. 6. Как построить перспективу отрезка? 7. Какое положение отрезка прямой называется общим, частным? 8. Как построить перспективу бесконечно продолженной прямой, лежащей в пред метной плоскости или ей параллельной? Что называется предельной точкой прямой? 9. Что называется линией горизонта?

10. Что называется восходящей (нисходящей) прямой общего и особого по ложения? Как их построить на картине? Укажите признаки, определяющие эти прямые на картине. 11. На картине (рис. 50) заданы отрезки прямых. Определите их пространствен ное положение. Укажите, где будут находиться их предельные точки. Назовите отрезки прямых, изображенных на картине. 12. Какие частные положения может иметь прямая, расположенная в предмет ном пространстве? Какие признаки на картине определяют их положение? 13. По изображению домика на картине (рис. 51) определите положение его
Рис. 50 Рис. 51 элементов, отражающих горизонтальные, вертикальные, фронтальные, восходящие и нисходящие прямые. 14. Что называется следом прямой? Какие следы имеет прямая на картине? Как построить на картине следы прямой? 15. Сколько и какие следы будут иметь прямые: восходящие и нисходящие об щего и особого положения, горизонтальные, фронтальные, вертикальные? Задайте на картине эти прямые и постройте их следы. 16. Что называется точкой схода прямых? 17. Где находится точка схода: глубинных прямых, восходящих и нисходящих общего и особого положения, горизонтальных прямых, расположенных произ вольно и под углом 45° к картинной плоскости? 18. При каком положении параллельные прямые не имеют точек схода и оста ются параллельными? Дайте обоснование вашему суждению.

Известно, что фронтальная, горизонтальная и профильная проекции являются изображениями проекционного чертежа. Видами принято именовать те изображения на машиностроительных чертежах, которые представляют собой проекции внешних видимых поверхностей предметов. Можно также сказать, что под видами подразумеваются видимые части поверхностей предметов, обращенные к наблюдателю и показанные на чертежах.

Расположение видов на чертеже

Согласно действующему на сегодняшний день стандарту, различают три вида: основной, местный и дополнительный.

Руководствуясь ГОСТ 2.305 – 68 , виды , которые получаются на всех основных проекциях плоскостей, имеют следующие названия:

Главный вид (вид спереди). Он находится на том месте, где располагается фронтальная проекция

Вид сверху . Находится под главным видом, то есть на том месте, где располагается горизонтальная проекция

Вид слева . Размещается справа от главного вида, на том месте, где располагается профильная проекция

Вид справа . Находится с левой стороны главного вида

Вид снизу . Размещается над главным видом

Вид сзади . Находится с правой стороны от вида слева

Точно так же, как и все проекции, основные виды находятся в проекционной связи. При составлении машиностроительных чертежей разработчики стараются выбирать как можно меньшее количество видов, и в то же самое время, чтобы форма изображенного предмета была представлена точно и во всех подробностях. В тех случаях, если это необходимо, те части поверхностей предметов, которые являются невидимыми, допускается обозначать при помощи штриховых линий.

Самую полную информацию об изображенном на чертеже предмете должен предоставлять главный вид. По этой причине расположение детали относительно фронтальной плоскости проекций необходимо осуществлять таким образом, чтобы можно было спроецировать ее видимые поверхности с указанием самого большого количества элементов, определяющих форму. Кроме того, именно главному виду надлежит демонстрировать все особенности формы детали, уступы, изгибы поверхности, силуэт, отверстия, выемки. Это необходимо производить с целью обеспечения максимально быстрого узнавания той формы, которую имеет изображаемое изделие.

На чертежных графических документах наименования видов не наносятся, кроме тех случаев, когда с главным изображением детали они находятся в прямой и непосредственной проекционной связи.

	Виды вне проекционной связи Для того чтобы рабочее поле чертежа использовать наиболее рациональным способом, согласно действующим нормам и стандартам, допускается изображение видов на любом их месте, причем вне всякой проекционной связи. Те виды, которые располагаются без проекционной связи с главным видом, следует обозначать различными буквами кириллицы (русского алфавита), а что касается направления, то для его указания нужно применять стрелки.
Размеры стрелки Все стрелки, которые наносятся на чертежах в случае отображения вида вне проекционной связи, должны иметь строго определенные размеры, которые устанавливаются действующим стандартами.
	Расположение видов на поле чертежа Основным требованием, которому должно соответствовать размещение на чертежах главного и других основных видов, является рациональность. При этом необходимо учитывать также размещение текстового материала и необходимость нанесения размеров. Согласно действующим стандартам, не допускается располагать виды на чертежах таким образом, чтобы это препятствовало полному представлению формы детали на главном виде.
Рациональное расположение видов Под рациональным расположением видов на машиностроительных чертежах понимается такое их размещение, при котором дается полное представление о форме и всех особенностях изображаемой детали.
	Применение разрывов В тех случаях, когда изображаемые на чертежах предметы имеют участки, где поперечное сечение или является постоянным, или изменяется закономерным образом, их допустимо изображать с разрывами. При этом контуры этих разрывов должны обозначаться при помощи сплошной тонкой волнистой линии.
Местный вид По местным видом понимается такое изображение отдельного участка поверхности предмета, которое образовано с помощью проецирования его на одну из основных проекционных плоскостей. Допускается ограничение местного вида при помощи тонкой волнистой линии обрыва. В тех случаях, когда местный вид изображается вне проекционной связи, направление взгляда на основном виде указывается при помощи стрелки, а на данном местном виде наносится буквенное обозначение.
	Дополнительные виды В тех случаях, когда изображение, какой либо части детали на чертеже невозможно нанести таким образом, чтобы не исказить его форму и размеры, применяют дополнительные виды. Их получают при помощи проецирования на плоскости, которые не являются параллельными относительно основным плоскостям проекций.
В случае если дополнительный вид позиционируется в проекционной связи с исходным изображением, символы обозначающие вид и направление взгляда не наносится.
	Когда дополнительный вид смещен в сторону от проекционной связи, то направление взгляда указывается при помощи стрелки с нанесением буквенного обозначения, а над дополнительным изображением делается обозначение вида.
Допускается поворот основного вида, который сопровождается нанесением знака «повернуто».
	Знак «повернуто» имеет строго определенные размеры и должен наноситься в соответствии с принятыми правилами и стандартами.